0.4 0.2 0.2 0.4 Matematica - people.unica.it · Capitolo 1 Richiami sulla teoria degli insiemi...

A.A

.2009-10

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Matematica

UNICA Stefano Montaldo

ii

S. Montaldo - Matematica - A.A. 2009/10

Indice

1 Richiami sulla teoria degli insiemi 11.1 Esempi di insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Operazioni con gli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Il prodotto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 La retta reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.1 Operazioni in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Ordinamento di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.3 Completezza di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.4 La retta reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.5 Intervalli della retta reale . . . . . . . . . . . . . . 121.4.6 Il valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Esercizi sugli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.1 Potenze con esponente reale . . . . . . . . . . . . . 181.7 I logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.7.1 Equazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8 Esercizi su potenze e logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Vettori nel piano e nello spazio 27

2.1 Operazioni con i vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.1 Somma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2 Moltiplicazione di un vettore per uno scalare . . . . 302.1.3 Differenza tra due vettori . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.4 Propireta della somma e del prodotto per uno scalare 32


iv INDICE

2.1.5 Angolo tra due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2 Prodotto scalare e prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1 Il prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2 Il prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Vettori in un sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . 372.3.1 Base di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2 Vettori nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.3 Il prodotto scalare e vettoriale in componenti . . . 412.3.4 Due applicazioni del prodotto scalare e vettoriale . 43

2.4 Esercizi sui vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Geometria analitica del piano 473.1 La retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.1 Equazione parametrica della retta . . . . . . . . . . 503.1.2 Posizione di due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.3 Equazione cartesiana della retta . . . . . . . . . . . 533.1.4 Equazione di una retta passante per due punti . . . 553.1.5 Equazione esplicita della retta . . . . . . . . . . . . 563.1.6 Posizione di due rette e coefficiente angolare . . . . 593.1.7 Fascio proprio ed improprio di rette . . . . . . . . . 59

3.2 Esercizi sulla retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3 Le coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3.1 La circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.2 L’ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.3 L’iperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3.4 L’iperbole omografica . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.5 La parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4 Esercizi sulle coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4 Funzioni tra insiemi 854.1 La definizione generale di funzione . . . . . . . . . . . . . . 87

4.1.1 Insieme di definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2 Grafico di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.3 Funzioni iniettive, suriettive e biettive . . . . . . . . . . . . 94

4.3.1 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4 Tipi di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.5 Esercizi sulle funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


INDICE v

5 Successioni 1035.1 Grafico di una successione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2 Limiti di una successione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2.1 Successioni divergenti e successioni irregolari . . . . 1085.2.2 Calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2.3 Confronti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2.4 La differenza di due infiniti . . . . . . . . . . . . . 114

5.3 Esercizi sui limiti delle successioni . . . . . . . . . . . . . . 1155.4 Successioni ricorsive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4.1 Successioni aritmetiche . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.4.2 Successioni geometriche . . . . . . . . . . . . . . . 1195.4.3 Applicazioni delle successioni . . . . . . . . . . . . 1205.4.4 La successioni di Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . 1235.4.5 La sezione Aurea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.5 Esercizi sulle successioni ricorsive . . . . . . . . . . . . . . 127

6 Calcolo differenziale e studio di funzione 1296.1 In costruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7 Calcolo integrale 1317.1 In costruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8 Statistica descrittiva 1338.1 In costruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Indice analitico 133


vi INDICE


Capitolo 1Richiami sulla teoria degli insiemi

Definizione 1.1 (Georg Cantor). Un insieme e una collezione di ogget-ti, determinati e distinti, della nostra percezione o del nostro pensiero,concepiti come un tutto unico. Tali oggetti si dicono elementi dell’insieme.

Quindi un insieme puo essere formato da animali, cose, numeri, colori,etc...La definizione di un insieme deve essere univoca, cioe deve essere chiarochi sono gli elementi che appartengono all’insieme. Per esempio la frase igiovani italiani con gli occhi blu non definisce in modo univoco un insieme:bisogna prima definire cosa vuol dire giovane. Mentre la frase gli italianinati dopo il 1980 con gli occhi blu definisce un insieme.Indicheremo gli insiemi con le lettere

A, B, C, D . . .

e gli elementi di un insieme con le lettere

a, b, c, d . . .

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 - 1918).Matematico tedesco, e considerato il padre della moderna teoriadegli insiemi. Cantor ha allargato la teoria degli insiemi fino a com-prendere al suo interno i concetti di numeri transfiniti, numeri car-dinali e ordinali. Provo che l’insieme di tutti i numeri razionali Q enumerabile mentre l’insieme di tutti i numeri reali R non e numer-abile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordinidi infinita. Egli invento anche il simbolo che oggi viene usato perindicare i numeri reali.


2 Richiami sulla teoria degli insiemi

Se a e un elemento di A si scrive

a ∈ A (a appartiene a A)

Se b non e un elemento di A si scrive

b /∈ A (b non appartiene a A)

Un insieme privo di elementi si chiama insieme vuoto e si indica con ∅.

1.1 Esempi di insiemi

1. Un insieme si puo definire in modo esplicito, cioe esibendo i suoielementi, per esempio l’insieme A dei numeri naturali da 0 a 5 siscrive come

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} (si noti l’uso delle parentesi graffe)

2. Un insieme puo essere definito a partire da una proprieta comunea tutti i suoi elementi, per esempio se denotiamo con N l’insiemedei numeri naturali, allora l’insieme A del punto precedente si puodefinire come

A = {n ∈ N : n ≤ 5}(gli n appartenenti ai naturali tali che n e minore o uguale a 5)

3. La scrittura esplicita per definire un insieme e teoricamente utilizz-abile solo se l’insieme contiene un numero finito di elementi, pratica-mente solo se il numero degli elementi e piuttosto piccolo. Vi sfidoad elencare tutti i numeri naturali pari minori di un milione! Pergli insiemi che contengono infiniti elementi, anche armati di santapazienza, non vi e modo di elencarli tutti: un insieme e infinito seogni volta che se ne e elencato un numero finito di elementi, esisteun altro elemento dell’insieme che non appartiene a tale elenco. Peresempio l’insieme

A = {n ∈ N : 2|n}(gli n appartenenti ai naturali tali che 2 divide n, equivalentemente imultipli di 2) costituito da tutti i numeri naturali pari e chiaramente


1.1 Esempi di insiemi 3

un insieme infinito. Se non si e convinti di cio si segua il seguenteragionamento: supponiamo che A sia finito, allora possiamo elencaretutti gli elementi di A e possiamo scegliere il piu grande, chiamiamolon. Essendo n divisibile per due lo sara anche n + 2 contradicendol’ipotesi che n fosse il piu grande numero divisibile per 2.

4. Un numero p 6= 1 si dice primo se e divisibile solo per 1 e per sestesso. Il teorema di fattorizzazione dei numeri naturali assicura checiascun numero sia scomponibile in modo unico come prodotto dipotenze di numeri primi (detti fattori). Per esempio

600 = 23 · 3 · 52

Si potrebbe quindi considerare l’insieme

P = {p ∈ N : p e primo}

costituito da tutti i numeri primi. Sorge spontanea la domanda: Pe infinito? Dare una risposta non e cosı evidente come nel caso deinumeri pari, questo perche la proprieta che definisce i numeri primi epiu complessa da utilizzare. Vediamo comunque una dimostrazionesemplice del fatto che i numeri primi sono infiniti dovuta a Euclide.Supponiamo che i numeri primi siano finiti e denotiamoli con

{p1, p2, . . . , pk}.

Se adesso consideriamo il numero

p = p1 · p2 · · · pk + 1

e facile verificare che nessuno dei p1, p2, . . . , pk divide p. Ma allora pe un numero primo diverso da p1, p2, . . . , pk contradicendo l’ipotesiche p1, p2, . . . , pk fossero tutti i numeri primi.

Euclide di Alessandria (367 a.C. circa - 283 a.C. circa). Matem-atico greco, visse durante il regno di Tolomeo I. Euclide e notosoprattutto come autore degli Elementi, la piu importante operadi geometria dell’antichita; tuttavia di lui si sa pochissimo. Euclidee menzionato in un brano di Pappo, ma la testimonianza piu impor-tante su cui si basa la storiografia che lo riguarda viene da Proclo,che lo colloca tra i piu giovani discepoli di Platone.



5. Si consideri l’equazione

x2 − 5x + 6 = 0.

Utilizzando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado siricavano le soluzioni

x1 = 2, x2 = 3

Quindi l’insieme S = {2, 3} si puo considerare come l’insieme dellesoluzioni dell’equazione x2 − 5x + 6 = 0.

6. Si consideri la disequazione

x2 − 5x + 6 < 0

Usando le regole per la risoluzione delle disequazioni di secondo gra-do (si veda il Complemento 1.2) si trova che e verificata per tut-ti i numeri reali (che indicheremo con R) compresi tra 2 e 3, cioenell’insieme

D = {x ∈ R : 2 < x < 3}.Complemento 1.2 (Disequazioni di secondo grado).Per studiare il segno della quantita ax2 + bx + c, ponendo ∆ = b2 − 4ac, si procede nelmodo seguente.Se a > 0 e ∆ > 0, ax2 +bx+c > 0 per valori della x esterni alle soluzioni dell’equazioneax2 + bx + c = 0, negativa altrove.Se a > 0 e ∆ = 0, ax2 + bx + c > 0 per tutti i valori valori della x diversi dall’unicasoluzione dell’equazione ax2 + bx + c = 0.Se a > 0 e ∆ < 0, ax2 + bx + c > 0 per tutti i valori valori della x.Se a < 0 e ∆ > 0, ax2 +bx+c < 0 per valori della x esterni alle soluzioni dell’equazioneax2 + bx + c = 0, positiva altrove.Se a < 0 e ∆ = 0, ax2 + bx + c < 0 per tutti i valori valori della x diversi dall’unicasoluzione dell’equazione ax2 + bx + c = 0.Se a < 0 e ∆ < 0, ax2 + bx + c < 0 per tutti i valori valori della x.Per un’illustrazione grafica del segno di ax2 + bx + c si veda la Figura 1.1.

Introduciamo le seguenti notazioni utilizzate per denotare gli insiemi nu-merici notevoli.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . . .} numeri naturaliZ = {. . . − 4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} numeri interiQ = {p

q: p, q ∈ Z, q 6= 0} numeri razionali

R numeri reali

Ai numeri reali e dedicata una sezione in seguito.


1.2 Operazioni con gli insiemi 5

a > 0 a < 0

∆ > 0

∆ = 0

∆ < 0

x1 x2

x1 = x2

x2x1

x1 = x2

Figura 1.1: Il segno della quantita ax2 + bx + c.

1.2 Operazioni con gli insiemi

Un insieme B si dice sottoinsieme di A se ogni elemento di B e ancheun elemento di A e si indica con

B ⊆ A (B e incluso in A).

Ovviamente ogni sottoinsieme e un sottoinsieme banale di se stesso A ⊆ A.Se un sottoinsieme B e strettamente contenuto in A, cioe esistono elementidi A che non appartengono a B, si scrive

B ⊂ A (B e strettamente incluso in A).

Due insiemi per i quali valgono contemporaneamente B ⊆ A e A ⊆ B sidicono uguali.Tra due insiemi A e B si possono definire le seguenti operazioni:

• UnioneA ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}

Per esempio se A = {1, 2, 3, 5, 7} e B = {0, 2, 3, 6, 8} allora

A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}

• IntersezioneA ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}


A ∩ B = {2, 3}



• DifferenzaA \ B = {x ∈ A : x /∈ B}


A \ B = {1, 5, 7}

Quando si opera con degli insiemi questi si considerano come sottoinsiemidi un grande insieme che chiameremo insieme universo. Per esempiose i nostri insiemi sono costituiti da studenti, il nostro universo potrebbeessere gli studenti italiani. Se gli insiemi in considerazione sono formati danumeri naturali, allora il nostro universo sara l’insieme di tutti i numerinaturali e cosı via...Rispetto ad un dato insieme universo U possiamo definire una ulterioreoperazione:

• Complementare

C(A) = {x ∈ U : x /∈ A}Per esempio se U = N e A e l’insieme dei numeri pari, allora C(A)e l’insieme dei numeri dispari. (qui stiamo considerando 0 pari, mazero puo essere anche dispari?)

Le operazioni elementari con gli insiemi si possono descrivere in mo-do grafico con l’ausilio dei diagrammi di Venn come mostrato nellaFigura 1.2.

1.3 Il prodotto cartesiano

Dati due insiemi A e B si possono considerare tutte le coppie {a, b} dovea ∈ A e b ∈ B. Una coppia si dice ordinata se il primo elemento appartieneal primo insieme ed il secondo al secondo insieme, dove si e specificato chie il primo insieme e chi e il secondo. Le coppie ordinate si indicano con(a, b). Due coppie (a, b) e (a′, b′) sono uguali se a = a′ e b = b′.

Definizione 1.3. Dati due insiemi A e B si dice prodotto cartesianodi A e B e si indica con A×B, l’insieme di tutte le coppie ordinate (a, b).

Per esempio se A = {1, 2} e B = {a, b, c} il prodotto cartesiano e

A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}


1.4 La retta reale 7

A \ B

A ∪ B

A ∩ B

C(A)

Figura 1.2: Diagrammi di Venn.

1.4 La retta reale

I numeri reali, indicati con R, sono costituiti dall’unione dei numeri razion-ali Q con i numeri irrazionali. Ma chi sono i numeri irrazionali? Di fattoi numeri irrazionali sono tutti i numeri che non si possono scrivere comerapporto di due numeri interi, cioe non si possono esprimere nella formapq

con p, q ∈ Z. Come e noto un numero decimale si puo scrivere in formafrazionaria, cioe in modo razionale, se la parte decimale e finita o period-ica. Quindi i numeri irrazionali si possono pensare come numeri decimalicon un numero infinito di cifre decimali non periodiche! Anche se a pri-ma vista sembrano dei numeri un po rari di fatto sono molti di piu deinumeri razionali. Infatti, si puo dimostrare che tra due numeri razion-ali a e b qualunque si possono sempre trovare infiniti numeri irrazionalitra essi compresi. E anche vero che tra due numeri irrazionali ne esistesempre uno razionale. Tutte queste disquisizioni non sono affatto banalie per essere dimostrate bisognerebbe dare una definizione formale di nu-mero reale. Qui ci limiteremo a pensare i reali come unione dei razionalie di questi misteriosi irrazionali. Per non spaventare troppo il lettore eccoalcuni numeri irrazionali ben noti:

√2, π,

√3



Sembra adesso chiaro perche i numeri irrazionali sono indispensabili perfare matematica. Come potremmo altrimenti misurare la diagonale di unquadrato di lato 1, come potremmo risolvere l’equazione x2 − 2 = 0, comepotremmo misurare la lunghezza di una circonferenza...

Complemento 1.4 (Rappresentazione decimale dei numeri razionali). Per scrivere unnumero in forma decimale come rapporto di due interi si procede nel modo seguente. Sele cifre decimali sono finite si puo scrivere in forma frazionaria ponendo al numeratoreil numero senza le virgola ed al denominatore il prodotto di tanti 10 quante sono lecifre dopo la virgola. Per esempio, il numero 10.242 diventa

10.242 =10242

1000

Se il numero e periodico la forma frazionaria si ottiene sommando due frazioni; nellaprima si pone al numeratore il numero prima del periodo ed al denominatore tanti 10quante sono le cifre dell’antiperiodo; la seconda ha al numeratore le cifre del periodo edal denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quantesonole cifre dell’antiperiodo. Per esempio

2.356 =23

10+

56

990=

2333

990

Vediamo adesso le proprieta dei numeri reali.

1.4.1 Operazioni in R

Nell’insieme R sono definite due operazioni, la somma ed il prodotto,

a, b 7→ a + b

a, b 7→ a b

Queste operazioni soddisfano alle seguenti proprieta

commutativa a + b = b + a ab = baassociativa a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)cesistenza dell’elemeto neutro a + 0 = a a 1 = a

esistenza dell’inverso a + (−a) = 0 a(1

a) = 1 se a 6= 0

distributiva (a + b)c = ac + bc



1.4.2 Ordinamento di R

In R e definito un ordinamento totale, indicato con il simbolo 6: dati duenumeri reali a e b si ha

a 6 b oppure b 6 a

Questo ordinamento verifica le seguenti proprieta

riflessiva a 6 aantisimmetrica se a 6 b e b 6 a allora a = btransitiva se a 6 b e b 6 c allora a 6 c

Osservazione 1.5. La scrittura a < b significa che a e strettamente minoredi b. Si noti che se a = b e corretto affermare che a 6 b. Quindi le seguentiscritture hanno senso: 2 < 4, −1 6 0, 3 6 3. Inoltre si puo utilizzare lanotazione a > b la quale e equivalente a b 6 a.

Valgono le seguenti relazioni tra l’ordinamento di R e le operazioni disomma e prodotto:

se a 6 b allora a + c 6 b + c per ogni c ∈ Rse a 6 b e c > 0 allora ac 6 bcse a 6 b e c < 0 allora ac > bc

1.4.3 Completezza di R

Si definisce sezione di R una coppia (A, B) di sottoinsiemi non vuoti diR tali che

• A ∪ B = R, A ∩ B = ∅

• se a ∈ A e b ∈ B allora a 6 b

Tutte le proprieta dei numeri reali viste fin ora sono valide anche per inumeri razionali Q. La proprieta che distingue i numeri reali e quella dicompletezza (o di continuita):

Proprieta di completezza . Per ogni sezione (A, B) di R esiste uno edun solo numero reale ℓ tale che, per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B valea 6 ℓ 6 b. Il numero ℓ e detto elemento separatore di A e B.



-O U P

r

Figura 1.3: La retta reale.

1.4.4 La retta reale

Consideriamo una retta r e fissiamo su di essa un punto O, detto origine,ed un secondo punto U distinto dall’origine; il segmento OU e utilizzatocome unita di misura della lunghezza dei segmenti. Sulla retta risultanoindividuate due semirette, quella contenente U detta semiretta positivae l’altra detta semiretta negativa. Fissiamo un punto P sulla retta econsideriamo il segmento OP , la cui misura indichiamo con OP (si vedala Figura 1.3.

La proprieta di completezza di R assicura che a ogni punto P e associatouno ed un solo numero reale x che rappresenta la misura del segmento OP ,se P appartiene alla semiretta positiva, e il suo opposto se P appartienealla semiretta negativa. Per costruzione al punto O e associato il numeroreale x = 0, mentre al punto U corrisponde il numero reale x = 1.

Viceversa, dato un numero reale x ∈ R questo identifica un unico puntoP sulla retta r nel modo seguente. Se

x = 0 scegliamo l’origine;

x > 0 scegliamo il punto P sulla semiretta positiva tale che la misura delsegmento OP sia x;

x < 0 scegliamo il punto P sulla semiretta negativa tale che la misura delsegmento OP sia −x.

Il numero reale associato ad ogni punto della retta viene detto ascissa delpunto.

Osservazione 1.6. Il procedimento visto sopra non si applica ai numerirazionali Q. Mentre e vero che dato un numero razionale p

qsia possibile

associare un punto P sulla retta non e vero che ad ogni punto della retta sipossa associare un numero razionale. Si consideri, per esempio, il quadratodi lato pari ad 1 come in Figura 1.4.



Dal Teorema di Pitagora segue immediatamente che il segmento OPmisura

√2. Mostriamo adesso che

√2 non e un numero razionale. Se

lo fosse, allora si potrebbe scrivere nella forma pq

con p e q numeri interi

primi fra loro (primi fra loro significa che non ammettono divisori comunidiversi da 1). Quindi, elevando al quadrato, avremmo

2 =p2

q2equivalentemente p2 = 2q2,

da cui segue che p2 e divisibile per 2. Ricordiamo che p e pari se e solo se loe anche p2, quindi essendo p2 divisibile per 2 segue che anche p e divisibileper 2. Scriviamo dunque p = 2k, k ∈ Z. Sostituendo nell’equazionep2 = 2q2 si ottiene 4k2 = 2q2 da cui, semplificando, q2 = 2k2. Ma alloraanche q2 e divisibile per 2 e di conseguenza anche q. Quindi p e q sonoentrambi divisibili per 2 il che e assurdo in quanto avevamo supposto chep e q fossero primi tra loro. Questa e la prima dimostrazione rigorosadell’esistenza dei numeri irrazionali.

Pitagora (573 a.C circa - 490 a.C circa). Matematico, legislatore,filosofo e mago. Alcuni storici mettono in dubbio la veridicita storicadi tale personaggio. I biografi antichi gli attribuirono una naturasemidivina, che gli permetteva di compiere prodigi tra i quali guariredalle malattie. Fondo l’omonima scuola filosofica ma, convinto dellasuperiorita della tradizione orale rispetto alla scrittura, non lascioscritti e vieto ai suoi seguaci di scrivere e di parlare con estraneidelle proprie teorie. A detta di Diogene Laerzio, Pitagora sacrificocento buoi quando scoprı il celebre teorema sui triangoli rettangoliche fornisce il legame tra i cateti a e b e l’ipotenusa c: c2 = a2 + b2.

-O P

Figura 1.4: Irrazionalita di√

2



-O P Q

r

Figura 1.5:

1.4.5 Intervalli della retta reale

Siano P e Q due punti della retta reale di ascissa a e b rispettivamente,con a < b (si veda la Figura1.5).

Possiamo considerare i seguenti sottoinsiemi di R:

[a, b] insieme dei numeri reali tali che a ≤ x ≤ b(a, b] insieme dei numeri reali tali che a < x ≤ b[a, b) insieme dei numeri reali tali che a ≤ x < b(a, b) insieme dei numeri reali tali che a < x < b

Ad essi corrisponde il segmento di estremi P e Q; nel primo caso gliestremi sono compresi, nel secondo e escluso il primo estremo, nel terzocaso e escluso il secondo estremo e nell’ultimo caso sono esclusi entrambigli estremi.

L’insieme [a, b] e detto intervallo chiuso, mentre (a, b) e detto intervalloaperto. Gli altri due insiemi sono aperti in un estremo e chiusi nell’altro.Questi intervalli sono limitati, nel senso che la lunghezza del segmento PQe finita. Esistono anche intervalli illimitati quali:

(−∞, a] insieme dei numeri reali tali che x ≤ a(−∞, a) insieme dei numeri reali tali che x < a[a, +∞) insieme dei numeri reali tali che x ≥ a(a, +∞) insieme dei numeri reali tali che x > a(−∞, +∞) tutti i numeri reali

Il simbolo ∞ indica un numero infinitamente grande, cioe piu grande diqualsiasi altro numero reale. Quindi ±∞ non appartengono alla rettareale. Se, per esempio, ∞ vi appartenesse, allora esisterebbe un numeroreale piu grande di ∞ (basterebbe aggiungere 1), il che contraddice ladefinizione di ∞.



