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E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 1
SISTEMI DISCRETI LINEARI[Cap. 3]
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Esempi di segnali discreti (sequenze)
[ ]⎩⎨⎧
≠=
=0 00 1
nn
nδ impulso unitario(o sequenza campione)
Alcuni esempi di segnali discreti
Per semplicità : x[n] = x(nT), T passo di campionamento costante
0 1 2 n
[ ]nδ
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[ ]⎩⎨⎧
<≥
=0 00 1
nn
nu sequenza gradino
[ ]∑+∞
=
−=0k
knδ
0 1 2 n
u[n]
La sequenza
ha un numero finito (N) di campioni non nulli (sequenza di durata finita)
[ ] [ ] [ ]Nnununx −−=
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[ ] nang = sequenza geometrica
0 1 2 3 n
… …reale , 1 aa <
Caso particolare:
2 Fjea π= esponenziale complesso alla frequenza normalizzata F
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Segnale periodico (periodo L ) :
[ ] [ ] minimo il e LnLnxnx ∀+=
Da notare che un segnale continuo periodico di periodo P non necessariamente generaun segnale digitale con periodo L=P/T !!
EsempioUna sinusoide a frequenza 30Hz campionata a 90Hz ha un periodo L=3=P/T.Campionata a 91Hz ha un periodo L=91.Campionata a 92Hz ha un periodo L=46.Che periodo ha se campionata a 70Hz?
Per esempio è periodica di periodo L se F=i/L (interi primi) [ ] Fnnx π2cos=
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In generale, per un qualunque segnale x[n], si può scrivere:
[ ] [ ] [ ]∑+∞
−∞=
−=k
knkxnx δ
Interpretabile come la combinazione lineare di impulsi unitari traslati pesati da coefficienti costanti
[ ]kn −δ[ ]kx
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Sistemadiscreto
[ ]nx [ ] [ ]{ }nxTrny =
[ ] [ ],2 nxny = s.d. non lineare senza memoria
[ ] [ ] [ ],123 −+= nxnxny s.d. non lineare con memoria (finita)
Esempi di sistemi discreti (s.d.)
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[ ] [ ] [ ]
∑=
=
−−
+=
n
kkx
n
nyn
nnxn
ny
1][1
111 s.d. lineare tempo-variante (con memoria infinita)calcolo ricorsivo del valore medio dei valori di una sequenza da 1 a n
[ ] [ ]( ) [ ],1log −−= nynxny s.d. non lineare con memoria (infinita)
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Definizione
Dati [ ] [ ]{ }nxTrny 11 =
e [ ] [ ]{ }nxTrny 22 =
si ha
SISTEMI DISCRETI LINEARI
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a1 , a2 costanti (reali o complesse) Si estende ad una combinazione lineare di un numero qualunque (anche infinito) di termini.
[ ] [ ] [ ]{ }=+= nxanxaTrny 2211
[ ]{ } [ ]{ }=+= nxTranxTra 2211
[ ] [ ]nyanya 2211 +=
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Risposta impulsiva o indice
[ ] [ ]{ }knTrnhk −= δ
risposta del sistema all’impulso applicato all’istante k.In generale è una famiglia di sequenze, una per ogni k
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Proprietà fondamentale
[ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }∑+∞
−∞=
−==k
knTrkxnxTrny δ
[ ] [ ]∑+∞
−∞=
=k
k nhkx
L’uscita è una combinazione lineare degli ingressi con coefficienti (generalmente) tempo varianti.
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SISTEMI DISCRETI LINEARI TEMPO INVARIANTI(LTI)
Definizione ( x e k)
[ ]{ } [ ]knyknxTr −=−
[ ] [ ] [ ]knhknhnhk −≡−= 0
quindi
∀
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L’uscita è data da:
[ ] [ ] [ ] =−=∑+∞
−∞=kknhkxny
[ ] [ ]∑+∞
−∞=
−=k
knxkh
[ ] [ ]nhnx ∗= (Convoluzione discreta)
Notare la proprietà commutativa della convoluzione discreta
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Seq. 1 Seq. 2
Convoluzione
Esempio di convoluzione discreta di sequenzeLa sequenza mostrata nella parte inferiore è il risultatodella convoluzione discreta delle due sequenze mostrate nella parte superiore.
