Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989) Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201...

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Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989)

Consideriamo lo stato fondamentale del modello di Hubbard repulsivo su un reticolo di dimensione qualsiasi bipartito L con |A| siti A e |B| siti B per cella,

Gli hopping accoppiano solo siti di un sottoreticolo a quelli dell'altro. Per U<0 e un numero pari di particelle lo spin totale e’ S=0.

Per U>0 a mezzo riempimento sia

| | | |, , , .x y x xx y x

B A H t c c U n n t U

Permette di stabilire l’esistenza diFerrimagnetismo da elettroni itinearanti, e la dimostrazione e’ bella e formativa.

Elliot H. Lieb (Boston 1932)

| |, con | |=numero siti

2 x xn n n

Allora, 2S=|B|-|A |.

This model was considered on a bipartite AB lattice in a famous paper by Lieb and Mattis (J. Mathematical Physics 3, 749 (1962)). They were able to show that in the ground state the spin of the elementary cell is 2S=|B|-|A| where |B| and |A| are the numbers of sites in the two lattices.

4Heisenberg m nmn

H J S S

Abbiamo visto che nel caso U>>t il modello di Hubbard si riduce al il modello di Heisenberg

La strategia di Lieb e’ quella di ricondursi a questo caso mostrando che esiste uno stato fondamentale unico con Sz=0 per ogni U>0; l’impossibilita’ di avere incroci comporta che il teorema validi per il caso di Heisenberg su estende a quello di Hubbard.

Relazione col modello di Heisenberg

2z x xx

†x x

Abbiamo visto che gli operatori di spin sono:

Si noti che agendo con S e con S che una configurazione simmetrica del tipo

( , , ,...., , , ,....)

dove gli indici denotano siti, ha S 0 ( e ' singoletto).

i j k i j k

Configurazione di singoletto

Trasformazione da U positivo a U negativoE da spin a pseudospin

c sottoreticolo A

c sottoreticolo Bx

2 2z zx xx

n nS n n S

† ( )x x x x

S c c S x d c

˜ H t dx d

y cx c

y x ,y U

x nx UN .

diversa da quella di spin giu'. †

x x xn d d

Cosi' uno mappa il problema repulsivo in uno attrattivo . Tranne il caso di un problema originale di half filling pero' ha in generale il problema trasformato ha una configurazione magnetica, con una popolazione

2 x x xn n n n

Half filling

Indicando | |L con il numero dei siti, specializziamoci allora ad half filling, quando ci sono n elettroni di spin alto e n di spin basso, con

spin spin spin spin

Lieb dimostra che il problema attrattivo ha uno stato fondamentale di singoletto con un ragionamento alla Perron-Frobenius. Poi dimostra che e’ unico sfruttando il principio variazionale e U<0.

Una configurazione siti con U>0

La stessa configurazione nella pittura U<0

Cambiamo notazione, eliminando i tilde, ponendo U<0 e scrivendo semplicemente

,x y x x

H t c c U Un n

Questo stato corrisponde nel problema repulsivo ad un solo stato fondamentale che si ottiene dalla trasformazione unitaria. Questo stato non degenere ha la stessa energia; non e’ in generale di singoletto ma si trova nel settore Sz=0 perche’ nel reticolo ci sono n elettroni per spin.

Nel problema con U<0, sia ( , , ,....) la tipica configurazione con spin sui siti i,j,k....

| |Numero configurazioni di spin su: ;| |

ci sono altrettante configurazioni i

spin giu'.

La dimensione del problema da risolvere per trovare lo stato fondamentale e’ m2. Il tutto si puo' formulare in termini di una matrice mxm W come segue. La funzione d'onda fondamentale puo' scriversi

in termini di configurazioni dei due spin e della matrice mxm W. Sulla base delle configurazioni sui siti, gli elementi diagonali contribuiscono alla funzione d'onda termini del tipo

( , , ,...., , , ,....)i j k i j k

che sono, come si e' visto, di singoletto di spin. 6

Matrice W delle ampiezze

L’elemento di matrice Wab va poi reinterpretato nel problema repulsivo nel senso che nello stato fondamentale a e’ la configurazione delle buche secondo lo schema

Si tratta, beninteso, di un singoletto di spin per il problema con U attrattivo, che non lo e' necessariamente per il problema repulsivo originario. Infatti nella trasformazione lo spin va nello pseudospin.Se vi sono termini diagonali non nulli in W, lo stato fondamentale y del problema attrattivo ha sicuramente almeno una componente di singoletto.

2 da' un singoletto a 2 particelle stati a un corpo

x, y ;infatti,1

21 202

Questo mostra che W puo ' avere

S ( ) 0.2

x y y x

x y x y y x

mponente di singoletto anche se

tutti i termini diagonali sono nulli.

