PROJECT WORK FINALE

Prof.ssa Arcangela Bennardo

Le rette nel piano cartesiano• Il percorso didattico che presento in questo project work è rivolto a

studenti della terza classe di un istituto tecnico per geometri. • La finalità è quella di utilizzare le conoscenze acquisite nel capitolo

relativo alle rette nel piano per risolvere un dato problema.• Il problema è quello di calcolare l’area di una figura di cui si

conoscono solo le coordinate dei vertici.• Lo studente, per calcolare l’estensione della figura data, dovrà

individuare una opportuna suddivisione in figure regolari e di queste calcolarne l’estensione.

• Il percorso, si articola nelle seguenti fasi:

1. Presentazione dei contenuti teorici.

2. Teoria in sintesi.

3. Autoverifica delle conoscenze.

4. Problema proposto.

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

1. LE EQUAZIONI LINEARI DI DUE VARIABILI

Un’equazione lineare in due variabili x e y è un’equazione di primo grado per entrambe le incognite. Può essere scritta nella forma:a x + b y + c = 0 con a, b, c (a e b non entrambi nulli).

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

ESEMPIO

3x + 2y – 6 = 0

Una soluzione dell’equazione è una coppia (x0; y0) di numeri reali che la soddisfa.

3·1 + 2y – 6 = 0

cioè è una soluzione.

2y = 3con x = 1

E nello stesso tempo rappresenta un punto nel piano cartesiano.

Inoltre yx

0

2

1

3·0 + 2y – 6 = 0 y = 3

3·2 + 2y – 6 = 0 y = 03x + 2·1 – 6 = 0

1. LE EQUAZIONI LINEARI DI DUE VARIABILI

2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI

ESEMPIO

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

Retta parallela all’asse x Retta parallela all’asse y

PROPRIETÀ

Equazione di una retta parallela a un asse

L’equazione di una retta parallela all’asse x è y = k.

L’equazione di una retta parallela all’asse y è x = h.

2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

PROPRIETÀ

Le equazioni degli assi

L’equazione dell’asse x è y = 0.

L’equazione dell’asse y è x = 0.

2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI

Retta non parallela agli assi Condizione di allineamento

Consideriamo tre punti P, P1 e P2 e le loro proiezioni sugli assi.La condizione perché P (x; y) appartenga alla retta passante per P1(x1; y1) e P2(x2; y2) è:

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI

Retta non parallela agi assi

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

TEOREMA

A ogni retta del piano cartesiano corrisponde un’equazione lineare in due variabili e, viceversa, a ogni equazione lineare in due variabili corrisponde una retta del piano cartesiano.

Due casi particolari dell’equazione di una retta

2. LE RETTE E LE EQUAZIONI LINEARI

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

Equazione della retta passante per due punti

La condizione di allineamento fornisce l’equazione della retta passante per i punti (x1; y1) e (x2; y2):

.12

1

12

1xxxx

yyyy

ESEMPIO

Determiniamo l’equazione della retta r passante per i punti A(-2;5) e B(1;-4) e stabiliamo se i punti C(-1;2) e D(1;3) appartengono alla retta.

y – 5 = – 3x – 6 y + 3x + 1 = 0

C(–1;2), y + 3x + 1 = 0 2 + 3·(–1) + 1 = 0

D(1;3), y + 3x + 1 = 0 3 + 3·1 + 1 ≠ 0

3. LA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

Equazione della retta in forma implicita

a x + b y + c = 0

Equazione della retta in forma esplicita

y = m x + q

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

coefficiente angolareordinata all’origine

ESEMPIO

Scriviamo in forma esplicita l’equazione 9x + 3y − 2 = 0 .

3y = − 9x + 2

Il coefficiente angolare è

L’ordinata all’origine è

y = − 3x +

− 3

y = − x +

4. DALLA FORMA IMPLICITA ALLA FORMA ESPLICITA

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

Se l’ascissa aumenta di una certa quantità fissa, l’ordinata cresce anch’essa di una quantità fissa.

Quando l’ascissa aumenta di 1 unità, l’ordinata aumenta di m.

5. IL COEFFICIENTE ANGOLARE NOTE LE COORDINATE DI DUE PUNTI

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

PROPRIETÀ

Coefficiente angolare e coordinate di due punti

Il coefficiente angolare di una retta non parallela all’asse y è il rapporto fra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti distinti dellaretta:

.12

12xxyy

m

ESEMPIO

Il coefficiente angolare della retta passante per A(1; ) e B(3; 4) è:

5. IL COEFFICIENTE ANGOLARE NOTE LE COORDINATE DI DUE PUNTI

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

Il coefficiente angolare fornisce informazioni sull’angolo tra la retta e l’asse x *, ossia sulla pendenza della retta.

* Angolo a tra la semiretta i cui punti hanno ordinata positiva e il semiasse x di verso positivo.

Pendenza positivam = 2

Pendenza positivam = 1/3

Pendenza negativam = −2

5. IL COEFFICIENTE ANGOLARE NOTE LE COORDINATE DI DUE PUNTI

Equazione di una retta passante per l’origine: y = mx

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

Equazione della retta di coefficiente angolare m passante per P (x1; y1):

y – y1 = m·(x – x1)

y – 2

ESEMPIO

Troviamo la retta di coefficiente

angolare m = , passante per P (1; 2).

y – 2 = ·(x – 1)y – 2 =

6. L’EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER UN PUNTO

7. RETTE PARALLELE E RETTE PERPENDICOLARI

Date due rette parallele esse hanno lo stesso coefficiente angolare

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

Date due rette perpendicolari esse hanno coefficiente angolare uno l’antireciproco dell’altro.

7. RETTE PARALLELE E RETTE PERPENDICOLARI

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

Autoverifica• Collegati a ZTE e vai alla pagina degli esercizi interattivi

Problema• Nella slide successiva è riportata, su di un piano

cartesiano, la figura ABCDEFG che ha una estensione di 66 u2 .

• Dimostrare che la figura in questione si può scomporre in figure elementari la cui somma delle aree è uguale all’area della figura data.

• Per ogni figura elementare individuata dimostrare le proprietà relative alla definizione data dalla geometria euclidea: esempio, se individui un parallelogramma devi dimostrare che i lati opposti sono paralleli.

BUON LAVORO

prof.ssa Arcangela Bennardo