N L
M = N + L- 1
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Sistema discreto lineare tempo-invariante (LTI)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
−=−=∗=kk
knhkxknxkhnhnxny
h[n] risposta impulsiva del sistema [ risposta all’impulso unitario ].
caratterizza completamente il sistema[ ]nδ
h[n]y[n]x[n]
LTI
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Causalità
L’uscita al tempo m dipende solo dagli ingressi passati e presente, cioè per n m.
Equivale a:
Quindi:
[ ] 0,0 <= nnh
[ ] [ ] [ ]∑∞
=
−=0k
knxkhny
≤
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Due classi di sistemi discreti causali LTI
IIR (risposta impulsiva infinita)
[ ] [ ] [ ]∑∞
=
−=0k
knxkhny
FIR (risposta impulsiva finita)
[ ] [ ] [ ]∑−
=
−=1
0
N
kknxkhny
durata della risposta impulsiva: N campioni.
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Da notare che un sistema FIR non causale
[ ] [ ] [ ]∑−
−=
−=1N
Mkknxkhny
può essere sempre trasformato in un sistema FIR causale (della stessa durata) ritardando l’uscita di M campioni e traslando di Mcampioni la risposta impulsiva:
[ ] [ ] [ ] [ ]∑−+
=
−−=−=′1
0
MN
kknxMkhMnyny
[ ] [ ]∑−+
=
−′=1
0
MN
kknxkh
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Stabilità (BIBO = Bounded Input Bounded Output)
Ogni ingresso limitato in ampiezza genera una uscita limitata in ampiezza.
Condizione necessaria e sufficiente:
[ ] ∞<∑∞
−∞=kkh ||
FIR: sempre stabili
IIR: stabilità da verificare
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EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE[Cap. 3.5]
Modo alternativo di definire un sistema LTI
Sistema di ordine N (causale)
[ ] [ ] [ ] 0,10
≥−−−= ∑∑==
nknyaknxbnyN
kk
M
kk
ak , bk coefficienti (costanti) del sistema e condizioni inizialiyi = y[i] , i = - N, ..., -1
FIR : tutti gli IIR : alcuni (salvo casi particolari, v. esempi)0≠ka
0=ka
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Esempio: sistema LTI, causale, stabile,
[ ] [ ] [ ] [ ] 01,1 =−+−= ynxnyany
che ha una risposta impulsiva (tipo IIR)
[ ] [ ]nuanh n=
[ ]||1
1||0 a
nhn −
=∑∞
=stabilea 1|| <
stabilenona 1|| ≥
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FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
[ ] ,)( ∑+∞
−∞=
−=k
kzkhzH funzione di trasferimento del sistema (ROC)
x[n]
X(z)
h[n]
H(z) Y(z) = X(z) H(z)
[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=
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Sistemi causali(per sistemi non causali Cap. 3.6)
FIR
[ ]∑−
=
−=1
0
)(N
k
kzkhzH
IIR
∏
∏
∑
∑
=
−
=
−
=
−
=
−
−
−=
+= N
kk
M
kk
N
k
kk
M
k
kk
zP
zZb
za
zbzH
1
1
1
1
0
1
0
)1(
)1(
1)(
[ ]∑∞
=
−=0k
kzkh
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Ordine del sistema: N
Zk : zeri del sistema
Pk : poli del sistema
Stabilità : poli interni al cerchio unitario nel piano z.