1.4.6 Il valore assoluto

Fissato un punto P sulla retta reale di ascissa x la misura del segmentoOP vale x se x > 0 e vale −x se x < 0. Questo perche la misura di unsegmento deve essere un numero positivo

Questa misura del segmento OP a partire dal valore dell’ascissa vienedefinita valore assoluto del numero reale x ed indicata con |x|. Peresempio il valore assoluto di 2 e 2, il valore assoluto di −3 e 3 e |0| = 0.

Formalmente:

|x| =

{x se x ≥ 0−x se x < 0

Osservazione 1.7. Fissato un numero reale positivo a, la condizione |x| ≤ aequivale al fatto che x appartiene all’intervallo [−a, a] ovvero che −a ≤x ≤ a.

Il valore assoluto gode delle seguenti proprieta:

1. |x| ≥ 0 per ogni x ∈ R, |x| = 0 se e solo se x = 0

2. |xy| = |x||y| per ogni x, y ∈ R

3. |x + y| ≤ |x| + |y| per ogni x, y ∈ R

Le proprieta 1. e 2. sono immediate. La proprieta 3. ha un ruolo im-portantissimo e prende il nome di disuguaglianza triangolare. Perdimostrarla osserviamo che valgono le disequazioni

−|x| ≤ x ≤ |x|

−|y| ≤ y ≤ |y|

Da queste relazioni, sommando membro a membro, segue

−(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|,

che, per l’Osservazione 1.7, equivale alla disuguaglianza triangolare.



1.5 Esercizi sugli insiemi

1. Dati gli insiemiA = {x ∈ R : 1 < x ≤ 2}B = {x ∈ R : x < 2}descrivere

• A ∪ B

• A ∩ B

• A \ (A ∪ B)

• B \ (A ∪ B)

• B \ (A ∩ B)

2. Utilizzando i diagrammi di Venn dimostrare le seguenti uguaglianze

• C(A ∪ B) = C(A) ∩ C(B)

• C(A ∩ B) = C(A) ∪ C(B)

3. Dati gli insiemiA = {I numeri naturali pari}B = {I multipli di 5}

• Descrivere i due insiemi usando formule matematiche;

• Calcolare A ∪ B e A ∩ B;

• E possibile calcolare A \ B?

4. Dire, tra i seguenti insiemi, quali sono finiti.

• L’insieme A dei numeri pari;

• L’insieme B dei dei numeri razionali minori di 2;

• L’insieme C dei numeri naturali minori di 19;

• L’insieme D = {x ∈ N : 3 < x < 32};• L’insieme dei punti di una circonferenza.

Calcolare poi tutte le intersezioni degli insiemi A, B, C, D presi adue a due.


1.5 Esercizi sugli insiemi 15

5. Dare la rappresentazione estensiva dell’insieme A dei numeri dellaforma 2n + 5 con n ∈ {0, 2, 3, 9}.

6. Quali tra i seguenti insiemi sono uguali?

• A = {N, I, L, O}• B = {fiume}• C = {NILO}• D = {L, I, N, O}

7. Dati gli insiemi A = {a, b, c}, B = {b, d}, C = {a, b}, dire se leseguenti affermazioni sono vere o false

• B ⊂ A

• C ⊂ A

• C = B

8. Dire se sono vere le seguenti affermazioni:

• n < 4, n ∈ N, ⇒ (implica che) n ∈ {0, 1, 2, 3}• m = n e n = 4 ⇒ m ∈ {naturali pari}• x ∈ A e y ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B

• x ∈ A e y ∈ B ⇒ x ∈ A ∩ B

9. Dati gli insiemi A = {a, b, c}, B = {cane, gatto}, C = {2, 4, 6, 1}, sicostruiscano

• B × A

• C × A

• C × B

10. Costruire due insiemi infiniti la cui intersezione e finita.

11. Costruire due insiemi infiniti A e B tali che A \ B sia finito.



12. Scrivere in forma frazionaria i seguenti numeri

1.234 13.2112 2.3.

Si noti che si sta utilizzando la notazione con il punto, invece che lavirgola, per separare la parte intera da quella decimale.

13. Seguendo la dimostrazione fata nel testo dove si mostra che√

2 none razionale dimostrare che

√3 non e razionale.

14. Utilizzando la definizione di valore assoluto e l’Osservazione 1.7,risolvere le seguenti disequazioni

• |x| < 4

• |x| ≥ 2

• |x − 1| > 1

• |x| > | − 3|• |1 − 1

x| ≤ 2

15. Dimostrare le seguenti proprieta valide per ogni x, y ∈ R

• |x − y| ≤ |x| + |y|• |x| − |y| ≤ |x − y|

1.6 Potenze

Possiamo moltiplicare 5 per tre volte con se stesso, cioe formare il prodotto5 · 5 · 5 e indicarlo con 53. Possiamo farlo con qualsiasi numero reale: sea e un numero reale, la notazione a3 sta a indicare a · a · a. Se vogliamolasciare in sospeso anche il numero dei fattori, scriviamo an (a alla n),dove n ∈ N rappresenta un numero naturale qualsiasi.Chiamiamo

an una potenza (la potenza n-esima di a; si dice anche a elevato alla n)

a la base

n l’esponente.


1.6 Potenze 17

Valgono le seguenti proprieta fondamentali delle potenze

aman = am+n

ambm = (ab)m

am/an = am−n

am/bm = (a/b)m

(an)m = anm

a0 = 1

(1.1)

Ha un senso elevare un numero reale a per −1, cioe ha senso moltiplicareun numero reale a per −1 volte con se stesso? Puo sembrare strano,ma lasciamoci guidare per un attimo dalle proprieta delle potenze. Seinseriamo m = 0 e n = −1 in am/an = am−n otteniamo

1

a= a−1.

Quindi a−1 e il reciproco di a. Allo stesso modo si ottiene

a−n =1

an.

Osservazione 1.8. Si noti che quando a = 0 e possibile eseguire an = 0 manon e possibile calcolare a−n. Infatti si avrebbe 0−n = 1

0n = 10.

Usando la proprieta (an)m = anm possiamo definire anche le potenze conesponente razionale. Consideriamo per primo il caso in cui l’esponentevalga 1

2. In questo caso si ha

a12 =

√a.

Infatti, per definizione, la radice quadrata di un numero e un numero il cuiquadrato da il numero iniziale. Da cui, usando la proprieta (an)m = anm,segue che

(

a12

)2

= a(122) = a1 = a.

Allo stesso modo si ha

a1n = n

√a.

Osservazione 1.9. Si noti che, se a < 0, la potenza a1n , con n pari, non ha

senso. Infatti le radici pari dei numeri negativi non sono dei numeri reali.



In generale se q = mn∈ Q e un numero razionale si ha

amn = n

√am.

Le proprieta fondamentali delle potenze valgono per qualunque esponenterazionale.

1.6.1 Potenze con esponente reale

Vogliamo adesso vedere se e possibile definire una potenza anche quan-do l’esponente e un numero reale arbitrario (quindi anche per esponentiirrazionali che non possono essere scritti come quoziente di due numeriinteri). Ha un senso formare la potenza 2π?A tal fine adopereremo il fatto che ciascun numero irrazionale puo essereapprossimato da numeri razionali con precisione arbitrariamente grande.Se come esponente scegliamo, ad esempio, π consideriamo la successionedi numeri

3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, ...

e ad ogni passo aggiungiamo la cifra successiva nella rappresentazionedecimale di π, le cui prime 30 cifre sono

π = 3.14159265358979323846264338328...

Questi numeri si avvicinano sempre piu a π (piu precisamente: si avvici-nano a piacere a π), e sono tutti razionali (hanno un numero finito di cifredecimali), quindi possono essere scelti come esponenti di una potenza.Consideriamo adesso le potenze che possiamo formare con questi numeri:

a3.14, a3.141, a3.1415, a3.14159, ...

Per spiegare che cosa avviene, poniamo, a titolo di esempio, a = 2 eguardiamo le rappresentazioni decimali delle prime sei potenze:

x 2x

3.14 8.815240927...3.141 8.821353304...3.1415 8.824411082...3.14159 8.824961595...3.141592 8.824973829...3.1415926 8.824977499...


1.7 I logaritmi 19

Vediamo che i numeri nella colonna di destra variano sempre meno. Essitendono a un certo numero reale, questo numero si indica con 2π. Lasua rappresentazione decimale inizia cosı 8.824977827... e in linguaggiomatematico dice che 2π e il limite (vedremo questa nozione in dettagliopiu avanti) della successione numerica riportata nella colonna di destra.Poiche le regole fondamentali delle potenze valgono per gli esponenti razion-ali, con i quali approssimiamo a piacere gli esponenti irrazionali, conclu-diamo che esse valgono anche per questi ultimi.Forse questa costruzione puo sembrare un po’ complicata. Il suo scopo none il calcolo pratico (cio sara come sempre delegato al calcolatore elettron-ico) ma accertare (teoricamente) che il concetto di potenza con esponentireali arbitrari ha un senso.Riassumendo:Se a > 0, la potenza ax puo essere definita per esponenti reali arbitrari x.

1.7 I logaritmi

Scegliamo una base a > 0 (a 6= 1) e consideriamo l’equazione esponenziale

ax = b, b ∈ R, b > 0 (1.2)

L’equazione (1.2) ammette sempre un’unica soluzione. Per esempio, l’e-quazione 3x = 9 ha (l’unica) soluzione x = 2. L’equazione 16x = 4 ha(l’unica) soluzione x = 1/2. L’equazione (1/2)x = 8 ha (l’unica) soluzionex = −3.Ma qual’e la soluzione dell’equazione 3x = 8? Sara un numero un po’ piupiccolo di 2, ma possiamo determinarlo con precisione?Purtroppo le operazioni che conosciamo per adesso non ci aiutano a risol-vere il problema! La soluzione cercata e un numero irrazionale che nonpuo essere espresso come frazione, radice o simili. Possiamo trovare delleapprossimazioni numeriche. Per il momento pero e piu importante trovareun concetto matematico preciso.Cominciamo col darle un nome: si chiama il logaritmo in base 3 di 8.In generale si ha la seguente

Definizione 1.10. Dati a > 0 (a 6= 1) e b > 0, chiamiamo logaritmo inbase a di b il numero (univocamente determinato) x per il quale si ha

ax = b



e lo indichiamo conloga b.

Quindi loga b e quell’esponente da dare ad a per ottenere b.

Anche se il calcolo numerico dei logaritmi sara delegato a calcolatori tas-cabili o computer, in molti casi si puo operare manualmente. Per questoe necessario conoscere le proprieta fondamentali dei logaritmi. Iniziamocon il calcolo di alcuni casi notevoli:

loga 1 - dalla definizione loga 1 e quell’esponente da dare ad a per ottenere1, quindi

loga 1 = 0

loga a - dalla definizione loga a e quell’esponente da dare ad a per ottenerea, quindi

loga a = 1

Le proprieta generali sono:

loga b + loga c = loga(bc)loga b − loga c = loga(b/c)

loga(bn) = n loga b

loga a = 1loga 1 = 0

(1.3)

Esiste un ulteriore formula che permette di scrivere un logaritmo in basea in una base diversa c:

loga b =logc b

logc a(1.4)

In particolare, ponendo a = 1p

e c = p nella (1.4) si ottiene

log 1p(b) =

logp b

logp1p

=logp b

(logp 1 − logp p)

=logp b

(0 − 1)

= − logp b


1.7 I logaritmi 21

Osservazione 1.11. Se loga b = loga c segue che loga b−loga c = loga(b/c) =0, la quale implica che b/c = 1 o, equivalentemente, b = c. Abbiamoquindi:

loga b = loga c ⇔ b = c

Alcune basi si usano piu frequentemente:

Il logaritmo in base 10. Lo si indica semplicemente con log (senza men-zionare la base). Viene utilizzato quando in un problema com-paiono numeri di ordine di grandezza diversa. Per esempio, abbi-amo log 1000 = 3, poiche 1000 puo essere scritto come 103. Dunquelog 1000 e il numero degli zeri che si trovano nella rappresentazionedecimale di 1000, cioe 3. Mentre log 0.01 = −2, infatti il numero0.01 scritto come potenza di dieci e uguale a 10−2. La relazionelog 1500 = 3.17609... deriva dal fatto che il numero 1500 scrittocome potenza di dieci e uguale a 103.17609.... Per questa proprieta, difornire l’esponente della rappresentazione come potenza di dieci, illogaritmo in base 10 e adatto a indicare grandi numeri. Ad esempio,il logaritmo di un numero la cui rappresentazione decimale possiede54 cifre prima della virgola (e che quindi e molto grande), sara com-preso fra 53 e 54. Qui ci si basa sull’idea di utilizzare il numero dicifre come misura della grandezza di un numero. Questo approccioe molto utile quando in un problema compaiono numeri di ordine digrandezza diversa.

Il logaritmo in base e. Il numero e, chiamato numero di Nepero, fuscoperto John Napier nel sedicesimo secolo ma solo nel diciottesimo

John Napier (1550 - 1617). Matematico, astronomo e fisicoscozzese, celebre per l’introduzione del logaritmo naturale (dei bas-toncini o ossi) e anche per aver sostenuto l’uso delle frazioni decimalie del punto come separatore decimale.



secolo fu reso popolare dal matematico svizzero Leonardo Eulero.Come π si tratta di un numero irrazionale, e la sua rappresentazionedecimale inizia cosı

e = 2.71828182845904523536028747135266...

Per vari motivi (vedremo alcuni di questi in seguito) il numero eprende il nome di base naturale e il logaritmo in base e si chia-ma logaritmo naturale e si indica con ln (logaritmo naturalis).In alcuni computer viene pero indicato con il simbolo log (senzamenzionare la base).

Il logaritmo in base 2. Viene usato spesso in informatica poiche i nu-meri binari (sulla base dei quali sono descritti i codici informatici)sono espressi in base 2. Anche per esso a volte si usa il simbolo log(senza menzionare la base), piu raramente il simbolo ld (logaritmodualis).

Osservazione 1.12. Come vedete il simbolo log puo avere diversi significati.Quando lo si incontra in un testo o in uno strumento di calcolo, bisognasempre accertarsi di quale logaritmo si tratta.

Esempio 1.13. Calcoliamo (per mostrare l’uso delle regole) alcuni loga-ritmi.

log2(40) = log2(8 · 5) = log2 8 + log2 5 = log2(23) + log2 5

= 3 log2 2 + log2 5 = 3 + log2 5

log(40) = log(4 · 10) = log 4 + log 10 = log 4 + 1

Leonhard Euler (1707 - 1783). Matematico e fisico svizzero, notoin Italia come Eulero. E considerato il piu importante matematicodell’Illuminismo. Allievo di Johann Bernoulli, e noto per essere trai piu prolifici matematici di tutti i tempi ed ha fornito contributistoricamente cruciali in svariate aree.Anche se fu prevalentemente un matematico dette importanti con-tributi alla fisica e in particolare alla meccanica classica e celeste.Determino le orbite di molte comete.


1.7 I logaritmi 23

1.7.1 Equazioni logaritmiche

Illustriamo il procedimento per risolvere le equazioni logaritmiche conalcuni esempi.

1.

log x + log 3 = log 12

L’argomento dei vari logaritmi deve essere positivo. In questo casola x compare solo nel primo logaritmo e quindi deve essere x > 0.Utilizzando le proprieta dei logaritmi si trova

log x + log 3 = log 12 ⇒ log(3x) = log 12

e, siccome gli argomenti dei due logaritmi devono essere uguali, segueche deve essere

3x = 12 ⇒ x = 4.

2.

log7(x2 + 6x + 58) = 2

L’argomento del logaritmo deve essere positivo quindi occorre risol-vere la disequazione

x2 + 6x + 58 > 0.

Siccome ∆ = 36 − 4 · 58 = −196 < 0 e il coefficiente del terminedi secondo grado e positivo, segue che l’argomento del logaritmoe sempre positivo, quindi ogni soluzione trovata sara accettabile.Poiche, per definizione, il logaritmo di un numero e l’esponente chesi deve dare alla base per ottenere il numero, si avra

log7(x2 + 6x + 58) = 2 ⇒ x2 + 6x + 58 = 72 ⇒

x2 + 6x + 58 = 49 ⇒ x2 + 6x + 9 = 0.

quindi

x1,2 =−6 ±

√36 − 4 · 92

= −3

3.

log4(x2 − 5x + 6) = log4(6)



L’argomento del logaritmo deve essere positivo quindi occorre risol-vere la disequazione

x2 − 5x + 6 > 0

Per risolvere la disequazione troviamo per primo le radici dell’e-quazione associata x2 − 5x + 6 = 0:

x1,2 =5 ±

√25 − 24

2=

2

3

Essendo il coefficiente di x2 positivo, segue, dal Complemento 1.2,che x2 − 5x + 6 > 0 per valori esterni alle radici, cioe per x < 2 eper x > 3, come mostra la Figura 1.6.

L’equazione logaritmica diventa (uguagliando gli argomenti)

x2 − 5x + 6 = 6 ⇒ x2 − 5x = 0 ⇒ x(x − 5) = 0

le cui soluzioni sonox1 = 0, x2 = 5.

Entrambe le soluzioni sono accettabili.

1.8 Esercizi su potenze e logaritmi

1. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false. Delleaffermazioni false trovare un contro esempio.

• ∀a, b ∈ R se a < b allora |a| < |b|;• ∀a, b ∈ R se 0 < a < b allora |a| < |b|;• ∀a, b ∈ R se a < 0 < b allora |a| < |b|;• ∀a, b ∈ R se a < b < 0 allora |a| < |b|;

2 3

Figura 1.6: Il segno della quantita x2 − 5x + 6.


1.8 Esercizi su potenze e logaritmi 25

• ∀a, b ∈ R se a < b < 0 allora |a| > |b|;• ∀a, b ∈ R ||a| + |b|| = |a| + |b|;• ∀a ∈ R e ∀n ∈ N |an| = |a|n.

2. se a > 0 e√

a 4√

a 8√

a = aq, allora q =?

3. se a > 0 e√

√√a = aq, allora q =?

4. Trovare tutti gli a ∈ R tali che a > 1/a

5. Trovare tutti gli a ∈ R tali che a4 > a3

6. Semplificare l’espressione(

ax2)x

ax3

7. Calcolare, usando le proprieta, i seguenti logaritmi:

log1/2(2) log2(16)

log2(√

2) log3(1/3)

log10(0.000001) log10(0.2 106)

8. Scrivere in forma piu semplice l’espressione

loga(ax2

ax b)

9. Scrivere in forma piu semplice l’espressione

loga(3

√

a√

a√

ax)

10. Provare che se a2 + b2 = 7ab (con a > 0, b > 0) allora e anche:

log((a + b)/3) = 1/2(log(a) + log(b))

11. Provare cheloga(n)

loga m(n)= 1 + loga(m)



12. Dimostrare che se

y = 101/(1−log10 x) z = 101/(1−log10 y)

allorax = 101/(1−log10 z)

13. Risolvere le seguenti equazioni logaritmiche

3 = log2(4x)

2 = 2 log7(5) − log7(x)

ln(x) + 2 = −3 ln(x) + 10

2ex + e−x = 3


Capitolo 2Vettori nel piano e nello spazio

Immaginiamo che un vostro amico, provvisto di bussola e conta passi, sitrovi nel punto P del deserto e debba andare verso il punto Q come inFigura 2.1.Supponendo che voi siate su un aereo e dobbiate dire al vostro amico cosadeve fare per andare da P a Q. Quali informazioni gli fornireste?

• Prima di tutto la direzione del percorso, in questo caso una rettaideale che congiunge il Sud-Ovest con il Nord-Est.

• Poi il verso, in questo caso verso Nord-Est.

• Infine la lunghezza del percorso, cioe la distanza tra P e Q.

In modo naturale abbiamo definito il segmento orientato PQ, comemostra la Fifure2.2.

P

Q

Figura 2.1: Due punti nel deserto.


28 Vettori nel piano e nello spazio

P

Q

�

Figura 2.2: Il segmento orientato PQ.

��

Figura 2.3: Due segmenti orientati uguali.

Quindi per definire un segmento orientato serve:

La direzione: rappresenta la retta alla quale appartiene il segmento

Un verso: indica da quale parte del segmento vi muovete e si indica conuna freccia

Un modulo: indica la lunghezza del segmento ed a volte si chiama nor-ma, lunghezza o intensita

Consideriamo adesso segmenti orientati mostrati in Figura 2.3.Se la vista non ci inganna questi due segmenti orientati hanno stessadirezione, stesso verso e stesso modulo, ma allora sono uguali!Per descrivere tutti i segmenti orientati uguali con un unico oggetto intro-duciamo la nozione di vettore.Un vettore non e un singolo segmento orientato ma la totalita dei segmentiorientati aventi stessa direzione, stesso verso e stesso modulo. Un vettore


2.1 Operazioni con i vettori 29

��

�

�

Figura 2.4: Rappresentanti di uno stesso vettore.

non e un particolare segmento orientato ma rappresenta tutti i segmentiorientati equivalenti, dove equivalenti vuol dire che hanno la stessa di-rezione, lo stesso verso e lo stesso modulo. Un vettore e costituito da unaclasse di equivalenza di segmenti orientati. Nella Figura 2.4 sono mostratialcuni rappresentanti di un vettore.

Complemento 2.1.Una relazione su un insieme A e una regola che identifica elementi di A. Se dueelementi a, b ∈ A sono in relazione tra loro si scrive a ∼ b. Una relazione si chiama diequivalenza se soddisfa alle seguenti proprieta:

1. a ∼ a riflessiva;

2. se a ∼ b allora b ∼ a simmetrica;

3. se a ∼ b e b ∼ c allora a ∼ c transitiva.

Una classe di equivalenza, denotata con [a], e la totalita degli elementi di A chesono in relazione di equivalenza con a.

Il grande vantaggio dei vettori e che non dipendono dal punto in cui siapplicano, cioe un singolo vettore non dipende dal punto in cui inizia ilsegmento orientato. Questa proprieta sara molto utile in seguito.Da ora in poi indicheremo i vettori con le lettere u, v, w ed indicheremoil modulo di un vettore con ||v||.

2.1 Operazioni con i vettori

2.1.1 Somma

La prima operazione con i vettori e quella di somma. Dati due vettoriv e w la costruzione geometrica della somma e la seguente (si veda la



�

-v

w

�

-v

w

�

-

*

v

w

v + w

Figura 2.5: Costruzione del vettore somma.

