Post on 06-Feb-2018
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Università degli Studi della Basilicata
Facoltà di Ingegneria Ingegneria Meccanica
Piani sperimentali
Complementi di probabilità e statistica
Docente Studente Di Nardo Elvira Cataldo Debora
Matr. 22604
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1. Introduzione
Quando si è interessati a testare una ipotesi statistica, è possibile effettuare degli
esperimenti che ci diano dei dati che manipolati offrano una risposta al nostro
problema, ovvero che ci dicano se l’ipotesi fatta possa essere o meno accettata.
Rilevante, quindi, risulta essere il problema inerente la sperimentazione stessa e
l’estrapolazione dei dati che deve essere tale da poter far ritenere attendibili le
misurazioni effettuate e le conseguenze da esse ricavate.
Per tale motivo è sorto un settore della statistica denominato Piani sperimentali o
Disegni sperimentali che studia proprio le metodologie di registrazione dei risultati
degli esperimenti.
Nel testare una ipotesi si è spesso in presenza di un fattore che può assumere vari
livelli (=valori) tra cui bisogna scegliere il ‘migliore’ in relazione alle caratteristiche
del nostro problema.
Per effettuare ciò, vengono scelte tra l’intera popolazione, attraverso determinati
algoritmi definiti piani di campionamento, n opportune unità sperimentali che
vengono sottoposte ai vari trattamenti di prova (=ai vari livelli assegnati al fattore nel
corso dell’esperimento). Vengono così osservati gli effetti del fattore, ovvero i
cambiamenti indotti nella sperimentazione da una variazione di livello del fattore, e
registrati i dati che saranno successivamente interpretarti mediante opportune
tecniche statistiche quali l’ ANOVA.
In generale è possibile dover studiare più fattori contemporaneamente ognuno con
diversi livelli e in tal caso il trattamento di prova per ogni unità sarà costituito dalla
combinazione dei vari trattamenti di prova ottenuti considerando un fattore per volta.
Sempre in questo ultimo caso vi è da sottolineare che diviene importante
comprendere, non solo gli effetti dei singoli fattori, ma anche le eventuali interazioni
e dipendenze tra i vari fattori.
Possiamo riportare un esempio che illustri meglio quanto fin qui detto: ipotizziamo di
voler testare l’ipotesi per cui lo stile di guida di una autovettura influenzi
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l’inquinamento atmosferico prodotto dalla vettura stessa, e che si sia scelto di
effettuare le sperimentazioni tutti su una unica vettura che sarà guidata da diversi
piloti.
In tale esempio possiamo individuare due fattori: lo stile di guida e l’ inquinamento
atmosferico i cui rispettivi livelli sono determinati dallo stile di guida di ogni pilota e
dalle prestazioni dell’auto. L’unità sperimentale è la macchina scelta e il trattamento
è quello di utilizzare diversi piloti che hanno, quindi, una tecnica di guida diversa.
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2. Il quadrato latino
Se ipotizzassimo, per l’esempio precedente, un piano di campionamento così
definito: ogni giorno per 5 giorni vengono provati tutti e 5 i piloti su una stessa
autovettura in ordine casuale; allora avremmo un piano definito quadrato latino.
Quindi, se 1 2 3 4 5 sono le prove per ogni giorno, Lu Ma Me Gi Ve sono i giorni di
prova e A B C D E i piloti; un possibile quadrato latino è il seguente:
Lu Ma Me Gi Ve
1 A D E B C
2 E B C D A
3 C A D E B
4 B E A C D
5 D C B A E
Fig. 2.1
Ovviamente, affinché i risultati siano il più attendibile possibile, è necessario un
algoritmo per la generazione di elementi casuali che ci fornisca le combinazioni di
piloti per ogni giorno.
Infine possiamo considerare un altro esempio:
ipotizziamo di voler testare l’effetto di cinque modelli di un propulsore a razzo usato
nel sistema di scarico dell’aria sulla velocità di combustione. I possibili modelli del
razzo sono 5 e corrispondono a diversi insiemi di materie prime. Inoltre, tali modelli
sono preparati da diversi operatori con una sostanziale differenza dovuta alla diversa
esperienza. Esistono, cioè, due fattori che devono essere controllati durante
l’esperimento: l’insieme delle materie prime e gli operatori. Per fare questo un
corretto piano di campionamento risulta essere quello di testare tutti i modelli per
5
ogni insieme di materie prime e per ogni operatore che preparare tutti quelli possibili.
Avremo, cioè, un quadrato latino di questo tipo:
OPERATORE
Fig. 2.2
In cui le varie lettere dell’alfabeto A -E indicano i diversi modelli.
Possiamo notare che il piano ha una disposizione a quadrato ed usa le lettere
dell’alfabeto latino A -E ed è per questo ha assunto il nome di quadrato latino.