Sistemi reali : zeri e poli reali o complessi coniugati
H(z) è la trasformata Z di h[n]h[n] è la trasformata Z inversa di H(z)[ modo alternativo di ottenere h[n]rispetto al calcolo diretto ]
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RISPOSTA IN FREQUENZA[Cap. 3.7-3.8]
Sistema discreto LTI
Ingresso: esponenziale complesso alla frequenza normalizzata F
[ ] nFjenx π2=
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[ ] [ ]∑+∞
−∞=
−=k
knFjekhny )(2π
[ ]∑+∞
−∞=
−=k
FkjFnj ekhe ππ 22
FjezFnj zHe π
π2|)(2
==
)(2 FHe Fnj π=
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La funzione complessa
della frequenza normalizzata F
è la risposta in frequenza del sistema
H(F) è la trasformata di Fourier della sequenza h[n]
[ ]∑+∞
−∞=
−=k
FkjekhFH π2)(
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Risposta di ampiezza:
| H(F ) | simmetrica
Risposta di fase:H(F ) antisimmetrica
Ritardo di fase:
FFFf π
ϕτ2
)()( −= (campioni)
Per sistemi reali [ sequenze h[n] reali ]
H (-F ) = H* (F )
∠=)(Fϕ
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Ritardo di gruppo:
dFFdFg
)(21)( ϕπ
τ −= (campioni)
Sistemi non distorcenti in ampiezza (o passa-tutto)
| H (F ) | = costante
Sistemi non distorcenti in fase (o a fase lineare)
cost)()( == FF gf ττ
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Esempio: sistema reale ingresso sinusoide reale
Verificare per esercizio:
[ ] Fnnx π2cos=
[ ] [ ])(2cos|)(| FFnFHny ϕπ +=
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Connessione in serie e in parallelo di sistemi LTI [Cap. 3.3]
Serie x[n] y[n]
h1[n] h2[n]
[ ] [ ] [ ]
)()()()()()(
21
21
21
FHFHFHzHzHzH
nhnhnh
==
∗=
x[n] y[n]h1[n]
h2[n]
[ ] [ ] [ ]
)()()()()()(
21
21
21
FHFHFHzHzHzH
nhnhnh
+=+=
+=
Parallelo
Ne consegue la proprietà associativa della convoluzione discreta
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Realizzazione ricorsiva di un sistema FIR
Normalmente un sistema FIR ha una realizzazione non ricorsiva (convoluzione discreta)Esistono alcuni casi in cui può essere realizzato ricorsivamente:es. somma degli ultimi N campioni (finestra mobile)
1
1
0
)1(21
1
0
11....1)(
10,1][
]1[][][][][
−
−−
=
−−−−−
−
=
−−
==++++=
−≤≤=
−+−−=−=
∑
∑
zzzzzzzH
Nnnh
nyNnxnxknxny
NN
n
nN
N
k
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Calcolo grafico della risposta in frequenza
Esempio: sistema reale con 2 poli e 1 zero
Im z
Re zZ1
Fπje 2
1
P1
P2
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Abbiamo visto per sistemi IIR:
con
Definiamo:
, rispettivamente frequenza naturale dello zero e del polo k-simo
MNN
kk
M
kk
N
kk
M
kk
N
k
kk
M
k
kk
zPz
Zzb
zP
zZb
za
zbzH
−
=
=
=
−
=
−
=
−
=
−
∏
∏
∏
∏
∑
∑
−
−=
−
−=
+=
1
10
1
1
1
1
0
1
0
)(
)(
)1(
)1(
1)(
k
k
jkk
jkk
ePP
eZZθ
φ
=
=
πθ
πφ
2e
2kk
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Poli vicini al cerchio unitario: Max relativi (picchi) della risposta di ampiezza in corrispondenza delle frequenze naturali dei poli
Zeri vicini al cerchio unitario: Min relativi (bassi valori) della risposta di ampiezza in corrispondenza delle frequenze naturali degli zeri
A meno di un fattore costante (b0) la risposta del sistema alla frequenza F si può calcolare dai vettori che congiungono il punto con i poli e gli zeri.
Fje π2
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Esempio di Risposta in frequenza del sistema
( ) 2
2
9011
−
−
+−
=z.
zzH
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Descrizione di un sistema discreto LTI
Nel dominio temporaleh[n], risposta impulsivaEquazione alle differenze finite
Nel dominio trasformato
H(z) , funzione di trasferimentoH(F) , risposta in frequenza
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NotaPer semplicità di notazione, per una stessa sequenza h[n] usiamo lo stesso simbolo H per denotare la sua trasformata Z H(z) e la sua trasformata di Fourier H(F).
