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U.Gasparini, Fisica I 1
O
dm
r
v
(t)
z
x
Vettore velocità angolare :vettore tale che per un qualsiasi punto P del corpo individuato dal vettore posizione r rispetto a un polo O sull’asse di rotazione, la velocità di P è data da:
v r
-
- è diretto lungo l’asse di rotazione- il verso di è dato dalla “regola della mano destra”
d t
dt
( )
R
vds
dtRd
dtr r
sin
d
ds = Rd
asse di rotazione
Moto di rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso :
y
U.Gasparini, Fisica I 2
Dato un polo O sull’asse di rotazione z , la componente di LO lungo l’asse z :
L IO zz
“momento di inerzia”del corpo rispetto all’asse z :
I R dmz
Corpo
2
distanza dall’asse zdell’elemento dm
O
dm
r
v
z
R
dLO
Contributo(infinitesimo) di dm almomento angolare totale LO
dL r vdmO
dL rvdmR
RdmO sin
sin
sin)
2cos(
2
dmR
dLdL OOz
dmRdLOz2
Integrando su tutto il corpo:
dmRdmRdLL OzOz22
I z
zCorpo
Oz dmvrL
è data da:
Momento angolare per un moto di rotazione intorno ad un asse :
I Kg mz 2Dimensioni del momento d’inerzia:Il momento d’inerzia dipende dalla forma geometrica del corpo, dalla sua distribuzione di massa (densità) e dall’asse considerato;
non è una proprietà intrinseca del corpo
Esempio:
momento d’inerzia di un asta omogenea di lunghezza e massa M:
i) rispetto ad un asse perpendicolare passante per un suo estremo :
zx
R dm
I R dm x dxz
Corpo
2 2
0
3
3
IM
z 2
3densità lineare
ii) rispetto ad un asse perpendicolare passante per il suo centro di massa :
xR dm
I x dxz 22
242
0
2 3
/
IM
z 2
12
z
G
Momento di inerzia
/M
2/
i) Momento d’inerzia di un disco omogeneo di raggio R e massa M rispetto all’asse perpendicolare passante per il suo centro di massa :
z
R
G
dm dS rdr 2
rI r dm r rdrz
Corpo
R
G 2 2
0
2
densità superficiale: M R/ 2
IMR
zG
2
2
2
4
4R
ii) Momento d’inerzia di una sfera omogenea di raggio R e massa M :
dr
R
z
z
r z R z( ) 2 2 disco di massa dM(z), momento d’inerzia dI(z)
dM z dV r z dz( ) ( ) 2
I dI z R z dzG
sfera
R
( ) ( )21
22 2 2
0
R R
RR5 5
552
3 5
8
15I MRG
2
52
dz M R/
4
33
dI zr z dM z
( )( ) ( )
2
2
1
2
1
24 2 2 2 r z dz R z dz( ) ( )
Esempi di calcolo di momenti di inerzia
R R z z4 2 2 42
U.Gasparini, Fisica I 5
Teorema di Huygens-Steiner (o “degli assi paralleli”) : I I Mdz z CM
'2
momento d’inerzia rispettoall’asse z’// z e passante per il CM
massa totaledel corpo
distanza tra z e z’
d
z
y, y’
x x’
z’
G
RR’
dm
P = (x,y,z,) = (x’,y’,z’)
I R dm x y dm
x y d dm x y y d d dm
z
Corpo Corpo
Corpo Corpo
2 2 2
2 2 2 2 22
( )
[ ' ( ' ) ] [ ' ' ' ]
= R’2
R dm d y dm d dm I MdCorpo Corpo Corpo
z CM' ' '2 2 22
I z CM' y CM' 0 = M
x x
y y d
'
'
Teorema di Huygens-Steiner
U.Gasparini, Fisica I 6
G
z z’
dm
I I Md
MM
M
z z CM
'2
2 2 2
12 2 3
i )
ii) Momento d’inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto ad un asse ad esso perpendicolare passante per un punto P sul suo bordo :
z z’
P d = R G
I I Md
MRMR
MR
z zP CM
'2
22
2
2
3
2
IMR
zP
3
2
2
Si noti che:un disco che ruoti senza strisciare (“puro rotolamento”) compie una rotazione intorno all’asse istantaneo passante per il punto di contatto col piano di appoggio
P
vG
G
Esempi di applicazione del teorema di Steiner :
2/d
(cfr. slide n.3)
z
U.Gasparini, Fisica I 7
Il teorema del momento angolare ( “ 2a equazione cardinale” della dinamica):
dL
dtM v MvO
OE
O G
( )
momento totaledelle forze esternerispetto al polo O
velocità del polo O nel sistema di riferimento inerziale nel quale i Punti materiale hanno le velocità vche entrano nella definizione di LO :
L r vdmO
Corpo
massa totale del sistema
dL
dtMO
OE
( )
per un corpo rigido in rotazione intorno ad un asse fisso z ( vO= 0) :
può essere riformulato utilizzando il concetto di momento d’inerzia. Proiettando tale equazione lungo l’asse di rotazione:
)()( EOzz
zOz Mdt
dI
dt
Id
dt
dL
accelerazione angolare :
( )
( )t
d t
dt
zEOz IM )( ( in formale analogia con la
legge di Newton: F ma
z
O
Teorema del momento angolare per un corpo rigido
)
U.Gasparini, Fisica I 8
M IOE
zz
( )
