Parte di piano

delimitata da una

linea chiusa non

intrecciata.

FIGURA CONVESSA:

se, fissati due

qualsiasi punti

distinti della figura,

il segmento che li

congiunge appartiene

tutto alla figura.

FIGURA CONCAVA:

se esistono almeno

due punti distinti

tali che il

segmento che li

congiunge non

appartiene tutto

alla figura.

È una linea formata da segmenti a due a due

consecutivi. Una poligonale (come qualsiasi

linea) può essere aperta, chiusa, intrecciata

e non intrecciata.

È una parte di piano

delimitato da una

poligonale chiusa non

intrecciata. Le

caratteristiche del

poligono sono: il lati

(n), gli angoli (interno o

esterni), i vertici e le

diagonali.

Se dato ogni lato, la retta

prolungamento del lato

non contiene punti interni

al poligono.

Se esiste una retta

prolungamento di un

lato che contiene

punti interni al

poligono.

I poligoni si classificano in base al numero di

lati, «n».

n= 3 Triangolo

n= 4 Quadrilatero

n= 5 Pentagono

n= 6 Esagono

n= 7 Ettagono

n= 8 Ottagono

n= 9 Ennagono

n= 10 Decagono

Si possono classificare in base ai lati:

Equilatero (Tutti i lati congruenti)

Isoscele (Due lati congruenti)

Scaleno (Tutti i lati disuguali)

Si classificano anche in base agli angoli:

Acutangolo (Tre angoli acuti <90’)

Ottusangolo (Un angolo ottuso >90’)

Rettangolo (Un angolo retto =90’)

La somma degli angoli

interni di un triangolo è

sempre congruente ad un

angolo piatto (180’)

A+B+C = 180’

• In ogni triangolo la lunghezza di un lato è

sempre minore della somma degli altri due lati

e maggiore della loro differenza.

• Se in un triangolo due angoli sono disuguali

all’angolo maggiore si oppone il lato maggiore.

In generale, in un poligono di n lati si ha che:

a) La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati è

congruente a n-2 angoli piatti, cioè misura (n-2)*180°

b) La somma degli angoli esterni di un poligono è congruente a un

angolo giro cioè misura 360°

Esempio

(n-2)*180°=

=(3-2)*180°=

=1*180°= 180°

CRITERI DI CONGRUENZA

Due triangoli sono congruenti se hanno:

Ordinatamente congruenti, due lati è l’angolo compreso

Ordinatamente congruenti, un lato e due angoli

Ordinatamente congruenti, i tre lati

TRAPEZIO: è un quadrilatero con due lati paralleli. I lati

paralleli si chiamano basi (maggiore e minore); gli altri due

lati si chiamano lati obliqui. In ogni trapezio le altezze sono

sempre congruenti

TRAPEZI PARTICOLARI

ISOSCELE RETTANGOLO SCALENO

Se i lati obliqui sono tra loro congruenti

Se ha un angolo retto

Se ha tutti i lati e gli angoli disuguali

TEOREMA

• In un trapezio gli angoli adiacenti ad ogni

lato obliquo sono supplementari

TEOREMA INVERSO

• Se in un quadrilatero, gli angoli

adiacenti ad un lato sono supplementari,

allora il quadrilatero è un trapezio

In un trapezio, se un angolo è retto, allora ci

deve essere necessariamente un altro angolo

retto.

Infatti se un angolo è di 90’ gradi, anche l’altro angolo

adiacente al lato deve essere di 90’ gradi.

In un parallelogramma:

Ogni diagonale divide il parallelogramma in 2

triangoli congruenti.

I lati opposti sono congruenti.

Gli angoli opposti sono congruenti.

Le diagonali si intersecano nel loro punto

medio.

Il teorema fondamentale

Se in un quadrilatero è soddisfatta una delle

5 precedenti proprietà, allora il quadrilatero

è un parallelogramma.

Teorema inverso

PARALLELOGRAMMI

PARTICOLARI

Il rombo è un

quadrilatero con i lati

congruenti

Teorema del rombo

• Le diagonali sono

perpendicolari

• Le diagonali sono bisettrici

dell’angolo

Teorema inverso

• 2 lati consecutivi sono congruenti

• Le diagonali sono perpendicolari

• La diagonale è bisettrice di un

angolo

Allora il parallelogramma è un ROMBO

È un quadrilatero

con gli angoli

congruenti

Teorema del rettangolo

• In un rettangolo le diagonali sono

congruenti

Teorema inverso

• Se in un parallelogramma le diagonali sono

congruenti tra loro, allora esso è un

RETTANGOLO

È un quadrilatero

che ha sia angoli, sia

lati congruenti

Osservazione Il quadrato è sia un rombo

che un rettangolo quindi il

quadrato gode sia delle

proprietà del rombo, sia del

rettangolo

Teorema del quadrato

• Le diagonali sono

perpendicolari

• Le diagonali sono bisettrici

degli angoli

• Le diagonali sono congruenti

Teorema inverso

• Le diagonali sono congruenti e

perpendicolari

• Le diagonali sono congruenti e una sola è

bisettrice di un angolo

Il parallelogramma sarà un QUADRATO

QUADRATO RETTANGOLO ROMBO

PARALLELOGRAMMA

TRAPEZIO

Angoli

congruenti Lati e angoli

congruenti

Lati

congruenti

CIRCONFERENZA E CERCHIO

O

La corda è ogni

segmento avente per

estremi due punti della

circonferenza

È ogni corda passante

per il centro

o

B

A

B

A

o

IL CERCHIO

O

È la parte di piano

delimitata da una

circonferenza

Osservazione Ogni punto sulla circonferenza

ha distanza dal centro uguale

ad r, mentre ogni punto interno

del cerchio

Teorema Dati tre punti non allineati, esiste

una e una sola circonferenza

passante per i tre punti

A

B

o

Un arco di circonferenza è la

parte di circonferenza

compresa fra due suoi punti

Osservazione

Se una corda e un arco

hanno gli stessi estremi,

diciamo che la corda

sottende l’arco, oppure che

l’arco è sotteso dalla corda

È la parte di cerchio

compresa fra un arco e i

due raggi che congiungono

il centro con gli estremi

dell’arco

B

A

o

È l’arco che congiunge i

due punti estremi di un

diametro

A B o

È la parte di cerchio

compresa tra la

semicirconferenza e

il diametro

A B

o

È un angolo che ha il

vertice nel centro della

circonferenza (può

essere concavo o

convesso) A B

A B

È un angolo convesso che ha il

vertice su una circonferenza e i

lati entrambi secanti alla

circonferenza, oppure uno

secante e l’altro tangente

Osservazione Ogni angolo al centro insiste

su un arco (arco sotteso

dall’angolo).

Ogni arco alla circonferenza

insiste su un arco (arco

sotteso dall’angolo)

Teorema Se un angolo alla circonferenza

α è un angolo al centro β insistono sullo stesso arco,

allora l’angolo al centro è

congruente al doppio

dell’angolo alla circonferenza :

β=2 α

α

β

Teorema sul cerchio e circonferenza In una circonferenza:

Il diametro è maggiore di qualsiasi corda

che non passa per il centro

Se un diametro e una corda sono

perpendicolari, il diametro divide a metà la

corda, l’angolo al centro e l’arco che le

corrispondono

Due angoli alla circonferenza che insistono

sullo stesso arco sono tra loro congruenti

Ogni angolo alla circonferenza che insiste

su una semicirconferenza è retto

o

90°

Teorema

Data una retta tangente alla circonferenza, il raggio che

congiunge il centro della circonferenza con il punto di

contatto è perpendicolare alla retta

90°