Le due trasformate sono distinte da:
- variabile indipendente complessa ( z ) per la trasformata Z
- variabile indipendente reale ( F ) per la trasformata di Fourier
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Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://lenst.det.unifi.it/node/379)
• Funz trasf
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ALCUNE PROPRIETA’
Stabilità:
[ ] ∞<∑+∞
−∞=nnh ||
[ ]∑+∞
−∞=
−=⇒n
nznhzH )(
La ROC include la circonferenza unitaria
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Poli:i) solo interni (sequenza infinita positiva o monolatera dx) ii) solo esterni (sequenza infinita negativa o monolatera sx)iii) interni e esterni (sequenza doppiamente infinita o bilatera)
1
Piano z
1
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Causalità: h[n] = 0 per n < 0
⇒ ROC esterna a | z | > R0
Poli interni al cerchio di raggio R0
Piano z
R0
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 44
Sistemi causali e stabili
⇒ Poli interni al cerchio unitario
Zeri possono essere dovunque
Piano z
1
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Sistemi a fase lineare[Cap. 3.9]
Hanno una risposta in fase lineare.Non introducono distorsione di fase:
Ritardo di fase = Ritardo di gruppo = costante
⇒ Sistemi a fase lineare stabili e causali non hanno poli: FIR.
⇒ Sistemi IIR a fase lineare sono necessariamente non causali: non realizzabili in tempo reale.
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 46
A. (tipo 1 e 2)
h[n] = h[N - 1 – n], risposta simmetrica
Condizione per la fase lineare (FIR reali)
0 1 2 3 4 5 6 n
N=7 (dispari)
0 1 2 3 4 5 n
N=6 (pari)
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 47
Sfruttando la condizione di simmetria nell’espressione
[ ]∑−
=
−=1
0
2)(N
n
nFjenhFH π
isoliamo i termini simmetrici ( N pari)
[ ] [ ]∑∑−
=
−−−
−
=
− −−+=1
2
0
)1(21
2
0
2 1)(
N
n
nNFj
N
n
nFj enNhenhFH ππ
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 48
[ ]∑−
=
−− −
−=1
2
0
212
)2
1(2cos2
N
n
NFj NnFnhe ππ
[ ] =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=∑
−
=
−−
−−−
−−
12
0
)2
1(2)2
1(22
12
N
n
NnFjNnFjNFjeeenh
πππ
Analogamente per N dispari
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 49
[ ]
[ ]⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
=
∑
∑
−
=
−−
−
=
−−
12
0
212
23
0
212
212cos2
212cos2
21
)( N
n
NFj
N
n
NFj
NnFnhe
NnFnhNhe
FH
π
π
π
π
)(Fje ϕ A_(F)
Ndispari
Npari
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la fase è esattamente lineare e vale)(Fϕ
212)( −
−=NFF πϕ
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 51
212
)_()(−
−=
NFjeFAFH
π
)_(FA funzione reale
Es.:
Passa basso Passa altoPassa banda Multi-banda
⎧⎨⎪
⎩⎪
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Ritardo
21)()( −
==NFF gf ττ intero (N dispari)
intero + 1/2 (N pari)
N dispariUscita (ritardata) generata in corrispondenza degli istanti di campionamento dell’ingresso (stesso pettine di campionamento)
N pariUscita (ritardata) generata in corrispondenza di istanti di campionamento traslati di T/2 rispetto all’ingresso (pettine di campionamento traslato di T/2 )
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 53
B. (tipo 3 e 4)
h[n] = - h[N - 1 – n], risposta antisimmetrica
0 1 2 3 4 5 6 n
0 1 2 3 4 5 n
N=7 (dispari)
N=6 (pari)
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 54
Procedendo analogamente al caso A:
[ ]
[ ]⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−−
=
∑
∑
−
=
−−
−
=
−−
12
0
212
21
0
212
2122
2122
)( N
n
NFj
N
n
NFj
NnFsennhje
NnFsennhje
FH
π
π
π
π
)(Fje ϕ A_(F)
Ndispari
Npari
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 55
la fase vale)(Fϕ
212
2)( −
−−=NFF ππϕ
lineare a meno del fattore costante -π/2 ( fase lineare generalizzata)
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 56
212
)_()(−
−=
NFjeFAjFH
π
)_(FA reale
Es.:derivatori
⎩⎨⎧
−==
FFAcFFAsgn)_(
)(_
tr. Hilbert5.0≤F
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 57
Ritardo
Come nel caso precedente è uguale a
21−N campioni
In più è introdotta una rotazione di fase di 90° [ a seconda del segno di A_(F) ] per ogni componente spettrale.
