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Statica del corpo rigido
Condizioni di equilibrio
Calcolo delle Reazioni Vincolari
Obiettivo della lezione: apprendere le equazioni cardinali della statica e applicarle al calcolo delle reazioni vincolari. Calcolare le reazioni vincolari per strutture semplici ed articolate
Equilibrio del punto materiale
• Un corpo soggetto all’azione di forze esterne tipicamente è costretto a muoversi di moto
accelerato
• Tuttavia in certe situazioni, esistono
particolari rapporti tra le forze applicate tali che il moto venga a mancare del tutto o
sia di tipo rettilineo uniforme
• Queste condizioni vengono dette «di equilibrio statico»
• Nel caso del punto materiale sottoposto ad
un sistema di forze, la condizione di equilibrio
si esperime come segue:
Nel piano
0=∑F
0=∑ xF
0=∑ zF
0=∑ yF
Equilibrio del corpo rigido
• Nel caso del corpo rigido le relazioni di equilibrio vedono coinvolte non solo le forze ma anche i momenti generati dalle forze stesse
• Infatti un corpo rigido si trova in equilibrio quando sono verificate due relazioni vettoriali indipendenti
1) La somma vettoriale di tutte le forze applicate al corpo è nulla
2) La somma vettoriale dei momenti applicati al corpo, calcolati rispetto ad un punto qualsiasi, è nulla
• Queste vengono definite «equazioni cardinali della statica»
Equilibrio del corpo rigido
Le due equazioni vettoriali corrispondono a due terne di equazioni scalari (nello spazio) e
a tre equazioni scalari nel piano e precisamente:
0=∑FFx∑ =0
Fy∑ =0
Fz∑ =0
0=∑ OMM
Ox∑ =0
M
Oy∑ =0
M
Oz∑ =0 Fx∑ =0
Nello spazio
Nel piano i due sistemi si riducono a:
Osserviamo che il numero di equazioni per l’equilibrio corrisponde al numero di gradi di libertà da bloccare affinché si ottenga l’equilibrio.
Fy∑ =0
M
Oz∑ =0
Reazioni vincolari
• Come abbiamo visto, i corpi rigidi interagiscono con il riferimento fisso tramite i vincoli, dei quali abbiamo precedentemente analizzato il comportamento cinematico (ossia i movimenti consentiti ed impediti)
• Tuttavia, in presenza di forze esterne, i vincoli esercitano forze che, per il
principio di Azione e Reazione, sono uguali alle forze applicate in modulo e
direzione ma di segno opposto
Tali forze vengono chiamate «reazioni vincolari»
• In particolare, le reazioni vincolari agenti sul corpo saranno uguali e contrarie alle azioni che il vincolo applica sul mondo esterno (nel caso di vincolo esterno) o sull’asta adiacente (nel caso di vincolo interno).
• Dunque le reazioni vincolari, unitamente alle forze esterne applicate, costituiscono un sistema di forze per le quali deve essere garantita la condizione di equilibrio secondo le leggi della statica dei corpi rigidi.
Reazioni vincolari
Nelle applicazioni pratiche, alcuni dei carichi agenti sulla struttura (forze e
momenti) sono noti e si definiscono “carichi attivi” o “esterni”.
Altre forze, in particolare quelle esercitate dai vincoli che collegano la struttura
in studio al mondo esterno, sono incognite e devono essere determinati
analiticamente affinché sia verificato l’equilibrio della struttura. Queste sono le reazioni vincolari
Peso palla
Forza muscolare
Reazioni vincolari
Nelle applicazioni pratiche, alcuni dei carichi agenti sulla struttura (forze e
momenti) sono noti e si definiscono “carichi attivi” o “esterni”.
Altri, in particolare quelli esercitati dai vincoli che collegano la struttura in studio
al mondo esterno, sono incogniti e devono essere determinati analiticamente
affinché sia verificato l’equilibrio della struttura. Queste sono le reazioni vincolari
Metà peso corporeo
Metà peso corporeo
Reazioni esercitate dai vincoli semplici
Incastro
Questo vincolo elimina tutte le tre
libertà di movimento possibili del
corpo rigido, quindi è un vincolo triplo
(3 GdV).
Le reazioni vincolari
Le reazioni vincolari sono costituite
da due forze in direzione orizzontale
e verticale (HA e VA) e da un
momento (MA).
A
A
B
B
MA
HA
VA
• E’ importante il verso delle reazioni vincolari ?
• Come deve essere determinato?