Questo piano di campionamento, dunque, è usato per controllare due possibili cause
di disturbo per la variabilità di un esperimento, possiamo dire che le righe e le
colonne rappresentano due restrizioni sulla randomizzazione dell’esperimento.
In generale, possiamo avere un quadrato latino con p fattori e quindi un quadrato con
p colonne e altrettante righe. Ognuna delle p2 celle contiene una delle p lettere
dell’alfabeto che corrisponde al trattamento e ogni lettera è presente una sola volta in
ogni riga e in ogni colonna.
Un quadrato latino nel quale la prima riga e la prima colonna contengono le lettere
scritte in ordine alfabetico è chiamato quadrato latino standard.
1 2 3 4 5
1 A=24 B=20 C=19 D=24 E=24
2 B=17 C=24 D=30 E=27 A=36
3 C=18 D=38 E=26 A=27 B=21
4 D=26 E=31 A=26 B=23 C=22
5 E=22 A=30 B=20 C=29 D=31
MATERIE PRIME
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3. Piani fattoriali
3.1 Introduzione ai piani fattoriali
Dalla trattazione fin qui fatta si può evincere come fondamentale risulti essere la
scelta dei livelli del fattore che vogliamo esaminare. Tale passo è precedente alla
scelta del piano di campionamento e, soprattutto, dipende fortemente dalla natura del
fenomeno in interesse, dalla natura del fattore e da scelte arbitrarie di chi gestisce la
sperimentazione stessa.
In particolare, la scelta dei livelli del fattore può avvenire in due modi:
1. i livelli sono già specificati dallo sperimentatore. In questo caso è possibile
effettuare un test sulle medie utilizzando un modello ad effetti fissi in quanto
gli effetti del trattamento sono ritenuti costanti. Ma lo svantaggio di tale
metodo è che le conclusioni ottenute non possono essere estese a trattamenti o
livelli che non sono stati considerati nell’analisi effettuata.
2. i livelli sono scelti tra una popolazione più larga. In tal caso si utilizza un
modello ad effetti casuali in cui gli effetti dei trattamenti sono considerate
variabili aleatorie indipendenti. In tal caso si effettua un test sulla variabilità tra
i livelli il cui limite è il fatto che la conoscenza di quelli sotto indagine non è
estremamente importante.
Se siamo in presenza di un solo fattore con k livelli è sufficiente analizzare n*k=N
unità sperimentali. Tali unità saranno sottoposte ad un piano che può essere:
a. completamente casualizzato, ovvero ogni unità sperimentale è sottoposta ad
uno solo dei vari trattamenti.
b. casualizzato a blocchi, in cui le varie unità sperimentali sono sottoposte a tutti i
livelli dei fattori.
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Naturalmente a seconda dei due casi e dei livelli del fattore, i dati verranno
interpretati con tecniche statistiche diverse, in particolare possiamo considerare il
seguente schema:
Fig.3.1.1 Il problema insorge se aumentiamo il numero dei fattori ed in questo caso non
possiamo più lavorare così semplicemente ma sono necessarie ulteriori
considerazioni.
In tale evenienza possiamo pensare di agire in due modi differenti: possiamo
cambiare i vari fattori uno per volta, e in tal caso avremmo un approccio classico al
problema, oppure potremmo fare un test sperimentale su ogni trattamento ovvero su
ogni combinazioni di livelli, e in tal caso avremmo quello che si definisce un
approccio statistico.
Per capire meglio la filosofia alla base dell’approccio classico, ipotizziamo che un
ingegnere chimico voglia, in un determinato processo chimico, valutare gli effetti del
tempo e della temperatura di reazione, e ipotizziamo che da ricerche teoriche abbia
precedentemente stabilito che risultano essere significativi due livelli per il tempo (1
ora e 1,5 ore) e due per la temperatura ( 120 F e 150 F).
Seguendo l’approccio classico al problema si può pensare di fissare inizialmente la
temperatura a 120 F e misurare l’effetto dopo un ora e dopo un’ora e mezza e
successivamente portare la temperatura a 150 F, si ha in tal caso uno schema del tipo:
Fig. 3.1.2
Livelli A Blocchi Su Unità
2 T-student Anova ad un fattore
>2 Anova ad un fattore
A blocchi
Anova ad un fattore
120 F 150 F
1 h x(1) x(3)
1.5 h x(2) x(4)
8
In cui le x(i) rappresentano le osservazioni effettuate in quel preciso ordine.
Per comprendere meglio, invece, le differenze tra i due approcci consideriamo il caso
in cui si voglia determinare gli effetti di due fattori A e B su una prestazione x, e
ipotizziamo di voler ottenere stime basate su quattro osservazioni sperimentali.
