Post on 02-May-2015
transcript
MODELLO DI
LOTKA-VOLTERRA Logistico
La risorsa (preda) in assenza di consumatori (predatore)si accresce in modo logistico
)(* tpAdt
dp diventa:
K
pmp
dt
dp1
pqK
pmp
dt
dp
1
pqDqdt
dq
Stati di equilibrio e diagramma delle fasi del modello Lotka-Volterra logistico
0dt
dp 01
pq
K
pmp
0 pqDq 0
dt
dq
0dt
dp
isocline della preda
01
pq
K
pm
K
pmq 1
0p
0dt
dq
isocline delpredatore
0)( qpD
0q
D
p
K
pmq 1
p
q
K
m
D
)0,0(1 P
)0,(3 KP
K
DmmDP
,2
1P
2P
3P
)0,0(1 P Corrisponde all’estinzione, cioè all’assenza simultanea delle prede e dei predatori
)0,(3 KP Corrisponde all’assenza dei predatori la risorsa (preda) ha come equilibrio la capacità portante
K
DmmDP
,2
Corrisponde alla coesistenza contemporaneadi prede e di predatori.
P2 esiste solo se: KD
Cioè se il predatore è sufficientemente efficace nell’interagire con la preda (D mortalità da fame: piccola, coefficiente di predazione: grande)
(dal grafico)
zona f1 f2
I < 0 < 0
II > 0 < 0
III > 0 > 0
IV < 0 > 0
0dt
dp
0dt
dp
0dt
dq
D
0dt
dq
I
IIIII
IV0
dt
dp
0)( pD
0dt
dq
K
pmq 1
01
pq
K
pm
dt
dp
zona dp/dt dq/dt
I < 0 < 0
II > 0 < 0
III > 0 > 0
IV < 0 > 0
I
II
IV
III
0dt
dp
0dt
dq
La isocline del predatore viene attraversataorizzontalmente:
0,,dt
dp
dt
dq
dt
dp
dt
dx
il verso dipende dal segno didtdp
La isocline della preda viene attraversata verticalmente
dt
dq
dt
dq
dt
dp
dt
dx,0,
il verso dipende dal segno di
dtdq
II
IIV
III
zona dp/dt dq/dt
I < 0 < 0
II > 0 < 0
III > 0 > 0
IV < 0 > 0
1P 3PK
2P
In assenza di prede (p=0), P1 è attrattivo i predatori si estinguono
In assenza di predatori (q=0), P3 è attrattivo le prede crescono raggiungendo la capacità portante
Se prede e predatori coesistono
P2 è stabile
P1 e P3 sono instabili
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.52
4
6
8
10
12
14
16Soluzioni del problema di Lotka-Volterra
tempo
popo
lazi
oni
preda
predatore
Piano delle fasi Soluzioni corrispondenti a diversi valori iniziali
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203
4
5
6
7
8
9
10
11Prede e Predatori
Prede
Pre
dato
ri
P(0) = 6Q(0) = 10
Prede-Predatori - Modello Logistico
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Modello preda-predatore% Lotka-Volterra Logistico%% P'(t) = m* P(t)* (1-P(t)/K) - alpha * P(t)*Q(t) Prede% Q'(t) = - D Q(t) + Beta P(t)*Q(t) Predatori% P(0) = p0 Q(0) = q0%% m tasso di crescita della preda% alpha coefficiente di predazione della preda% D tasso di mortalità dei predatori% Beta coefficiente di predazione del predatore%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%clear all;global m alpha D Beta K
m=1;alpha=0.1;D=1;Beta=0.2;K=10;p0=6;q0=15;X0=[p0,q0]',options = odeset('OutputFcn',@odephas2);[t,X] = ode23s(@Volt,[0,10],X0,options);
figure(2)subplot(2,1,1),plot(t,X)title('Soluzioni del problema di Lotka-Volterra')xlabel('tempo'); ylabel('popolazioni')legend('preda','predatore')subplot(2,1,2),plot(X(:,1),X(:,2),'b',D/Beta,m/alpha,'o')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Sistema Lotka-Volterra Logistico%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%function F=Volt(t,z) global m alpha D Beta KF=[m*z(1)*(1-z(1)/K )- alpha*z(2)*z(1); -D*z(2) + Beta*z(1)*z(2)];return
La processionaria è un lepidottero che allo stato larvale si nutre delle foglie del pino causando anche ingenti defogliazioni; ma il problema forse più grave legato alla processionaria è rappresentato dai peli urticanti delle larve che possono creare problemi alle persone che frequentano i boschi di pino particolarmente infestati.