±
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 58
Zeri dei FIR (reali) a fase lineare
Dalle condizioni di simmetria della h[n], segue che se z0 è uno zero, cioè
[ ] 0)(1
000 == ∑
−
=
−N
n
nznhzH
anche z0-1 è uno zero. Per filtri con h[n] reale
(filtri reali) le posizioni degli zeri sono del tipo:
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 59
Im z
b-1ba
a
a-1
a -1∗
∗Re1d
c
c∗Nei sistemi FIR reali gli zeri si presentano in quadruple (se complessi) o in coppie (se reali ≠ ± 1 ).
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 60
Configurazione degli zeri nel piano complessoRisposta di ampiezza e fase di un filtro FIR passa-basso a fase lineare.F1= 0.23 fine banda passante, F2= 0.27 inizio banda attenuata N = 30 lunghezza del filtro (equiripple)
61E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Sistemi passa - tutto (2° ordine)[Cap. 3.10]
)()(
)()(
1)(
12
22
11
2112
zDzDz
zDzN
zazazzaazH p
−−
−−
−−
==++++
=
1 reali coeff. )()(
)( 2
2
===−
Fj
Fj
p eDeD
FH π
π
0)( ≤Fϕ
N(z) e D(z) sono polinomi speculari
62E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Poli :
Zeri :
∗PP e
11 e −∗− PP
Proprietà che si può estendere a filtri passa tutto di ordine N qualunque ( > 2 ).
x
x
P
P*
1/P*
1/P
Im
Re
63E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Filtro Passa-TuttoRisposta in frequenza di un filtro Passa-Tutto del 2° ordine. Poli: modulo 0.9, fase ± 0.25 π,Zeri sono definiti come il reciproco dei poli
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 64
Sistemi a fase minima[Cap. 3.10]
Def.: Sono quelli che hanno tutti i poli e tutti gli zeri di H(z) interni al cerchio unitario
⇒ Hanno un ritardo di fase minimo fra tutti i sistemi che hanno la stessa risposta in ampiezza
NOTA: il sistema inverso)(
1)(zH
zH I =
è ancora un sistema a fase minima (oltre ad essere stabile e causale)
65E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Consideriamo la seguente operazione:
poichè )()(0)( 132 FFF ϕϕϕ ≤⇒≤
Im
Re
H1 (z) H2 (z) H3 (z)
x
x
Im
Re
x
x
Im
Re
x
x
=
=
passa tutto
×
×
66E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
I sistemi lineari H1(z) e H3(z) hanno la stessa risposta di ampiezza. Differiscono per la posizione degli zeri che sono invertiti in modulo rispetto alle circonferenza unitaria sul piano zeta.
67E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Ritardo di fase:
FFF
FFF ff π
ϕτπ
ϕτ2
)()(2
)()( 11
33 −=≥−=
H1(z): sistema a ritardo di fase minimo(brevemente a fase minima) fra tutti quelli che hanno la stessa risposta in ampiezza
Nota: generalizzazione possibile a IIR di qualunque ordine e ai FIR
68E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Sistemi IIR a fase minima.Il sistema descritto da poli/zeri di colore rosso dà origine al corrispondente sistema a fase minima descritto dai poli/zeri di colore azzurro. Poli: modulo 0.9, fase ± 0.25π; Zeri del sistema a fase non minima: modulo 1.5, fase ± 0.5π
Si noti la concentrazione della risposta impulsiva del sistema a fase minima verso l’origine:
[ ] [ ] mnhnhm
n
m
n
∀≥ ∑∑== 0
22
0
21
[ ]nh1
[ ]nh2
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 69
Ribaltamento della risposta in frequenzaDato un sistema H(z) con risposta in frequenza (es. di ampiezza)
F1 F2 0.5 F
|H(F)|
operando la sostituzione H’(z) = H(-z) si ottiene H’(F) = H(F-0.5)
0.5-F2 0.5-F1 0.5 F
|H’(F)|
trasformando così un filtro, per esempio, da passa-basso a passa-alto.Nota: la sostituzione H’(z) = H(-z) corrisponde alla modifica della risposta impulsiva
ottenuta cambiando il segno alternativamente ai campioni della risposta impulsiva originaria.