Esempi

Il tripletto e'

212 02

ma noi possiamo prendere equivalentemente la matrice hermitiana

T xx yx y y x

se e’ uno stato fondamentale,

per la realta 'dell 'equazione di Schrödinger e’ uno stato fondamentale.

Ma H e' invariante scambiando ,

anche e’ uno st

ato fondamentale.

Quindi se W e’ uno stato fondamentale, e’ uno stato fondamentale.W

La matrice W puo' sempre essere presa hermitiana. Infatti,

† †

Quindi noi possiamo prendere le combinazioni lineari hermitiane

La matrice W puo ' essere presa hermitiana.

W W i W W

* ' ' * 2, ', ' , , , ,

, ', ' , ,

1 W W W W W W TrW

Con W hermitiana, la normalizzazione e'

Normalizzazione

Energia cinetica in termini di W

e’ la matrice dell'energia cinetica sulla base delle configurazioni. Dalla definizione uno puo’ calcolarsi direttamente le matrici

† †

, ,x y x y

x y x y

K t c c K t c c

* † *, , , ,

, , , , ,

x yx y

K W W t c c W W K

K K t c c K

* †, ,

La media di su viene:x y

x yx y

t c c W

K W W t c c

E poiche’ W e’ hermitiana,l’energia cinetica risulta espressa in termini dell’incognita W:

2, , , ,

, , , ,

K W W K W K W TrWKW TrKW

Per lo spin giu’ viene una delta : ; cosi'

x x x xx x

U n n W W U n n

U W W n n

, ,, , ,

x xx xx x

x x x xx x

U n n U W W n n

U W W n n U Wn W n

Introducendo la matrice del numero di occupazione, che non dipende dallo spin, sfruttiamo di nuovo il fatto che W e’ hermitiano:

Gli indici sembrano messi male, ma non c’e’ problema poiche' n e’ hermitiano e reale. Poiche’ la matrice di n e' simmetrica, questo vale

x x x xx x

U Wn W n UTr Wn Wn

2Quindi l 'energia totale e ' ( ) 2 x x

E W TrKW U TrWn Wn dove il 2 viene dalla somma sugli spin.

Interazione in termini di W

Equazione di Schrödinger (SE)

Variando ( ) 2( ) ( )x xx

E W WKW U Wn Wn

( ) 2 ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )ji ji x x ji x i x jx xij

E W K W W K U n W n U W n nW

L'ultimo termine si somma facilmente su :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x i x j x j x i x x ix x x

Wn n n Wn n Wn

( ) 2 ( ) ( ) ( )ji ji x x jixij

E W KW WK U n WnW

Variando rispetto a un elemento della matrice W

= moltiplicatore di Lagrange, si trova la SE.

( ( ) ) 0E W

d'altronde, | | ij jiij

W W WW

ed introducendo il moltiplicatore di Lagrange e si trova la SE

KW WK U n Wn W

iSe tutti gli autovalori w di W sono non negativi, W si dice

, e si scrivesemidefinita simbolicamenpositi te va 0.W

Definizione

Allora anche sulla base delle configurazioni W>0 ha elementi diagonali non nulli, lo stato fondamentale ha almeno una parte di singoletto, avendo termini del tipo

Se 0, 0 strettamente, perche ' se tutti gli autovalori fossero nulli,

la matrice sarebbe nulla e non sarebbe normalizzabile.

Nota Bene:

Faremo vedere poi che uno stato fondamentale deve essere semidefinito positivo.

( , , ,...., , , ,....).i j k i j k

Supponiamo di conoscere una W dello stato fondamentale. Diagonalizzandola, troviamo gli autovalori wi ed una matrice ortogonale C di autovettori tali che

Prendendo i moduli degli autovalori wi e tornando indietro, si ottiene una matrice semidefinita positiva, chiamiamola |W|, tale che:

W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale.

† diag( ).iC WC w

† | | diag(| |).iC W C w

2La norma non cambia dato che | | 1.

allo stesso modo non cambia l'energia cinetica 2 ( | | ).

iTr W w TrW

Tr K W

2 2 2 2Infatti, | | | | sulla base su cui W e ' diagonale .ij ii iijij

TrK W K W K w TrKW

(ragionamento alla Perron-Frobenius)

Dal momento che |W| e‘ uno stato fondamentale definito positivo, il problema con U<0 ha uno stato fondamentale di singoletto. Infatti, la traccia non nulla implica elementi di matrice diagonali non nulli anche sulla base delle configurazioni dei siti.

se calcolata con | W | invece viene ( ) .i j x ijx i

U w w n

L'energia potenziale se calcolata con W viene

( ) ( ) ( ) ( )

x x x x ii i x x ii i x ij j x jix xi xi xi

i j x ijx i

UTr Wn Wn U Wn Wn U w n Wn U w n w n

U w w n

Poiche' U e' negativo, |W| ha energia non superiore a W, quindi e' essa stessa uno stato fondamentale. (Questo era lo scopo della trasformazione canonica a U negativo).