Utilizzando un approccio classico, potrei pensare di far partire gli esperimenti con
una combinazione dei livelli del fattore A1 e B1 per poi cambiare il livello di A
portandolo ad A2, successivamente si potrebbe cambiare anche il fattore B per
portarlo a B2 e valutare tutti i vari effetti; avremmo una situazione del tipo:
Fig. 3.1.3
Con k=1,2,3,4 le xijk sono le quattro osservazioni per ogni combinazioni di livelli e le
frecce indicano il verso dei cambiamenti dei fattori avvenuti, rigorosamente, uno per
volta.
Da notare che in tutto avremmo bisogno di 12 osservazioni.
L’effetto del fattore A è dato da:
Similmente, per il fattore B:
B1 B2
A1 x11k
A2 x21k x22k
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In un approccio statistico, invece, si deve prevedere la sperimentazione per ogni
coppia di livelli. In questo caso sono sufficienti solo due osservazioni per coppia, per
un totale di 8 osservazioni, per ottenere la media su quattro unità sperimentali.
Si avrà, dunque, una situazione di questo tipo:
fig. 3.1.4
Anche in questo caso possiamo calcolarci l’effetto dei due fattori:
Ma si può calcolare anche l’effetto dell’interazione tra i due fattori:
Nel caso in cui siano presenti non più due, ma tre fattori A, B, C, ognuno dei quali
con due livelli: A1, A2; B1, B2; C1, C2. si può agire considerando separatamente i
B1 B2
A1 x11k x12k
A2 x21k x22k
10
due livelli del fattore C, in modo tale da ricondursi a due casi come quello dell’
esempio precedente:
Fig.3.1.5
L’effetto del fattore A, in questo caso, sarà dato da: effetto A= x11+ x12+ y11 +y12 _ x21+ x22+ y21 +y22 4 4 E per B: effetto B= x11+ x21+ y11 +y21 _ x12+ x22+ y12 +y22 4 4 Invece l’interazione sarà data da: effetto AB= x11+ x22+ y11 +y22 _ x12+ x21+ y12 +y21 4 4
Da notare il fatto che anche in questo ultimo esempio è stata mantenuta l’idea che gli
effetti dei fattori debbano essere calcolati utilizzando 4 unità.
Consideriamo degli esempi numerici:
Fig. 3.1.6
C1 B1 B2
A1 x11 x12
A2 x21 x22
C2 B1 B2
A1 y11 y12
A2 y21 y22
Alto Basso
Alto 10 20
Basso 30 40
Fattore B
Fattore A
11
effetto A= 30+40 _ 10+20 = 20
2 2 effetto B= 20+40 _ 10+30 = 10
2 2 effetto AB= 20+30 _ 10+40 = 0
2 2
Ovvero l’effetto di A non dipende dal livello scelto di B.
Possiamo graficare tale situazione in questo modo:
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
B basso B alto
A alto
A basso
Fig.3.1.7
Le due rette corrispondenti ai valori di A alto e A basso sono tra loro parallele e
questo si verifica ogni qualvolta siamo in presenza di fattori la cui interazione è nulla.
12
Se variassimo uno solo dei dati dell’ esperimento come segue
Fig.3.1.8
La situazione varierebbe molto, infatti:
effetto A= 30+ 0 _ 10+20 = 0
2 2 effetto B= 20+ 0 _ 10+30 = -10
2 2 effetto AB= 20+30 _ 10+0 = 20
2 2
Vi è interazione tra i fattori A e B. Per capire il significato di questa ultima
affermazione calcoliamo il valore di A al livello alto di B, che risulta essere 30-
10=20, e il valore di A al livello basso di B, 0-20=-20, è facile notare che i due valori
sono diversi e questo indica che l’effetto di A è influenzato dal valore del livello
scelto per il fattore B.
Graficando, come prima, questi dati ci accorgiamo che le rette rappresentate non sono
più tra loro parallele ma si intersecano in un punto:
Alto Basso
Alto 10 20
Basso 30 0
Fattore A
Fattore B
13
0
5
10
15
20
25
30
35
B basso B alto
A alto
A basso
Fig. 3.1.9
Per concludere possiamo affermare che i vantaggi dell’ approccio statistico rispetto a
quello classico sono di duplice natura.
Innanzitutto, come appena visto, una sperimentazione di tipo statistico, offrendo la
possibilità di avere dati ottenuti in presenza di tutte la varie combinazioni di livelli
dei fattori, permette di analizzare non solo gli effetti dei singoli fattori ma anche delle
loro interazioni. Questo punto è cruciale poiché evita di confondere l’effetto del
fattore in esame con quello dovuto invece all’interazione del livello con un altro
fattore.
E infine, calcolando gli effetti dei fattori su delle medie, come sottolineato nell’
esempio, saranno necessari un numero di osservazioni minori nell’ approccio
statistico rispetto ad un classico ( nell’esempio si avevano 8 osservazioni anziché 12).