Inizialmente non dobbiamo preoccuparcene. In generale si procede ad ipotizzare un verso (casualmente o con criterio) che sarà successivamente confermato (o smentito) dal
risultato delle equazioni di equilibrio
F
Reazioni esercitate dai vincoli semplici
Cerniera
Questo vincolo consente solo la
rotazione dell’asta, quindi è un vincolo
doppio (2 GdV).
Le reazioni vincolari
Le reazioni vincolari sono costituite
da due forze ortogonali alla superficie di appoggio della cerniera (terra, HA e VA).
Spesso si esplicitano le componenti in
direzione normale e tangenziale
rispetto all’asta (NA e TA)
A
A
B
B HA
VA
F
Reazioni esercitate dai vincoli semplici
Cerniera
Questo vincolo consente solo la rotazione
dell’asta, quindi è un vincolo doppio (2
GdV).
Le reazioni vincolari
Le reazioni vincolari sono costituite
da due forze in direzione orizzontale
e verticale (HA e VA) o in alternativa in direzione normale e tangenziale rispetto all’asta (NA e TA) Differenza? Quando calcoleremo le azioni interne, saremo interessati ai contributi normali
(azione normale, trazione/compressione) e
tangenziali (taglio)
A
A
B
B
HA
VA
A
B
TA
NA
F
Reazioni esercitate dai vincoli semplici
Cerniera con carrello
Questo vincolo consente la rotazione
dell’asta e la sua traslazione
orizzontale, impedendo solo lo
spostamento verticale, quindi è un
vincolo semplice (1 GdV).
Le reazioni vincolari
L’unica reazione vincolare del carrello
è costituita da una forza verticale VA ortogonale alla direzione di scorrimento
A
A
B
B
VA
F
Reazioni esercitate dai vincoli semplici
Cerniera con carrello
Questo vincolo consente la rotazione
dell’asta, e la sua traslazione
orizzontale quindi è un vincolo
semplice (1 GdV).
Le reazioni vincolari
La forza di reazione è sempre perpendicolare alla direzione di scorrimento del carrello Anche in questo caso può risultare
conveniente scomporre la reazione VA
nelle sue componenti TA (parallela
all’asse della trave) e NA (ortogonale
all’asse della trave)
A
A
B
B
VA
A
B
VA
TA
NA
Reazioni esercitate dai vincoli semplici
Pattino
Questo vincolo consente solo la
traslazione lungo la retta di scorrimento,
senza rotazioni (2 GdV),
quindi con rotazione nel punto all’infinito
in direzione perpendicolare alla retta di
traslazione (CIR).
Le reazioni vincolari
Le reazioni vincolari sono costituite
da una forza in direzione perpendicolare
alla retta di scorrimento (RC) e da un
momento (MC). Rc
C
C
Mc
Vincoli tra corpi rigidi (vincoli interni)
Consideriamo ora i vincoli che permettono il collegamento tra due o più aste nel
piano, valutando le reazioni vincolari interne presenti
• Se separiamo due aste collegate rigidamente o spezziamo un’asta singola, possiamo mettere in evidenza due forze presenti nel punto
di separazione (Rx e Ry) e un momento (Mz)
• Perchè sia garantito l’equilibrio, nei due spezzoni di asta saranno presenti forze e momenti uguali e contrari
A
B
C
D
A
B
C
D
Rx
Ry Rx
Ry Mz
Mz
Vincoli tra corpi rigidi (vincoli interni)
Nel caso di cerniere interna tra due aste, la separazione delle aste permette di evidenziare due forze presenti nel punto di separazione in direzione
orizzontale e verticale (CO e CV) o in direzione normale e tangenziale (CN e CT)
Nelle due aste saranno presenti forze uguali e contrarie.
C
Co
Cv
Co
Cv
CT CN
CN CT
Asta 1
Asta 2
Asta 1
Asta 2
Asta 1
Asta 2
Utilizzo del sistema di riferimento assoluto Utilizzo delle componenti normale e tangenziale
Carichi esterni e reazioni vincolari
Generalmente nelle applicazioni strutturali sono presenti sui componenti o
sistemi carichi esterni noti (forze e momenti), derivanti dalla funzione svolta, e reazioni vincolari originate dai vincoli che collegano il corpo o il sistema con il mondo esterno (a terra).
MA
HA
VA
F F
Carichi esterni e reazioni vincolari
Generalmente nelle applicazioni strutturali sono presenti sui componenti o
sistemi carichi esterni noti (forze e momenti), derivanti dalla funzione svolta, e reazioni vincolari originate dai vincoli che collegano il corpo o il sistema con il mondo esterno (a terra).