Figura 2.5):

• si applicano entrambi i vettori nello stesso punto;

• si costruisce un parallelogramma a partire dai vettori v e w (quelloovvio);

• il vettore somma v + w e il vettore determinato dalla diagonale delparallelogramma.

2.1.2 Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

Sia v un vettore e sia λ ∈ R un numero reale. Il prodotto λv definisce unnuovo vettore nel modo seguente:

• la direzione di λv e la stessa di v;

• il verso di λv e quello di v se λ > 0, mentre e opposto se λ < 0;

• ||λv|| = |λ| ||v||.

Si noti che |λ| indica il valore assoluto di λ come numero reale.

Si osservi in Figura 2.6 l’effetto della moltiplicazione di un vettore per unoscalere:



�

�

�

v

2v

−v

12v

Figura 2.6: Moltiplicazione di un vettore per uno scalare.

Osservazione 2.2. Moltiplicando un vettore per −1si ottiene il vettore opposto. Se eseguiamo la som-ma geometrica (con la regola del parallelogram-ma) tra v e −v otteniamo un vettore di modulo 0(provate prima di essere convinti). In formula

v + (−v) = 0

dove con 0 non intendiamo il numero 0 ma un vet-tore di lunghezza 0. Si noti che il vettore 0 non hauna direzione o un verso ben definiti, di fatto hatutte le direzioni ed entrambi i versi.

-�v−v

2.1.3 Differenza tra due vettori

Usando la moltiplicazione per −1 possiamo adesso definire la differenza didue vettori v e w come

v − w = v + (−w)

dove con il + si intente l’operazione di somma con la regola del parallelo-gramma. Geometricamente si opera nel modo seguente (si veda anche laFigura 2.7

1. si parte dai vettori v e w applicati nello stesso punto;

2. si traccia il vettore opposto a w sempre applicato nello stesso punto;

3. si esegue la somma con la regola del parallelogramma.



�

-v

w

�

-

v

w

−w

�

-

R

v

w

−w v − w

Figura 2.7: Costruzione del vettore differenza.

Osservazione 2.3. Utilizzando il fatto che unvettore rimane lo stesso a patto di spostarlosenza cambiarne direzione, verso e modulo, sipuo identificare il vettore v−w con il vettorecongiungente la freccia di w con la freccia div.

�

-

R

Rv

w

−w v − w

v − w

2.1.4 Propireta della somma e del prodotto per unoscalare

Siano u, v, w tre vettori e siano λ, µ ∈ R due numeri reali, allora valgonole seguenti proprieta:

v + w = w + v(u + v) + w = u + (v + w)

v + 0 = vv − v = 0

v − w = −(w − v)λ(v + w) = λv + λw(λ + µ)v = λv + µv

Utilizzando le proprieta della somma e del prodotto possiamo definire lacombinazione lineare di piu vettori nel modo seguente: siano v1, v2, . . . , vn,n vettori e siano λ1, λ2, . . . , λn ∈ R, si definisce combinazione lineare ilvettore

v = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λnvn



�

-v

w

θ

Figura 2.8: Angolo tra due vettori.

Per dare una espressione compatta di combinazione lineare introduciamoil simbolo di sommatoria

n∑

i=1

ai = a1 + a2 + · · ·+ an (sommatoria degli ai per i che va da 1 ad n)

Usando la sommatoria riscriviamo la combinazione lineare di n vettoricome

v =

n∑

i=1

λivi

Complemento 2.4.La sommatoria e un simbolo matematico che abbrevia, in una notazione sintetica, lasomma di un certo numero di addendi. Per esempio, 1+2+3+4+5+6+7 =

∑7

i=1i ,

mentre 1/2+1+2+4+8+16 =∑4

i=−12i. La sommatoria gode delle seguenti proprieta

(dette lineari):

n∑

i=1

(ai + bi) =

n∑

i=1

ai +

n∑

i=1

bi ;

n∑

i=1

λai = λ

n∑

i=1

ai

2.1.5 Angolo tra due vettori

Siano v e w due vettori. Se applicati nello stesso punto, v e w definisconodue angoli. Definiamo l’angolo tra i vettori v e w il piu piccolo tra i due,come mostrato in Fifura 2.8.I seguenti valori di θ sono di notevole interesse:

θ = 0 - In questo caso i vettori v e w sono paralleli ed hanno lo stessoverso;



-

-

v

w

θ = 0

-� vw

θ = 180o

-

6

v

w

θ = 90o

Figura 2.9: Angoli notevoli.

θ = 180o - In questo caso i vettori v e w sono paralleli ed hanno versoopposto;

θ = 90o - In questo caso i vettori v e w sono perpendicolari (ortogo-nali).

Due vettori v e w risultano dunque paralleli se differiscono per la molti-plicazione di uno scalare. Infatti se l’angolo tra i vettori e 0 allora w none altro che un vettore con stessa direzione, stesso verso di v e solo modulodiverso; nel caso in cui l’angolo sia 180o, w ha la stessa direzione ma versoopposto. Segue che due vettori sono paralleli se e solo se ∃ (esiste) unnumero λ ∈ R, λ 6= 0, tale che w = λv.

v e parallelo a w se e solo se ∃λ ∈ R, λ 6= 0, tale che w = λv

2.2 Prodotto scalare e prodotto vettoriale

Oltre la somma dei vettori e la moltiplicazione di un vettore per unoscalare esistono altre due operazioni notevoli tra i vettori.

2.2.1 Il prodotto scalare

Come dice lo stesso nome, il prodotto scalere tra due vettori v e w ha comerisultato uno scalare e si indica con < v, w >. La definizione formale e laseguente:

< v, w >= ||v|| ||w|| cos θ (2.1)


2.2 Prodotto scalare e prodotto vettoriale 35

dove θ rappresenta l’angolo tra i vettori v e w e cos θ rappresenta il cosenodell’angolo θ.

Complemento 2.5.

Data una circonferenza di raggio 1, centrata nell’originedi un sistema di riferimento cartesiano (si veda il para-grafo 2.3), sia P = (Px, Py) un punto su di essa e siaA = (1, 0) l’intersezione della circonferenza con l’assedelle ascisse. Denotato con con α l’angolo AOP si pone

Px = cosα ; Py = sinα

O

P

A

α

cosα

sin

α

Nel Sistema Internazionale (SI) gli angoli si misuranoin radianti. Questa misura prevede di considerare lalunghezza x dell’arco di circonferenza AP come misuradell’angolo α. Si definisce radiante (indicato con rad)la misura di un angolo il cui arco AP misuri 1. Si haquindi 360o = 2π rad mentre per convertire il valore diun angolo da gradi in radianti si utilizza la proporzionex = απ

180. La tabella affianco mostra il valore di cos e sin

per alcuni angoli notevoli.

α x cosx sin x0o 0 1 0

30o π/6√

3/2 1/2

45o π/4√

2/2√

2/2

60o π/3 1/2√

3/290o π/2 0 1

Per esempio se v ha lunghezza 3, w ha lunghezza 2 e l’angolo tra v e w e45o si ha

< v, w >= ||v|| ||w|| cos θ = 3 · 2 ·√

2

2= 3

√2

Il prodotto scalare gode delle seguenti proprieta:

< v, w >=< w, v >< u + v, w >=< u, w > + < v, w >< λv, w >= λ < v, w >< v, v >= ||v||2

qui u, v, w rappresentano vettori e λ un numero reale.

Se l’angolo tra due vettori v e w e π2

i vettori sono perpendicolari e dalladefinizione di prodotto scalare segue che < v, w >= 0. Vale anche ilviceversa, cioe se due vettori non nulli hanno prodotto scalare nullo allorasono ortogonali. Abbiamo quindi il seguente criterio:

v e perpendicolare a w se e solo se < v, w >= 0



2.2.2 Il prodotto vettoriale

Dati due vettori v e w il loro prodotto vettoriale, denotato con v ∧ w(si legge v vettor w), e un nuovo vettore definito nel modo seguente:

• la lunghezza di v ∧ w e assegnata dallaformula:

||v ∧ w|| = ||v|| ||w|| sin θ (2.2)

dove θ e l’angolo formato dai due vettori (0 ≤θ ≤ π);

• la direzione di v∧w e perpendicolare al pianocontenente v e w;

• il verso di v ∧w e dato dalla seguente regola:guardando dalla freccia di v ∧ w vediamo ilvettore v ruotare in senso anti-orario verso w;

-

R

6

v

w

v ∧ w

θ

Il prodotto vettoriale gode delle seguenti proprieta:

v ∧ w = −w ∧ vu ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w(λv) ∧ w = λ(v ∧ w)

qui u, v, w rappresentano vettori e λ un numero reale.Se l’angolo tra due vettori v e w e 0 o π (180o) i due vettori sono paralleli edalla definizione della norma del prodotto vettoriale segue che ||v∧w|| = 0,quindi v ∧w e il vettore nullo. Vale anche il viceversa, cioe se due vettorinon nulli hanno prodotto vettoriale zero allora i due vettori sono paralleli.Abbiamo quindi il seguente criterio:

v e parallelo a w se e solo se v ∧ w = 0

Osservazione 2.6. Utilizzando la formula (2.2)segue che la lunghezza di v ∧ w e uguale al-l’area del parallelogramma costruito su v e w.Infatti l’area del parallelogramma e data dallabase (in questo caso ||v||) per l’altezza h, cheutilizzando i teoremi sui triangoli rettangolivale h = ||w|| sin θ.

�

-v

w

θh


2.3 Vettori in un sistema di riferimento 37

-x

6yP

xP

yP

O

Figura 2.10: Coordinate nel piano.

Complemento 2.7.Dato un triangolo rettangolo di cateti a, b e ipotenusa c, denotan-do con α, β gli angoli opposti ai cateti a e b, valgono le seguentiidentita:

a = c sin α = c cosβb = c sin β = c cosα a

bc α

β

2.3 Vettori in un sistema di riferimento

Se introduciamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nel piano,questo si puo identificare con l’insieme R×R = R2. Ad ogni punto P delpiano vengono cosı associati due numeri reali (xP , yP ) nel modo mostratoin Figura 2.10

Chiameremo (xP , yP ) le coordinate del punto P ed in particolare xP edetta ascissa mentre yP ordinata. Il punto di intersezione tra l’asse delleascisse e quello delle ordinate prende il nome di origine ed e denotato conO.

Dato un punto P = (xP , yP ) resta associato in modo naturale un vettorev = OP : il vettore congiungente l’origine con il punto P (Figura 2.11).

Viceversa, ad ogni vettore v resta associata una coppia ordinata di nu-meri reali (vx, vy): le coordinate della freccia del vettore quando questo eapplicato nell’origine (Figura 2.12).

In questo modo vi e una corrispondenza biunivoca tra punti del piano evettori del piano. Definiamo le componenti di un vettore v le coordinatedella freccia quando v e applicato nell’origine e scriviamo v = (vx, vy).

Dati due punti A = (Ax, Ay) e B = (Bx, By) resta associato il vettoreAB, cioe il vettore congiungente A con B. Per calcolare le componenti del



-x

6yP

xP

yP *

O

v

Figura 2.11: Vettore determinato da un punto P .

-x

6y

vx

vy *

O

v

Figura 2.12: Componenti di un vettore.

vettore AB bisogna traslare il vettore in modo che il punto A coincida conl’origine; in questo modo le coordinate della freccia del vettore traslatorappresentano le componenti del vettore AB (qui si e utilizzato il fattoche un vettore rimane lo stesso se traslato nel piano). Un semplice calcolomostra che le componenti del vettore AB risultano (Fifura 2.13)

AB = (Bx − Ax, By − Ay)

Il grande vantaggio nel descrivere i vettori tramite le componenti e che leoperazioni tra i vettori risultano intuitive ed immediate. Se consideriamodue vettori v = (vx, vy), w = (wx, wy) e se λ ∈ R e un numero reale si ha:

v + w = (vx + wx, vy + wy)v − w = (vx − wx, vy − wy)λv = (λvx, λvy)||v|| =

√v2

x + v2y

(2.3)

Due vettori v = (vx, vy), w = (wx, wy) sono uguali se hanno le stesse



-x

6y

Bx − Ax

By − Ay *

*

A

B

O

AB

Figura 2.13: Componenti del vettore AB.

componenti, cioe

v = w se e solo se vx = wx e vy = wy

Si osservi inoltre che due vettori v = (vx, vy) e w = (wx, wy) sono parallelise sono proporzionali, cioe se esiste un numero reale λ ∈ R, λ 6= 0, taleche v = λw. In componenti la condizione diventa

v e parallelo a w se e solo se vx = λwx e vy = λwy

2.3.1 Base di vettori

Esistono due vettori speciali nel piano tramite i quali si possono descrivere(usando combinazioni lineari) tutti i vettori del piano. Si considerino ivettori i = (1, 0) e j = (0, 1). Questi due vettori sono ortogonali tra diloro ed hanno entrambi lunghezza 1 (vettori di lunghezza 1 si chiamanoversori) come mostra la Figura 2.14.Dato un vettore v = (vx, vy) risulta, tenendo conto delle formule per leoperazioni tra vettori,

vxi + vyj =vx(1, 0) + vy(0, 1)

=(vx, 0) + (0, vy) = (vx, vy) = v

Quindi qualunque vettore v = (vx, vy) si puo scrivere come combinazionelineare dei vettori i = (1, 0) e j = (0, 1). Si dice in questo caso che i vettorii = (1, 0) e j = (0, 1) sono una base per i vettori del piano.



-x

6y

i

j

-

6

O

Figura 2.14: Base di vettori.

-y

x

6z

P = (Px, Py, Pz)

P ′ = (Px, Py, 0)Px

Py

Pz

Figura 2.15: Coordinate nello spazio.

2.3.2 Vettori nello spazio

Se introduciamo un sistema di riferimento cartesiano ortogonale nellospazio tridimensionale, con origine nel punto O, questo si puo identifi-care con l’insieme R3 delle terne ordinate (x, y, z) di numeri reali. Quin-di ad ogni punto P del piano possiamo associare tre coordinate P =(Px, Py, Pz) come mostrato in Figura 2.15. In modo analogo al caso delpiano, definiamo le componenti di un vettore nello spazio come le coor-dinate della freccia quando il vettore e applicato nell’origine e scriveremov = (vx, vy, vz).Se consideriamo due vettori v = (vx, vy, vz), w = (wx, wy, wz) e se λ ∈ Re un numero reale si hanno le seguenti formule, analoghe a quelle per i



x

-y

6z

j

k

i

-

6

Figura 2.16: Base di vettori nello spazio.

vettori nel piano:

v + w = (vx + wx, vy + wy, vz + wz)v − w = (vx − wx, vy − wy, vz − wz)λv = (λvx, λvy, λvz)||v|| =

√v2

x + v2y + v2

z

Anche per i vettori nello spazio possiamo definire una base, formata datre versori, le cui combinazioni lineari generano tutti i vettori dello spazio:i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) (Figura 2.16).Ogni vettore v = (vx, vy, vz) si scrive come combinazione lineare dei vettoridi base nella forma v = vxi + vyj + vzk.

2.3.3 Il prodotto scalare e vettoriale in componenti

Per primo calcoliamo il prodotto scalare tra i vettori di base. Usandola proprieta che due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodottoscalare e zero segue immediatamente che

< i, j >= 0 < i,k >= 0 < j,k >= 0< i, i >= 1 < j, j >= 1 < k,k >= 1

(2.4)

Per il prodotto vettoriale calcoliamo per primo i ∧ j: per definizione i ∧ je un vettore la cui direzione e ortogonale al piano contenete i e j, quindila direzione di k; il modulo di i ∧ j e dato dalla formula

||i ∧ j|| = ||i|| ||j|| sin(π

2) = 1 · 1 · 1 = 1;



infine dalla regola del verso segue che coincide con quello di k. Abbiamoquindi dimostrato che i ∧ j = k. In modo analogo si calcolano gli altriprodotti vettoriali e si ottiene la seguente tabella:

i ∧ j = k i ∧ k = −jj ∧ i = −k j ∧ k = ik ∧ i = j k ∧ j = −i

(2.5)

Siano adesso v = (vx, vy, vz) e w = (wx, wy, wz) due vettori. Scrivendo v ew rispetto alla base i, j, k e tenendo conto delle formule (2.4) si ottiene:

< v, w >= < vxi + vyj + vzk, wxi + wyj + wzk >

= vxwx < i, i > +vxwy < i, j > +vxwz < i,k > +

+vywx < j, i > +vywy < j, j > +vywz < j,k > +

+vzwx < k, i > +vzwy < k, j > +vzwz < k,k >

= vxwx + vywy + vzwz

Quindi si ha la formula:

< v, w >= vxwx + vywy + vzwz (2.6)

In modo analogo, tenendo conto delle (2.5), si ottiene

v ∧ w = (vywz − vzwy, vzwx − vxwz, vxwy − vywx) (2.7)

Se conosciamo le componenti di due vettori v e w, allora sappiamo cal-colare il loro prodotto scalare e vettoriale usando la (2.6) e la (2.7). Peresempio se v = (1, 2,−1) e w = (2, 3, 1) si ottiene

< v, w >= 1 · 2 + 2 · 3 + (−1) · 1 = 2 + 6 − 1 = 7,

mentre

v ∧ w = (2 · 1 − (−1) · 3, (−1) · 2 − 1 · 1, 1 · 3 − 2 · 2) = (5,−3,−1).

Osservazione 2.8. Dato un vettore v = (vx, vy) nel piano si noti che ilvettore v⊥ = (−vy, vx) e ortogonale a v, infatti

< v, v⊥ >= −vx · vy + vy · vx = 0.



Dati due vettori v = (vx, vy) e w = (wx, wy) nel piano per eseguire il loroprodotto scalere in componenti li si considera come vettori dello spaziocon la terza componente nulla, ossia si aggiunge la terza componente 0,cioe si riscrive v = (vx, vy, 0) e w = (wx, wy, 0). Si ottiene infine:

v ∧ w = (0, 0, vxwy − vywx).

2.3.4 Due applicazioni del prodotto scalare e vetto-

riale

Angolo tra due vettori. Le formule (2.1) e (2.6) sono molto utili per ilcalcolo dell’angolo tra due vettori quando si conoscono le componenti diquesti. Per esempio, dati i due vettori v = (1, 1) e w = (1, 0) si ha dalla(2.1) che

< v, w >= ||v|| ||w|| cos θ =√

2 · 1 · cos θ =√

2 cos θ

mentre dalla (2.6) si ottiene

< v, w >= 1 · 1 + 1 · 0 = 1

Confrontando le due equazioni si ha

1 =√

2 cos θ

da cui

cos θ =1√2

=

√2

2

che ha come soluzione θ = π/4 = 45o.Area di un triangolo. Dati tre punti non allineati nel piano o nellospazio P1, P2 e P3, questi definiscono un triangolo T . Per calcolare l’areadi T si procede nel modo seguente: si determinano i vettori P1P2 e P1P3

come in Figura 2.17.L’area di T e la meta dell’area del parallelogramma generato dai duevettori P1P2 e P1P3 che, per l’Osservazione 2.6, e uguale alla lunghezzadel prodotto vettoriale P1P2 ∧ P1P3. Si ha quindi

Area(T ) =1

2||P1P2 ∧ P1P3||



q

�

P1

P2

P3

T

Figura 2.17: Area di un triangolo.

Per esempio, siano P1 = (1, 2, 1), P2 = (2, 0, 1) e P3 = (0, 2, 4). In questocaso si ha

P1P2 = (1,−2, 0), P1P3 = (−1, 0, 3)

da cui

Area(T ) =1

2||P1P2 ∧ P1P3|| =

1

2||(−6,−3,−2)|| =

1

2

√49 =

7

2

2.4 Esercizi sui vettori

1. Dati due vettori v e w non paralleli (si scelgano due vettori qualsiasi)si traccino i seguenti vettori

• v + w

• v − w

• 2v − w

• −3v + 2w

2. Dati i punti A = (1, 1) e B = (4, 0) in un sistema di riferimentocartesiano si trovino

• le componenti del vettore AB

• le componenti del vettore BA

• la lunghezza di AB


2.4 Esercizi sui vettori 45

• le componenti di AB + i

3. Dati i vettori v = 2i e w =√

3i + j, si trovi

• < v, w >

• l’angolo tra w e v

• l’area del triangolo determinato dai vettori v e w applicatinell’origine

4. Dati i vettori v = 2i + j e w = i + j, si trovi

• < v, w >

• un vettore z tale che< z, v >=

√5

• un vettore ortogonale a w

5. Dati i vettori v = (1, 2, 3) e w = (1, 0, 2) nello spazio tridimensionale,si trovi

• v ∧ w

• un vettore di lunghezza doppia e verso opposto rispetto a v∧w

• un vettore parallelo a v

• un vettore ortogonale a w

6. Dati i vettori v = (1, 1) e w = j

• calcolare il vettori v+w e 2v−3w e rappresentarli in un sistemadi riferimento;

• calcolare il prodotto scalare;

• calcolare il prodotto vettoriale;

7. Dati i vettori u = (1, 1, 0) e v = k

• si determini un vettore w ortogonale a v e che formi un angolodi π/4 con u;

• calcolare il prodotto scalare e il prodotto vettoriale di u e v;

• calcolare l’area del triangolo generato da u e u + v



8. Siano v e w due vettori del piano il cui angolo compreso vale 45o etali che |v| = 2|w|

• determinate il prodotto scalare tra v e w sapendo che |w| = 1;

• calcolare la norma del prodotto vettoriale tra v e w sapendoche |v| = 1;

• determinare |v| e |w| sapendo che < v, w >= 4√

2.

9. Dati due vettori paralleli v e w con v = i + j e tali che < v, w >= 1

• determinare il vettore w;

• calcolare il prodotto vettoriale tra v e w;

• determinare un vettore z che formi un angolo di 45o con v etale che |z| = 2.

10. Dati i vettori v = (1,√

3) e w = −2i + 2√

3j

• calcolare il vettore −v + 2w e rappresentare l’operazione geo-metricamente in un sistema di riferimento;

• calcolare il prodotto scalare e vettoriale tra v e w e determinareun vettore u ortogonale simultaneamente ad v e w;

• calcolare l’angolo tra v e w.

11. Dati due vettori v e w perpendicolari con |v| = 2|w| = 2

• rappresentare geometricamente il vettore v − w;

• calcolare il prodotto scalare e la norma del prodotto vettorialetra v e w;

• calcolare l’angolo tra v e 3w.