Prede e predatori nellaComunità montana dell’Oltrepò Pavese
Processionaria
Già a partire dagli anni 50 si è tentato di contenere la diffusione della processionaria del pino con sistemi di lotta biologica introducendo la formica rufa, un insetto predatore che si nutre anche delle larve di processionaria .
Esempio di applicazione del modello Lotka-Volterra (paradosso di Volterra)
Processionaria P Formica rufa F
PREDA PREDATORE
Parametri delle due popolazioni:
1000K
5m
10D
1.0
02.0
Capacità portante dell’insetto nocivo
Tasso di crescita della processionaria
Mortalità dell’insetto predatore (formica)
Tasso di predazione delle prede
Tasso di predazione dei predatori
PFK
PmP
dt
dP
1
PFDFdt
dF
processionaria
formica
PFP
Pdt
dP1.0
100015
PFFdt
dF02.010
Equazioni del modello
Equazionidi Lotka-Volterra (Logistico)
Si vuole determinare l’equilibrio stabile
Calcolo dello isocline:
01.01000
15
PF
PP
002.010 PFF
Isocline della preda
Isocline dei predatori
10001
1.0
5 PF
0P
02.0
10P
0F
Isocline della preda Isocline dei predatori
F
P
1P
25,
02.0
102P
2P
3P
0,01 P 0,10003 P
instabile instabilestabile
La situazione di equilibrio stabile corrisponde ad un elevato numerodi processionarie (500 prede) contro 25 formiche -predatori
Si supponga di intervenire con un insetticida letale tanto per le predequanto per i predatori.
1d 2d Mortalità indotta dall’insetticida
PdPFK
PmP
dt
dP11
FdPFDFdt
dF2
01 1
PdPF
K
PmP
02 FdPFDF
I nuovi punti di equilibrio saranno:
Isocline della preda
Isocline dei predatori
11
d
K
PmF
0P
2dDP
0F
Isocline della predain presenza di insetticida
Isocline del predatorein presenza di insetticida
Il nuovo punto di equilibrio stabile è:
2dD
P
250500 dP
11
d
K
PmF
21 5.21025 ddF
L’insetticida riduce i predatori e aumenta le prede nocive !
100 200 300 400 500 600 700 800 9000
5
10
15
20
25
30
35
40
45Piano delle fasi in assenza di insetticida
form
ica
processionaria
In assenza di insetticida le due popolazioni raggiungono l’equilibrio (500, 25)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Problema della processionaria e della Formica rufa in assenza di insetticida
tempo
dens
ità
processionariaformica
Dopo un iniziale incremento della preda, l’intervento del predatore portaad una diminuizione della preda che si assesta all’equilibrio (500)
380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 5800
5
10
15
20
25Piano delle fasi
processionaria
form
ica
Applicando l’insetticida il numero dei predatori diminuisce Nel lungo periodo si assiste ad un aumento della preda nociva
in presenza di insetticida
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
100
200
300
400
500
600
Problema della processionaria e della Formica rufa in presenza di insetticida
tempo
dens
ità
processionariaformica
Efficacia iniziale Valutazione errata sull’utilità dell’insetticida
Nel breve periodo l’insetticida sembra efficace e capace di eliminare rapidamente la preda infestante.
Il crollo parallelo del predatore permette alla popolazione preda di riprendersi, superando la densità iniziale.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Sistema % Lotka Volterrra Logistico
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function F=Proc(t,z) global m alpha D Beta K d1 d2F(1)=m*z(1)*(1-z(1)/K )- alpha*z(2)*z(1)-d1*z(1);F(2)=-D*z(2) + Beta*z(1)*z(2)-d2*z(2);F=F';return