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3.2 Pani fattoriali 2k completi
Un caso particolare, è quello dei piani fattoriali in cui vi è la presenza di k fattori
ognuno dei quali ha due livelli generalmente indicati con alto (+1) o basso (-1).
Questi livelli possono rappresentare quantità (misure di tempo, temperatura,
pressione…) oppure qualità (operatore, macchinari…) o, ancora, la presenza o
assenza di un fattore. Un piano fattoriale completo di questa situazione prevede
2*2*…*2=2k osservazioni e da qui l’origine del suo nome.
Il caso più semplice è quello di due fattori con due livelli, ovvero un piano 22 .
Ad esempio, ipotizziamo di voler investigare l’effetto della concentrazione del
reagente e della quantità di catalizzatore sulla resa di un processo chimico.
Chiamiamo A la concentrazione del reagente che può assumere due livelli 15-20%, e
B la quantità di catalizzatore che può essere o alta (2 pound) o basso (1 pound).
Ipotizziamo di ripetere l’esperimento per tre volte, otterremo, ad esempio, tali dati:
Fig.3.2.1 fig.3.2.2
1 p. 2p.
15 % 28;25;27 18;19;23
20% 36;32;32 31;30;29
A B 1 2 3 Totale
-1 -1 28 25 27 80
+1 -1 36 32 32 100
-1 +1 18 19 23 60
+1 +1 31 30 29 90
15
Rappresentabili, geometricamente, da un quadrato:
fig. 3.2.3
Dove è stata usata la convenzione per cui i livelli alti dei fattori, in ogni combinazioni
di trattamenti, sono rappresentati dalla corrispondente lettera minuscola, i livelli
bassi, invece, dall’assenza della lettera.
Per ciò che riguarda, numericamente, gli effetti del fattore avremo:
effetto A= (36+32+32+31+30+29) _ (28+25+27+18+19+23) = 8.33
6 6
effetto B= (18+19+23+31+30+29) _ (28+25+27+36+32+32) = -5
6 6
effetto AB= (28+25+27+31+30+29) _ (36+32+32+19+18+23) = 1.67
6 6
Questa analisi indica che l’aumento del livello A dal 15 al 20% aumenta la resa del
processo, infatti l’effetto di A è positivo. Viceversa l’ef fetto di B è negativo quindi
l’aumento della quantità di catalizzatore diminuisce la resa del processo. Infine
l’effetto dell’interazione risulta essere piccola rispetto ai valori dei singoli fattori.
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Quello fin qui detto è estendibile a più di due fattori; un caso interessante per la sua
rappresentazione geometrica è quello di 23 ovvero di un piano fattoriale
comprendente tre fattori ognuno dei quali con due livelli, infatti le otto combinazioni
di trattamenti possono essere disposte come un cubo.
Dato, infatti, tale piano fattoriale:
Fig.3.2.4
La sua rappresentazione geometrica, usando sempre la convenzione prima esposta è:
Fig.3.2.5
A B C Convenzione
T1 -1 -1 -1 (1)
T2 +1 -1 -1 a
T3 -1 +1 -1 b
T4 +1 +1 -1 ab
T5 -1 -1 +1 C
T6 +1 -1 +1 ac
T7 -1 +1 +1 bc
T8 +1 +1 +1 abc
Fattore C
Fattore B
Fattore A
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In un piano fattoriale siffatto ci sono sette gradi di libertà di cui tre sono associati agli
effetti dei singoli fattori (A,B,C), quattro all’interazione tra due fattori (AB,BC,AC) e
uno all’interazione di tutti e tre i fattori (ABC).
Consideriamo gli effetti dei vari fattori:
effetto A= (a+ab+ac+abc) _ ((1)+b+c+bc)
8 8
Questa formula rappresenta una differenza tra le medie delle quattro combinazioni di
trattamenti presenti sulla faccia destra del cubo precedente, e quella sul lato sinistro;
come riportato nella seguente figura.
Fig. 3.2.6
Dato che tale effetto risulta essere calcolato su un numero pari di valori ottenuti in
presenza del livello -1 e +1 di B, la stima non risulta influenzata dal fattore B stesso.