Esiste uno stato fondamentale di singoletto. Bisogna dimostrare che in realta’ W=|W| e lo stato fondamentale e’ unico. Faremo vedere che deve essere semidefinito positivo e che tale proprieta’ non puo’ essere vera se non e’ unico.

W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale.

R W W 0.

Se supponiamo che R non abbia autovalori nulli, vuol dire che , | | 0

Allora a meno di un segno inessenziale, ritroviamo lo stesso stato fondamentale. Se viceversa supponiamo che esista un autovalore nullo, allora dimostramo che tutti sono nulli, cioe’ R=0, Infatti, dato l’autovalore nullo, sia V l'autovettore corrispondente, per il quale RV=0. Allora possiamo mostrare che questa relazione vale per tutto il set completo e R=0. Infatti, mediando l'equazione di Schroedinger per R su V, troviamo (l’argomento e’ euristico ma si puo’ rendere rigoroso)

0 0 0.

0 e allora anche 0.

V KR RK U n Rn V e V R V

R V V R V n Rn V

Rn V RK V

|W| e W sono stati fondamentali, quindi anche R=|W|-W lo e’. Inoltre,

Si dimostra per assurdo. Se lo stato fondamentale W non e’ semidefinito, cioe’ ha autovalori sia positivi che negativi, calcoliamo |W|; W stato fondamentale implica |W| stato fondamentale. Con esso formiamo R=|W|-W.

W fondamentale deve essere semidefinito positivo (o negativo)

| | 0w w

sia uno stato fondamentale,W

Unicita’ e spin dello stato fondamentale

Resta la possibilita' di avere due soluzioni W1 e W2 che differiscano anche per i moduli di alcuni autovalori. Pero' il fatto che lo stato fondamentale e’ definito positivo implica la sua unicita’. La combinazione lineare Wl =W1 + l W2 , che dovrebbe a sua volta essere uno stato fondamentale (da normalizzare) avrebbe traccia Tr (W1 + l W2 )=0 per una opportuna scelta di l , e dovrebbe avere autovalori sia positivi che negativi (con autovalori tutti nulli, W=0); ma come si e' visto, un W non semidefinito positivo (negativo) non puo' essere uno stato fondamentale. Questo dimostra che lo stato fondamentale non e' degenere.

In tal modo tutte le configurazioni connesse con V dal termine cinetico sono nel Kernel di R; ma date due configurazioni si possono sempre collegare con una potenza finita di K, e il Kernel si mangia tutto lo spazio di Hilbert. Una matrice che ha un kernel cosi’ grande e’ nulla.Quindi R=0, W=|W| e lo stato fondamentale e’ semidefinito positivo.

Torniamo alle variabili originarie, nel settore S 0 cioe’ .

Lo stato fondamentale con S 0 e' unicdel modello repulsivo o.

x xx x

Per U grandi il modello tende a quello di Heisenberg, che ha 2S=|B|-|A|. Questo deve valere per U qualsiasi, dato che l’unicita’ proibisce incroci di livelli.

Un W non semidefinito positivo (negativo) non puo' essere uno stato fondamentale.

Nel caso repulsivo lo stato fondamentale si ottiene dal caso attrattivo con la trasformazione canonica; quindi e’ unico.

Mielke ferromagnetism (J. Phys. A 24, 1991):the Kagome lattice is ferromagnetic at filling factor 1/6.

| |1 degeneracy

3 of one-body ground state.

(| |=number of sites)

First case with saturated ferromagnetism (all spins up) at finite U. The lowest band is dispersionless and this is called flat band ferromagnetism.

Mielke ferromagnetism (J. Phys. A 24, 1991)

Ferrimagnetismo

2S=B-A dove B ed A sono i numeri di siti dei due sottoreticoli ed S e' lo spin totale. Cio' implica S=0 per il modello di Hubbard triviale, S=1/2 per ogni cella del modello a 3 bande (senza interazioni O-O, perche’ deve essere un reticolo bipartito) etc.

Reticolo CuO2

In un reticolo di lato L, ci sono A= 2 L2 O e B= L2 Cu. Quindi, 2S= L2

Quindi il sistema senza interazioni O-O e’ ferrimagnetico: spin opposti su siti vicini, ma prevalenza numerica degli ossigeni e momento magnetico di bulk. In realta’ il sistema e’ antiferromagnetico, perche’ ci sono le interazioni O-O e perche’ ad essere mezza piena e’ la banda del Cu, non tutta la valenza.