Capitolo 3Geometria analitica del piano

In questo capitolo studieremo le proprieta principali di alcune curve notevolidel piano.Iniziamo con alcune nozioni elementari.Distanza tra due punti. Dati due punti nel piano P = (Px, Py) eQ = (Qx, Qy) la distanza tra P e Q, denotata con d(P, Q), e data dallaformula:

d(P, Q) =√

(Qx − Px)2 + (Qy − Py)2. (3.1)

Dimostriamo la (3.1). Ovviamente la distanza tra P e Q e pari allalunghezza del vettore PQ = (Qx − Px, Qy − Py), la quale, per le (2.3), e

||PQ|| =√

(Qx − Px)2 + (Qy − Py)2.

Osservazione 3.1. Come mostra la Figura 3.1 la distanza tra P e Q edata dall’ipotenusa del triangolo PQH , i cui cateti misurano |Qx − Px| e|Qy − Py|. Applicando il Teorema di Pitagora si ottiene

d(P, Q)2 = (Qx − Px)2 + (Qy − Py)

2.

Punto medio di un segmento. Dati due punti P = (xP , yP ) e Q =(xQ, yQ) si definisce punto medio M di P e Q il punto sulla retta passanteper P e Q e tale che

d(P, M) = d(Q, M).


48 Geometria analitica del piano

-x

6y

P

Px

Py

Q

Qx

Qy

︸︷︷︸

Qx − Px

Qy − Py

H

Figura 3.1: Distanza tra due punti.

Per ottenere le coordinate del punto medio (Mx, My) procediamo nel modoseguente. Per definizione i vettori PM e QM hanno stessa direzione, stessalunghezza ma verso opposto (si veda la Figura 3.2).In componenti, PM = (Mx−Px, My −Py) e QM = (Mx−Qx, My −Qy),da cui, utilizzando la relazione PM + QM = 0, si ottiene

(Mx − Px, My − Py) + (Mx − Qx, My − Qy) = (0, 0).

Svolgendo i calcoli si ha

(2Mx − Px − Qx, 2My − Py − Qy) = (0, 0).

Ricordando che due vettori sono uguali se e solo se hanno le stesse com-ponenti si ottiene: {

2Mx = Px + Qx

2My = Py + Qy

Quindi le coordinate del punto medio sono

M =

(Px + Qx

2,Py + Qy

2

)

3.1 La retta

Tutti hanno una idea primitiva di retta e tutti sanno tracciare una ret-ta. Non tutti pero sono in grado di dare una definizione precisa di retta,


3.1 La retta 49

-x

6y

P

Px

Py

Q

Qx

Qy

O

M�

Figura 3.2: Punto medio di P e Q.

infatti non e affatto semplice formulare una definizione esatta. La rettao linea retta e uno degli enti geometrici fondamentali della geometria eu-clidea. Viene definita da Euclide, nei suoi Elementi, come un concettoprimitivo. Un filo di cotone o di spago ben teso tra due punti e un modellomateriale che ci puo aiutare a capire cosa sia la retta, un ente geometricoimmateriale senza spessore e con una sola dimensione. La retta e inoltreillimitata in entrambe le direzioni, cioe e infinita.Prima di procedere con la descrizione analitica della retta ricordiamo icinque postulati di Euclide sulla base dei quali e fondata tutta la geometriaEuclidea.

1. Per due punti qualsiasi e possibile tracciare una ed una sola retta.

2. Si puo prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.

3. Dato un punto e una lunghezza, e possibile descrivere un cerchio.

4. Tutti gli angoli retti sono uguali.

5. Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoliinterni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse siincontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.



-x

6y

O

*

u

Figura 3.3: Rette parallele ad un vettore.

3.1.1 Equazione parametrica della retta

La retta e un sottoinsieme del piano e fissato un sistema di riferimentocartesiano nel piano la retta puo essere vista come un sottoinsieme di R2,cioe come un sottoinsieme delle coppie ordinate (x, y) di numeri reali. Inquesto modo per descrivere una retta dobbiamo assegnare le coordinatedei punti che appartengono alla retta.Fissato un vettore u = (l, m) nel piano, ad esso resta associata unadirezione. Esistono infinite rette con quella direzione come mostra laFigura 3.3.Se adesso chiediamo che la retta, oltre ad avere la direzione di u = (l, m),passi per un punto fissato del piano P0 = (x0, y0), allora individuiamo ununica retta r come in Figura 3.4 (a)Scegliamo adesso un punto qualunque P = (x, y) sulla retta r. Il nostroscopo e determinare le coordinate del punto P . A tale fine, consideriamo ivettori OP0, OP e P0P . Notiamo che il vettore P0P ha la stessa direzionedi u, quindi e proporzionale ad u. Questo implica che esiste un numeroreale t ∈ R tale che P0P = tu, si veda la Figure 3.4 (b).Dalla definizione geometrica di somma di vettori segue che

OP = OP0 + P0P = OP0 + tu.

Scrivendo l’ultima identita in componenti si ottiene

(x, y) = (x0, y0) + t(l, m) = (x0 + lt, y0 + mt).


3.1 La retta 51

-x

6y

O

P0

(a)

*ur

-x

6y

O

(b)

P0

P

�

*::

P0P = tu

u

Figura 3.4: (a) La retta passante per P0 e con direzione u. (b) Costruzionedel vettore P0P .

Abbiamo cosı dimostrato che un punto P , di coordinate P = (x, y), ap-partiene alla retta passante per il punto P0 = (x0, y0) e con direzione ilvettore u = (l, m), se e solo se esiste un numero reale t ∈ R tale che

{

x = x0 + lt

y = y0 + mt(3.2)

La (3.2) prende il nome di equazione parametrica della retta r passanteper il punto P0 = (x0, y0) e con direzione il vettore u = (l, m).

Esempio 3.2. Se P0 = (1, 2) e u = (3,−1) si ottiene la retta in Figura 3.5di equazione parametrica

{

x = 1 + 3t

y = 2 − t

Dando valori diversi al parametro t si ottengono punti diversi della retta.Per esempio se t = 1 si ottiene il punto della retta di coordinate P = (4, 1)(si verifichi con il disegno che questo punto appartiene alla retta).

3.1.2 Posizione di due rette

Consideriamo due rette, la prima r passante per P0 = (x0, y0) e con di-rezione u = (l, m) e la seconda r′ passante per P ′

0 = (x′0, y

′0) e con direzione



-x

6y

O

P0

1

2

qu

r

Figura 3.5: La retta passante per P0 = (1, 2) e con vettore direzionaleu = (3,−1).

Incidenti Parallele Coincidenti

Figura 3.6: Posizione di due rette nel piano.

u′ = (l′, m′). Le equazioni parametriche delle rette r ed r′ sono

r :

{

x = x0 + lt

y = y0 + mtr′ =

{

x = x′0 + l′t

y = y′0 + m′t

. (3.3)

Le rette r ed r′ si possono trovare in una delle tre situazioni mostrate inFigura 3.6. Due rette sono incidenti se hanno un solo punto in comune,parallele se non hanno nessun punto in comune e coincidenti se hanno tutti(quindi infiniti) punti in comune. Rispetto alle equazioni parametriche(3.3), le rette r ed r′ saranno:

Incidenti quando u non e proporzionale ad u′.


3.1 La retta 53

Parallele quando u e proporzionale ad u′ (u = λu′, λ ∈ R) e non esistonopunti in comune.

Coincidenti quando u e proporzionale ad u′ ed esiste un punto (quinditutti) in comune.

Tra le rette incidenti ci sono quelle perpendicolari (o ortogonali), cioe lerette che si incontrano formando quattro angoli retti. Due rette sono ortog-onali se i rispettivi vettori direzionali sono ortogonali, cioe se < u, u′ >=0.

3.1.3 Equazione cartesiana della retta

L’equazione parametrica della retta fornisce un metodo esplicito di esibirele coordinate dei punti che appartengono ad una retta. Infatti un puntoP = (x, y) appartiene alla retta passante per P0 = (x0, y0) e con direzioneil vettore u = (l, m) se e solo se esiste un numero reale t tale che

{

x = x0 + lt

y = y0 + mt.

Supponendo che l ed m siano entrambi diversi da 0, possiamo eliminare ilparametro t dall’equazione parametrica nel modo seguente:

{

x = x0 + lt

y = y0 + mt⇒

{

x − x0 = lt

y − y0 = mt⇒

{

t = x−x0

l

t = y−y0

m

Siccome il parametro t e lo stesso in entrambe le equazioni, si ottiene:

x − x0

l=

y − y0

m(3.4)

L’equazione (3.4) fornisce un legame tra le coordinate di un punto genericoP = (x, y) che appartiene alla retta r. Cioe un punto P = (x, y) appartienealla retta r se e solo se le sue coordinate soddisfanno alla (3.4). La (3.4)si puo riscrivere nella forma

m(x − x0) − l(y − y0) = 0



-x

6y

−cb

y = − cb

(a)

-x

6y

−ca

x = − ca

(b)

-x

6y

(c)

Figura 3.7: (a) Retta orizzontale. (b) Retta verticale. (c) Retta perl’origine.

o, equivalentemente,

mx − ly − mx0 + ly0 = 0.

Se adesso poniamo a = m, b = −l e c = −mx0 + ly0 si ottiene l’equazione

ax + by + c = 0 (3.5)

che prende il nome di equazione cartesiana della retta.Andiamo ad analizzare l’equazione cartesiana della retta in alcuni casinotevoli:

a = 0, b 6= 0 In questo caso l’equazione diventa by + c = 0, cioe y =−c/b = costante. In questo caso un punto P = (x, y) appartienealla retta se le sue coordinate soddisfano l’equazione della retta, cioese la sua ordinata e pari a −c/b che e costante. Tutti i punti dellaretta hanno la stessa ordinata, mentre l’ascissa (non comparendonell’equazione) puo essere qualunque. Si tratta quindi di una rettaorizzontale (si veda la Figura 3.7 (a)). Se c = 0 si ottiene l’equazionedell’asse delle ascisse (delle x) y = 0.

a 6= 0, b = 0 L’equazione diventa ax + c = 0, cioe x = −c/a = costante.In questo caso un punto P = (x, y) appartiene alla retta se la suaascissa e pari a −c/a che e costante. Tutti i punti della retta hannola stessa ascissa, mentre l’ordinata (non comparendo nell’equazione)puo essere qualunque. Si tratta quindi di una retta verticale (siveda la Figura 3.7 (b)). Se c = 0 si ottiene l’equazione dell’asse delleordinate (delle y) x = 0.


3.1 La retta 55

-x

6y

O

P1

1

2

P2

4

3 r

Figura 3.8: La retta x − 3y + 5 = 0.

a 6= 0, b 6= 0, c = 0 L’equazione diventa ax + by = 0. L’origine O =(0, 0) appartiene alla retta, infatti le sue coordinate soddisfano all’e-quazione della retta (si veda la Figura 3.7 (c)).

3.1.4 Equazione di una retta passante per due punti

Dati due punti P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) per il primo assioma di Euclideesiste una ed una sola retta r passante per P1 e P2. Per determinare l’e-quazione della retta r usiamo la (3.4). Essendo i punti P1 e P2 appartenentialla retta, il vettore P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1) ha la stessa direzione dellaretta e possiamo dunque scegliere u = (l, m) = P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1).Infine, scegliendo P0 = P1 e sostituendo l = x2 − x1, m = y2 − y1 nella(3.4), si ottiene

x − x1

x2 − x1=

y − y1

y2 − y1(3.6)

Esempio 3.3. Dati i punti P1 = (1, 2) e P2 = (4, 3) l’equazione della rettar passante per P1 e P2 e

x − 1

4 − 1=

y − 2

3 − 2⇒ x − 1

3=

y − 2

1⇒ x − 3y + 5 = 0

il cui grafico e mostrato in Figura 3.8.Se conosciamo l’equazione della retta e vogliamo tracciarla basta deter-minare due punti che appartengono ad essa. Per esempio, consideriamo



la retta di equazione cartesiana x − y − 1 = 0. Per determinare due pun-ti della retta si possono assegnare due valori arbitrari alla variabile x edeterminare i corrispondenti valori della y. Per x1 = 1 si ottiene y1 = 2e per x2 = 2 si ottiene y2 = 3. Quindi i punti P1 = (1, 2) e P2 = (2, 3)appartengono alla retta. Per tracciare la retta bastera posizionare i duepunti in un sistema di riferimento e disegnare la retta passante per i duepunti.

3.1.5 Equazione esplicita della retta

Se b = 0 abbiamo visto che l’equazione cartesiana ax + by + c = 0 rappre-senta una retta verticale. Se escludiamo questo caso, cioe se imponiamob 6= 0, l’equazione cartesiana si puo scrivere nella forma

y = −a

bx − c

b. (3.7)

Ponendo m = −ab

e q = − cb, la (3.7) diventa

y = mx + q (3.8)

che prende il nome di equazione esplicita della retta.I coefficienti m e q hanno entrambi un significato geometrico.

Significato di q. Data una retta di equazione y = mx + q determiniamole coordinate dell’intersezione della retta con l’asse delle ordinate.L’asse delle ordinate ha equazione x = 0, quindi per trovare il puntodi intersezione dobbiamo porre x = 0 nell’equazione della retta,ottenendo cosı il punto di coordinate (0, q). Dunque q rappresental’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse delle y ede chiamata intercetta (si veda la Figura 3.9 (a)).

Significato di m. Per comprendere il significato di m consideriamo laretta di equazione y = mx. La retta passa per l’origine e per ilpunto P = (1, m) come mostra la Figura 3.9 (b).

Consideriamo adesso le rette y = 12x, y = x e y = 2x, il cui grafico

e rappresentato in Figura 3.10 (a).

Come risulta evidente dalla figura al crescere di m cresce l’angolo θche la retta forma con l’asse delle x; infatti m misura l’angolo θ. Perquesto motivo m e chiamato coefficiente angolare.


3.1 La retta 57

-x

6y

O

(a)

q

-x

6y

1

mP

(b)

Figura 3.9: (a) Significato di q. (b) La retta y = mx.

-x

6y

1

m = 1

m = 12

m = 2

y = x

y = 12x

y = 2x

(a)

-x

6y

1

mP

m

Oθ

(b)

Figura 3.10: (a) Rette con diverso coefficiente angolare. (b) Legame tram e θ.



-x

6y y = x

y = −x

Figura 3.11: Interpretazione del segno di m.

Troviamo adesso il legame esplicito tra m e θ. Dalla Figura 3.10(b) utilizzando i teoremi sui triangoli rettangoli (Complemento 2.7),risulta che:

1 = ||OP || cos θ e m = ||OP || sin θ

Esplicitando ||OP || dalla prima si ottiene:

||OP || = 1

cos θ

che sostituita nella seconda fornisce il legame desiderato:

m =sin θ

cos θ= tan θ.

Osservazione 3.4. Esiste una semplice interpretazione del segno del coef-ficiente angolare. Dal grafico (Figura 3.11) delle due rette y = x e y = −xsi osserva che se m > 0 la retta e crescente1; mentre se m < 0 la retta edecrescente. Questa interpretazione risultera utile in seguito.

1Una curva si dice crescente se camminando su di essa da sinistra verso destra sisale. Al contrario, si dice decrescente, se si scende


3.1 La retta 59

3.1.6 Posizione di due rette e coefficiente angolare

Sia r una retta nel piano di equazione esplicita y = mx + q. Dati duepunti P e Q appartenenti alla retta il vettore PQ e un vettore direzionaleper la retta r. Una verifica diretta (sostituendo le coordinate e verificandoche soddisfano all’equazione della retta) mostra che i punti P = (0, q) eQ = (1, m + q) appartengono alla retta r, quindi possiamo scegliere comevettore direzionale u = PQ = (1, m).Se adesso consideriamo due rette r e r′ di equazione

r : y = mx + q, r′ : y = m′x + q′

i corrispondenti vettori direzionali sono

u = (1, m), u′ = (1, m′).

Se le rette r ed r′ sono parallele, allora i vettori direzionali sono pro-porzionali, cioe esiste λ ∈ R, λ 6= 0, tale che u = λu′ o equivalentemente(1, m) = (λ, λm′). Segue che λ = 1 e m = m′. Abbiamo cosı dimostratoche

r e parallele a r′ se e solo se m′ = m

Se le rette r ed r′ sono perpendicolari, allora i vettori direzionali sonoperpendicolare, cioe < u, u′ >=< (1, m), (1, m′) >= 1 + mm′ = 0. Si haquindi che m′ = − 1

m. Abbiamo cosı dimostrato che

r e perpendicolare a r′ se e solo se m′ = − 1

m

3.1.7 Fascio proprio ed improprio di rette

Consideriamo un punto P0 = (x0, y0). Una retta di equazione y = mx + qpassa per il punto P0 se le sue coordinate soddisfano all’equazione dellaretta, cioe se

y0 = mx0 + q.

Ricavando q si ottiene q = y0 − mx0 che, sostituito nell’equazione dellaretta y = mx + q, fornisce

y = mx + y0 − mx0



-x

6y

P0

m = 0

m = 12

m = −12

Figura 3.12: Fascio proprio di rette.

la quale si puo riscrivere come

y − y0 = m(x − x0) (3.9)

La (3.9) rappresenta l’equazione di una retta passante per il punto P0 =(x0, y0) con coefficiente angolare m.Se fissiamo P0 e facciamo variare m otteniamo un fascio proprio dirette, con centro in P0, come mostra la Figura 3.12.Esiste un altro tipo di fascio, detto fascio improprio, costituito da retteparallele tra loro. Siccome rette parallele hanno lo stesso coefficienteangolare, segue che l’equazione di un fascio improprio e del tipo

y = mx + k

dove m e fissato mentre k varia. Per esempio il fascio y = −15x + k e

formato dalle rette parallele mostrate in Figura 3.14

Osservazione 3.5. I fasci di rette sono utili per risolvere alcuni problemigeometrici. Mostriamo come utilizzare il fascio proprio per determinare,assegnata una retta r di equazione y = mx+ q, una retta r′ ortogonale adr e passante per il punto P0 = (x0, y0). Le rette passanti per P0 = (x0, y0)sono descritte dal fascio proprio y − y0 = m′(x − x0) con m′ che varia.Essendo la retta r′ ortogonale a r risulta che m′ = − 1

m, da cui l’equazione

della retta cercata e

y − y0 = − 1

m(x − x0).


3.1 La retta 61

-x

6y

k = −1

k = 0

k = 1

k = 2

k = 3

k = 4

k = 5

k = 6

Figura 3.13: Fascio improprio di rette.

Terminiamo questo paragrafo dando la formula della distanza di un puntoda una retta. Sia P0 = (x0, y0) e sia r la retta di equazione ax+by+c = 0,allora la distanza di P0 dalla retta r e data da

d(P0, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2

Per dimostrare la formula si procede nel modo seguente. Si determina laretta r′ per P0 ortogonale alla retta r. Chiamata con H l’intersezione dir e r′, si ha che d(P0, r) = d(P0, H) (si veda la Figura 3.14).Supponiamo che a 6= 0 e b 6= 0. Il coefficiente angolare della retta r e m =−a

b. Quindi la retta r′ ha equazione y−y0 = b

a(x−x0), segue che le coordi-

nate dell’intersezione con la retta r sono H = (−ac−b2x0+aby0

a2+b2, − bc+abx0−a2y0

a2+b2).

Si ha infine

d(P0, r) = d(P0, H) =

√(

x0 +ac − b2x0 + aby0

a2 + b2

)2

+

(

y0 +bc + abx0 − a2y0

a2 + b2

)2

=

√

(ax0 + by0 + c)2

a2 + b2

=|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2



-x

6y

P0

H

r

r′

Figura 3.14: La distanza di P0 da r.

3.2 Esercizi sulla retta

1. Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano le seguentirette:

2x − y = 0; x − y − 1 = 0; x = −3

y = 2x; y − 2 = x; y = −3

2. Scrivere l’equazione cartesiana della retta nei seguenti casi:

• passante per i punti P1 = (1, 4) e P2 = (−1, 2);

• passante per i punti P1 = (1, 4) e P2 = (−1, 4);

• passante per i punti P1 = (1, 0) e P2 = (0, 0);

• passante per P0 = (1, 4) con direzione v = (1,−1);

• passante per P0 = (−1, 4) e parallela alla retta di equazioney − x + 1 = 0.

3. Dati i punti A = (1,−1/2) e B = (0, 1) determinare:

• la retta passante per il punto medio tra A e B e ortogonale alvettore AB;


3.2 Esercizi sulla retta 63

• la retta passante per il punto medio tra A e B e parallela alvettore OB + 2OA.

4. Si determini l’equazione cartesiana e parametrica della retta r chetaglia l’asse delle x sotto un angolo di 30 gradi e tale che l’inter-sezione della retta con l’asse delle y sia (0, a) dove a e soluzionedell’equazione log 1

2x = 4.

5. Scrivere l’equazione parametrica delle rette di equazione cartesiana

y − 2x − 3 = 0

x − 3y = 0

x − y/2 = −1

x = 3y + 16

6. Dati i punti A = (−1, 1) e B = (1,−1) determinare l’equazioneparametrica:

• della retta passante per il punto medio tra A e B e che taglial’asse delle x sotto un angolo di 30 gradi;

• della retta passante per il punto medio tra A e B e parallela alvettore OB − OA;

• della retta passante per A e ortogonale a i.

7. Dati i punti A = (1, 0) e B = (3, 0) determinare:

• l’equazione parametrica della retta passante per il punto mediotra A e B e ortogonale al vettore AB + j;

• l’equazione cartesiana della retta passante per C = (1, 0) eparallela al vettore AB.

8. Data la retta r di equazione cartesiana x + 2y = 3:

• scrivere l’equazione parametrica della retta s parallela a r epassante per l’origine;

• determinare l’intersezione di s con la retta p passante per A(−1,−2)e perpendicolare al versore j.



9. Dati i punti A = (2, 1) e B = (2, 2)

• determinare l’equazione cartesiana della retta r passante perl’origine e parallela al vettore v = AB − i;

• determinare la distanza della retta r dal punto di intersezionedella retta y = x + 1 con l’asse delle ascisse;

• determinare un punto sull’asse delle y la cui distanza dalla rettar sia 3/2.

10. Dati i punti A = (0,−2) e B = (1, 0) determinare:

• l’equazione parametrica della retta r passante per l’origine edortogonale al vettore AB;

• l’equazione cartesiana della retta s passante per il punto C =(1, 1) e parallela al vettore AB;

• la distanza di C da r.

3.3 Le coniche

Nella sezione precedente abbiamo visto che l’equazione cartesiana dellaretta e data da ax + by + c = 0. Un punto P = (x, y) appartiene allaretta se le sue coordinate soddisfano all’equazione cartesiana. Il legametra le variabili x e y nell’equazione della retta e di primo grado, cioe levariabili compaiono con esponente 1. Ci si potrebbe chiedere quale luogogeometrico e descritto dai punti del piano le cui coordinate soddisfano adun legame di secondo grado nelle variabili x ed y.

Definiamo conica il luogo dei punti del piano P = (x, y) le cui coordinatesoddisfano all’equazione di secondo grado

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 (3.10)

dove a, b, c, d, e, f ∈ R sono costanti.

Le coniche sono essenzialmente di tre tipi: ellissi, iperboli e parabole.

In questa sezione analizzeremo i tre tipi uno per uno iniziando con un casospeciale, quello della circonferenza, che e un sotto caso dell’ellisse.


3.3 Le coniche 65

-x

6y

P = (x, y)

C = (α, β)

R

Figura 3.15: Costruzione della circonferenza.

3.3.1 La circonferenza

La circonferenza e il luogo geometrico del piano i cui punti hanno distan-za costante R (raggio) da un punto fisso C (centro), si veda la Figura 3.15.Cerchiamo adesso il legame che devono soddisfare le coordinate di unpunto P = (x, y) affiche questo appartenga alla circonferenza. Denotiamole coordinate del centro della circonferenza con C = (α, β). Il punto Pappartiene alla circonferenza se la distanza di P dal centro e pari a R:d(P, C) = R. In coordinate

d(P, C) =√

(x − α)2 + (y − β)2 = R

elevando al quadrato si ottiene

(x − α)2 + (y − β)2 = R2 (3.11)

La (3.11) fornisce il legame cercato e prende il nome di equazione dellacirconferenza di raggio R e centro C = (α, β).Se svolgiamo i quadrati nella (3.11) otteniamo

x2 − 2αx + α2 + y2 − 2βy + β2 = R2

che puo essere riscritta come

x2 + y2 − 2αx − 2βy + α2 + β2 − R2 = 0.



Ponendo a = −2α, b = −2β e c = α2+β2−R2, l’ultima equazione diventa

x2 + y2 + ax + by + c = 0 (3.12)

Le equazioni (3.11) e (3.12) sono equivalenti e le identita

a = −2α

b = −2β

c = α2 + β2 − R2

α = −a2

β = − b2

R =√

α2 + β2 − c

(3.13)

permettono di passare da una espressione all’altra.

Esempio 3.6. Per tracciare la circonferenza di equazione

x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0

bisogna determinare il centro ed il raggio. In questo caso i coefficientia, b, c sono

a = −2

b = −4

c = 1

da cui, tenendo conto della (3.13), si ottiene

α = 1

β = 2

R = 2

Il grafico della circonferenza e quindi mostrato in Figura 3.16.

3.3.2 L’ellisse

La circonferenza e un caso particolare dell’ellisse la quale e definita geo-metricamente nel modo seguente:Dati due punti F1 e F2 (detti fuochi), l’ellisse e il luogo geometrico deipunti P del piano per cui e costante la somma delle distanze dai fuochi.In formula

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a, a ∈ R, 2a > d(F1, F2)


3.3 Le coniche 67

-x

6y

C = (1, 2)

Figura 3.16: La circonferenza x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0.

Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano in cui i due fuochi F1 eF2 appartengano ad uno dei due assi (per esempio l’asse delle x) e conl’origine coincidente con il punto medio di F1F2. In questo riferimento,posto F1 = (c, 0), con c > 0, si ha F2 = (−c, 0), si veda la Figura 3.17.Un punto P = (x, y) appartiene all’ellisse se

d(P, F1) + d(P, F2) =√

(x − c)2 + y2 +√

(x + c)2 + y2 = 2a.

Isoliamo il primo radicale e portiamo al secondo membro il secondo. Ele-vando al quadrato e operando opportune semplificazioni, otteniamo

a√

x2 + c2 + 2cx + y2 = a2 + cx.

Elevando di nuovo al quadrato si ha

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2).

La quantita a2 − c2 e positiva, ponendo a2 − c2 = b2, e sostituendonell’equazione precedente, si ricava

x2

a2+

y2

b2= 1 (3.14)

la quale prende il nome di equazione canonica dell’ellisse.



-x

6y

P = (x, y)

F1 = (c, 0)F2 = (−c, 0)

Figura 3.17: Costruzione dell’ellisse.

-x

6y

F1 = (c, 0)F2 = (−c, 0) a−a

b

−b

Figura 3.18: Vertici dell’ellisse.

Il segmento che passa per i due fuochi e detto asse maggiore ed e ancheil piu lungo segmento contenuto nell’ellisse. Il segmento passante per ilcentro (il punto medio dei fuochi), ortogonale all’asse maggiore, e l’asseminore. Il semiasse maggiore e una delle meta dell’asse maggiore; partedal centro, passa attraverso un fuoco e va fino all’ellisse. Analogamente ilsemiasse minore e meta dell’asse minore. La costante a e la lunghezzadel semiasse maggiore; la costante b e la lunghezza del semiasse minore.I punti di intersezione dell’ellisse con gli assi coordinati sono chiamativertici ed hanno coordinate V1 = (a, 0), V2 = (−a, 0), V3 = (0, b), V4 =(0,−b) (si veda la Figura 3.18).


3.3 Le coniche 69

Osservazione 3.7. Se i due fuochi coincidono, si ha una circonferenza,infatti c = 0 da cui a = b, che puo considerarsi quindi un caso particolaredi ellisse. I due assi sono l’equivalente per l’ellisse del diametro dellacirconferenza, mentre i due semiassi sono l’equivalente del raggio.

Osservazione 3.8. Se i due fuochi apparten-gono all’asse dell y, l’ellisse assume la for-ma allungata rispetto all’asse verticale. Inquesto caso l’equazione e la stessa

x2

a2+

y2

b2= 1

ma il semiasse orizzontale e piu corto diquello verticale, quindi a < b e le coordi-nate dei fuochi sono date da F1 = (0, c) eF2 = (0,−c), con c2 = b2 − a2.

-x

6y

F1 = (0, c)

F2 = (0,−c)

Esempio 3.9.

1. Disegnamo l’ellisse di equazione

x2

4+ y2 = 1.

In questo caso si ha a = 2 e b = 1 quindi si tratta di un’ellisse conasse maggiore orizzontale. Per tracciare l’ellisse disegniamo primadi tutto i vertici e poi disegniamo l’ellisse facendola passare per ivertici. In questo caso si ottiene l’ellisse mostrata in Figura 3.19 (a).

2. Disegnamo l’ellisse di equazione

4x2 +y2

4= 1.

Riscriviamo l’equazione dell’ellisse nella forma (3.14), in modo da de-terminare correttamente i parametri a e b. Usando l’identita, valida



(a)

2−2

1

−1

(b)

1/2−1/2

2

−2

Figura 3.19: (a) L’ellisse x2

4+ y2 = 1. (b) L’ellisse 4x2 + y2

4= 1.

per qualunque numero reale λ 6= 0,

λ =11λ

,

l’equazione dell’ellisse diventa

x2

14

+y2

4= 1.

Segue che a = 1/2 mentre b = 2. Il grafico dell’ellisse e mostrato inFigura 3.19 (b).

3. L’equazionex2

3− y2

4= 1

non rappresenta un ellisse. Infatti non e possibile ricondurla allaforma (3.14).

3.3.3 L’iperbole

L’iperbole e definita in modo simile all’ellisse, solo che si considera ladifferenza di due distanze anziche la somma.


3.3 Le coniche 71

-x

6y

P = (x, y)

F1 = (c, 0)F2 = (−c, 0)

Figura 3.20: Costruzione dell’iperbole.

Dati due punti F1 e F2 (detti fuochi), l’iperbole e il luogo geometricodei punti P del piano per cui e costante la differenza delle distanze daifuochi.In formula

d(P, F1) − d(P, F2) = 2a, a ∈ R, 2a < d(F1, F2)

Come nel caso dell’ellisse fissiamo un sistema di riferimento cartesiano incui i due fuochi F1 e F2 appartengano ad uno dei due assi (per esempiol’asse delle x) e con l’origine coincidente con il punto medio di F1F2. Inquesto riferimento, posto F1 = (c, 0), con c > 0, si ha F2 = (−c, 0), si vedala Figura 3.20.Un punto P = (x, y) appartiene all’iperbole se

d(P, F1) − d(P, F2) =√

(x − c)2 + y2 −√

(x + c)2 + y2 = 2a.

Con calcoli analoghi a quelli visti per l’ellisse e ponendo c2 − a2 = b2, siottiene

x2

a2− y2

b2= 1 (3.15)

la quale prende il nome di equazione canonica dell’iperbole.



-x

6y

(a, b)

(a,−b)

(−a, b)

(−a,−b)

y = bax

y = − bax

Figura 3.21: Asintoti dell’iperbole.

La retta che contiene i fuochi (l’asse delle ascisse nel nostro caso) e dettaasse focale o asse trasverso, l’origine e detta centro dell’iperbole. Po-nendo y = 0 nella (3.15) troviamo i punti di intersezioni dell’iperbole conl’asse focale, chiamati vertici, e di coordinate V1 = (a, 0) e V2 = (−a, 0).

L’iperbole presenta due asintoti, cioe due rette alle quali l’iperbole cercadi appoggiarsi all’infinito senza mai toccarle. Per determinare gli asintotisi procede nel modo seguente. Si costruisce un rettangolo (chiamato ret-tangolo di costruzione), centrato nell’origine, di base 2a e altezza 2b.Gli asintoti sono le rette ottenute prolungando le diagonali del rettangolo,si veda la Figura 3.21.

Utilizzando la formula (3.6), che fornisce l’equazione di una retta per duepunti, si ottengono le seguenti equazioni cartesiane degli asintoti

y =b

ax, y = − b

ax


3.3 Le coniche 73

Osservazione 3.10. Se i duefuochi appartengono all’asse delley, l’iperbole ha equazione canon-ica

−x2

a2+

y2

b2= 1.

In questo caso l’asse focale e l’assedelle y ed i fuochi hanno coor-dinate F1 = (0, c) e F2 = (0,−c),con c2 = a2 + b2.

-x

6y

F1=(0,c)

F2=(0,−c)

Osservazione 3.11 (Iperbole equilatera). Un caso speciale di iperbole siottiene quando i due asintoti sono ortogonali. I vettori direzionali degliasintoti sono u = (a, b) e u′ = (a,−b). Quindi u e perpendicolare a u′ se

< u, u′ >= a2 − b2 = 0.

Segue che a2 = b2, la quale e equivalente a a = ±b. Ma essendo a e bpositivi l’unica soluzione ammissibile e a = b. Quindi un’iperbole ha gliasintoti perpendicolari se e solo se a = b. Questo implica che il rettangolodi costruzione dell’iperbole e un quadrato. Per questo motivo un’iperbolecon asintoti perpendicolari e chiamata equilatera.

Esempio 3.12.

1. Disegniamo l’iperbole di equazione

x2

4− y2

9= 1.

Si tratta di un’iperbole con asse focale orizzontale. I valori deiparametri sono a = 2 e b = 3. Iniziamo col tracciare il rettan-golo di costruzione, centrato nell’origine, di base 4 e altezza 6. Poitracciamo le rette passanti per le diagonali del rettangolo ed infinel’iperbole come mostra la Figura 3.22 (a).

2. Disegniamo l’iperbole di equazione

x2 − y2 = −1.



(a)

2−2

(b)

1−1

Figura 3.22: (a) L’iperbole x2

4− y2

9= 1. (b) L’iperbole x2 − y2 = −1.

Riconduciamo l’equazione dell’iperbole alla forma (3.15). Per questobasta moltiplicare entrambi i membri per −1, ottenendo

−x2 + y2 = 1.

Si tratta quindi di un’iperbole equilatera con asse focale verticale,infatti a = b = 1. Si veda la Figura 3.22 (b).

3.3.4 L’iperbole omografica

L’iperbole vista nel paragrafo precedente ha il centro nell’origine e i suoiasintoti sono due rette oblique passanti per il centro (nel senso che nonsono ne verticali ne orizzontali). Oltre a queste iperboli si possono con-siderare quelle con centro in un punto C = (Cx, Cy) del piano e asintotiparalleli agli assi coordinati come mostra la Figura 3.23 (a).Tali iperboli sono chiamate omografiche e sono descritte come il luogogeometrico dei punti P = (x, y) del piano le cui coordinate soddisfanoall’equazione

y =ax + b

cx + d(3.16)

dove le costanti a, b, c, d ∈ R soddisfano alle condizioni c 6= 0 e ad−bc 6= 0.


3.3 Le coniche 75

-x

6y

(a)

ad − bc > 0

ad − bc > 0 ad − bc < 0

ad − bc < 0

(b)

Figura 3.23: (a) L’iperbole omografica. (b) I due tipi di iperbole omo-grafica: quella tratteggiata ha ad − bc > 0, mentre quella continua haad − bc < 0.

Per disegnare un iperbole omografica si procede nel modo seguente. Sidetermina per primo il centro C di coordinate

C =

(

−d

c,a

c

)

Si tracciano successivamente gli asintoti, che in questo caso, sono due retteper il centro parallele agli assi coordinati. Fatto questo abbiamo due scelteper l’iperbole come mostra la Figura 3.23 (b). La scelta dell’iperbole vafatta seguendo il seguente criterio

Se ad − bc > 0 l’iperbole e quella crescente, con linea tratteggiata in Figu-ra 3.23 (b).

Se ad − bc < 0 l’iperbole e quella decrescente, con linea continua in Figu-ra 3.23 (b).

Esempio 3.13. Tracciamo l’iperbole omografica di equazione

y =4x − 2

3x + 1.



C=(− 13, 43)

Figura 3.24: L’iperbole omografica y = 4x−23x+1

.

I coefficienti sono

a = 4

b = −2

c = 3

d = 1

da cui

C = (−1

3,4

3).

Infine, essendo ad − bc = 4 · 1 − (−2) · 3 = 4 + 6 = 10 > 0, l’iperbole ecrescente come mostra la Figura 3.24.

3.3.5 La parabola

La parabola e l’ultimo tipo di conica ed e definita nel modo seguente.

Fissata una retta d, detta direttrice, e un punto F /∈ r, detto Fuoco, sidice parabola il luogo geometrico dei punti P del piano che hanno ugualedistanza da F e da r.

In formula

d(P, F ) = d(P, r).

Se scegliamo un sistema di riferimento con l’asse delle ascisse paralleloalla direttrice d, quest’ultima ha equazione del tipo y = k (si veda laFigura 3.25). Denotate con F = (l, m) le coordinate del fuoco e con


3.3 Le coniche 77

-x

6y

P = (x, y)F = (l, m)

?

d : y = k

Figura 3.25: Costruzione della parabola.

P = (x, y) quelle di un punto sulla parabola si ha

√

(x − l)2 + (y − m)2 = |y − k|.

Elevando al quadrato e svolgendo i calcoli si ottiene

2(m − k)y = x2 − 2lx + l2 + m2 − k2

dividendo per 2(m − k) risulta

y =1

2(m − k)x2 − l

(m − k)x +

l2 + m2 − k2

2(m − k).

Ponendo

a = 12(m−k)

b = − l(m−k)

c = l2+m2−k2

2(m−k)

l’equazione della parabola diventa

y = ax2 + bx + c (3.17)

che prende il nome di equazione cartesiana della parabola.I coefficienti l, m, k si possono ricavare in funzione di a, b, c e sono dati da

l = − b2a

m = 1−∆4a

k = −1+∆4a



-x

6y

F=(− b2a

, 1−∆

4a)

d: y=− 1+∆

4a

asse:x=− b2a

V =(− b2a

,− ∆

4a)

Figura 3.26: Vertice, fuoco, asse e direttrice della parabola.

dove ∆ = b2 − 4ac.La retta passante per il fuoco ed ortogonale alla direttrice si chiama assedella parabola ed ha equazione

x = − b

2a.

L’intersezione della parabola con l’asse si chiama vertice. Per ottenere lesue coordinate mettiamo a sistema l’equazione della parabola (3.17) conl’equazione dell’asse: {

y = ax2 + bx + c

x = − b2a

Risolvendo il sistema si ottengono le coordinate del vertice

V = (− b

2a,−∆

4a)

In Figura 3.26 riassumiamo le coordinate degli enti geometrici fondamen-tali della parabola.Le parabole che abbiamo disegnato per l’illustrazione sono tutte con laconcavita verso l’alto. Di fatto questo dipende dal coefficiente a, infatti sihanno i seguenti casi:

a > 0 La parabola ha la concavita verso l’alto. Inoltre le intersezioni dellaparabola con l’asse delle ascisse sono soluzione del sistema

{

y = ax2 + bx + c

y = 0⇒

{

ax2 + bx + c = 0

y = 0


3.3 Le coniche 79

Quindi le ascisse dei punti di intersezione sono soluzioni dell’equazionedi secondo grado

ax2 + bx + c = 0

la quale ha

• due soluzioni distinte se ∆ > 0

• due soluzioni coincidenti se ∆ = 0

• nessuna soluzione se ∆ < 0

Riassumendo, nel caso in cui a > 0, si presentano i tre casi mostratiin Figura 3.27 (a).

a < 0 In questo caso la parabola ha la concavita verso il basso e con calcolianaloghi a quelli fatti nel caso precedente si hanno i tre casi mostratiin Figura 3.27 (b).

Esempio 3.14. Se la parabola interseca l’asse delle ascisse, la si puo trac-ciare una volta noti i punti di intersezione con l’asse delle x e le coordinatedel vertice. Per esempio la parabola di equazione

y = x2 − 5x + 6

e una parabola con la concavita verso l’alto (a = 1 > 0) e interseca l’assedelle x nei punti P1 = (2, 0) e P2 = (3, 0) (infatti l’equazione x2−5x+6 = 0ammette le due soluzioni distinte x1 = 2 e x2 = 3). Le coordinate delvertice sono

V = (− b

2a,−∆

4a) = (

5

2,−1

4)

Si ottiene la parabola in Figura 3.28.

-x

6

(a)

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

-x

6 ∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

(b)

Figura 3.27: Le tre posizioni di una parabola. In (a) con la concavitaverso l’alto ed in (b) verso il basso.



32

V = (52,−1

4)

Figura 3.28: La parabola y = x2 − 5x + 6.

Osservazione 3.15. Se la direttrice e unaretta verticale l’equazione della parabolaassume la forma

x = ay2 + by + c

L’asse della parabola in questo caso e unaretta orizzontale di equazione y = − b

2a, men-

tre l’equazione della direttrice diventa x =−1+∆

4a. Le coordinate del fuoco e del ver-

tice si ottengono scambiano le coordinate delfuoco e del vertice della parabola con asseverticale:

V = (−∆

4a,− b

2a), F = (

1 − ∆

4a,− b

2a)

-x

6y

3.4 Esercizi sulle coniche

1. Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano le seguenticurve

• x2

2− y2

2= 1

• x2

2+ y2

6= 1

• x2

1/2− y2

2= 1

• x2 − 3y2 = 2

• 3x2 + 3y2 − 1 = 0


3.4 Esercizi sulle coniche 81

• x2 − y + 1 = 0

2. Scrivere l’equazione dell’ellisse e rappresentarla nei seguenti casi:

• con asse orizzontale pari a 4 e asse verticale pari a 3/4 di quelloorizzontale;

• con asse orizzontale pari a 4 e fuochi di coordinate (±1, 0);

• con vertici nei punti di intersezione delle rette y = 2x + 2 ey = 2x − 2 con gli assi coordinati.

3. Scrivere l’equazione dell’iperbole e rappresentarla nei seguenti casi:

• con asintoti di equazione y = 2x e y = −2x e con uno dei verticiin (3, 0);

• con un vertice in (−5, 0) e asintoti ortogonali.

4. Scrivere l’equazione della parabola y = ax2 + bx+ c e rappresentarlanei seguenti casi:

• con vertice in (0,−1) e a = 1;

• con a = −2 b = 2 e c pari alla somma dei quadrati di a e di b.

5. Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano le seguenticurve

y =x

2 − x; y =

x − 1

3x + 2; y =

1

x

6. Rappresentare le curve di equazione

• y + x = 1;

• 2x2 + 2y2 = 1;

• 4x2 − 4y2 − 4 = 0;

• y = ax2 + a, dove a = log14

4;

• x2 − 2x2 + y2 = 1;

• x2 − 2x2 + y2 = 1;

7. Data la retta r di equazione x − y = 1 determinare:



• l’equazione della retta s parallela ad r e passante per A = (1, 2);

• le coordinate del punto P in cui la retta s interseca la bisettricedel secondo e quarto quadrante;

• la lunghezza del segmento AP ;

• l’equazione della circonferenza di centro il punto medio M delsegmento AP e raggio 2.

8. Data la parabola y = x2 − 1 determinare:

• le coordinate dei punti di intersezione A e B con l’asse delle xe del vertice V , quindi tracciare la parabola;

• le equazioni parametriche e cartesiane delle rette passanti peril vertice e per i punti A e B.

9. Date la parabola y = x2 − 1 e l’ellisse 4x2 + y2 = 1:

• tracciare le due curve;

• determinare le coordinate dei punti di intersezione della parabo-la con l’ellisse;

• determinare l’equazione cartesiana e parametrica della rettapassante per F1 e A, dove F1 e il fuoco dell’ellisse con ordi-nata positiva mente A e il punto di intersezione della parabolacon l’asse delle x con ascissa positiva.

10. Dati i punti A = (2, 1) e B = (2, 2)

• determinare l’equazione della circonferenza passante per A e Be raggio 1/2;

• determinare un punto sull’asse delle y la cui distanza dallacirconferenza sia 3/2.

11. Dati i punti A = (4, 1) e B = (−2, 1)

• calcolare il prodotto scalare e vettoriale tra u = AB e v = OA;

• disegnare geometricamente w = OA − OB e dire quanto valew ∧ i;


3.4 Esercizi sulle coniche 83

• determinare l’equazione della circonferenza passante per A e Be raggio 3;

• determinare l’equazione cartesiana della retta passante per Bed ortogonale al vettore i + 2j.

12. Data la retta y = x + 3 e la circonferenza C di raggio 2 e centronell’origine:

• determinare l’equazione della circonferenza;

• tracciare le due curve;

• calcolare la distanza della retta dal centro della circonferenza,dedurre se la retta e tangente, secante o esterna alla circon-ferenza.

13. Data la circonferenza x2 + y2 = 1:

• determinare per quali valori di k ∈ R la retta orizzontale y = krisulta tangente, esterna o secante la circonferenza;

• determinare l’equazione parametrica della retta passante per ipunti di intersezione della retta y = 1

2con la circonferenza;

• calcolare la distanza del centro della circonferenza dalla rettay = 4.

14. Data la parabola y = x2 − x:

• determinare per quali valori di k la retta y = k risulta tangente,esterna o secante la parabola;

• determinare l’equazione parametrica della retta r passante peril vertice della parabola e parallela al vettore u = i + j;

• calcolare la distanza del vertice dall’origine.




Capitolo 4Funzioni tra insiemi

Le funzioni (anche dette applicazioni) sono uno dei concetti piu im-portanti della matematica e rivestono un ruolo fondamentale non soloin matematica, ma in quasi tutte le sue applicazioni. Questa duttilitauniversale e basata sulla semplicita dell’idea che ne sta alla base.

Una funzione possiamo intenderla come un apparecchio di Input-Output(Ingresso-Uscita): prende un oggetto come Input e fornisce un oggettocome Output. E questo avviene secondo una prescrizione (legge) precisa(univoca) - gli stessi Input daranno sempre gli stessi Output.

Se pensiamo, per un momento, agli oggetti come numeri, una funzione euna macchina che prende un numero come Input e lo trasforma in un altronumero come Output.

Ecco un esempio di una macchina del genere:

Input Output1 3-1 -12 53 7-2 -3

Qual’e la legge che descrive la funzione? Se ci pensate un po’ scoprireteche ogni Output e il doppio dell’Input sommato di uno. Quindi la funzionedell’esempio si puo descrivere come


86 Funzioni tra insiemi

Input Outputx 2x + 1

Un altro esempio e dato da

Input Output1 12 43 94 16-2 4

In questo caso la macchina eleva al quadrato il numero dato. La legge eelevare al quadrato e possiamo descriverla come

Input Outputx x2

La legge e univoca: gli stessi Input daranno sempre gli stessi Output, comegia detto sopra. Potremmo adesso chiederci se vale anche il contrario, sedall’Output possiamo risalire all’Input. Se l’Output e il numero 4 - cos’eral’Input? Se rispondiamo il numero 2, non abbiamo completamente ragione- potrebbe essere anche stato −2 !Risalire all’Input non e sempre possibile! Le due colonne nel nostro es-empio del quadrato non sono equiparate. Se conosciamo il valore dellacasella di sinistra (Input), conosciamo anche il valore della casella di de-stra (Output), sara il quadrato dell’Input. Ma dalla casella destra nonpossiamo necessariamente ricavare il valore della casella sinistra (infattiabbiamo due scelte per 4). Le funzioni lavorano quindi in una direzione,che indichiamo con una freccia:

Input → Output

Abbiamo visto per ora due funzioni:

• La prima assegna a ciascun numero x il numero x2

• La seconda assegna a ciascun numero x il numero 2x + 1


4.1 La definizione generale di funzione 87

Per non dover ripetere ogni volta queste righe si preferisce dare un nomealle funzioni. Per esempio, possiamo indicare con f la funzione che assegnaa ciascun numero x il numero x2. Esistono altre due notazioni piu conciseper caratterizzare le funzioni.La notazione con la freccia.

f : x 7→ x2

La notazione con parentesi. Consideriamo nuovamente la funzionef : x 7→ x2 che calcola il quadrato del numero di Input. Ovviamentel’Output dipende dall’Input. Per esprimere questa dipendenza si indica

f(x) = x2.

Osservazione 4.1. i) Questo uso delle parentesi non va scambiato conl’uso delle parentesi per raccogliere simboli. Le parentesi in (x + 1)2

hanno un significato completamente diverso da quelle in f(x) = x2.

ii) Il simbolo x utilizzato non ha nessuna importanza. Potremmo infatticaratterizzare la funzione f nella forma

f(s) = s2.

Non e il nome scelto per l’Input che definisce una funzione ma il tipodi operazione che descrive.

Equazione associata ad una funzione. Se indichiamo con y l’Outputdi un Input x, tramite una funzione f , scriveremo:

y = f(x)

la quale prende il nome di equazione associata alla funzione. Nel casodella funzione quadrato, l’equazione associata e y = x2.

4.1 La definizione generale di funzione

Si possono considerare funzioni anche per oggetti matematici diversi dainumeri. In generale per definire una funzione abbiamo bisogno di dueinsiemi A e B.



Definizione 4.2. Una funzione (anche detta applicazione) f dall’insiemeA all’insieme B e una legge che assegna a ciascun elemento x ∈ A un unicoelemento y ∈ B. Cio si esprime scrivendo

f : A → B

L’insieme A e detto dominio di f , l’insieme B e detto codominio di f ,mentre l’elemento y = f(x) e detto immagine di x tramite f .

Negli esempi precedenti, si aveva A = B = R, l’insieme dei numeri reali.Per molte delle funzioni che impareremo a conoscere l’insieme A (da cuipossono essere scelti i valori di Input) sara un sottoinsieme di R. I valoridi Output saranno quasi sempre numeri reali, cioe B = R.

Esempio 4.3. 1. Una funzione definita sui numeri naturali a valorireali prende il nome di successione (questo caso sara trattato inmodo estensivo). Per esempio, la funzione f : N → R definita daf(n) = n−1

n2+3definisce una successione.

2. Se il dominio ha un numero finito di elementi la funzione si puodefinire esibendo in modo esplicito l’immagine di ciascun elemento.Per esempio, se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {a, b, c} la legge

1 7→ b2 7→ b3 7→ a4 7→ c5 7→ a

definisce una funzione tra A e B.

3. Ogni volta che il valore di una grandezza dipende dal valore di un’al-tra grandezza, si ha una funzione. La natura e la nostra vita sonopiene di questo tipo di dipendenze, e cosı un numero incommensura-bile di processi e connessioni puo essere descritto, modellato e com-preso nel linguaggio matematico delle funzioni - a volte con grandeprecisione sotto forma di teorie molto evolute, altre volte soltanto informa di rozze approssimazioni.


4.1 La definizione generale di funzione 89

Si consideri ad esempio un termometro. La temperatura segnatanon sara sempre la stessa, ma variera con il tempo, ad esempio conl’escursione termica giornaliera o stagionale. Quindi la temperatu-ra dipende dall’istante in cui viene misurata. Cio rappresenta unafunzione: in un dato istante t (Input) viene segnata una certa tem-peratura T (Output). Diremo che la temperatura e una funzionedel tempo. Come abbiamo visto sopra si puo usare il simbolo del-l’Output (qui T ) come nome della funzione. A ciascun istante t iltermometro (as)segna la temperatura T (t).

4.1.1 Insieme di definizione

In questo paragrafo consideriamo esclusivamente funzioni con dominio ecodominio sottoinsiemi dei numeri reali.Per descrivere la prossima definizione esaminiamo per primo un esempio.Consideriamo la legge f : R → R definita da f(x) = 1

x. Una analisi

attenta di questo esempio mostra che f non e una funzione. Infatti, perdefinizione, ogni elemento x ∈ R dovrebbe avere un’immagine y = 1

x. Se

adesso scegliamo x = 0 si trova f(0) = 10

che non ha un senso matematico.Quindi la funzione f(x) = 1

xnon e ben definita in tutto R ma solo nei reali

privati dello zero, cioe in R \ {0}. Anche altre funzioni hanno lo stessotipo di problema. Per esempio, la funzione y =

√x non e definita per

valori negativi della x, non e infatti possibile estrarre la radice quadratadi un numero negativo.Quando si opera con una funzione bisogna per primo cercare i valori peri quali e realmente definita.

Definizione 4.4. Si chiama insieme di definizione o insieme di es-istenza, di una funzione f : A → B, l’insieme dei valori x ∈ A per iquali le operazioni espresse nella f abbiano un significato, cioe consentanoeffettivamente di calcolare i corrispondenti valori y = f(x). L’insieme didefinizione si indichera con la lettera E.

Quindi la funzione f(x) = 1x

ha come insieme di definizione E = {x ∈ R :x 6= 0} = R \ {0}, mentre per la funzione y =

√x si ha E = {x ∈ R :

x ≥ 0}.Ma quante sono le impossibilita matematiche? quali sono le espressioniche non hanno un senso matematico?



Per le funzioni che tratteremo, per fortuna, queste impossibilita non sonomolte e si riconducono a tre tipi fondamentali:

Funzioni fratte La divisione e definita solo quando il denominatore ediverso da 0.

se y =f(x)

g(x)si pone g(x) 6= 0

Funzioni irrazionali L’estrazione di radice di indice pari e possibile (neinumeri reali) solo se il radicando e maggiore o uguale a 0.

se y = n√

f(x), n pari, si pone f(x) ≥ 0

Funzioni logaritmiche Il logaritmo in base a > 0 (a 6= 1), e definitosolo se l’argomento e positivo.

se y = loga f(x) si pone f(x) > 0

Esempio 4.5. Naturalmente le tre impossibilita viste sopra si possonocombinare per generare situazioni piu complesse. Per esempio, la funzione

y =ln(x + 1)

x2 − 4

presenta due tipi di problemi: c’e un logaritmo ed un denominatore. Lacondizione sul logaritmo impone che l’argomento sia positivo, cioe x+1 >0, mentre quella sul denominatore richiede x2 − 4 6= 0. Dobbiamo quindirisolvere il sistema: {

x + 1 > 0

x2 − 4 6= 0

La prima condizione e soddisfata per x > −1, mentre la seconda perx 6= ±2. Richiedendo che siano soddisfate entrambe si ottiene

E = {x ∈ R : x > −1 e x 6= 2} = (−1,∞) \ {2}


4.2 Grafico di una funzione 91

4.2 Grafico di una funzione

Data una funzione f : A → B possiamo definire il seguente sottoinsiemedel prodotto cartesiano di A e B.

Definizione 4.6. Data una funzione f : A → B definiamo grafico dellafunzione il sottoinsieme

G(f) = {(x, f(x)) : x ∈ A} ⊂ A × B

Esempio 4.7. Se A = {1, 2, 3}, B = {2, 4} e f e definita dalla legge

1 7→ 42 7→ 23 7→ 4

il grafico di f e dato da

G(f) = {(1, 4), (2, 2), (3, 4)}.In questo caso A e B sono sottoinsiemi di R. Quindi possiamo pensare glielementi di G(f) come le coordinate di punti nel piano cartesiano R2. Siottiene

P1 = (1, 4) P2 = (2, 2) P3 = (3, 4)

che, rappresentati nel piano da un cerchietto, forniscono la rappresen-tazione grafica di G(f) mostrata in Figura 4.1.

Esempio 4.8. Data la funzione f : R → R definita da

y = f(x) = x2

il grafico e costituito da tutte le coppie di numeri reali (x, y) tali che y = x2.Se adesso lo guardiamo come sottoinsieme del piano, il grafico della fun-zione f e costituito da tutti i punti del piano le cui coordinate soddisfanoall’equazione y = x2. Ma noi conosciamo bene questa equazione, rapp-resenta una parabola. Per convincerci calcoliamo alcuni punti del graficocome mostra la Figura 4.2.Naturalmente, in questo caso, non possiamo calcolare tutti i punti delgrafico poiche sono infiniti, ma gia i pochi tracciati ricordano l’andamen-to di una parabola. Se adesso calcoliamo il vertice della parabola, diequazione y = x2, scopriamo che le sue coordinate sono V = (0, 0) edessendo il coefficiente di x2 positivo la concavita e verso l’alto.



1 2 3

1

2

3

4 b

b

b

Figura 4.1: Esempio di grafico

Esempio 4.9. Consideriamo la funzione f : R → R che ad x associaf(x) = x−log2 x. Anche in questo caso possiamo calcolare alcuni punti delgrafico, ma siamo in grado di indovinare l’andamento globale del grafico?Proviamo. Per primo dobbiamo ricordarci che la funzione f(x) = x−log2 xe definita solo per valori positivi (c’e un logaritmo), quindi calcoliamoalcuni punti del grafico e rappresentiamoli in un sistema di riferimentocome mostrato nella Figura 4.3Non e difficile a questo punto visualizzare il grafico completo della funzionef(x) = x − log2 x come mostrato in Figura 4.5 (a).

Esempio 4.10. Cerchiamo adesso di tracciare il grafico della funzionef : R → R che ad x associa f(x) = 2x

1−2x. Come prima tracciamo alcuni

punti (si veda la Figura 4.4).Come potete osservare in questo caso non e cosı semplice azzeccare ilgrafico globale, il quale e mostrato in Figura 4.5 (b).

Esempio 4.11. Consideriamo adesso le funzioni goniometriche elementariy = cos α e y = sin α. Si osservi, per primo, che le funzioni goniometricheelementari sono periodiche . Una funzione f : E ⊂ R → R si diceperiodica se esiste un numero reale T tale che f(x + T ) = f(x) per og-ni x ∈ E con x + T ∈ E. Il numero T prende il nome di periodo.Dalla definizione segue immediatamente che il grafico di una funzione pe-riodica si ripete dopo ogni periodo. Le funzioni goniometriche elementari


4.2 Grafico di una funzione 93

0 7→ 01 7→ 12 7→ 43 7→ 9−1 7→ 1−2 7→ 4−3 7→ 9

1 2 3−1−2−3

2

4

6

8

b

b

b

b

b

b

b

Figura 4.2: Alcuni punti del grafico di y = x2.

1 7→ 1 − log2 1 = 1 − 0 = 12 7→ 2 − log2 2 = 2 − 1 = 14 7→ 4 − log2 4 = 4 − 2 = 28 7→ 8 − log2 8 = 8 − 3 = 5

1/2 7→ 1/2 − log2(1/2) = 1/2 − (−1) = 3/21/4 7→ 1/4 − log2(1/4) = 1/4 − (−2) = 9/4

2 4 6 8

2

4

b b

b

b

b

b

Figura 4.3: Alcuni punti del grafico di f(x) = x − log2 x.

y = cos α e y = sin α sono periodiche con periodo T = 2π. Infatti, es-sendo cos α e sin α l’ascissa e l’ordinata di un punto della circonferenzagoniometrica che descrive un angolo α con l’asse delle x, segue che dopoaver fatto un giro completo della circonferenza (cioe un giro di lunghezza2π) si ritorna al punto di partenza, il quale dovra avere la stessa ascissaed ordinata. Per tracciare il grafico delle funzione goniometriche convienestudiarle solamente per i valori di un periodo e poi ripeterle uguali. Nelnostro caso posizionando l’intervallo [0, 2π] sull’asse delle x ed utilizzandola tabella vista nel Complemento 2.5, si ottengono alcuni punti del graficodelle funzioni y = cos x e y = sin x come mostrato in Figura 4.6. Unendoi punti trovati si trova il grafico delle funzioni goniometriche elementari.

Questa tecnica di descrivere il grafico di una funzione per punti e piut-tosto grezza, anche se in alcuni casi porta alla comprensione del grafico.Vedremo nei prossimi capitoli che esiste tutta una teoria ben strutturataper descrivere l’andamento qualitativo del grafico di una funzione.



−3 7→ 1/56−2 7→ 1/20−1 7→ 1/60 7→ 11 7→ −22 7→ −4/33 7→ −8/55 7→ −32/9

2 4−2

2

−2

−4

b b b

b

b

bb

b

Figura 4.4: Alcuni punti del grafico di f(x) = 2x

1−2x.

2 4 6 8

2

4

(a)

2 4−2

2

−2

−4

(b)

Figura 4.5: (a) Il grafico della funzione f(x) = x − log2 x. (b) Il graficodella funzione f(x) = 2x

1−2x.

4.3 Funzioni iniettive, suriettive e biettive

Consideriamo la funzione f : R → R che a x associa x2. Come gia vistoin precedenza esistono valori diversi della x che hanno la stessa immagine,piu esattamente f(x) = f(−x). Per esempio, f(2) = 22 = 4 = (−2)2 =f(−2). Qualche volta (vedremo piu avanti perche) si richiede che questonon capiti, cioe si richiede che a valori diversi corrispondano immaginidiverse. Queste funzioni sono definite dalla

Definizione 4.12. Una funzione f : A → B si dice iniettiva se x1 6= x2

implica che f(x1) 6= f(x2). Equivalentemente, f e iniettiva se f(x1) =f(x2) implica che x1 = x2.

Esempio 4.13. La funzione f : R → R definita da f(x) = 2x + 1 e


4.3 Funzioni iniettive, suriettive e biettive 95

b

b

b

b

b

b

b

b

b

π2

π 3π2

2π

1

−1

y = cos x

b

b

b

b

b

b

b

b

b

π2

π 3π2

2π

1

−1

y = sin x

Figura 4.6: Alcuni punti del grafico delle funzioni y = cos x e y = sin x.

iniettiva, infatti se f(x1) = 2x1 + 1 e uguale ha f(x2) = 2x2 + 1 si ha

2x1 + 1 = 2x2 + 1 ⇒ 2x1 = 2x2 ⇒ x1 = x2.

Se una funzione non e iniettiva, allora esistono due valori diversi x1 6= x2

tali che f(x1) = f(x2). Quindi P1 = (x1, f(x1)) e P2 = (x2, f(x2)) sonodue punti del grafico di f con stessa ordinata. Segue che un criterioper vedere se una funzione e iniettiva e controllare che il suo grafico nonabbia punti diversi con stessa ordinata. Usando questo criterio le funzionidescritte negli Esempi 4.9 e 4.10 non sono iniettive.

Esempio 4.14. Mostriamo che la funzione f : R → R definita da f(x) =2x e iniettiva, infatti se f(x1) = 2x1 e uguale ha f(x2) = 2x2 si ha

2x1 = 2x2 ⇒ 2x1

2x2= 1 ⇒ 2x1−x2 = 1 ⇒ x1 − x2 = 0 ⇒ x1 = x2.

Usiamo adesso il metodo grafico. Tracciamo alcuni punti come mostratoin Figura 4.7. In questo caso si intuisce che il grafico della funzione y = 2x

e quello mostrato in Figura 4.8 che non mostra punti diversi con stessaordinata.

Un altra nozione importante e quella di funzione suriettiva. Per definir-la introduciamo la seguente notazione. Data una funzione f : A → Bchiamiamo immagine di f l’insieme di tutti gli elementi di B che sonnoimmagine di qualche elemento di A:

Imm(f) = {b ∈ B : ∃ a ∈ A con f(a) = b} ⊂ B.

Esempio 4.15. Se A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d} e f e definita dalla legge



−3 7→ 1/8−2 7→ 1/4−1 7→ 1/20 7→ 11 7→ 22 7→ 43 7→ 8

2−2

2

4

6

8

b bb

b

b

b

b

Figura 4.7: Alcuni punti del grafico di f(x) = 2x.

2−2

2

4

6

8

Figura 4.8: Il grafico della funzione esponenziale f(x) = 2x.

1 7→ a2 7→ c3 7→ c

si haImm(f) = {a, c}.

Come mostra l’esempio precedente l’immagine di una funzione non coin-cide sempre con il codominio ma puo essere un sottoinsieme. Nel caso incui coincida si ha la seguente

Definizione 4.16. Una funzione f : A → B si dice suriettiva se

Imm(f) = B.



Esempio 4.17. 1. Mostriamo che la funzione f : R → R definita daf(x) = 2x e suriettiva, infatti scelto y ∈ R a piacere si ha che

f(y/2) = 2(y/2) = y.

2. La funzione quadrato, invece, non e suriettiva. Infatti se y e negativonon esiste nessun x tale che x2 = y < 0 (il quadrato di un numero esempre positivo). In questo caso si ha

Imm(f) = {x ∈ R : x ≥ 0} = [0,∞).

Definizione 4.18. Una funzione f : A → B si dice biettiva se e simul-taneamente iniettiva e suriettiva.

Le funzioni biettive sono piuttosto importanti perche sono invertibili.Spieghiamo con un esempio cosa intendiamo. Consideriamo A = {1, 2, 3},B = {a, b, c} e f : A → B definita da

1 7→ a2 7→ c3 7→ b

E immediato verificare che f e biettiva. Proviamo adesso a costruire unafunzione g : B → A con la proprieta che se f(x) = y allora g(y) = x, cioela funzione g riporta gli elementi al loro posto iniziale. Ecco una tale g:

a 7→ 1b 7→ 3c 7→ 2

Se riflettete un po’ vi convincerete che la g e l’unica funzione che rimettetutto a posto. La funzione g si chiama inversa della funzione f . Formal-mente si ha

Definizione 4.19. Data una funzione biettiva f : A → B l’inversa dif , denotata con f−1 : B → A, e l’unica funzione da B in A tale che sey = f(x) allora f−1(y) = x.



Esempio 4.20. La funzione f : R → R definita da f(x) = 2x − 1 ebiettiva, quindi possiede un’inversa. Per calcolarla si procede nel modoseguente: si considera l’equazione y = 2x − 1, si scambiano x con y, e siesplicita la y come funzione della x:

y = 2x − 1 ⇒ x = 2y − 1 ⇒ 2y = x + 1 ⇒ y =x + 1

2.

Quindi l’inversa della funzione f(x) = 2x − 1 e f−1(x) = x+12

.

Osservazione 4.21. Si noti che data una funzione f : A → B, la funzioneinversa, quando esiste, ha come insieme di definizione E = Imm(f) ⊂ B.Per esempio, la funzione quadrato f : R → R che ad x associa x2 einvertibile se considerata come funzione f : [0,∞) → [0,∞) (verificareche con tali dominio e codominio la funzione e iniettiva e suriettiva). Lafunzione inversa della funzione quadrato e la funzione radice quadrata chee definita per ogni numero reale non negativo in accordo col fatto cheImm(f) = [0,∞).

4.3.1 Funzioni composte

Data una funzione f : A → B e un’altra funzione g : B → C se l’immaginedi f e inclusa nell’insieme di definizione di g (si noti che il dominio della gcoincide con il codominio della f) si puo costruire la funzione compostag ◦ f : A → C nel modo seguente:

x → f(x) → g(f(x)).

Quindi g ◦ f(x) = g(f(x)).

Esempio 4.22. 1. Consideriamo gli insiemi A = {1, 2, 3, 4}, B = {a, b, c}e C = {p, q, r, s}. Siano f : A → B e g : B → C le funzioni definiteda

f : A → B1 7→ a2 7→ c3 7→ b4 7→ b

g : B → Ca 7→ pb 7→ rc 7→ s



La funzione composta diventa:

g ◦ f : A → B → C1 7→ a 7→ p2 7→ c 7→ s3 7→ b 7→ r4 7→ b 7→ r

2. Siano f, g : R → R le funzioni definite da f(x) = 2x + 1 e g(x) =2x. Siccome la funzione g e definita per tutti i valori reali si pioconsiderare la funzione composta g ◦ f

f gx → 2x + 1 → 22x+1

Segue che(g ◦ f)(x) = 22x+1.