Nelle operazioni da effettuare per il calcolo delle reazioni vincolari (incognite),
possiamo utilizzare le seguenti regole:
1) Le forze applicate possono essere traslate lungo la propria retta di applicazione, in quanto tali traslazioni non cambiano le condizioni di equilibrio nel corpo rigido.
Carichi esterni e reazioni vincolari
d
2) Le forze applicate possono essere spostate lungo una retta parallela, a patto
di aggiungere un momento (denominato «momento di trasporto») pari al prodotto dell’intensità della forza per la distanza tra le rette di applicazione.
O O O’ O’
Carichi esterni e reazioni vincolari
3) Ad un insieme di forze applicate nello stesso punto del corpo rigido è
possibile sostituire la loro risultante (somma vettoriale).
Carichi esterni e reazioni vincolari
Le equazioni di equilibrio del corpo rigido
possono essere utilizzate per calcolare le reazioni vincolari, operazione necessaria per configurare e dimensionare opportunamente il vincolo (ad es.
cuscinetto) ma soprattutto per poter valutare quali sono gli effetti dei carichi esterni (e delle corrispondenti reazioni vincolari) sulla condizione di sollecitazione interna della struttura.
1) La somma vettoriale di tutte le forze applicate al corpo è nulla
2) La somma vettoriale dei momenti applicati al corpo, calcolati
rispetto ad un punto qualsiasi, è nulla
Esempio 1
Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della struttura in figura
F
L
a b (=L-a) GdL = 3 (1 asta) GdV = 2+1 = 3
Il sistema è isostatico
F
VA VB
HA
A B
Sostituiamo ai vincoli le
reazioni relative ai movimenti
impediti
N.B. la scelta del verso non è rilevante!
Nomenclatura reazioni?
Esempio 1
F
VA VB
HA Sostituiamo ai vincoli le
reazioni relative ai movimenti
impediti
L
a b
Scriviamo le equazioni di equilibrio
Traslazione orizzontale
0=∑ xF
Rotazione intorno al punto A
Traslazione verticale
0=AH
0=∑ yF
0=∑ AM
BABA VFVVFV −=⇒=+− 0
l
aFVlVaF BB
⋅=⇒=⋅−⋅ 0
Sistema di riferimento? Scelta del polo?
Esempio 1
F
VA VB
HA Sostituiamo ai vincoli le
reazioni relative ai movimenti
impediti
L
a b
l
bFV
l
alFV
l
aFV
l
aFFV
l
aFV
VFV
AAAA
B
BA⋅
=⇒
−⋅=⇒
−⋅=⇒
⋅−=⇒
⋅=
−=
1
l
bFVA
⋅=
l
aFVB
⋅=
Esempio 2
Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della seguente asta vincolata
isostaticamente:
W/2 W/2
Peso corporeo = W
L
L/4 L/4 L/2
A B
VA VB
W/2 W/2
HA
Esempio 2
L
L/4 L/4 L/2
VA VB
W/2 W/2
HA
Scriviamo le equazioni di equilibrio
Traslazione orizzontale
0=∑ xF
Rotazione intorno al punto A
Traslazione verticale
0=AH
0=∑ yF
MA∑ = 0
022
=+−− BA VWW
V
L
LLWLW
VLVLLWLW
BB
+⋅+
⋅
=⇒=⋅−
+⋅+
⋅
42242 0
42242
x
y
Esempio 2
L
L/4 L/4 L/2
VA VB
W/2 W/2
HA
Rotazione intorno al punto A
Traslazione verticale
0=∑ yF BABA VWVVWW
V −=⇒=+−− 022
L
LW
L
LWLW
L
LWLW
L
LLWLW
VB⋅
⋅⋅⇒
⋅⋅+
⋅
⇒
⋅⋅+
⋅
⇒
+⋅+
⋅
=8
4 8
3
8 4
3
28
42242
x
y
2
WVB =
2
WVA =
Carichi concentrati e carichi distribuiti
Fino ad ora sono stati presi in esame carichi
esterni agenti sulla struttura espressi attraverso
forze cosiddette concentrate
Tuttavia, nella pratica ingegneristica è frequente il
caso di carichi cosiddetti “distribuiti” (si pensi ad
esempio al caso di un tetto ricoperto da uno strato
di neve)
Carichi concentrati e carichi distribuiti
Ripartizione del carico corporeo
(tronco + cosce) sulla seduta di una
postazione di operatore di gru
portuale
Carichi concentrati e carichi distribuiti
Poiché stiamo prendendo in esame strutture
piane, i carichi distribuiti sono espressi mediante
un rapporto tra forza e lunghezza
Forza
Lunghezza=N
m
Ai fini del calcolo delle reazioni vincolari, è
importante stabilire entità e posizione della risultante del carico ripartito
Tale compito è semplice quando la distribuzione
delle forze è costante (caso più frequente) o segue
una legge geometrica ben definita
Carichi concentrati e carichi distribuiti
Tuttavia, nei casi più generali la risultante del
carico distribuito si ottiene dall’integrazione della
legge di distribuzione del carico, ossia:
e la sua posizione (sull’asse delle x) è quella del
centroide dell’area in esame, che si ottiene dalla
relazione:
una volta determinato modulo e punto di
applicazione della risultante del carico distribuito,
si procede all’applicazione delle equazioni di
equilibrio come visto in precedenza
� � � ����
�
�̅ � �������
Esempio di calcolo
Si vogliono calcolare le reazioni vincolari
della struttura rappresentata in figura.