[ ] [ ]nhnh n)1(' −=
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 70
Ripetizione periodica della risposta in frequenza[Cap. 3.11]
Dato un sistema H(z) con risposta in frequenza (es. di ampiezza)
F1 F2 0.5 F
|H(F)|
operando la sostituzione H’(z) = H(zL) si ottiene H’(F ) = H(LF )
ottenendo così una ripetizione di L repliche della risposta in frequenza nella banda utile del sistema.Nota: la sostituzione H’(z) = H(zL) corrisponde alla modifica della risposta impulsiva
ottenuta inserendo L-1 valori nulli ogni due campioni consecutivi della risposta impulsiva originaria.
F1/2 F2/2 0.5 F
|H’(F)|
L = 2
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
=pLn
ppLnLnh
nh0
intero'
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 71
Esempio
Dato H(z) = 1- z-1 , cui corrisponde una H(F) = 2 j sen 2πF e-jπF
che annulla le componenti alle frequenze F = 0 e F = 0.5, operando la sostituzione H’(z) = H(zL) = 1 – z-L ovvero
inserendo L-1 zeri tra i due campioni, si ottiene un sistema che elimina tutte le armoniche F = i/2L con i intero (nella figura L = 5) : filtro a pettine o comb filter.
[ ] [ ] [ ] [ ]10.....010
intero' −=−−=⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
= LnnpLn
ppLnLnh
nh δδ
|H'(F)|
-0.5 -0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
1
2
F
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 72
FILTRI FIR “HALF - BAND”(convenienti in alcune applicazioni)
[Cap. 9.6]
1)5.0()( =−+ FHFH
1
0.5
F1 F241
21 F
|H(F)|
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 73
Proprietà utile (filtri a fase lineare)
N = dispari
In corrispondenza di multipli pari dal campione centrale la risposta impulsiva è nulla.
0 N-1 n2
1−N
~ metà coefficienti uguali a zero
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 74
semplificazione realizzativase N = 4P + 1, solo 2P + 1 coefficienti sono 0
Per ogni campione d’uscita: 2P + 1 moltiplicazioni
(senza sfruttare la simmetria) P + 1 moltiplicazioni
(sfruttando la simmetria)
≠
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 75
Segnale analitico discreto[ ] [ ] [ ] [ ]nx j n xnx nx ˆ +=→reale segnaleunAd
[ ] [ ]nxnx ˆ diHilbertdidiscretaatrasformat
[ ] discretoanaliticosegnale nx
( )( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<−
<<=
021 , 0
210 , 2
F
FFXFX
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 76
F
F
F
X ( F )
j X ( F )
X ( F )
1
1
2
0.5
0.5
0.5
- 0.5
- 0.5
- 0.5
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 77
H2(F)
x [ n ]
H1(F) x [n - α]
x [n - α]
Generazione del segnale analitico(con FIR a fase lineare)
dispariN-N= ,2
1α
H1(F) = e-j2πFα , ritardo αH2(F) = -jsgn(F) e-j2πFα , filtro trasformatore di Hilbert FIR (N) (a larga banda)|F| ≤ 0.5
F1 F2
F 0.5
Y( F )
-0.5
Generalizzazione (segnale analitico a banda stretta)H1(F) = e-j2πFα , passa banda (N) F1 ≤ |F| ≤ F2
H2(F) = -jsgn(F) e-j2πFα, trasformatore di Hilbertpassa banda (N) F1 ≤ |F| ≤ F2 [ ]ny
[ ]ny
[ ] [ ] [ ] )(ˆ FYnyjnyny ⎯→←+=
0 10 20 30 40 50-2
0
2x 10
-3
Segnale Analitico
-0.5 0 0.5-1
0
1
F freq. normalizzata
Am
piez
za
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 78
0 20 40 60 80 100-2
0
2x 10
-3 Segnale originale
-0.5 0 0.5-1
0
1Am
piez
za
F freq. normalizzata
Segnale analitico:campioni reali blucampioni immaginari rossi
