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Onde 27 dicembre 2012
Principio di HuygensRiflessione e rifrazione, dispersioneIntensita` delle onde riflesse e rifratteBirifrangenza, dicroismoLegge di Malus
Propagazione delle onde• La descrizione del moto delle onde deve render conto
dei fenomeni di propagazione sperimentalmente noti– Riflessione– Rifrazione– Interferenza– Diffrazione
• Il principio di Hyugens-Fresnel permette di spiegare tali fenomeni
• Li dimostreremo nel caso della luce, ma le considerazioni si possono estendere agli altri fenomeni ondulatori
2
t
t+dt
• I punti che stanno su un fronte d’onda ad un istante t sono sorgenti di onde sferiche elementari il cui inviluppo definisce il fronte d’onda all’istante t+dt
Principio di Huygens (PdH)
2
cos1 AAfA
• NOTA: Le onde elementari hanno ampiezza massima nella direzione di propagazione dell'onda primaria e decrescente all’aumentare dell’angolo a tra tale direzione e quella generica dell’onda elementare
• Nelle trattazioni piu` accurate si introduce quindi il fattore di obliquità f per l’ampiezza
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Riflessione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi
• Definiamo come piano d’incidenza il piano individuato dalla direzione dell’onda (cioe` dei raggi) e dalla normale n alla superficie di separazione tra i due mezzi
• L’onda incidente che si propaga nel mezzo 1 (trasparente) genera un’onda riflessa che si propaga sempre nel mezzo 1
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• La legge della riflessione stabilisce che anche il raggio riflesso giace sul piano d’incidenza e che l’angolo di incidenza i e quello di riflessione r sono uguali
i r
1
2
ir
n
OO’’ O’
1
S’’
S’
2
Riflessione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi
• Consideriamo un fronte d’onda O’’S’’ al tempo t0. Dopo un periodo T, esso si sarà spostato in O’S’ e così via
• I fronti dell’onda incidente distano 1=v1T ove v1 è la velocità di propagazione dell’onda luminosa nel mezzo 1
• Ciascun punto sulla superficie di separazione (in particolare O, O’, O’’) emette onde sferiche elementari
• L’onda che viene emessa da O al tempo t0+2T è in fase con l’onda emessa da O’ al tempo t0+T e con quella emessa da O’’ al tempo t0
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Riflessione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi
• L’inviluppo di queste onde sferiche è un fronte dell’onda piana riflessa
• I fronti dell’onda riflessa distano anch’essi =v1T
• Quindi O’R’=OS’= da cui segue l’uguaglianza degli angoli
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OO’’ O’
1
2
ir
R’’R’
S’’S’
ir
6
Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi
• Se anche il mezzo 2 e` trasparente viene generata anche un’onda rifratta (o trasmessa) nel mezzo 2
• La legge della rifrazione (o di Snell) stabilisce che anche il raggio trasmesso giace sul piano d’incidenza e che tra l’angolo di incidenza i e quello di trasmissione t vale la relazione
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• ove, per ciascun mezzo, n e` una costante caratteristica di valore maggiore di 1, detta indice di rifrazione
• L’angolo t e` minore di i se n2 > n1
intn sinsin 12
iin
nt sinsinsin
2
1
Caso n2 > n1
t
1
2
n
i
Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi
• t e` invece maggiore di i se n1 > n2 :
• In tal caso, affinche’ il primo membro sia minore di 1, deve accadere che
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• Ovvero• Cio` significa che si puo` avere un’onda
trasmessa nel mezzo con indice di rifrazione minore solo se l’angolo i e` minore di un angolo limite (o uguale, in tal caso t = /2)
• Se i supera tale valore non c’e` onda trasmessa e si ha riflessione totale
1sin2
1 in
n
iin
nt sinsinsin
2
1
1
2sinn
ni
i arcsin n2 n1 2
1
n
Caso n1 > n2
Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi
• Applichiamo il PdH al mezzo 2• I fronti dell’onda trasmessa distano 2=v2T ove v2 è la velocità di
propagazione dell’onda nel mezzo 2• Valgono le relazioni• Dividendo membro a membro e ricordando la distanza tra i
fronti d’onda
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OO’’ O’1
S’’
S’
2
it
R’’R’
O'R'O'Osin t
OS'O'Osin i
i
t
sin
sin
1
2
9
Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi
• Esprimendo la lunghezza d’onda in termini di velocità
• Il rapporto a primo membro non dipende dagli angoli, ma solo dalla natura dei due mezzi, quindi
• Cioè la teoria ondulatoria della luce prevede che la velocità sia minore nel mezzo relativo al minore dei due angoli i, t cioè nel mezzo con indice di rifrazione maggiore
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v2v1
sin t
sini
v2v1
sin t
sini
n1n2
const.