è formalmente analoga alla 2a legge della dinamica per un punto materiale, con lesostituzini:
forza risultante F momento delle forze esterne M
accelerazione a accelerazione angolare massa m momento d’inerzia Iz rispetto all’asse di rotazione z
F
OPO
P
z
(t)
(t+dt)OP F
F
OPOP
MO
M
I
OP F
IO
z z
z
Esempio :porta in rotazioneintorno ai suoicardini
Equazione fondamentale della dinamica delle rotazioni:
L’equazione fondamentale della dinamica delle rotazioni:
MO =
forza agente sullamaniglia
( )
( )t
d t
dt
stessa forza
braccio minore
minoreaccelerazioneangolare
U.Gasparini, Fisica I 9
Applicazione del teorema del momento angolare: moto di un “pendolo composto”
yy
x
x
z z
piano di oscillazione(x,y) O
O
mg
G
MO
mg
OG
G M OG mgO
)(sin thmgMOz
h
Proiezione della 2a eq.cardinale lungo l’asse z : zE
Oz IM )(
reazione vincolare(non ha momento rispetto ad O )
mgh t Id t
dtzsin ( )( )
2
2
d t
dt
mgh
It
z
2
20
( )( )
Per piccole oscillazioni (sin ) :
Introducendo la“lunghezza ridotta” del pendolo composto:
I
mhz
d t
dt
gt
2
20
( )( )
2
Soluzione : moto armonico
( ) sin( )t t 0
“Pendolo composto”
U.Gasparini, Fisica I
y
z
O
mg
Gh
h’ z’
asse di rotazione
“asse di oscillazione” :asse parallelo all’asse dirotazione, passante per ilpunto O’ a distanza (lunghezza ridotta ) dal punto di sospensione O lungo la retta OG
I periodi di oscillazione intorno agli assi z e z’ (“assi reciproci”) sono uguali. Infatti:
Oz G GI
mh
I mh
mh
I
mhh
2
I mh mhG O 2
Oz G OI
mh
I mh
mh
mh mh mh
mh''
'
'
'
'
'
2 2 2
h h'
h hh h h
h
h h h
hh h
2 2 2' '
'
' ( ' )
'' O O'
'
'OO
gg
“Assi reciproci” di un pendolo composto:
piano di oscillazione(x,y)
O’
O O
“assi reciproci”
La lunghezza ridotta per leoscillazioni intorno ad O’ è:
U.Gasparini, Fisica I 11
O
OO’
O’m1
m1
m2 m2
Massemobili
punti di sospensione(fissi)
2
T
g
O '
' '
2
T
g
O
le masse m1 ed m2 vengono spostate finchè i periodi di
oscillazione intorno ad O e O’ sono gli stessi; in tale situazione
la distanza OO’, determinabile con elevata precisione (l/l 10-3 )è la lunghezza ridotta del pendolo composto
-6
si ottengono misure di g 2gg
10 6
“Pendolo reversibile” (o “ pendolo di Kater ”) :
O
di analoga precisione :
U.Gasparini, Fisica I
Per un copro rigido in rotazione con velocità angolare intorno ad un asse z :
dm
v
(t)
z
R
d
asse di rotazione
E v dm R dm R dmk
corpo corpo corpo
1
2
1
2
1
22 2 2 2( )
I zE v dm Ik
corpo
z 1
2
1
22 2
ds=Rd
vds
dtRd
dtR
Analogia formale con l’espressione dell’energia cinetica di un punto materiale:
E Ik z1
22E mvk
1
22
m
v
I z
Energia cinetica di un corpo rigido in rotazione
U.Gasparini, Fisica I 13
E Mv v dmk G
corpo
1
2
1
22 2
'
Il moto generico di un corpo rigido è, in un dato istante, riconducibile ad un moto roto-traslatorio, sovrapposizione di un moto di traslazione del centro di massa con velocità vG e di un moto di rotazione con velocità angolare intorno ad un asse istantaneo di rotazione passante per il centro di massa:
v G
In generale, sia il modulo che la direzione di variano istante per istante.
G
E Mv Ik G G 1
2
1
22 2
momento d’inerzia rispetto all’asseistantaneo di rotazione passante per G
Teorema di Koenig per l’energia cinetica di un corpo rigido
Teorema di Koenig per l’energia cinetica di un corpo rigido:
U.Gasparini, Fisica I 14
Il teorema di Koenig per un corpo rigido puo’ essere ricavato dal teorema di Huygens-Steiner :
z z’
dG
vG = d
corpo in rotazione intorno all’asse z
E I I Md I M dk z z z 1
2
1
2
1
2
1
22 2 2 2 2 ( ) ( )' '
vG
E I Mvk z G 1
2
1
22 2
'
Energia cinetica di un copro rigido
vG
t. di Huygens-Steiner
U.Gasparini, Fisica I 15
E E E Wk kf
ki
i fE
( )
lavoro delle soleforze esternePer un corpo rigido,il lavoro infinitesimo dW(I) delle forze interne è nullo:
dW F dr F dr
F dr F dr F dr
IjI
jj jkk jj j( ) ( )
... ....
12 1 13 1 21 2
F dr dr F dr dr
F d r r F d r r F drjk jkk j
j
12 1 2 13 1 3
12 1 2 13 1 3 0
( ) ( ) ....
( ) ( ) ....
0poichè in un corpo rigido le distanze relative rjk rimangono invariate
dm j
dmk
rjk
Teorema dell’energia cinetica per un corpo rigido: