Post on 02-May-2015
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Statistica per l’economia e l’impresa
Richiami di Algebra Matriciale
2
RICHIAMI ELEMENTARI DI ALGEBRA MATRICIALE
MATRICE → INSIEME ORDINATO DI NUMERI DISPOSTI IN RIGHE E COLONNE
ELEMENTO GENERICO i = 1, 2, …, M (righe);
j = 1,2, …, N (colonne).
MATRICE RETTANGOLARE DI DIMENSIONE M*N
SCALARE
VETTORE COLONNA
VETTORE RIGA
11 12 1
21 22 2
1 2
........
........
.. .
.. .
.. .
N
N
MNM M
a a a
a a a
aa a
A=
j
i
ija
MNA
11A
1MA 1NA
3
SE M=N È UNA MATRICE QUADRATA:
LA TRACCIA DI UNA MATRICE QUADRATA È DATA DALLA SOMMA DEGLI ELEMENTI DIAGONALI.
LA MATRICE DIAGONALE È UNA MATRICE QUADRATA FORMATA DA TUTTI ZERI AD ECCEZIONE DEI VALORI SULLA DIAGONALE PRINCIPALE:
MA
11 1
1
.........
. .
. .
. .
.......
M
M
M MM
a a
A
a a
11
22
0........ 0
0 ........ 0
.. .
.. .
.. .
0 0 MM
a
a
a
4
LA MATRICE IDENTITÀ È UNA MATRICE DIAGONALE CON ELEMENTI DIAGONALI
UNITARI:
OPERAZIONI CON LE MATRICI
UGUAGLIANZA
SE
SOMMA
È DEFINITA SE A, BSONO DELLO STESSO ORDINE E
1 0........ 0
0 1........ 0
. . .
. . .
. . .
0 0 1
A B ij ija b ,i j
A B C ,i j
ij ij ija b c
11 12 1
21 22 2
1 2
........
........
. . .
. . .
. . .
M
M
M M MM
a a a
a a a
a a a
+ =
11 12 1
21 22 2
1 2
........
........
. . .
. . .
. . .
M
M
M M MM
b b b
b b b
b b b
5
11 11 11 12 12 12 1 1 1
21 21 21 22 22 22 2 2 2
1 1 1 2 2 2
........
........
. . .
. . .
. . .
M M M
M M M
M M M M M M MM MM MM
c a b c a b c a b
c a b c a b c a b
c a b c a b c a b
=
ESEMPIO
PRODOTTO SCALARE
SE K È UNO SCALARE, ALLORA
ESEMPIO
5 0 1 3 4 5 1 3 0 3
2 4 3 5 5 3 2 1 5 4
11 1
1
.......
..
..
..
.......
N
MNM
a a
aa
11 1
1
.......
..
..
..
.......
N
MNM
Ka Ka
KaKa
=
MN ijK A Ka
K
6
PRODOTTO TRA MATRICI
CON ELEMENTO
ESEMPIO:
ESEMPIO NUMERICO:
MNA NPB
1
N
ij ik kjK
c a b
(3*2) (2*2)
7 101 2 3
*8 114 5 6
9 12
1*7 2*8 3*9 1*10 2*11 3*12
4*7 5*8 6*9 4*10 5*11 6*12
(2*3) (3*2)
(3*2)
(2*2)
ATTENZIONE
MN NPMPC A B
AB BA
11 1211 12
21 2221 22
31 32
11 11 11 12 21 12 11 12 12 22
21 21 11 22 21 22 21 12 22 22
31 31 11 32 21 32 31 12 32 22
*
a ab b
a ab b
a a
c a b a b c a b a b
c a b a b c a b a b
c a b a b c a b a b
7
TRASPOSIZIONE
LA TRASPOSTA DELLA MATRICE È
ESEMPIO
TEOREMI
MNA 'MNA
11 12 1
1 2
.........
.
.
.
.........
N
M M MN
a a a
A
a a a
11 21 1
12 22 2
'
1 2
......
......
.
.
.
......
M
M
N N MN
a a a
a a a
A
a a a
2 5
3 6
4 7
A ' 2 3 4
5 6 7A
''A A
' ' 'A B A B
(AB)’=B’A’
8
MATRICE SIMMETRICA
SE È UNA MATRICE QUADRATA ED
ALLORA È UNA MATRICE SIMMETRICA.
FORME QUADRATICHE
SE È UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE M*M, È UN VETTORE DI ORDINE M*1, IL PRODOTTO
PRENDE IL NOME DI FORMA QUADRATICA.
ESEMPIO:
A'A A
A
A X
'X AX
1
2
XX
X 11 12
21 22
a aA
a a
' 11 12 11 2
21 22 2
a a XX AX X X
a a X
11 1 12 21 2
21 1 22 2
a X a XX X
a X a X
9
2 211 1 12 1 2 21 1 2 22 2
2 211 1 12 1 2 22 22
a X a X X a X X a X
a X a X X a X
Se per ogni X diverso da 0
→ È DEFINITA POSITIVA
→ È SEMIDEFINITA POSITIVA
Scambiando il segno delle disuguaglianze si ottiene A DEFINITA NEGATIVA e A SEMIDEFINITA NEGATIVA
DETERMINANTE
AD OGNI MATRICE QUADRATA SI ASSOCIA UNO SCALARE DETTO DETERMINANTE, INDICATO GENERICAMENTE
SE LA MATRICE È NON SINGOLARE
SE LA MATRICE È SINGOLARE
CALCOLO DEL DETERMINANTE
IN UNA MATRICE QUADRATA SI DEFINISCE MINORE IL DETERMINANTE DELLA MATRICE DA CUI È STATA TOLTA LA i-esima RIGA E LA j-esima COLONNA.
SE SI MOLTIPLICA PER SI DEFINISCE IL COFATTORE .
A
A
det A
det 0A A
det 0A A
A
1i j
ijA
*ija
*ija
0' AXX0' AXX
10
IL DETERMINANTE DI SI OTTIENE COME SEGUE:
SE È 2*2, CIOÈ:
SE LA MATRICE È 3*3, CIOÈ:
MA
A
11 11 12 12 1 1det ... M MA a A a A a A A
11 12
21 22
a aA
a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
11 11 12 12 13 13det A a A a A a A
11 11 12 12 11 22 12 21
11 22 12 21
det A a A a A a a a a
a a a a
22 23*11 22 33 32 23
32 33
21 23*12 21 33 31 23
31 33
21 22*13 21 32 31 22
31 32
det
det
det
a aa a a a a
a a
a aa a a a a
a a
a aa a a a a
a a
11
11 22 33 32 23 12 21 33 31 23
13 21 32 31 22
11 22 33 11 32 23 12 21 33
12 31 23 13 21 32 13 31 22
det A a a a a a a a a a a
a a a a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
TEOREMI
SE DUE RIGHE/COLONNE DI SONO UGUALI ALLORA ;
SE SI SCAMBIANO DUE RIGHE/COLONNE IN CAMBIA IL SEGNO DEL ;
SE OGNI ELEMENTO IN È MOLTIPLICATO PER UNO SCALARE, È ANCH’ESSO MOLTIPLICATO PER TALE SCALARE;
SE IN OGNI RIGA/COLONNA OGNI ELEMENTO È SOMMATO AD UN MULTIPLO DI UN’ALTRA RIGA/COLONNA, NON CAMBIA.
'det detA A
det det detAB A BA
det 0AA
det A
Adet A
det A
12
INVERSIONE DI UNA MATRICE
L’INVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA È UNA MATRICE CHE PRE O POST MOLTIPLICATA PER PRODUCE LA MATRICE IDENTITÀ, CIOÈ:
IN ALTRI TERMINI, È L’INVERSA DI SE E SOLO SE:
E
CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PERCHÈ POSSEGGA L’INVERSA È CHE ,CIOÈ SE È NON SINGOLARE. PER OTTENERE BISOGNA DEFINIRE LA MATRICE AGGIUNTA DI (INDICATA CON ) CHE È LA TRASPOSTA DELLA MATRICE DEI COFATTORI, CIOÈ:
A1A A
1 1AA A A I B A
1B A BA AB I A
det 0A A1A
AadjA
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
1 2 1 2
...... ......
...... ......
. . . .
. . . .
. . . .
...... ......
M M
M M
M M MM M M MM
A A A A A A
A A A A A A
adjA
A A A A A A
'
13
L’INVERSA DI SI OTTIENE DA:
ESEMPIO:
QUINDI:
A
1 1
detA adjA
A
11 12
21 22
a aA
a a 11 12
21 22
A AadjA
A A
11 22
12 21
21 12
22 11
A a
A a
A a
A a
22 21 22 12
12 11 21 11
a a a aadjA
a a a a
'
1 22 12
21 1111 22 21 12
1 a aA
a aa a a a
14
ESEMPIO NUMERICO
DERIVAZIONE IN FORMA MATRICIALE
SE È UNO SCALARE ED È UN VETTORE COLONNA
LA DERIVATA PRIMA DI y RISPETTO AD OGNI ELEMENTO DI È DEFINITA DA:
1 2
3 4A
11
12
21
22
4
3
2
1
A
A
A
A
4 3 4 2
2 1 3 1adjA
1 4 2 4 2 2 110,5
3 1 3 1 1,5 0,54 6A
1 2, ,......, My f x x x X
1
2
.
.
.
M
x
x
X
x
X
15
1
2
.
.
.
M
y
x
y
xy
X
y
x
VALGONO POI LE SEGUENTI REGOLE DI DERIVAZIONE
-SE È UN VETTORE COLONNA DI M COMPONENTI COSTANTI
-SE È UNA MATRICE SIMMETRICA DI ORDINE M*M CON ELEMENTO TIPICO COSTANTE
a ia
'a Xa
X
Aija
'
2X AX
AXX
16
- SE E SONO MATRICI SIMMETRICHE DI ORDINE M*M CON ELEMENTI GENERICI COSTANTI
A B
'
' ''
2'
2 2X AX
AX X BX X AX BXX BX
X X BX
17
Prodotto di Kronecker
Sia A una matrice Rettangolare di ordine m x n e sia B una matrice di ordine QUALSIASI p x q.
Il prodotto di Kronecker di è dato dalla matrice di ordine m p x n q
BaBaBa
BaBaBa
BaBaBa
BA
mnmm
n
n
...
............
...
...
21
22221
11211