Spettro del segnale analitico
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 79
Esercitazioni di Laboratorio di MATLAB( reperibili a: http://lenst.det.unifi.it/node/379)
• FIR fase lineare• IIR-fase min• Segnale analitico
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 80
SEGNALI ALEATORI[App. A]
x[n] segnale aleatorio stazionario in senso lato
[ ]{ } ,nxEmx = valor medio
[ ] [ ] [ ]{ } ,mnxnxEmrxx += autocorrelazione
h[n]H(z)
y[n]x[n]LTI
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 81
[ ]{ } [ ] [ ]
[ ] 01 |)(|)( == ===
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−=
∑
∑
Fxzxk
x
k
FHmzHmkhm
knxkhEnyE
Per semplicità mx = 0
Definizioni: [ ]mrzR xxxx ⇔)(
Spettro di potenza: Fjezxxx zRFG π2|)()(=
=
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 82
Segnale di uscitaSpettro di potenza
)(|)(|)( 2 FGFHFG xy =Potenza
∫−
==21
21
22 )(|)(| dFFGFHS xyy σ
Potenza del segnale di ingresso
∫−
==21
21
2 )( dFFGS xxx σ
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 83
Esempio: x[n] processo bianco
0)( NFGx =
si ha
0NSx=
[ ]∑∫ ==−
ky khNdFFHNS 2
0
21
21
20 |||)(|
L’ultima uguaglianza segue dal Teorema di Parseval
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 84
Esempio: Calcolo del rapporto segnale-rumore in uscita dal sistema
Note le caratteristiche del convertitore A/D e noto x(t) si possono calcolare la potenza Sxdel segnale x[n] e la densità spettrale di potenza (bianca) di eq[n]
x(t)A/D
x[n]
eq[n]
H(F)y[n]+eu[n]
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 85
In ingresso:q
xi N
SSNR =
In uscita:
∫−
=21
21
2|)(| dFFHNN qu
∫−
=21
21
2dF||H(F)(F)GSxy
u
yu N
SSNR =
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 86
Correlazione temporale di sequenzeLa correlazione fra due sequenze può definirsi anche nel tempo ed è lo strumento per la stima della correlazione di processi aleatori ergodici.È usata in molti contesti: p.e. essa fornisce una indicazione sulla loro ‘somiglianza’; la autocorrelazione (correlazione di una sequenza con se stessa) può evidenziare periodicità nascoste in segnali affetti da rumore; …
Date due sequenze (reali) x[n] e y[n], si definisce correlazione temporale la sequenza
Per sequenze di durata finita gli indici k e n sono limitati ai valori significativi.È immediato verificare (per esercizio) che
la correlazione corrisponde alla convoluzione di una sequenza invertita nel tempo con l’altra.Da notare che per l’autocorrelazione vale
[ ] [ ] [ ]nkykxnrk
xy += ∑∞
−∞=
[ ] [ ] [ ]nynxnrxy ∗−=
[ ] [ ] [ ]nxErnr xxxxx segnale del energia , 0 =≤
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 87
È facile, sfruttando le proprietà della convoluzione discreta, ottenere le espressioni delle correlazioni e autocorrelazioni delle sequenze di ingresso e uscita di un sistema LTI.
h[n]x[n]
LTI[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nhnrnhnxnxnynxnr xxxy ∗=∗∗−=∗−=
La correlazione fra l’ingresso e l’uscita di un sistema LTI è data dalla convoluzionedella autocorrelazione dell’ingresso con la risposta impulsiva. Nel dominio trasformato:
La autocorrelazione dell’uscita
è data dalla convoluzione delle autocorrelazioni dell’ingresso e della risposta impulsiva. Nel dominio trasformato
La autocorrelazione della risposta impulsiva esiste se il sistema è stabile.