In maniera del tutto analoga per B e C:
effetto B= (b+ab+bc+abc) _ ((1)+a+c+ac)
8 8
Fig. 3.2.7
effetto C= (c+bc+ac+abc) _ ((1)+b+a+ab)
8 8
18
Fig.3.2.8
Per ciò che riguarda gli effetti dell’ interazione tra due fattori, essi possono essere
facilmente computati tramite delle differenze. L’effetto AB, ad esempio, è dato dalla
differenza tra la media dell’ef fetto di A ai due livelli di B:
effettoAB= (c+ab+(1)+abc) _ (b+a+bc+ac)
8 8
In questa formula, l’interazione tra A e B è facilmente paragonabile alla differenza
delle medie dei trattamenti sulle diagonali del cubo:
Fig.3.2.9
Analogamente per BC e AC:
effettoAC= (b+ac+(1)+abc) _ (c+a+bc+ab)
8 8
19
Fig. 3.2.10
effettoBC= (a+bc+(1)+abc) _ (c+a+ac+ab)
8 8
Fig. 3.2.11
Infine, l’interazione tra ABC è data dalla differenza tra la media dell’interazione AB
per i due diversi livelli di C:
effettoABC= (a+b+c+abc) _ (bc+ac+ab+(1))
8 8
Che rappresenta i vertici dei tetraedri interni al cubo:
Fig.3.2.12
Dove = +1
= - 1
20
Un esempio di piano fattoriale 23 è il seguente:
ipotizziamo che una azienda di imbottigliamento di bevande è interessata ad ottenere
una maggiore uniformità del livello di liquido all’interno delle bottiglie prodotte dal
suo processo produttivo. Le macchine rompitrici, teoricamente, dovrebbero riempire
le bottiglie fino ad un corretto livello, ma in pratica vi è una variazione intorno a
questo target e il produttore vuole capirne quale sia la causa e ridurla. Individua, così,
tre variabili che possono essere controllate durante il processo: la percentuale di
anidride carbonica (A), la pressione del dispositivo di riempimento (B), e la quantità
di bottiglie prodotte in un minuto ovvero la velocità della linea (C). Si scelgono come
significativi due livelli di A (10-12%), due di B (25-30 psi) e due per C (200-250
bottiglie al minuto). Sono effettuate due sperimentazioni per ogni trattamento e i
risultati ottenuti sono i seguenti:
Fig.3.2.13
Trattamenti A B C 1aprova 2aprova
T1 -1 -1 -1 -3 -1
T2 +1 -1 -1 0 1
T3 -1 +1 -1 -1 0
T4 +1 +1 -1 2 3
T5 -1 -1 +1 -1 0
T6 +1 -1 +1 2 1
T7 -1 +1 +1 1 1
T8 +1 +1 +1 6 5
21
Tali dati hanno una rappresentazione geometrica di questo tipo:
Fig. 3.2.14
Per quello che riguarda il valore degli effetti dei fattori e delle loro interazione si ha:
A = (1+5+3+11) _ ( -4-1-1+2) = 3.00
8 8
B = (-1+5+2+11) _ ( -4-1+1+3) = 2.25
8 8
C = (3+2-1+11) _ (-4+1-1+5) = 1.75
8 8
AB = (-4+5-1+11) _ ( 1-1+2+3) = 0.75
8 8
AC = (-4-1+3+11) _ ( 1+5-1+2) = 0.25
8 8
BC = (-4+1+2+11) _ (-1+5-1+3) = 0.50
8 8
ABC = (-1-1+1+11) _ (2+3+5-4) = 0.50
8 8
22
I fattori che maggiormente influiscono sulla deviazione dal target di riempimento
sono, dunque, la percentuale di anidride carbonica, la pressione, la velocità e
l’interazione tra i fattori A e B. Viceversa le al tre interazioni non hanno un effetto
importante su tale deviazione.
23
3.3 Pani fattoriali 2k ortogonali
Il piano fattoriale 23 riportato nella seguente figura:
Fig. 3.3.1
In particolare, possiede delle caratteristiche molto importanti quali:
• Ogni coppia di colonne del piano sperimentale compare lo stesso numero di
volte.
• La scelta di livelli di ciascun fattore non è correlata con la scelta dei livelli di
nessuno dei rimanenti.
• Le colonne sono tra loro ortogonali.
Questa ultima condizione è molto importante, infatti essa indica che non ci sono
interazioni tra i vari fattori, geometricamente parlando significa che i piani sono tra
loro ortogonali, come già visto per l’esempio in figura 3.2.4.
In questo caso particolare, di un piano fattoriale con 3 fattori e piani tra loro
ortogonali, il modello matematico di riferimento è il seguente:
xijk = ì + ái + âj + ãk + åijk con i,j,k = 1,2
ì = media totale del campione (parametro comune)
ái = effetto dell’i -imo livello del fattore A
âj = effetto del j-imo livello del fattore B
Trattamenti A B C
T1 -1 -1 -1
T2 -1 -1 +1
T3 -1 +1 -1
T4 -1 +1 +1
T5 +1 -1 -1
T6 +1 -1 +1
T7 +1 +1 -1
T8 +1 +1 +1
24
ãk= effetto del k-imo livello del fattore C
åijk = componente dovuto ad errori random
Ovviamente se non fossimo stati in condizioni di ortogonalità avremmo dovuto
aggiungere gli effetti dovuti alle varie interazioni.
La condizione di ortogonalità è importantissima poiché, ogni qual volta siamo in
presenza di piani fattoriali siffatti, risulta possibile aggiungere un nuovo fattore, a due
livelli, in modo tale da poter arrivare ad un piano 2n partendo da uno 2(n-1) ortogonale.