3. Se componiamo una funzione biettiva f : A → B con la sua inversaf−1 : B → A otteniamo:

f f−1

x → f(x) = y → f−1(y) = x

Allo stesso modo si ottiene

f−1 fy → f−1(y) = x → f(x) = y

Quindi possiamo caratterizzare l’inversa di una funzione f come l’u-nica funzione f−1 tale che f−1◦f = f◦f−1 = Id, dove con Id : A → Adenotiamo la funzione identita, definita da Id(x) = x, ∀ x ∈ A.

Osservazione 4.23. Si noti che la composizione funzionale non e commu-tativa. Per esempio, per le funzioni f, g : R → R definite da f(x) = 2x+1e g(x) = 2x si ha:

(g ◦ f)(x) = 22x+1; (f ◦ g)(x) = 2(2x) + 1 = 2x+1 + 1.



4.4 Tipi di funzioni

Ogni funzione e perfettamente individuata dal suo grafico. Il problemae che non e sempre possibile assegnare una funzione elencando tutte lecoppie (x, f(x)), a meno che il dominio sia un insieme finito. Hannodominio finito ad esempio le funzioni individuate da dati sperimentali oempirici. Per esempio, la rilevazione della temperatura delle ore 12 inogni giorno di un certo anno in una certa stazione meteorologica puoessere schematizzata in un grafico mettendo in ascissa i giorni dell’anno(in corrispondenza ai numeri interi da 1 a 365) e in ordinata le temperaturerilevate.Le funzioni (con dominio infinito) che siamo in grado di assegnare esplici-tamente sono quelle in cui il valore corrispondente ad un qualsiasi numerox puo essere calcolato mediante un’espressione matematica. Anche se ilconcetto di funzione e molto piu vasto, di solito si e particolarmente inter-essati a funzioni esprimibili mediante una formula matematica abbastanzasemplice e il cui grafico possa essere disegnato nel piano cartesiano, almenoapprossimativamente. In questa ottica prenderemo in esame i seguentimattoni di base:

• Funzioni polinomiali

• Funzioni esponenziali e logaritmiche

• Funzioni trigonometriche

e i seguenti procedimenti di costruzione:

• Operazioni algebriche

• Composizione funzionale

• Inversione funzionale

Le funzioni che si possono ottenere in questo modo si dicono funzionielementari e sono essenzialmente le uniche con le quali si riesce a la-vorare concretamente e a cui si ricorre nella costruzione di modelli dellarealta. Le funzioni elementari sono presenti come funzione-tasto in tuttele calcolatrici scientifiche, anche le piu semplici. Pur costituendo un sot-toinsieme molto piccolo dell’insieme di tutte le funzioni possibili, sono


4.5 Esercizi sulle funzioni 101

state scelte e privilegiate rispetto alle altre essenzialmente per la loro im-portanza nelle applicazioni. Per questo motivo l’insieme delle funzionielementari non e statico, ma si evolve e si modifica con l’evolversi delleapplicazioni della matematica; ci sono funzioni non comprese nell’elencodato da noi (che e, in un certo senso, quello classico) le quali si trovanogia tra le funzioni-tasto di molte calcolatrici scientifiche, ad esempio lafunzione ERF, particolarmente importante in statistica.

4.5 Esercizi sulle funzioni

1. Determinare l’insieme di esistenza delle seguenti funzioni:

y =x

x + 3; y =

−3

x2 + 1; y =

−x2

x2 − 2

y =x

x3 − 1; y =

x3

2 − x2; y =

−1/2

x2 − 7x + 12

y =x

ln x; y =

ex

x; y = x lnx

y =ln(x + 1)

ex − 1; y =

ex

ln(x); y =

1 − ex

ln x

y =ln(x + 1)

x; y =

ln(x + 1)

x(ex − 1); y =

ln(1/x)

x

y =ln(1/(x − 1))

x; y = ln(

x2 − 3x + 2

x + 1); y = ln(

√

x + 1

x)

y =

√

x2 − 8

x; y =

ln(ln(x))

x; y = ln(ln(x))

y =ln(x)

1 + ln(x); y =

ln(x3 + 1)

x; y = x ln(1 − 1/x)

y =cos x

sin x; y =

1 − sin x

1 − cos x; y =

x2 − 4√1 − x

y =ex ln(x + 1)

1 − (cos(x))2; y =

(1 − e2x) ln(x − 1)√x − 2



2. Dire, dando una breve dimostrazione, quali delle seguenti funzionisono iniettive e quali sono suriettive:

• f : R → R, f(x) = x3 − 1

• f : (−1, 1) → R, f(x) = |x|• f : (0, 1) → (0, 2), f(x) = 2x

• f : N → R, f(n) =√

n

3. Dare un esempio di una funzione non costante f : R → R tale chef(1) = f(3) = f(4) = f(7) = 0

4. Dopo aver dimostrato che la funzione f : (0, 1) → (0, 2), f(x) =x2 + 1, e biettiva, calcolare l’inversa.

5. Calcolare e tracciare almeno 6 punti del grafico delle seguenti fun-zioni:

y =(1 − 2x) log2(x

2)√x − 2

y =x − 3

|x − 8|

6. Provare, mediante la composizione, che le funzioni

f(x) =1

1 + x, g(x) =

1 − x

x

sono l’una inversa dell’altra nei rispettivi insiemi di esistenza.

7. Determinare una funzione biunivoca (diversa dall’identita) f : A →A dove A = {1, 2, 3, 4} e determinare esplicitamente la sua funzioneinversa f−1.


Capitolo 5Successioni

Si dice successione una qualsiasi funzione a : N → R. Spesso per indicareuna successione si usa la sequenza delle immagini:

a0 = a(0), a1 = a(1), . . . an = a(n), . . .

Talvolta si considera l’insieme N privato dello zero e quindi si consideracome primo termine di una successione quello con indice 1 ossia:

a1 = a(1), a2 = a(2), . . . an = a(n), . . .

Per questo motivo e opportuno fare attenzione al significato di espres-sioni come primo termine della successione oppure primi 5 termini dellasuccessione che potrebbero risultare ambigui. A priori qualsiasi sequenzadi numeri costituisce una successione; potremmo, ad esempio, costruirneuna lanciando un dado e considerando come an il numero uscito all’n-esimo lancio. In generale pero tratteremo successioni i cui termini sonoottenibili mediante una qualche formula matematica.

Esempio 5.1. La successione an = n2 e la successione dei quadrati deinumeri naturali:

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, a4 = 16, . . .

La successione bn = 3√

n e la successione delle radici cubiche dei numerinaturali:

b0 = 0, b1 = 1, b2 =3√

2, b3 =3√

3, b4 =3√

4, . . .


104 Successioni

1 2 3 4

b

b

b

b

n

an

1 2 3 4 5 6 7

b

b

b

b

b

b

b

n

bn

Figura 5.1: Alcuni punti del grafico delle successione an = n2 (a sinistra)e bn = (−1)n (a destra).

La successione cn = (−1)n e una successione i cui termini si ripetonoinfinite volte

c0 = 1, c1 = −1, c2 = 1, c3 = −1, c4 = 1, . . .

5.1 Grafico di una successione

Come visto nel paragrafo precedente una successione an e una funzionean : N → R. Possiamo quindi rappresentare una successione tramite il suografico:

G(an) = {(n, an) : n ∈ N}.In questo caso il grafico non costituisce una linea continua, infatti le ascissedei punti del grafico possono assumere solo valori naturali e quindi sonoben distanziati.Consideriamo alcuni esempi. In Figura 5.1 sono mostrati i primi punti delgrafico delle successioni

an = n2 e bn = (−1)n.

La successione cn = nn−1

, definita per n ≥ 2, ha valori iniziali

c2 = 2, c3 = 3/2 = 1.5, c4 = 4/3 = 1.3, c5 = 5/4 = 1.25, c6 = 6/5 = 1.2, . . .


5.2 Limiti di una successione 105

1 2 3 4 5 6 7

b

bb b b

n

cn

1 2 3 4 5 6 7

b

b

b

b

n

dn

Figura 5.2: Alcuni punti del grafico delle successione cn = nn−1

(a sinistra)e dn = (−2)n (a destra).

mentre la successione dn = (−2)n inizia con

d0 = 1, d1 = −2, d2 = 4, d3 = −8, . . .

I grafici di cn e dn sono mostrati in Figura 5.2.

5.2 Limiti di una successione

Il grafico di una successione e utile per riconoscere alcune proprieta matem-atiche. Iniziamo con la seguente

Definizione 5.2. Un successione an si dira:

• limitata inferiormente se esiste un numero m tale che an ≥ m∀n ∈ N;

• limitata superiormente se esiste un numero M tale che an ≤ M∀n ∈ N;

• limitata se e limitata inferiormente e superiormente.


106 Successioni

Per le successioni viste nel paragrafo precedente valgono le seguenti pro-prieta:

an limitata inferiormente limitata superiormentean = n2 si da 0 nobn = (−1)n si da −1 si da 1cn = n

n−1si da 1 si da 2

dn = (−2)n no no

La tabella sopra e stata costruita guardando il comportamento del grafi-co delle successioni. Alcune deduzioni sono ovvie, per esempio, e ovvioche la successione an = n2 non e limitata superiormente. Altre, invece,richiedono piu attenzione e devono essere dimostrate in modo rigoroso.Mostriamo, per esempio, che la successione cn = n

n−1e limitata inferior-

mente da 1, cioe che per ogni n il numero cn = nn−1

e maggiore di 1. Siha

cn =n

n − 1>

n

n= 1.

Qui abbiamo utilizzato la proprieta che aumentando il denominatore diuna frazione questa diminuisce.In alcuni casi le successioni, man mano che n cresce, tendono ad un valorepreciso. La successione cn = n

n−1, per n molto grande, fornisce un valore

sempre piu vicino ad 1, per esempio per n = 100 si ha c100 = 1.01.Quando una successione an tende ad un numero ℓ, per valori di n infini-tamente grandi, si dice che la successione converge ad ℓ e si scrive

limn→∞

an = ℓ.

A volte indicheremo an → ℓ per indicare che la successione converge adℓ. Prima di dare la definizione formale di successione convergente intro-duciamo la seguente notazione. Diciamo che una successione an possiededefinitivamente una certa proprieta se esiste un numero N tale che laproprieta risulta verificata per ogni n > N . Per esempio, la successionean = n − 6 e definitivamente positiva, infatti per n > 6, an > 0.

Definizione 5.3. Una successione an si dice convergente se esiste unnumero ℓ tale che: qualunque sia ǫ > 0 risulta definitivamente

|an − ℓ| < ǫ. (5.1)



-n

6an

ℓ − ǫ

ℓ + ǫℓ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Figura 5.3: Significato geometrico della definizione di limite.

Il numero ℓ si chiama limite della successione an.Si noti che la disuguaglianza (5.1) corrisponde alle seguenti due

ℓ − ǫ < an < ℓ + ǫ. (5.2)

Se tracciamo una striscia orizzontale delimitata dalle rette y = ℓ − ǫ ey = ℓ + ǫ la (5.2) significa che i punti della successione an, da un certopunto in poi, non escono dalla striscia.Nell’esempio in Figura 5.3 i punti della successione non escono dalla strisciaper n ≥ N = 5. Se diminuiamo il valore di ǫ il numero N cresce, comemostra la Figura 5.4 nella quale i punti sono tutti all’interno della strisciaper n ≥ 8.

Esempio 5.4. Mostriamo, utilizzando la definizione, che la successionean = 1

nconverge a zero. Fissato ǫ > 0 dobbiamo trovare N tale che per

ogni n > N si ha

0 − ǫ <1

n< 0 + ǫ.

La prima disuguaglianza, −ǫ < 1n, e sempre soddisfata, mentre la seconda

1

n< ǫ

e soddisfata per n > 1ǫ, quindi si scegliera N > 1

ǫ. Se, per esempio,

ǫ = 0.01 si ha N = 1ǫ

= 100.


108 Successioni

-n

6an

ℓ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Figura 5.4: Significato geometrico della definizione di limite.

5.2.1 Successioni divergenti e successioni irregolari

Le successioni che non convergono, cioe tali che non esiste un numero finitoa cui la successione tende per n infinitamente grande, sono di due tipi.

Definizione 5.5. Una successione an si dice che diverge a +∞ (−∞) seper ogni M > 0 si ha che definitivamente an > M (an < −M).

Diremo nei due casi, rispettivamente, che +∞ e −∞ sono il limite dellasuccessione.

Esempio 5.6. La successione n2 diverge a +∞. Infatti per ogni M > 0,scelto N >

√M , si ha che n2 > M per ogni n > N .

Esistono successioni che non sono convergenti ne divergenti. Queste suc-cessioni si chiamano irregolari.

Esempio 5.7. La successione (−1)n essendo limitata non potra divergerema non e convergente, infatti al crescere di n saltella tra i valori 1 e −1.Allo stesso modo la successione (−2)n non e convergente in quanto non elimitata ma non diverge a +∞ o −∞ poiche per ogni dato M > 0 assumevalori sia maggiori di M che minori di −M .

Per le successioni viste nel paragrafo precedente si ha:



an convergenzaan = n2 diverge a +∞bn = (−1)n irregolarecn = n

n−1converge a 1

dn = (−2)n irregolare

5.2.2 Calcolo dei limiti

Prima di illustrare le regole di calcolo dei limiti di una successione consid-eriamo due casi notevoli.

Esempio 5.8 (La successione potenza). Calcoliamo il limite della succes-sione an = nα con α ∈ R costante. Suddividiamo lo studio a seconda delvalore di α.

(α > 0) In questo caso la successione diverge a +∞. Infatti per ogni

M > 0, scegliendo N > M1α , si ha nα > M per ogni n > N .

(α < 0) Ponendo α = −β, β > 0, si ha

nα = n−β =1

nβ.

Dal punto precedente sappiamo che nβ assume valori infinitamentegrandi e trovandosi al denominatore fa si che 1

nβ assuma valori sem-pre piu piccoli. Segue che la successione converge a 0.

(α = 0) La successione diventa an = n0 = 1. Valendo per ogni n lasuccessione converge ad 1.

Riassumendo:

limn→∞

nα =

+∞ se α > 00 se α < 01 se α = 0

Esempio 5.9 (La successione geometrica). Calcoliamo il limite della suc-cessione an = qn con q ∈ R costante. Suddividiamo lo studio a secondadel valore di q.

(q > 1) In questo caso la successione diverge a +∞. Infatti per ogniM > 0, scegliendo N > logq M , si ha qn > M per ogni n > N .


110 Successioni

(q = 1) La successione diventa an = 1n = 1, quindi converge ad 1.

(|q| < 1) La successione converge a 0. Supponiamo per primo che 0 <q < 1 e poniamo q = 1

pcon p > 1. La successione diventa

qn =

(1

p

)n

=1

pn.

Per il primo caso si ha che pn assume valori infinitamente grandi etrovandosi al denominatore fa si che 1

pn assuma valori sempre piupiccoli. Allo stesso modo si argomenta nel caso −1 < q < 0.

(q ≤ −1) In questo caso la successione e irregolare come gia mostratonegli esempi del paragrafo precedente.

Riassumendo:

limn→∞

qn =

+∞ se q > 11 se q = 10 se |q| < 1∄ se q ≤ −1

Esaminiamo ora le proprieta dell’operazione di limite rispetto alle oper-azioni algebriche.Se an → a e bn → b allora

an + bn → a + b

an − bn → a − b

anbn → ab

an

bn→ a

b(bn, b 6= 0)

(an)bn → ab (an, a > 0)

Inoltre l’operazione di limite mantiene l’ordinamento cioe: se an → a,bn → b e an ≥ bn allora a ≥ b.Consideriamo il caso in cui i limiti sono +∞ o −∞. Supponiamo peresempio che an → a e bn → +∞. Allora e facile vedere che an+bn → +∞.



Abbrevieremo questa scrittura cosı: a+∞ = +∞. Ragionando in manieraanaloga si ottengono le regole per il limite della somma (o differenza) didue successioni delle quali una o entrambe sono divergenti.

a + ∞ = +∞a −∞ = −∞

+∞ + ∞ = +∞−∞−∞ = −∞

Analogamente per il prodotto (o il rapporto) abbiamo le regole seguenti(il segno di ∞ va determinato con la usuale regola dei segni)

a · ∞ = ∞ (a 6= 0)

a

∞ = 0

a

0= ∞ (a 6= 0)

A questo elenco mancano le regole relative a quattro operazioni:

+∞−∞, 0 · ∞,0

0,

∞∞ .

Queste espressioni si chiamano forme indeterminate o di indecisione,poiche nessuna regola puo essere stabilita a priori per determinare il risul-tato. Nel prossimo paragrafo mostreremo come risolvere alcune delle formedi indecisione piu frequenti.

5.2.3 Confronti

Una successione che converge a 0 si dice infinitesimo; una successioneche diverge (a +∞, o a −∞) si dice infinito. Quando due successionisono entrambe infinitesimi o infiniti, e utile stabilire un confronto tra diesse, per capire quale delle due tenda piu rapidamente a 0 o all’infinito.Consideriamo i seguenti esempi di infiniti:

an = log2 n, bn = n, cn = 2n.


112 Successioni

Guardano il grafico delle tre successioni ci si accorge immediatamente chean cresce meno velocemente di bn che a sua volta cresce meno velocementedi cn.Per capire cosa vuol dire cresce meno velocemente calcoliamo il limite

limn→∞

n

log2 n=

∞∞

Se il numeratore cresce piu velocemente del denominatore vuol dire che,man mano che cresce n, il rapporto n

log2 ndiventa sempre piu grande

tendendo all’infinito. Viceversa, se calcoliamo il limite

limn→∞

n

2n=

∞∞

qui il denominatore cresce molto piu velocemente del numeratore e fa siche il rapporto n

2n diventi sempre piu piccolo convergendo a zero.Consideriamo adesso il

limn→∞

n + 1

n=

∞∞ .

In questo caso una semplice operazione algebrica fa si che

limn→∞

n + 1

n= lim

n→∞

n

n+

1

n= 1 +

1

∞ = 1 + 0 = 1

Riassumendo, per il rapporto tra due infiniti an e bn si presentano quattropossibilita

limn→∞

an

bn=

0 (a)ℓ 6= 0, finito (b)±∞ (c)∄ (d)

Diciamo che in

(a) an e un infinito di ordine inferiore a bn;

(b) an e bn sono infiniti dello stesso ordine;

(c) an e un infinito di ordine superiore a bn;

(d) an e bn non sono confrontabili.



Il caso (d) occorre, per esempio, se an = n(2 + sin n) e bn = n; essendo(2 + sin n) una quantita limitata (compresa tra 1 e 3) la successione an

diverge a +∞, mentre il rapporto

an

bn

=n(2 + sin n)

n= (2 + sin n)

oscilla tra 1 e 3 comportandosi in modo irregolare.In modo analogo se due successioni an e bn convergono a 0 e bn 6= 0, per illimite del rapporto an

bnsi presenta una delle quattro situazioni viste sopra

e diremmo che in:

(a) an e un infitesimo di ordine superiore a bn;

(b) an e bn sono infinitesimi dello stesso ordine;

(c) an e un infinitesimo di ordine inferiore a bn;

(d) an e bn non sono confrontabili.

Esempio 5.10. Nel caso dei polinomi esiste una semplice regola percalcolare l’ordine di infinito. Siano

P (n) = prnr + pr−1n

r−1 + · · ·+ p1n + p0

e

Q(n) = qsns + qs−1n

s−1 + · · ·+ q1n + q0

due polinomi di grado r ed s rispettivamente. Si ha

limn→∞

P (n)

Q(n)=

±∞ se r > s0 se r < spr

qsse r = s

dove il segno di ±∞ e quello del rapporto pr

qs. Quindi l’ordine di infinito

dei polinomi corrisponde al grado dei polinomi.

Per gli altri infiniti esiste la seguente scala delle velocita:

logaritmi ≪ polinomi ≪ esponenziali


114 Successioni

Esempio 5.11. 1.

limn→∞

2n

n10=

+∞+∞ = +∞

Infatti, l’esponenziale e un infinito di ordine superiore al polinomio.

2.

limn→∞

ln(n10 + 2)

n2 + n − 1=

+∞+∞ = 0

Poiche, il logaritmo e un infinito di ordine inferiore al polinomio.

3.

limn→∞

ln(n10 + 2)

0.1n=

+∞0

= +∞

In questo caso non si tratta di una forma di indecisione, infatti seil denominatore converge a 0 e il nominatore tende a +∞, entrambicontribuiscono a far divergere il rapporto.

5.2.4 La differenza di due infiniti

Nel paragrafo precedente abbiamo visto come risolvere alcuni casi in cuisi presenta la forma di indecisione ∞

∞ . Vediamo ora come risolvere l’inde-cisione

+∞−∞.

Nel caso dei polinomi la situazione e semplice: il monomio di grado mag-giore controlla il comportamento del polinomio. Per esempio il polinomion3 − 5n2 + 2 diverge a +∞ in quanto il monomio di grado maggiore, n3,diverge a +∞. Il polinomio n3 − n2 + 4n − 6n4 diverge invece a −∞,essendo il monomio di grado massimo −6n4.Quando si considera la differenza

an − bn

tra due infiniti diversi dai polinomi si puo procedere mettendo in evidenzaquello di ordine maggiore. Per esempio, calcoliamo

limn→∞

2n − n3 = +∞−∞.


5.3 Esercizi sui limiti delle successioni 115

Mettendo in evidenza 2n si ha

limn→∞

2n − n3 = limn→∞

2n(1 − n3

2n) = +∞(1 − 0) = +∞.

Se non e chiaro quale dei due infiniti abbia ordine maggiore, si puo metterein evidenza uno dei due a caso. Ad esempio, per calcolare

limn→∞

log2 n − log4 n

mettiamo in evidenza log4 n. Si ottiene

limn→∞

log2 n − log4 n = limn→∞

log4 n(log2 n

log4 n− 1) = lim

n→∞log4 n(

2 log4 n

log4 n− 1)

= +∞(2 − 1) = +∞

dove abbiamo utilizzato

log2 n =log4 n

log4 2= 2 log4 n.

Osservazione 5.12. Si noti che la successione log2 n non e un infinito diordine superiore a log4 n come si potrebbe pensare dal risultato del limitedella loro differenza. Infatti si ha

limn→∞

log2 n

log4 n= lim

n→∞

2 log4 n

log4 n= 2

il che implica che log2 n e log4 n sono infiniti dello stesso ordine.