N.B: è possibile applicare il principio della sovrapposizione degli effetti.
Il carico può essere immaginato come
somma di una distribuzione uniforme
(rettangolare) di entità 120 e un carico
triangolare di entità massima 160
Una volta determinate entità e posizione
delle risultanti, si procede al calcolo delle
reazioni vincolari applicando le equazioni
cardinali della statica
Esempio di calcolo
Esempio di calcolo
Esempio di calcolo
Esempi 3-4-5
Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari delle seguenti strutture
A B
L
H
q=1000 N/m
A
B
1.200
0.600
F=2000 N
�=60°
A B
2.000
H=500 N
F1=2000 N
F2=4000 N
0.600
F 3
4
5
Esempi 6-7
0.600
A B
q=2000 N/m
0.150
M = 100 N m
0.300 0.150 0.150
0.600
A B
q=2000 N/m F=200 N
0.400
0.400
C
0.300
45° 6
7
Esempio 8
Calcoliamo le reazioni vincolari della seguente asta vincolata isostaticamente:
45° 45° A B C F=2000 N
1.500
1.000
Esempio 7
Scriviamo le equazioni di equilibrio
RAV
RAo
Traslazione orizzontale
0=∑ xF
0=∑ yF
Rotazione intorno al punto B
0=∑ BM
Traslazione verticale
0045cos =⇒=°⋅= AAAO RRR
PRPRPRR BBBAV =⇒=−⇒=−+ 00
20
2
lPM
lPM AA ⋅=⇒=⋅+−
45°
Esempio 8
Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari dell’asta in figura vincolata
isostaticamente:
A
B
F=2000 N
2.0 2.0
Esempio 8
Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della seguente asta vincolata
isostaticamente:
Esempio 8
Traslazione orizzontale
0=∑ xF
0=∑ yF
Rotazione intorno al punto O
0=∑ OM
Traslazione verticale
0=AR
PRPR BB =⇒=− 0
aPMaPaPMaRaPM AABA ⋅−=⇒⋅−⋅=⇒=⋅−⋅+− 202
Esempio 9
Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della seguente asta vincolata
isostaticamente:
In questa struttura è presente una coppia concentrata (momento concentrato)
Esempio 10
Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della seguente asta vincolata
isostaticamente:
A
B
F=3500 N
3.0
q=4000 N/m 2.0
3.0
60°
Esempio 11
A B RA RB
HB
A B
0.600 0.200 0.400
q=1200 N/m
Esempio 10
a b c
A B RA RB
HB
Scriviamo le equazioni di equilibrio
Traslazione orizzontale
0=∑ xF
0=∑ yF
Rotazione intorno al punto B
0=∑ BM
Traslazione verticale
0=AH
0)( =++⋅−+ cbaqRR BA
( ) ( ) ( ) 0222
=
⋅⋅+
⋅⋅−
+⋅⋅−⋅
ccq
bbqb
aaqbRA
Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi
Esempio: arco a tre cerniere (sistema isostatico di corpi rigidi più semplice)
GdL = 6 (2 aste) GdV = 2+2+2 = 6
Il sistema è isostatico
F
L/2
L
α
HA
VA
HC
VC
A C
B
A C
B B
F
Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi
HA
VA
HC
VC
A C
B B
F
Come visto in precedenza, le reazioni possono anche essere espresse in termini di
componenti normale e tangenziale all’asta. A tale proposito si ricordi che le componenti dirette come l’asta non generano momento. Questa schematizzazione sarà utile per il calcolo delle azioni interne (che vedremo più avanti)
H’C
V’C
A C
B
B F
H’B V’B
V’B
H’B
V’A
H’A
Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi
C
B
C
B
Reazione Comp. normale Comp. tang
HC H’Cn = HC sen α H’Ct = HC cos α
VC V’Cn = VC cos α V’Ct = VC sen α
Le componenti normali e tangenziali delle reazioni