Per capire come effettuare tale passaggio consideriamo il caso in cui vogliamo
passare da un piano 23 con otto trattamenti ad un piano 24 con 16 trattamenti.
Per prima cosa bisogna ‘allungare’ le colonne dei fattori già presenti ricopiando al di
sotto di ognuna esattamente la stessa colonna, in modo da passare da otto a sedici
righe (=trattamenti) e successivamente aggiungere una quarta colonna,
corrispondente al fattore D, utilizzando la regola del prodotto. Tale regola afferma
che per ogni trattamento il valore di D sarà +1 o -1 in base al prodotto dei valori degli
altri fattori in quello stesso livello.
Questa regola si applica solo alle prime 8 colonne; le successive 8, invece, avranno
come valore del livello di D esattamente il contrario di quello assunto dallo stesso
nelle prime righe seguendo, ovviamente, lo stesso ordine.
Consideriamo, ad esempio, il seguente piano fattoriale a tre fattori:
Fig. 3.3.2
A B C T1 -1 -1 -1
T2 -1 -1 +1
T3 -1 +1 -1
T4 -1 +1 +1
T5 +1 -1 -1
T6 +1 -1 +1
T7 +1 +1 -1
T8 +1 +1 +1
25
Con:
A questo, corrisponderà un piano 24 siffatto:
Fig. 3.3.3
A B C D T1 -1 -1 -1 -1
T2 -1 -1 +1 +1
T3 -1 +1 -1 +1
T4 -1 +1 +1 -1
T5 +1 -1 -1 +1
T6 +1 -1 +1 -1
T7 +1 +1 -1 -1
T8 +1 +1 +1 +1
T9 -1 -1 -1 +1
T10 -1 -1 +1 -1
T11 -1 +1 -1 -1
T12 -1 +1 +1 +1
T13 + -1 -1 -1
T14 +1 -1 +1 +1
T15 +1 +1 -1 +1
T16 +1 +1 +1 -1
26
Il procedimento qui adottato può estendersi a qualsiasi piano fattoriale 2n+1 costruito
partendo da uno 2n.
Un piano fattoriale 2k costruito come enunciato in questi ultimi due paragrafi e che,
quindi, riporti tutte le combinazioni possibili da sperimentare è definito piano
fattoriale completo.
27
3.4 Pani fattoriali incompleti
Possiamo, però, pensare di utilizzare l’idea dell’estensione dei piani fattoriali al
contrario, ovvero se ho un esperimento corrispondente ad un piano fattoriale 2k posso
lavorare, per semplicità, ad un piano 2k-1 a cui avevamo aggiunto una colonna con la
regola del prodotto. Il piano fattoriale 2k-1 da usare sarà ottenuto utilizzando solo le
righe del piano 2k la cui ultima colonna soddisfa la regola del prodotto. Questo tipo di
semplificazione si può fare fin ad un numero di fattori k=7.
Per chiarire ulteriormente il passaggio ipotizziamo di voler passare da un piano
fattoriale 23 completo ad uno 22 o anche definito 23 incompleto.
Allora prendiamo il seguente piano completo:
Fig.3.4.1
Se non voglio o non posso effettuare otto sperimentazioni posso pensare di usarne
solo quattro eliminando tutte quelle righe la cui ultima colonna non soddisfa la regola
del prodotto ovvero T1, T4, T6, T7. Il nuovo piano fattoriale che utilizzerò per le
sperimentazioni sarà, quindi, il seguente:
A B C
T1 -1 -1 -1
T2 +1 -1 -1
T3 -1 +1 -1
T4 +1 +1 -1
T5 -1 -1 +1
T6 +1 -1 +1
T7 -1 +1 +1
T8 +1 +1 +1
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Fig.3.3.2
Effettuare il passaggio da un piano fattoriale 23 completo ad uno incompleto
significa, dal punto di vista geometrico, proiettare su un sistema di assi cartesiani
(A,B,C) le facce del cubo rappresentato dal piano completo. Quindi, la
rappresentazione del piano incompleto sarà data dall’unione delle tre proiezioni
ortogonali, come rappresentato nella seguente figura:
fig. 3.3.3
Questo discorso è valido solo quando i vari fattori in gioco non interagiscono tra di
loro, ovvero sono ortogonali ed è per questo motivo che si possono rintracciare anche
piani di diversi da quelli riportati nella figura precedente, ma purché essi stessi siano
tra loro ortogonali
A B C
T2 +1 -1 -1
T3 -1 +1 -1
T5 -1 -1 +1
T8 +1 +1 +1
29
Il vantaggio nell’utilizzo dei piano incompleti è quello che se scopriamo, con questo
tipo di piano fattoriale, che almeno due fattori danno un effetto consistente sulla
sperimentazione, allora avrò comunque già rappresentato la coppia e potrò andare ad
indagare all’i nterno della coppia risparmiando sul numero di sperimentazioni
effettuate.