10
Rifrazione
• Nel caso in cui il mezzo 1 sia il vuoto, l’indice di rifrazione vale 1 e la velocità vale c
• quindi da cui
• Anche nel caso in cui il mezzo sia aria (o un gas) l’indice di rifrazione vale circa 1
• Introducendo l’indice di rifrazione relativo tra due mezzi, la legge di Snell si può anche scrivere
n2n1sin t n sin t sin i
c
v
n
1
v c
n c
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Dispersione• Sperimentalmente si constata che, a parità di angolo i,
l’angolo t dipende dalla frequenza (o equivalentemente dalla lunghezza d’onda) della luce
• Ciò equivale ad affermare che l’indice di rifrazione dipende dalla frequenza dell’onda
• Questo è il ben noto esperimento della scomposizione della luce bianca con un prisma: le diverse componenti colorate della luce bianca vengono deviate ad angoli diversi, cioè vengono ‘disperse’
• Questo fenomeno non è limitato alla luce, ma è comune a tutte le onde
in
t sin1
sin
12
Dipendenza di n da • Normalmente per la luce visibile, n
e` una funzione decrescente di • Ne segue che l’angolo di
trasmissione t aumenta con e quindi per il rosso e` maggiore che per il viola
• Ovvero il raggio rosso e` deviato meno di quello viola rispetto al raggio incidente
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VR tt
Ampiezza delle onde riflesse e rifratte
• Usando le eqq. di Maxwell si possono trovare le relazioni tra le ampiezze delle onde incidente, riflessa e trasmessa
• Tali relazioni sono diverse nel caso in cui l’onda sia polarizzata nel piano di incidenza o nel piano perpendicolare
i r
t
Ei Er
Et
E
E
i r
t
Ei Er
Et
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Ampiezza delle onde riflesse
• Il rapporto tra l’ampiezza del campo elettrico riflesso e quello incidente è, nei due casi
i r
t
Ei Er
Et
E
E
i r
t
Ei Er
Et
titg
titg
E
E
i
r
E r
E i
sin i t sin i t
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Intensità delle onde riflesse e rifratte
• Il rapporto delle intensità è dato dai coefficenti di riflessione di Fresnel
• Nel caso in cui il mezzo non sia assorbente, l’energia si distribuisce tra l’onda riflessa e quella trasmessa, per cui i coefficienti di trasmissione sono
R Ir
Ii
E r
E i
2
tg2 i t tg2 i t
R Ir
Ii
E r
E i
2
sin2 i t sin2 i t
T 1 R
T 1 R
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Angolo di Brewsterpolarizzazione per riflessione
• È un caso limite che si presenta quando il campo è polarizzato nel piano di incidenza e gli angoli soddisfano la condizione i+t=/2 che comporta la divergenza del denominatore di R e l’annullamento dell’onda riflessa
• L’angolo i=B corrispondente è detto angolo di Brewster
• Se l’onda incidente non è polarizzata, essa può comunque essere pensata come sovrapposizione di due onde, una con polarizzazione nel piano d’incidenza e l’altra in un piano perpendicolare
• All’angolo di Brewster la prima componente è solo trasmessa e l’altra è sia riflessa che trasmessa, ciò significa che l’onda riflessa è polarizzata perpendicolarmente al piano d’incidenza
n sini
sin tsinB
sin t
sinB
sin /2 B tgB
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Riflessione di luce non polarizzata• Per luce non polarizzata a ciascuna polarizzazione e`
associata meta` della potenza dell’onda• Per il fascio riflesso abbiamo
• Ove R e` il coefficiente di riflessione per luce non polarizzata
PRRR
PPRPRPPP rrr
22
1
2
1
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Incidenza normale• Cioè i=0, in tal caso r=t=0 e i rapporti delle ampiezze di
riflessione diventano (*)
• e i coefficienti di riflessione
• (*) per dimostrarlo
1
1
1
1
n
n
ini
ini
ti
tir 1
1
n
n
ti
tir
R R n 1n 1
2
1
1
sin/1sin
sin/1sin
sinsin
sinsin
sinsin
sinsin
sinsin
sinsin
lim
limlimlim
0
000
n
n
ini
ini
ti
ti
tt
ti
ii
tt
ti
ii
ti
ti
titg
ti
ti
ti
ti
titg
titg
titgr
i
iii
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Coefficienti di Fresnel• In figura sono riportati i coefficienti in funzione dell’angolo di incidenza per I due casi
n1<n2 e n1>n2
• Figura tratta da http://it.wikipedia.org/wiki/Leggi_di_Fresnel
Polarizzazione • Per un campo trasversale f, i gradi di libertà
trasversali sono due e corrispondono alle componenti fy , fz
• Supponiamo che abbia la forma
• Nel piano trasversale il vettore f oscilla di moto armonico lungo un segmento la cui proiezione lungo y va da -fy0 a fy0 e lungo z da -fz0 a fz0
• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano in fase, è detta polarizzata linearmente
ktkxfjtkxftxf zyˆsinˆsin),( 00
y
z
f
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Polarizzazione • Supponiamo che il campo f abbia forma
• Nel piano trasversale il vettore f descrive un cerchio di raggio f0
• Un’onda siffatta le cui componenti oscillano sfasate di /2, è detta polarizzata circolarmente
ktkxfjtkxftxf ˆcosˆsin),( 00
y
z
f