vincolari originarie possono essere calcolate
tenendo presente che ciascuna di esse, scomposta
nelle due direzioni, dà un contributo sia alla
reazione normale che a quella tangenziale
Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi
Esaminiamo l’asta AB. Affinché questa non ruoti, è necessario che la reazione V’B sia nulla, quindi l’unica reazione residua è H’A
H’C
V’C
A C
B
B F
H’B V’B
V’B
H’B
V’A
H’A
Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi
Esaminiamo l’asta AB. Affinché questa non ruoti, è necessario che la reazione V’B sia nulla, quindi l’unica reazione residua è H’A
Se ne deduce che, per l’equilibrio, deve risultare H’A = H’B
Ovviamente dobbiamo cancellare V’B anche dall’asta BC
Esaminiamo l’asta BC
Per l’equilibrio alla traslazione orizzontale la componente della forza in direzione dell’asta deve essere uguale alla reazione H’C
H’C V’C
A C
B B
F
H’B
H’A
αα cos 0cos '' ⋅−=⇒=+⋅ FHHF CC
Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi
Ora imponiamo l’equilibrio alla rotazione dell’asta BC intorno al punto C
H’C V’C
A C
B B
F
H’B
H’A
α
α
α 2
2
02
''
senF
l
lsenF
Hl
senFlH BB ⋅−=
⋅⋅
−=⇒=⋅⋅+⋅
Equilibrio alla traslazione in direzione tangenziale
αα cos 0cos '' ⋅−=⇒=+⋅ FHHF CC
Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi
Infine imponiamo l’equilibrio alla traslazione in direzione normale
H’C V’C
A C
B B
F
H’B
H’A
αααα 2
0 2
0 '''' sen
FVVsen
FsenFVHsenF CCCB ⋅⇒=−⋅−⋅⇒=−+⋅ =
Quindi riassumendo:
⋅−=
⋅
⋅−==
=
α
α
α
cos
2
2
'
'
''
FH
senF
V
senF
HH
C
C
BA
Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi
Asta BC ruotata. La forza F è inclinata
dell’angolo α rispetto alla direzione dell’asta.
Possiamo scomporla in due componenti
α
α
cos
senFF
FF
y
x
⋅=
⋅=
Le componenti normali e tangenziali delle reazioni vincolari originarie possono essere
calcolate tenendo presente che ciascuna di esse, scomposta nelle due direzioni, dà un
contributo sia alla reazione normale che a quella tangenziale
Reazione Comp. normale Comp. tang
HC H’Cn = HC sen α H’Ct = HC cos α
VC V’Cn = VC cos α V’Ct = VC sen α
HC
Fx
Fy
VC
Esempio 12
GdL = 6 (2 aste) GdV = 3+2+1 = 6
Il sistema è isostatico
F
L/2
L
A
h
B
D
α
F A
B
D
B
C
VC
VB
VB HB HB
HA
VA
MA
Esempio 12
F
B
D
VC VB
HB
Reazione Comp. normale Comp. tang
HB H’Bn = HB cos α H’Bt = HB sen α
VB V’Bn = VB sen α V’Bt = VB cos α
V’B
H’B
Imponiamo l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto B
FL
LFVLVLF Cc ⋅=
⋅
⋅⋅=⇒=⋅−⋅⋅
2
3
2
3 0
2
3
Imponiamo l’equilibrio alla traslazione verticale
FVFFVFFVFVV BBBCB ⋅−=⇒⋅−=⇒=⋅+⇒=−+2
1
2
3
2
3 0
''''
Imponiamo l’equilibrio alla traslazione orizzontale
0'
=BH Ciò implica che HB=0
α
Esempio 11
Imponiamo l’equilibrio alla rotazione rispetto al punto A
cos 2
1 0 hFMhHMMhH AbAAB ⋅⋅−=⇒⋅=⇒=−⋅ α
A
B
VB
HB
VA
MA
2
1
cos 2
1cos
'
'
⋅−=⋅=
⋅−=⋅=
αα
αα
senFsenVV
FVH
BB
BB
V’B
HA
Imponiamo l’equilibrio alla traslazione verticale
α 2
1 0 senFVVVVV ABAAB ⋅−=⇒=⇒=−
Imponiamo l’equilibrio alla traslazione orizzontale
αcos 2
1 0 ⋅−=⇒=⇒=− FHHHHH ABAAB
Esempio 12