Questo vantaggio è gia molto più visibili sui piani 23 che possono essere estesi fino
ad un massimo di 7 fattori mantenendo la condizione di ortogonalità. Se si è
interessati, ovviamente, solo ai fattori e non agli effetti incrociati, questo piano
permette di eseguire solo 8 sperimentazioni al posto delle 128 del piano fattoriale
completo 27.
Riportiamo di seguito il piano 27 incompleto:
Fig.3.3.4
È necessario, però, tener presente la possibilità che utilizzando un piano fattoriale
incompleto si possa far confusione tra la stima dell’interazione tra A e B e la stima
dell’effetto C, pertanto se si ritiene che l’interazione tra A e B sia forte, non
dobbiamo allargare il loro piano, ovvero non dobbiamo assegnare nessun livello a C.
A B C D E F G
T1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 +1
T2 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1
T3 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1
T4 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1
T5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1
T6 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1
T7 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1
T8 +1 +1 +1 +1 -1 -1 +1
30
3.5 Cenni per pani fattoriali nk
Per concludere il discorso, possiamo fare un accenno ai piani fattoriali con k fattori a
n livelli (nk).Avremo, quindi, una situazione in cui si hanno n livelli per i fattori A, B,
C, D, …, K.
Il modello matematico più generale sarà il seguente:
yijklm = ì + ái +âj+ ãk + ôl + …+(áâ)ij + (áã)ik + (âã)jk+ (áô)il + (âô)jl + (ãô)kl + (áâã)ijk +
+ (áâô)ijl + (áãô)ikl + (âãô)jkl+…+ (áâãô)ijkl + … +åijklm…
con i,j,k,l,… = 1,2….n
ì = media totale del campione (parametro comune)
ái = effetto dell’i -imo livello del fattore A
âj = effetto del j-imo livello del fattore B
ãk= effetto del k-imo livello del fattore C
ôl = effetto del l-imo livello del fattore D
.
.
(áâ)ij = effetto dell’interazione tra l’i -imo livello di A e il j-imo di B
.
.
(áâã)ijk = effetto dell’interazione tra l’i -imo livello di A, il j-imo di B e il k-imo di C
.
.
(áâãô…)ijkl… = effetto dell’interazione tra l’i -imo livello di A, il j-imo livello di B, il
k-imo livello di C, l’l -imo livello di D … …
å.ijk = componente dovuto ad errori random
Anche in questo caso, se i vari fattori sono tra loro indipendenti gli effetti delle varie
interazioni a due, tre, quattro…. fattori sono nulli.
31
Quando siamo in presenza di questi tipi di piani possiamo effettuare un analisi del
tipo Anova calcolando gli effetti dei singoli fattori e delle loro interazioni e
applicando un Fisher test.
Ma si può effettuare anche un’analisi cosiddetta informale che ci indichi quali siano i
fattori più importanti nella nostra sperimentazione. Per fare ciò occorre costruire una
tabella le cui righe siano i fattori, le colonne i livelli e le varie celle sono le medie
della risposta del sistema alla particolare combinazione dei livelli dei fattori ad essa
corrispondente. Successivamente si aggiunge una colonna indicante la differenza tra
il massimo e il minimo di ogni riga. Fatto ciò, si ordinano le righe in base ai valori di
questa nuova colonna in maniera decrescente. In tal modo si hanno i fattori ordinati in
base alla loro importanza all’interno dell’esperimento.
32
4. Pani incrociati
Nella teoria della progettazione robusta proposta dal Taguchi, assumono particolare
importanza i piani incrociati.
In tale teoria si cerca di studiare non solo gli effetti dei fattori principali ma anche di
eventuali fattori di disturbo che possono portare ad una diminuzione della qualità del
prodotto sotto esame nella sperimentazione. Scopo ultimo della teoria è quello di
trovare la configurazione più robusta del prodotto, ovvero quella configurazione che
renda l’oggetto in esame il meno sensibile possibile agli effetti dei fattori di disturbo.
Quindi, da questo accenno alla teoria della robustezza, è facilmente intuibile che i
piani sperimentali usati siano diversi da semplici piani fattoriali. In particolare i piani
incrociati derivano dall’aggiunta, ad un normale piano fattoriale, di alcuni trattamenti
che tengano conto dei fattori di disturbo. I trattamenti associati a questi ultimi, però,
non sono tutte le loro possibili configurazioni, ma solo quelle che degli esperti, prima
della sperimentazione stessa, hanno deciso essere le più importanti ed influenti.
Consideriamo, ad esempio, un utensile di lavoro la cui prestazione principale è la sua
vita utile x, alla cui lunghezza possono contribuire due fattori controllabili: il
trattamento termico (A) e il tipo di metallo (B). e due fattori ambientali che sono la
durezza del materiale da lavorare (C) e la velocità da taglio (D).
