PROBLEMA

Sara ha bisogno di sapere da Andrea quali sono i capitoli di Filosofia da ripassare per il giorno dopo. Andrea le risponde con il seguente messaggio:”I capitoli da ripassare corrispondono ai due numeri che annullano il polinomio x2-3x+2”.

Quali capitoli ripasserà Sara?

SCOMPOSIZIONE IN SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMIFATTORI PRIMI

di un di un polinomiopolinomio

Come farò Come farò a a

scomporre scomporre in fattori in fattori

primi?primi?

METODI PER SCOMPORRE UN POLINOMIO

PolinomioPolinomio

Raccoglimentototale

Raccoglimentototale

Raccoglimento parzialeRaccoglimento parziale Prodotti notevoliProdotti notevoli

Quadrato di binomio

Quadrato di binomio

Differenza di due quadrati

Differenza di due quadrati

Somma di due cubi

Somma di due cubi

Differenza di due cubi

Differenza di due cubi

Cubo di binomio

Cubo di binomio

Quadrato di un trinomio

Quadrato di un trinomio

Trinomio particolareTrinomio particolareTeorema e regola di

RuffiniTeorema e regola di

RuffiniPer partiPer parti

SOLUZIONE PROBLEMA

Il polinomio x2-3x+2 è un trinomio particolare che può essere scritto come (x-1)(x-2). Per la legge di annullamento del prodotto, questo si annulla quando x-1=0 oppure quando x-2=0, cioè per x=1 o x=2. I numeri che annullano il polinomio sono 1 e 2. Sara ripasserà il primo e secondo capitolo di Filosofia.

finefine

RIDUCIBILE O IRRIDUCIBILE ?

• Un polinomio in una o più variabili è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di polinomi, tutti di grado minore.

• Un polinomio non riducibile si chiama irriducibile.

RIPASSIAMO I PRODOTTI NOTEVOLI

NOME TIPO SVILUPPO

Quadrato di un binomio

( a + b )2a2 + 2ab + b2

Cubo di un binomio

( a + b )3 a3 + 3a2b +3ab2+b3

Somma per differenza

( a + b ) ( a – b )a2 – b2

( a + b + c )( a + b – c )[(a+b)2 – c2 ] = a2 + 2ab + b2

– c2

Quadrato di un trinomio

( a + b + c )2 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Binomio per trinomio particolare

( a + b ) ( a2 – ab + b2 ) a3 + b3

( a – b ) ( a2 + ab + b2 ) a3 – b3

RACCOGLIMENTO TOTALE:raccolgo il M.C.D. dei monomi

3a3a22b - 5ab - 5a33bb4 4 + a+ a44bb6 6 ==

aa22bb ( 3 - 5ab( 3 - 5ab3 3 + 4a+ 4a22bb5 5 ))

RACCOGLIMENTO PARZIALE

10a10a33b + 2xb - 5ab + 2xb - 5a3 3 – x =– x =

5a5a3 3 ( b – 1 )( b – 1 ) + 2x + 2x ( b - 1)( b - 1) = =

( b – 1 )( b – 1 )( 5a( 5a3 3 + 2x)+ 2x)

DIFFERENZA DI DUE QUADRATI

( a( a22 – b – b22 ) = ) =

( a – b )( a – b ) ( a + b )( a + b )

QUADRATO DI BINOMIO(è un trinomio formato da:(è un trinomio formato da:

due quadratidue quadrati e dale dal doppio prodottodoppio prodotto delle basi)delle basi)

16a16a44 + + bb22 – – 8a8a22b b ==

(4a(4a22 - b) - b)22

QUADRATO DI TRINOMIO ((tre quadratitre quadrati e e tre doppi prodottitre doppi prodotti di di

ciascuna delle basi per le altre)ciascuna delle basi per le altre)

aa22 + + bb22 + + cc22 + + 2ab 2ab + + 2ac2ac + + 2bc 2bc ==

( a + b + c )( a + b + c )22

TRINOMIO PARTICOLARE( deve essere ( deve essere sempresempre del tipo del tipo : x x22 ++ ssxx ++ pp

concon ss = a + b e= a + b e pp = ab)= ab)

xx22 - - 99xx –– 3636 ==

( x – 12 )( x – 12 ) ( x + 3 )( x + 3 )

SOMMA DI CUBI

aa33 ++ bb33 = =

( a + b( a + b )) (a(a22 –– ab + bab + b22 ))

DIFFERENZA DI CUBI

aa33 –– b b33 = =

( a - b( a - b )) (a(a22 ++ ab + bab + b22 ))

TEOREMA DI RUFFINI

x5 – 10x – 12 =Ricerca gli zeri del polinomio tra i divisori del termine Ricerca gli zeri del polinomio tra i divisori del termine

noto: noto:

P(+1)= 1 -10 -12= -21P(+1)= 1 -10 -12= -21

P(-1)= -1 +10 -12= -3P(-1)= -1 +10 -12= -3

P(P(++2)= 32 -20 -12=02)= 32 -20 -12=0

P(-2)=………P(-2)=………

Il polinomio è divisibile per xIl polinomio è divisibile per x--2 2

12 ;6 ;4 ;3 ;2 ;1

x5 – 10x – 12 =

1 0 0 0 -10 -12

2 2 4 8 16 12

1 2 4 8 6 0= ( x – 2 ) ( x4 + 2x3 +4x2 +8x + 6 )

REGOLA DI RUFFINI

SCOMPOSIZIONE PER PARTI

aa22 + b + b22 - 2ab - 2ab – x – x22 = =

[ [ (a – b)(a – b) + x ] + x ] [ [ (a – b)(a – b) – x] – x]

(a - b)(a - b)22 – x – x22 = =

aa33 + + bb33 + + 3a3a22bb + + 3ab3ab22 ==

( a + b )( a + b )33

CUBO DI BINOMIO(ci sono(ci sono due cubidue cubi e e due tripli prodottidue tripli prodotti di di

ognuna delle due basi per il quadrato ognuna delle due basi per il quadrato dell’altra)dell’altra)