Post on 19-Feb-2019
transcript
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Definizione
(W , F , P[.]) spazio di probabilità
X: W → 𝓡 è una variabile aleatoria ⟺ ∀r∈ 𝓡 Ar={w ∈ W : X(w) ≤ r} ∈ F
Ww1
w2
w3
x3 x1 x2
𝓡
X
r𝓡
X
W
Ar
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Esempio
Esperimento: lancio di una moneta W = {T, C} X: W → 𝓡 X(T) = 1 X(C) = 0
TC
0 1Ar = ∅ ∈ F
r<0W
TC
0 1Ar = {C} ∈ F
0≤r<1
W
TC
0 1Ar = W ∈ F
r≥1
W
r
r
r
Nota: si utilizza la notazione X=x per indicare l’evento X-1(x) e, in generale, X∈A⊆𝓡 per indicare l’evento X-1(A)
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Variabili aleatorie
Non discrete
Assolutamente continue
Continue
Miste
Discrete
(assumono al piùun’infinità numerabile divalori reali)
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Ogni v.a. è caratterizzata da una legge o distribuzione che viene determinata mediantel’assegnazione di:
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
F: 𝓡 → [0;1] è una funzione di ripartizione ⟺ (i)
(ii) F(x) è monotona non decrescente
(iii) F(x) è continua da destra:
Ogni funzione di ripartizione può essere associata ad una v.a. X e alle probabilità che essaassuma determinati valori secondo la definizione:
∀x∈𝓡 P[X ≤ x]=F(x)
10
xFlimxFlimxx
xFhxFlimh
0
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Nota
P[ a<X≤b ] = FX(b)-FX(a)
Dim.: FX (b) = P[X ≤ b] = P[(X ≤ a)∪(a<X ≤ b)]= FX(a)+ P[ a<X≤b ]
11
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
f: 𝓡 → [0;1] è una funzione di massa di probabilità discreta ⟺
⟺ esiste un insieme, al più numerabile, di numeri reali x1, x2, …, xn, … tale che:
(i) f(xi) > 0 i=1, 2, ….
(ii) f(x) = 0 per x≠ xi i=1, 2, ….
(iii) ∑if(xi) = 1
Ogni funzione di massa di probabilità discreta corrisponde ad una v.a. discreta X cheassume i valori x1, x2, …, xn, … con probabilità:
P[X= xi] = f(xi)
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
0.4
0.1
0.2
0.3
Esempio
1 2 3 4
X v.a. discreta cheassume i valori 1, 2, 3, 4rispettivamente conprobabilità:
P[X=1]=0.4
P[X=2]=0.1
P[X=3]=0.2
P[X=4]=0.3
Funzione di massa di probabilità
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Esempio
Esperimento: lancio di una moneta W = {T, C} P[T]=p P[C]=1-p
X: W → 𝓡 X(T) = 1 X(C) = 0
11
101
00
0
1
01
x
xp
x
xF
altrove
xp
xp
xf
X
XFunzione di massa di probabilità associata a X
Funzione di ripartizione associata ad X
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
f: 𝓡 → [0 ; +∞[ è una funzione di densità di probabilità ⟺ (i) f (x) è integrabile su 𝓡
(ii) 1
dxxf
Area = 1
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Definizione
X continua ⇔ la sua funzione di ripartizione è continua
X assolutamente continua con densità f ⇔
Proprietà
1) Una v.a. assolutamente continua è anche continua.
2) X continua ⇒ ∀x∈𝓡 P[X=x]=0
b
abab,a
dxxfbXaP
000
εxFlimxFεxXPlimxXPxXDim.: P Xε
Xε
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Corrispondenza tra funzione densità e funzione di ripartizione
• Assegnata f(x) si può determinare F(x):
V.a. discreta V.a. assolutamente continua
xx
j
j
xfxF
x
XX dttfxF
• Assegnata F(x) si può determinare f(x):
V.a. discreta V.a. assolutamente continua
hxFlimxFxfh
0
xFdx
dxf XX
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Esempio
x 7 8 9 10
f(x) 0.17 0.43 0.35 0.05
101
109950
98600
87170
70
x
x.
x.
x.
x
xF
7 8 9 10
0.17
0.43
0.35
0.05
7 8 9 10
0.17
0.60
0.951
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Esempio
41
414
3
102
1
00
x
x
x
x
xF
0:x di va lori a l tri gl i tutti Per
4
1
4
31444
4
1
2
1
4
3111
2
10
2
1000
0
0
0
xf
hFlimFf
hFlimFf
hFlimFf
h
h
h
0.5
0.75
1
0 1 4 0 1 4
0.5
0.25
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Esempio
10
15 6
x
xxxfX
115
10
5
1
6 xsexdtt
xse
xF xX
5 5
1 1
1
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
V.a. discreta V.a. assolutamente continua
j
jXjX xfxμXE dxxfxμXE XX
NotaLa media esiste se i corrispondenti serie o integrale sono assolutamente convergenti.