Il piano incrociato corrispondente a tale esempio è il seguente:
Fig.4.1
C1 C2
-1 -1 C
A B +1 -1 D
T1 -1 -1 TC11 TC12
T2 -1 +1 TC21 TC22
T3 +1 -1 TC32 TC33
T4 +1 +1 TC43 TC44
33
Ovvero:
Fig.4.2
Altro esempio è il seguente:
ipotizziamo di voler sviluppare il progetto di un aereo di carta, la cui prestazione
principale è la lunghezza di volo in metri misurando la distanza tra il punto in cui si
lancia e quello in cui la sua punta anteriore arriva al suolo. Per tale esperimento
vengono utilizzati quattro lanciatori che operano in maniera standard (ovvero la mano
libera tiene il gomito fermo ed aderente al busto). Gli esperimenti si svolgono in un
locale ampio, senza correnti d’aria e con pavimentazione liscia ed uniforme.
Come fattori controllabili e corrispondenti livelli vengono scelti:
• A distribuzione dei pesi.
1. a1 peso verso prua
2. a2 peso verso il centro
3. a3 peso verso poppa
• D superficie dei flap
1. b1 piccola
2. b2 intermedia
A B C D
TC11 -1 -1 -1 +1
TC12 -1 -1 -1 -1
TC21 -1 +1 -1 +1
TC22 -1 +1 -1 -1
TC32 +1 -1 -1 +1
TC33 +1 -1 -1 -1
TC43 +1 +1 -1 +1
TC44 +1 +1 -1 -1
34
3. b3 grande
• C superficie alare
1. c1 grande
2. c2 intermedia
3. c3 piccola
• D incidenza degli alettoni
1. d1 verso il basso
2. d2 orizzontale
3. d3 verso l’alto
Invece come fattori incontrollabili di disturbo sono stati scelti i seguenti:
• Angolo di stacco
a. 0 oC
b. 45 oC
• Altezza di lancio
a. posizione ‘seduto’
b. posizione ‘in piedi’
• Forza impressa
a. persona 1
b. persona2
c. persona3
d. persona4
Per costruire un piano incrociato bisogna costruire il piano fattoriale completo sui
fattori controllabili:
35
Fig.4.3
Invece, per i fattori incontrollabili, altezza e angolo di lancio, posso scegliere di
effettuare un lancio per ogni livello di fattore di disturbo:
Fig.4.4
Prove Peso
A
Flap
B
Ala
C
Alettoni
D
1 1 1 1 1
2 1 2 2 2
3 1 3 3 3
4 2 1 2 3
5 2 2 3 1
6 2 3 1 2
7 3 1 3 2
8 3 2 1 3
9 3 3 2 1
Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4
Seduto
00
Seduto
450
Piedi
00
Piedi
450
d a b c
b c d a
c b a d
a d c b
d a b c
b c d a
c b a d
a d c b
d a b c
36
Il piano incrociato risultante sarà:
Fig. 4.5
Dove sono stati riportati anche i risultati di alcune sperimentazioni.
Attraverso il metodo di Taguchi è possibile effettuare l’intera sperimentazione con
solo nove aerei ognuno dei quali sottoposto a quattro prove con un totale di trentasei
Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4
Seduto
00
Seduto
450
Piedi
00
Piedi
450
d a b c
b c d a
c b a d
a d c b
d a b c
b c d a
c b a d
a d c b
d a b c
8.09 3.33 3.84 4.07
2.91 3.24 3.92 2.86
2.64 2.72 2.92 2.99
3.49 2.41 3.25 3.66
3.31 3.41 3.93 3.76
3.92 6.08 5.24 4.83
2.50 3.41 3.64 3.21
2.45 3.94 3.31 4.15
3.09 4.97 4.32 4.98
Prove Peso
A
Flap
B
Ala
C
Alettoni
D
1 1 1 1 1
2 1 2 2 2
3 1 3 3 3
4 2 1 2 3
5 2 2 3 1
6 2 3 1 2
7 3 1 3 2
8 3 2 1 3
9 3 3 2 1
37
prove. Se avessimo voluto usare una sperimentazione tradizionale, ad esempio
usando l’ANOVA, che tenesse conto anche dei fattori incontrollabili di disturbo,
avremmo avuto bisogno di 34 aerei ognuno dei quali sottoposto a quattro prove, per
un totale di 244 prove. E proprio in questo consiste il vantaggio dell’utilizzo dei piani
incrociati su piani fattoriali completi; risulta ovvio che, affinché il metodo di Taguchi
porti effettivamente alla scelta della configurazione più robusta del prodotto, è
necessario un corretto studio del problema a monte della sperimentazione per
effettuare una giusta scelta delle combinazioni dei livelli dei fattori di disturbo da
considerare a discapito di quelle da scartare.