5.3 Esercizi sui limiti delle successioni

1. Rappresentare il grafico, per n = 1, 2, 3, 4, 5, delle seguenti succes-sioni:

an =2n

n + 3; an =

(1/4)n

4n; an =

log2(n)

n;

2. Calcolare il limite, per n che tende all’infinito, delle seguenti succes-sioni:

an =n2 − n3

n; an =

n2 − n3

n − n3; an =

n1/2

n;


116 Successioni

an =3n

n; an =

(1/4)n

(4/7)n; an =

ln(n)

n;

an =2003

n; an =

(1203)n

(0.0003)n;

an =3n

2−n; an =

(0.0003)n

(0.003)2n;

an =log(n2 − n)

n; an =

log(n10)

log(n) + log(n9);

an = log3(n2) − n; an = log3(n

2) − log2(n3);

an =en − log n

3en + n5; an =

5n + n2 − log n√n4 + 1

;

an =6en + n

3en +√

n2 + 1; an =

3√

2 + n6

√n4 + 1

;

an = sin(1

n); an = cos(

n2

1 − n4);

an = n4 − (ln(n))4; an = (0.9)n + (0.3)n − (1.2)n;

5.4 Successioni ricorsive

Un modo spesso usato per assegnare una successione e quello ricorsivoche consiste nell’assegnare alcuni termini iniziali (il primo, oppure i primidue, oppure i primi ... ) e una formula che permette di ottenere ognitermine successivo mediante quello che lo precede (oppure quelli che loprecedono).


5.4 Successioni ricorsive 117

5.4.1 Successioni aritmetiche

Definizione 5.13. Si dice successione (o progressione) aritmetica ditermine iniziale a0 e ragione d (con a0, d ∈ R) la funzione a : N → R cosıdefinita:

a(n) = an = a0 + nd.

Esplicitando le immagini in sequenza, si scrive:

a0 = a0, a1 = a0 + d, a2 = a0 + 2d, a3 = a0 + 3d, . . .

La successione aritmetica an = a0 + nd si esprime in forma ricorsivaassegnando il termine iniziale a0 e, per ogni n ≥ 1, la formula:

an = an−1 + d.

Abbiamo quindi un modo semplice di caratterizzare le successioni arit-metiche:Una successione an e aritmetica se e solo se la differenza tra due terminiconsecutivi e costante ossia an − an−1 = d.

Esempio 5.14. 1. La successione dei numeri pari

0, 2, 4, 6, . . .

e la successione aritmetica di termine iniziale 0 e ragione 2, definitadalla legge an = 2n. In forma ricorsiva possiamo assegnare questasuccessione come an = an−1 +2, (n ≥ 1), specificando che il termineiniziale a0 vale 0.

2. La successione an = n2 dei quadrati dei numeri naturali non e unasuccessione aritmetica poiche, ad esempio, a4 − a3 = 16 − 9 = 7mentre a2 − a1 = 4 − 1 = 3 6= 7.

Se sappiamo che una certa successione an e aritmetica, allora la conoscenzadi due qualsiasi dei suoi termini permette di determinare l’intera succes-sione. Per ogni coppia di numeri naturali distinti h e k si ha infatti:

ah − ak = (a0 + hd) − (a0 + kd) = (h − k)d

e quindi

d =ah − ak

h − ke a0 = ah − hd


118 Successioni

Esempio 5.15. La successione aritmetica an tale che a3 = 5 e a7 = 21ha ragione d = 21−5

7−3= 4 e quindi a0 = a3 − 3d = −7 ossia e data da

an = −7 + 4n.

Puo essere utile ricordare la formula che da la somma dei primi n + 1termini di una successione aritmetica:

a0 + a1 + · · · + an = (n + 1)a0 +n(n + 1)

2d

oppure, iniziando da n = 1:

a1 + · · ·+ an = (n)a0 +n(n + 1)

2d

In particolare, se a0 = 0 e d = 1, si ottiene

a1 + · · · + an = 1 + 2 + · · ·n =n(n + 1)

2

che fornisce la formula della somma dei primi n numeri naturali. Unastoria curiosa racconta che Carl Friedrich Gauss trovo questa formulain terza elementare quando l’insegnante, per farli stare buoni, chiese aglialunni di sommare i numeri da 1 a 100. Gauss, dopo solo un minuto, andodall’insegnante con la risposta. L’idea del piccolo Gauss fu la seguente:se invece di sommare tutti i numeri uno dietro l’altro sommiamo primail primo con l’ultimo, cioe 1 + 100, otteniamo 101; allo stesso modo sesommiamo 2 al penultimo, cioe 2 + 99, otteniamo sempre 101. Questoprocedimento si puo iterare sino a 50+51 e quindi per 50 volte; si ottieneinfine

1 + 2 + 3 + · · · 100 = 50 · 101 = 5050.

Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). Matematico, astronomo efisico tedesco, diede contributi determinanti all’analisi matematica,teoria dei numeri, calcolo numerico, geometria differenziale, geode-sia, magnetismo e ottica. Talvolta descritto come il piu grande

matematico della modernita e il principe della matematica, Gauss ericordato tra i piu importanti matematici della storia, avendo con-tribuito in modo decisivo all’evoluzione delle scienze matematiche,fisiche e naturali.



5.4.2 Successioni geometriche

Definizione 5.16. Si dice successione (o progressione) geometrica ditermine iniziale a0 e ragione q (q ∈ R) la funzione a : N → R cosı definita:

a(n) = an = a0qn.

Esplicitando le immagini in sequenza, si scrive:

a0, a1 = a0q, a2 = a0q2, a3 = a0q

3, . . .

La successione geometrica an = a0qn si esprime in forma ricorsiva ponendo

an = an−1q, n ≥ 1,

e assegnando a0 come termine iniziale. Abbiamo quindi un modo semplicedi caratterizzare le successioni geometriche:Una successione an e geometrica se e solo se il rapporto tra due terminiconsecutivi e costante ossia

an

an−1

= q.

Esempio 5.17. La successione delle potenze di 2, ossia 1, 2, 4, 8, 16, . . . ela successione geometrica di termine iniziale 1 e ragione 2, definita dallalegge a(n) = 2n. In forma ricorsiva possiamo scrivere an = 2an−1, (n ≥ 1),specificando che il termine iniziale a0 vale 1.

Se sappiamo che una certa successione an e geometrica, allora la conoscen-za di due qualsiasi dei suoi termini permette di determinare l’intera suc-cessione. Per ogni coppia di numeri naturali distinti h e k si ha infatti:

ah

ak=

a0qh

a0qk= qh−k

e quindi

q = h−k

√ah

ake a0 =

ah

qh


120 Successioni

Esempio 5.18. La successione geometrica an tale che a3 = 8 e a7 = 32

ha ragione q = 4

√a7

a3= 4

√4 =

√2 e quindi a0 = a3

q3 = 8√23 = 2

√2 ossia e

data daan = 2

√2(√

2)n = (√

2)n+3.

La formula che da la somma dei primi n + 1 termini di una successionegeometrica (di ragione q 6= 1) e:

a0 + a1 + · · ·+ an = a0

1 − qn+1

1 − q

5.4.3 Applicazioni delle successioni

Le successioni aritmetiche e geometriche intervengono nello studio di nu-merosi problemi di tipo economico, biologico, medico.

Esempio 5.19. Si vuole trovare una formula che dia il valore dello stipen-dio S(n) = Sn di un lavoratore dopo n anni, conoscendone il valore in-iziale S0 e l’aumento annuale pari al 2% di S0. Procedendo ricorsivamente,abbiamo:

stip. iniziale: S(0) = S0

stip. dopo 1 anno: S(1) = S0 + 2

100S0

stip. dopo 2 anni: S(2) = S(1) + 2

100S0 = (S0 + 2

100S0) + 2

100S0 = S0 + 2 2

100S0

· · · · · ·stip. dopo n anni: S(n) = S(n − 1) + 2

100S0 = S0 + n 2

100S0

Il problema e descritto da una successione aritmetica di termine inizialeS0 e ragione 2S0

100: in tal caso si dice anche che lo stipendio cresce in modo

lineare.

Esempio 5.20. Si vuole trovare una formula che dia il valore dello stipen-dio Q(n) = Qn di un lavoratore dopo n anni, conoscendone il valore inizialeS0 e l’aumento annuale pari al 2% dello stipendio dell’anno precedente.Procedendo ricorsivamente, abbiamo:

stip. iniziale: Q(0) = S0

stip. dopo 1 anno: Q(1) = S0 + 2

100S0 = 102

100S0

stip. dopo 2 anni: Q(2) = Q(1) + 2

100Q(1) = 102

100Q(1) = (102

100)2S0

· · · · · ·stip. dopo n anni: Q(n) = Q(n − 1) + 2

100Q(n − 1) = 102

100Q(n − 1) = (102

100)nS0



Il problema e descritto da una successione geometrica di termine inizialeS0 e ragione q = 102

100. In tal caso si dice anche che lo stipendio cresce in

modo esponenziale.

Esempio 5.21. Si vuole schematizzare in modo ricorsivo il processo didecadimento radioattivo. Alcune sostanze decadono nel tempo, trasfor-mandosi in altre sostanze; si dice tempo di dimezzamento il periodo Tin cui decade la meta degli atomi. Assumendo come unita di misura deitempi il periodo T e indicando con N0 il numero degli atomi presentiinizialmente si ha:

numero iniziale: N(0) = N0

dopo 1 periodo: N(1) = 12N0

dopo 2 periodi: N(2) = 12N(1) = 1

2(1

2N0) = 1

4N0

· · · · · ·dopo n periodi: N(n) = 1

2N(n − 1) = (1

2)nN0

Otteniamo una successione geometrica di termine iniziale N0 e ragione 12.

Esempio 5.22. In condizioni ideali la crescita di una popolazione di bat-teri ha un andamento di tipo esponenziale. Se rileviamo il numero dibatteri presenti in quella popolazione e ripetiamo il conteggio a distanzaregolare di tempo, i numeri ottenuti formano una successione geometrica

an = Bqn

dove a0 = B e il numero di batteri inizialmente presenti, mentre q dipendedal tipo di batteri e dalle condizioni ambientali. Il tempo T necessarioperche il numero di batteri di quella popolazione raddoppi si dice appun-to tempo di raddoppio. Assumendo come intervallo di tempo tra unarilevazione e l’altra proprio T , la successione assume la forma

an = B2n

dove an e il numero di batteri presenti dopo un periodo nT pari a ntempi di raddoppio. Piu in generale, se l’intervallo tra due rilevazioni e unqualsiasi tempo t, allora la successione an che fornisce il numero di batteripresenti dopo n rilevazioni, ossia dopo un tempo nt e

an = qnB


122 Successioni

dove la ragione e q = 2tT .

Si osservi che

• Se q e minore di 1, la popolazione diminuisce al passare del tempo.

• Se q e maggiore di 1, la popolazione tende all’infinito.

Esempio 5.23. Esprimere un rapporto tra due grandezze omogenee informa percentuale significa scegliere per il rapporto la frazione con denom-inatore 100. Se, per esempio, analizzando una soluzione, su 75 grammidi sostanza misuriamo 9 grammi di un dato sale, diciamo che quel saleha nella soluzione una concentrazione di 9

75; esprimere questo rapporto in

forma percentuale significa trasformare la frazione in quella equivalente didenominatore 100, cioe

9

75=

12

100Diciamo allora che la concentrazione del sale e pari al 12%. Per fare ilpassaggio alla forma percentuale basta risolvere una proporzione, cioe unauguaglianza di rapporti. Nell’esempio precedente:

9 : 75 = x : 100

da cui x = 12. Cosı, calcolare un ventesimo di una grandezza significacalcolarne il 5% perche 1

20= 5

100.

Percentuali del tipo 6.4% sono il rapporto 6.4100

. Quest’ultima si denotaanche con 640/00 e si legge 64 per mille.Naturalmente per i rapporti espressi in forma percentuale valgono le so-lite regole sulle frazioni; per non sbagliare e opportuno, negli esercizi,trasformare le percentuali nelle corrispondenti frazioni.Vediamo un esempio. Un certo capitale iniziale C0, che possiamo consid-erare pari a 1, e investito al tasso di interesse del 100% annuo; inoltre gliinteressi vengono pagati a intervalli regolari di tempo piu volte l’anno; taliinteressi vengono aggiunti al capitale e su di essi vengono quindi pagatigli interessi per i periodi successivi. Se indichiamo con Cn il capitale chesi ottiene a fine anno, nel caso in cui gli interessi siano pagati n volteall’anno, otteniamo la seguente successione:

C1 = 1, C2 =

(

1 +1

2

)

+1

2

(

1 +1

2

)

=

(

1 +1

2

)2

, C3 =

(

1 +1

3

)3

,

. . . , Cn =

(

1 +1

n

)n



Figura 5.5: La crescita dei conigli.

5.4.4 La successioni di Fibonacci

Leonardo Pisano propose nel tredicesimo secolo il seguente problema:Immaginiamo di chiudere una coppia di conigli in un recinto. Sapendoche per ogni coppia di conigli valgono le seguenti condizioni

• inizia a generare dal secondo mese di eta;

• genera una nuova coppia ogni mese;

• non muore mai;

quante coppie di conigli ci saranno nel recinto dopo un anno?

Osservando la Figura 5.5 si deduce immediatamente che, denotato con fn

il numero delle coppie di conigli dopo n mesi, si ottiene la successione,chiamata successione di Fibonacci, i cui primi termini sono:

f0 = 1, f1 = 1, f2 = 2, f3 = 3, f4 = 5, . . .

Leonardo da Pisa (1170 - 1250). Matematico italiano, figlio diGuglielmo Bonacci da cui il soprannome di Fibonacci (fillius Bonac-ci). Assieme ad altri matematici del tempo, contribuı alla rinascitadelle scienze esatte dopo la decadenza dell’ultima parte dell’eta clas-sica e del primo Medioevo. Con la sua opera piu importante, il Liber

abaci, introduce in Europa occidentale la numerazione indo-arabicatuttora in uso.


124 Successioni

Figura 5.6: Le spirali delle pigne.

Una osservazione attenta mostra che la successione di Fibonacci puo esseredefinita in modo ricorsivo dalla formula:

fn = fn−1 + fn−2

In altre parole la successione di Fibonacci e definita assegnando i primidue valori, 1, 1, e richiedendo che il generico elemento fn, n > 2, dellasuccessione sia dato dalla somma dei due che lo precedono. A questopunto possiamo dare la risposta al quesito di Fibonacci, infatti il numerodelle coppie di conigli dopo un anno e f12 = 144.

Oltre che alla crescita dei conigli la successione di Fibonacci e legata adun numero sorprendente di fenomeni della natura. Per una descrizionedettagliata di questi legami vi suggerisco di visitare il sito:

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

In questo testo mi limitero ad illustrarvi il numero di fibonacci nelle pigne.

Nella Figura 5.6 si puo osservare che il numero delle spirali che ruotano insenso orario sono 8 mentre quelle che ruotano in senso antiorario sono 13. Inumeri 8 e 13 sono due termini consecutivi della successione di Fibonacci.

5.4.5 La sezione Aurea

La successione di Fibonacci ha un particolare legame con il numero Au-reo. Per dare la definizione del numero aureo si consideri un rettangolo(si veda la Figura 5.7) di base a e altezza b e si ponga φ = a/b.



b

a

Figura 5.7: Il rettangolo aureo.

Un rettangolo si dice aureo (φ = a/b aureo) se i lati a e b soddisfano allaproporzione

a

b=

a + b

a.

Segue che φ = a/b e soluzione dell’equazione

φ2 − φ − 1 = 0

le cui radici sono φ = 1±√

52

. Essendo a e b positivi (lunghezze di segmenti)si avra che il numero aureo e

φ =1 +

√5

2.

Si noti che 1−√

52

= − 1φ.

Il numero Aureo e un numero irrazionale la cui rappresentazione decimaleinizia cosı:

φ = 1.61803398874989484820458683437

Complemento 5.24. Esiste una costruzione geometrica piuttosto semplice del rettangoloaureo come mostra la Figura 5.8.Si costruisce per primo un quadrato di vertici A, B, C, D e di lato b. Sulla base delquadrato si traccia il punto medio M e si considera la circonferenza centrata in M eraggio MC. La circonferenza interseca il prolungamento della base del quadrato inun punto H . Mostriamo che a = AH e b sono in rapporto aureo. Per costruzionea = AM + MH = b/2 + MC. Per calcolare MC applichiamo il Teorema di Pitagoraal triangolo rettangolo MBC. Si ottiene

MC =

√

(b

2)2 + b2 =

√

5b2

4=

b

2

√5.


126 Successioni

A

D

B

C

M H

b

a

Figura 5.8: Costruzione del rettangolo aureo.

Segue che a = b(1+√

5

2) da cui, dividendo per b, si ottiene

a

b=

1 +√

5

2= φ.

Il legame tra la successione di fibonacci e la sezione aurea e il seguente.Consideriamo la successione rn = fn/fn−1 ottenuta dividendo ogni nu-mero della successione di Fibonacci per il precedente. I primi quattordicielementi di rn sono

1, 2, 1.5, 1.66667, 1.6, 1.625, 1.61538, 1.61905,

1.61765, 1.61818, 1.61798, 1.61806, 1.61803, 1.61804.

Se adesso confrontiamo questi numeri con la rappresentazione decimale diφ ci accorgiamo che rn si avvicina sempre di piu a φ man mano che crescen. Si puo infatti dimostrare che la successione rn tende a φ per n moltogrande.

Osservazione 5.25. Tramite il numero aureo e anche possibile descrivereil generico elemento fn della successione di Fibonacci. Denotiamo, percomodita,

α =1 +

√5

2; β =

1 −√

5

2.

Si puo verificare che la successione

fn =αn − βn

α − β

descrive tutti i numeri della successione di Fibonacci (provate!).


5.5 Esercizi sulle successioni ricorsive 127

5.5 Esercizi sulle successioni ricorsive

1. Dimostrare che la successione an = 2n−1 e geometrica e determinarela ragione ed il termine iniziale.

2. Dire se la successione an = log(2n+1) e aritmetica o geometrica.

3. Dire se la successione an = 3(1 + n) e aritmetica o geometrica.

4. Determinare la successione aritmetica sapendo che a2 = −7 e a5 =−16.

5. Determinare la successione geometrica sapendo che a2 = 1/2 e a4 =2.

6. Il tempo di dimezzamento del 14C e di circa 5730 anni.

(a) Determinare l’eta approssimativa di un reperto fossile nel qualela concentrazione di 14C risulta il 25% di quella dell’analogoorganismo vivente.

(b) Determinare l’eta approssimativa di un reperto fossile nel qualela concentrazione di 14C risulta il 12.5% di quella dell’analogoorganismo vivente.

(b) Determinare la concentrazione di 14C in un reperto fossile dicirca 23000 anni.

7. In una coltura batterica ci sono inizialmente N0 batteri, che rad-doppiano ogni 160′ (′ sta per minuti).

(a) Quanti batteri ci saranno dopo 22h?

(b) Dopo quanti minuti ci sono nella coltura il 25% del numerofinale di batteri trovato al punto (a)?

8. Il tempo di dimezzamento dell’ossigeno 15O e 124′′.

(a) Indicata con Q0 la concentrazione iniziale, trovare quella che siha dopo 9′.

(b) Dire dopo quanti secondi si ha il 25% di Q.

9. Calcolare il 3% del 10% di una quantita a.


128 Successioni

10. Determinare il termine generale della successione an nei seguenticasi:

a1 = 0, a2 =−1

4, a3 =

−2

6, a4 =

−3

8

a1 = −1, a2 = 0, a3 = 3, a4 = 8, a5 = 15

a1 =1

2, a2 =

4

3, a3 =

9

4, a4 =

16

5

11. Dimostrare che se fn e la successione di Fibonacci allora

limn→∞

fn

fn−1

= φ

12. Una libreria asimmetrica ha degli scaffali che contengono in sequenzaun libro, due libri, quattro libri, otto libri e cosi via. Quanti scaffaliservono per collocare 1024 libri? e per collocarne 2147483648 ?


Capitolo 6Calcolo differenziale e studio di

funzione

6.1 In costruzione


130 Calcolo differenziale e studio di funzione


Capitolo 7Calcolo integrale

7.1 In costruzione


132 Calcolo integrale


Capitolo 8Statistica descrittiva

8.1 In costruzione


Indice analitico

Angolo tra due vettori, 43Area del triangolo, 43

Circonferenzaequazione cartesiana, 65

Coordinate cartesiane, 37Coordinate nello spazio, 40Coseno, 35

Distanzatra due punti, 47

Ellissecoordinate dei vertici, 68equazione canonica, 67verticale, 69, 80

Funzionebiettiva, 97codominio, 88definizione, 88dominio, 88equazione associata, 87grafico, 91identita, 99iniettiva, 94insieme di definizione, 89inversa, 97

notazione con la freccia, 87notazione con parentesi, 87periodica, 92quadrato, 86suriettiva, 96temperatura, 88

Insiemecomplementare, 6definizione, 1diagrammi di Venn, 6differenza, 6esempi, 2inclusione, 5intersezione, 5prodotto cartesiano, 6unione, 5

Intervalloaperto, 12chiuso, 12illimitati, 12

Iperboleasintoti, 72equazione canonica, 71equilatera, 73verticale, 73

Iperbole omografica, 74


INDICE ANALITICO 135

Irrazionalita di√

2, 11

Logaritmocambiamento di base, 20in base 10, 21naturale, 21proprieta, 20

Numero primo, 3

Parabolaequazione cartesiana, 77

Postulati di Euclide, 49Punto medio, 48

Radianti, 35Rappresentazione decimale di

φ, 125π, 18e, 22

Rettacoefficiente angolare, 56coincidenti, 53crescente, 58decrescente, 58distanza da un punto, 61equazione cartesiana, 54equazione cartesiana per due pun-

ti, 55equazione esplicita, 56equazione parametrica, 51incidenti, 52intercetta, 56orizzontale, 54ortogonali, 53, 59parallele, 53, 59passante per un punto, 60per l’origine, 55

verticale, 54

Segmento orientato, 27Seno, 35Successione

aritmetica, 117convergente, 106definizione, 103ricorsiva, 116

Successione aritmeticasomma dei primi n elementi, 118definizione, 117

Successione geometricadefinizione, 119somma dei primi n elementi, 120

Valore assoluto, 13Versore, 39Vettori

combinazione lineare, 32componenti, 37paralleli, 36, 39perpendicolari, 35, 42


Date post:	14-Aug-2020
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