Proprietà1) ∀c∈𝓡 E[c] = c
2) E[aX+bY] = a E[X]+b E[Y]
Media (valore atteso)
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Mediana Me = inf { x : FX(x) ≥ 0.5 }
Quantile a-esimo (0<a<1) o percentile a-esimo qa = inf { x : FX(x) ≥ a }
Q1 = primo quartile = q0.25 Q3 = terzo quartile = q0.75
Nota
Quando F è invertibile si ha: qa = F-1(a)
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Varianza
V.a. discreta V.a. assolutamente continua
dxxfμxσXVar XXX
22 jX
jXjX xfμxσXVar
22
NotaLa varianza esiste se i corrispondenti serie o integrale sono convergenti.
Scarto quadratico medio 2XX σσ
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Proprietà
1) ∀c∈𝓡 Var[c] = 0
2) Var[aX+b] = a2 Var[X]
3) Var[X] = E[X2] – mX2 se E[X2] esiste
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Esempio
x 7 8 9 10
f(x) 0.17 0.43 0.35 0.05
101
109950
98600
87170
70
x
x.
x.
x.
x
xF
E[X] = 7 ∙ 0.17 + 8 ∙ 0.43 + 9 ∙ 0.35 + 10 ∙ 0.05 = 8.28
Me=8 Q1 = q0.25=8 Q3 = q0.75=9
q0.05=7 q0.95=9
Var[X] = 72 ∙ 0.17 + 82 ∙ 0.43 + 92 ∙ 0.35 + 102 ∙ 0.05-8.282 = 0.6416
sX ≅ 0.801
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
altrove
NxxxxfX
0
01
1
Esempio
1 1
1
n nnn ⇒ ∄ E[X]
.........
x.
x.
x.
x
nnxF
x
nX
43750
3260
2150
10
1
1
1
Me=1 Q1 = q0.25=1 Q3 = q0.75=3
∄ Var[X]
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Esempio
11
10
10
155
6
xx
xxF
x
xxxf XX
5 2Me = FX-1(0.5) ⇒ 1-Me-5 = 0.5 ⇒ Me = ≅ 1.149
Q1 = FX-1(0.25) ⇒ 1-Q1
-5 = 0.25 ⇒ Q1 = ≅ 1.059
Q3 = FX-1(0.75) ⇒ 1-Q3
-5 = 0.75 ⇒ Q3 = ≅ 1.319
53
4
5 4
2514
5
455
1
4
1
6 .x
dxxxXE
3220
104016
25
35
16
255
1
3
1
62
.XVar
.x
dxxxXVar
X
s
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
X v.a con media mx e deviazione standard sx:
2
110
kkσμXPk XX
Esempio
X v.a con mx=2 e sx=3
88901179
11923
750844
11622
0321
.XPXPk
.XPXPk
XPk
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
altrove
bxaabxfX
0
1
X ∼ U([a;b])
a b
1/(b-a)
a b
1
bx
bxaab
ax
ax
xFX
1
0
122
2abXVar
baXE
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Esempio
Giacomo arriva alla fermata dell’autobus alle 10, e sa che ne passerà uno in unmomento distribuito uniformemente tra le 10 e le 10:30.Qual è la probabilità che debba aspettare più di 10 minuti?Qual è la probabilità che debba aspettare dai 5 ai 25 minuti?
3
2
30
1525255
3
2
30
110110
altrove0
30030
1
30;0U~ attesa di tempo
25
5
30
10
dxFFXP
dxFXP
xxfXX
XX
X
X
10
255
30
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
altrove
xeλxf
λx
X0
0X ∼ exp(l)
00
01
x
xexF
λx
X
l
2
11
λXVar
λXE
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
• La distribuzione esponenziale serve per modellizzare fenomeni in cui, a partireda un dato istante o posizione iniziale, si attende il verificarsi di un certo evento:ha distribuzione esponenziale la v.a il cui valore rappresenta l’istante, o laposizione, in cui si verifica l’evento atteso.
• La distribuzione esponenziale è caratterizzata dalla “mancanza di memoria”: laprobabilità che il tempo d’attesa superi a, sapendo che ha già superato b (a>b),è uguale alla probabilità che il tempo d’attesa superi a-b. In formula:
P[X ≥ a | X ≥ b] = P[X ≥a-b]
Dim.
baXPbaFee
e
bF
aF
bXP
aXP
bXP
bXaXPbXaXP
Xba
b
a
X
X
11
1 l
l
l
Politecnico di Milano sede di Piacenza
Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 3
Esempio
La distanza tra le crepe rilevanti del manto stradale di un’autostrada segue una distribuzione esponenziale con media di 5 km.a) Qual è la probabilità che non vi siano crepe rilevanti in un tratto di 10 km?b) Qual è la probabilità che la prima crepa rilevante si trovi fra 12 e 15 km dall’inizio dell’ispezione?c) Supposto che non vi siano crepe nei primi 5 km ispezionati, qual è la probabilità che non ve ne siano anche nei successivi 10 km ispezionati?
X = distanza tra le crepe X ∼ exp(1/5)
135301011010
5
1
.eFXPa) X
041012151512 .FFXPb) XX
1353010515 .XPX|XPc)