Antiferromagnetismo - modello a 3 bande CuO

( review by Hal Tasaki, cond-mat/9512169, cond-mat/9712219)

Lavori sul Magnetismo nel modello di Hubbard

Teorema di Lieb-Mattis

Phys. Rev. 125, 164 (1962)

Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989)

Quantum phasesGalileo Transformations

2 ( , ){ ( )} ( , ) ; ina moving frame2' , ' , ' with scalar : '( ', ) ( , )

p x teV x x t i

m tx x vt y y z z V V r t V r t

( , , , )

'( ', ', ', ) ( , , , )

( , , , )2

i x y z tx y z t x y z t e

mvx mv tx y z t

One checks that plane wave momentum transforms according to Galileo.

AC response to DC bias !

Superconductor Thin insulator Superconductor

2sin ( ) , constant

eVI I t t I

Macroscopic quantum phenomena: Josephson effect

2* * 2

*Ginzburg-Landau : order parameter [ ] | | 0

e eJ A A

mi m c

11 1| | ie 2

2 2| | ie

* *1 2 1 2 2

2sin ( )

Time-dependent phase e like quantum particle.

Matching ( ) in barrier ( ) , barrier width

eVI Iemf eV

z z e e

Gauge Transformations

Without the gauge invariance, any theory is untenable. In classical theory,the Hamiltonian of a charged particle is

2( )( )

cH eV xm

where p is the kinetic momentum and A the vector potential. Both are unobservable.

1' ( , ) 'A A x t V V

2( [ ]) 1 '{ [ ( ) ]} '

c eV x im c t t

New Schroedinger equation:

;One could have started with new potentials giving the same fields:

2( [ ]) 1 '{ [ ( ) ]} '

2 is solved by

( , )'( , ) ( , )exp[ ]; in thenochange hysics.

c eV x im c t t

ie x tx t x t P

Peierls: in discrete models the prescription becomes

2 it fluxon 410 Gauss cm t exp[ A.dr],

Consider a Linear Combination of Atomic Orbitals (LCAO) model fora molecule or cluster (or a Hubbard Model, neglecting overlaps)

Peierls prescription for discrete models

Thehopping term standsfor thematrix element of H between orbitals.

( , )Introducevector potential by '( , ) ( , )exp[ ] ands so on.

ie x tx t x t

' ( , ) ' ; if 0, ( , ) '.x

anyplaceA A x t A x t A dr

In the case of H2 this can be gauged away, but with three or more atoms the physical meaning is that a magnetic flux φ is concatenated with the molecule; changing φ by a fluxon has no physicalmeaning, however.

b 7 2h h 0a

Peierls prescription: to introduce A modify hopping integral:

2 it t exp[ A.dr], 410 Gauss cm

By complex hoppings, one can

introduce a concatenated magnetic flux

. A.dr

3-site cluster with flux

( )gs gsE E

23 13 12

Ground state Energy Egs(f) has period=2 p

In[12]:= h : 0 EI 1EI 0 11 1 0

ListPlotTable , MinEigenvaluesh, , 0, 6, .1,PlotJoined True, AxesLabel , E,Ticks 0, Pi, 2Pi, 3Pi, 4 Pi, 5 Pi, 0, 1

Out[12]=

2 3 4 5

Aharonov-Bohm effect

The electron(s) see no magnetic field. The phase difference between beams on either side of solenoid is

magnetic flux in solenoid

From Griffiths Introduction to Quantum Mechanics

Topologic phases

Topologic quantum phasesPancharatnam phase

The Indian physicist S. Pancharatnam in 1956 introduced the concept of a geometrical phase.

Let H(ξ ) be an Hamiltonian which depends from some parameters, represented by ξ ; let |ψ(ξ )> be the ground state.

Compute the phase difference Δϕij between |ψ(ξ i)> and |ψ(ξj)> defined by

This is gauge dependent and cannot have any physical meaning.Now consider 3 points ξ and compute the total phase γ in a closed circuitξ1 → ξ2 → ξ3 → ξ1; remarkably,γ = Δϕ12 + Δϕ23 + Δϕ31

is gauge independent!

Indeed, the phase of any ψ can be changed at will by a gauge transformation, but such arbitrary changes cancel out in computing γ. This clearly holds for any closed circuit with any number of ξ. Therefore γ is entitled to have physical meaning.

There may be observables that are not given by Hermitean operators.

i j i je

Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201 (1989) Teoremi di Lieb Phys. Rev. Letters 62, 1201...

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