)()()( zHzRzR xxxy =
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nrnrnhnxnhnxnynynr hhxxyy ∗=∗∗−∗−=∗−=
)()()()( 1−= zHzHzRzR xxyy
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 88
h[n]H(z)
x[n]LTI
[ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=
X(z) Y(z)=X(z)H(z)
Sistemi inversi, identificazione di sistemi e deconvoluzione
In molte applicazioni nota l’uscita y[n] : a. (Sistema inverso) si vuole determinare l’ingresso x[n] , conoscendo il sistema LTI:
p.e. nelle trasmissioni numeriche (equalizzatori)b. (Identificazione) si vuole determinare il sistema LTI attraverso la h[n] o la H(z) ,
conoscendo l’ingresso: p.e. in geofisica per la caratterizzazione degli strati terrestri, in acustica per caratterizzare l’ambiente di riproduzione, nelle telecomunicazioni per stimare il canale di comunicazione (specialmente nel caso di canale radio)
In linea di principio si tratta in entrambi i casi di un problema di ‘deconvoluzione’.In pratica le soluzioni per questi due problemi sono diverse:a. In questo caso spesso si può supporre nota h[n] o H(z) b. In questo caso x[n] e y[n] sono generalmente sequenze sperimentali e non è
possibile ottenere le rispettive X(z) e Y(z)
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 89
a. Sistema inverso
h[n]H(z)
x[n] [ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=
X(z) Y(z)=X(z)H(z) )(1)(
zHzH I =
x[n]Sistema inverso
Occorre specificare la ROC di HI (z) Esempi
1) [ ] [ ] )stabile sist. 1(,1
1)( 1 <>=↔−
= − azROCnuanhaz
zH n
[ ] [ ] [ ] 0,11)( 1 ≠−−=↔−= − zROCnannhazzH II δδ
Il sistema inverso è del tipo FIR.
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 90
2) [ ] [ ] [ ] 0,11)( 1 ≠−−=↔−= − zROCnbnnhbzzH δδ
Il sistema inverso può avere diverse ROC :
i) ROC
Sistema causale e stabile se |b| < 1
ii) ROC
Sistema non causale e stabile se |b| > 1
Proprietà generale: se H(z) è un sistema a fase minima anche HI(z) è a fase minima.
111)( −−
=bz
zH I
bz >
[ ] [ ]nubnh nI =
bz <
[ ] [ ]1)( −−−= nubnh nI
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 91
b. Identificazione di sistema
h[n]H(z)
x[n] [ ] [ ] [ ]nhnxny ∗=
X(z) Y(z)=X(z)H(z) Algoritmoh[n]
Identificazione
Supponiamo il sistema causale descritto da
si può stimare h[n] ricorsivamente:
Ovviamente l’algoritmo si applica anche alla realizzazione del sistema inverso scambiando i ruoli di x[n] e h[n].L’algoritmo può presentare problemi di precisione numerica al crescere di n.
[ ] [ ] [ ] [ ] 000
<∀=−= ∑=
nnxeknxkhnyn
k
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ] [ ]
[ ] 1,0
00,000
1
0 ≥−−
=
≠=
∑−
= nx
knxkhnynh
xxyh
n
k
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EQUIVALENZA FRA FILTRAGGIO ANALOGICO E NUMERICO
Analogico
Ha(f )xa(t) ya(t)
ff1
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 93
Numerico
Filtroantialiasing A/D H(F)
D/AFiltroricostr.
21c
tfff << tc ff 2≥
Fcf
fF 11 =
xa(t) x(t) x[n] y[n] y(t)
|H(F)|
E. Del Re – Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali 94
)()( tyty a≅
L’approssimazione dipende da:
Caratteristiche spettro di xa(t)Risposta filtro antialiasingCampionatore non idealeQuantizzazioneFiltro numerico non idealeRisposta D/A e filtro ricostruzione