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Birifrangenza • Esistono sostanze, come la calcite e il quarzo, che sono
otticamente anisotrope, cioè si comportano in modo diverso a seconda della direzione in cui si propaga la luce
• Se un raggio di luce incide su una sostanza birifrangente, esso può separarsi in due raggi, il raggio ordinario e quello straordinario
• I due raggi, polarizzati linearmente in direzioni mutuamente perpendicolari, si propagano a velocità diverse e possono anche propagarsi in direzioni diverse, a seconda dell’orientamento relativo tra il materiale e l’onda incidente
2323
Birifrangenza • Si possono introdurre due indici di rifrazione, uno per
ciascun raggio: no e ns, tenendo conto che l’indice di rifrazione del raggio straordinario dipende dall’angolo tra un asse caratteristico del cristallo e il campo E
• Nota:• Per l’onda straordinaria bisogna estendere il principio di Huygens,
ammettendo che le onde elementari non siano più sferiche ma ellissoidali
• L’inviluppo di queste onde fornisce ancora il fronte d’onda e la direzione di propagazione, che però non è più perpendicolare al fronte d’onda
• La legge di Snell, in entrambe le sue parti, non è applicabile al raggio straordinario
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Birifrangenza • In un cristallo birifrangente esiste una direzione particolare in cui i
due raggi si propagano alla stessa velocità; questa direzione è detta asse ottico della sostanza
• Se la luce incide parallelamente all’asse ottico, non accade nulla di insolito
• Se la luce incide con un certo angolo rispetto all’asse ottico, ma perpendicolarmente alla faccia del cristallo, i raggi si propagano in direzioni diverse
• Se si ruota il cristallo attorno alla direzione dell’onda, il raggio straordinario ruota nello spazio
25asse ottico
raggio ordinario
raggio straordinario
25
Birifrangenza • Se la luce incide perpendicolarmente alla faccia del cristallo e
all’asse ottico, i due raggi si propagano nella stessa direzione ma a velocità diversa
• Per conseguenza escono dal cristallo con una differenza di fase che dipende dallo spessore della lamina e dalla lunghezza d’onda della luce incidente
• In una lamina a quarto d’onda, lo spessore è tale che, all’uscita dal cristallo, lo sfasamento tra le onde (della particolare ) è /2
• Una lamina a quarto d’onda permette di creare un fascio polarizzato circolarmente partendo da uno polarizzato linearmente
26asse ottico
raggio ordinario
raggio straordinario
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Assorbimento selettivo• E` il fenomeno per cui in alcune
sostanze (tormalina, erapatite) l’assorbimento della luce dipende dalla sua polarizzazione
• Le molecole che formano tali sostanze sono allungate e permettono agli elettroni di muoversi preferenzialmente in tale direzione, assorbendo l’onda incidente polarizzata parallelamente
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• La componente perpendicolare non e` invece assorbita (gli elettroni non possono muoversi in questa direzione)
• Ne segue che se il materiale e` abbastanza spesso la componente parallela all’asse ottico viene eliminata e rimane solo quella perpendicolare
• Rimane cosi’ definito un asse preferenziale del materiale, ortogonale all’asse ottico, detto asse di trasmissione
asse ottico
||E
E
onda incidente
asse di trasmissione
Polarizzazione• Un polarizzatore a birifrangenza separa le due
componenti di polarizzazione, mentre uno ad assorbimento ne elimina una delle due
• In entrambi i casi è possibile selezionare una delle due polarizzazioni e poi studiarla con un secondo polarizzatore, detto analizzatore
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Legge di Malus• Consideriamo un’onda di intensità I0,
incidente su un polarizzatore• Supponiamo che sia polarizzata
linearmente col campo E in un piano parallelo al polarizzatore, ma inclinato di un’angolo rispetto al suo asse
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E
• Possiamo immaginare l’onda incidente come composta da un’onda polarizzata lungo l’asse con ampiezza Ecos e un’onda polarizzata in direzione perpendicolare con ampiezza Esin
• La componente parallela passa indisturbata, mentre quella perpendicolare viene assorbita
• L’intensità dell’onda che passa il polarizzatore è quindi ovvero
E cos
I E 2 cos2
I I0 cos2
analizzatore
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Legge di Malus• Se l’onda incidente non è polarizzata, oltre il polarizzatore avremo
– un’onda polarizzata parallelamente all’asse del polarizzatore– con intensità uguale a metà di quella incidente
• Infatti in ogni istante vale la relazione e poichè varia casualmente nel tempo, il valore medio dell’intensità è proporzionale al valore medio
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I 1
2I0
I I0 cos2
polarizzatore
2
1
2
1coscoscoscos
2
0
22
0
2
0
22
*
ddgdttftt