7.13 Appendice 7b: Esempi di analisi di Fourier 175
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
V (t)
V (t)
V (t)
t/T
t/T
t/T
Figura 7.20: Scomposizione in serie di Fourier di un’onda quadra bipolare all’au-mentare delle componenti prese in considerazione (dall’alto verso il basso): prime 3,prime 6 e prime 12.
c� G. D’Agostini 2015
176 RC in regime sinusoidale
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
V (t)
V (t)
V (t)
t/T
t/T
t/T
τ
τ
τ
Figura 7.21: Componenti della serie di Fourier di figura 7.20 (prime 12 componenti)all’uscita di un filtro RC passa basso per diversi valori del rapporto fra frequenzadell’onda quadra e frequenza di taglio (dall’alto verso il basso): 4, 1 e 1/4. In terminidi rapporti fra semiperiodi delle onde quadre e costante di tempo dell’RC abbiamo,sempre dall’alto verso il basso: π/4 (≈ 0.8), π (≈ 3) e 4π (≈ 13).
c� G. D’Agostini 2015
7.13 Appendice 7b: Esempi di analisi di Fourier 179
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
V (t)
V (t)
V (t)
t/T
t/T
t/T
Figura 7.23: Scomposizione in serie di Fourier di un’onda triangolare all’aumentaredelle componenti prese in considerazione (dall’alto verso il basso): prime 3, prime 6 eprime 12.
c� G. D’Agostini 2015
180 RC in regime sinusoidale
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
V (t)
V (t)
V (t)
t/T
t/T
t/T
τ
τ
τ
Figura 7.24: Analoga della figura 7.21 per l’onda triangolare (vedi testo).
c� G. D’Agostini 2015
182 RC in regime sinusoidale
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
V (t)
V (t)
V (t)
t/T
t/T
t/T
τ
τ
τ
Figura 7.27: Risposta di un filtro CR passa alto ad un segnale di ogna quadra, ot-tenuta mediante analisi di Fourier prendendo in considerazione i primi 100 (!) terminidella serie.
c� G. D’Agostini 2015
184 RC in regime sinusoidale
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
V (t)
V (t)
V (t)
t/T
t/T
t/T
τ
τ
τ
Figura 7.28: Risposta di un filtro CR passa alto ad un segnale triangolare, ottenutomediante analisi di Fourier prendendo in considerazione i soliti primi 12 termini dellaserie.
c� G. D’Agostini 2015
226 Diodo: l’utilita di un oggetto dal comportamento curioso
RVin Vout
Rd+
Vγ
−
RdVin > Vγ Vout
RVin Vout
Rd−Vγ
+
RdVin<−Vγ Vout
Vin
A)
B)
C)
D)
Figura 9.7: Circuiti raddrizzatori e loro effetto su segnali sinusoidali.
c� G. D’Agostini 2015
258 Induttanza: l’inerzia dei circuiti
0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
VC (V)
t (µs)
0 5
0.95
1
Figura 10.14: Tensione di un condensatore su una resistenza e un induttore per va-lori di resistenza intorno al valore per cui si ottiene il ‘caso critico’ di smorzamento(vedi testo). La curva tratteggiata corrisponde al caso critico; quelle ‘superiori’ (casosovrasmorzato) e ‘inferiori’ (caso sottosmorzato) hanno valori di resistenza rispetti-vamente maggiori e inferiori del 10, 20 e 30% di quella del caso critico. Il riquadroin alto a destra riporta lo zoom nei primi 5 microsecondi per mostrare come tutte lesoluzioni cominciano con derivata nulla, corrispondente a corrente nulla.
la resistenza tra +30% e −30% di quella critica. La figura mostra anche lozoom nei primi istanti della scarica per enfatizzare il fatto come inizialmentegli andamenti siano tutt’altro che esponenziali, come discusso sopra.
10.10.1 Caso sovrasmorzato
I casi sovrasmorzati corrispondenti a resistenze maggiori rispettivamente del+10% e del +30% di quella critica sono riportati in figura 10.15 con i det-tagli dei due esponenziali che contribuiscono all’andamento temporale. Perconfronto viene riportato, come ottima approssimazione del caso limite perR molto grande, l’andamento in cui la resistenza vale dieci volte la resisten-za critica. Si noti come il caso piu vicino a quello critico, indicato in figuracon “Rc × 1.1”, abbia k1 e |k2| maggiori dei corrispondenti coefficienti delcaso con resistenza superiore. Per R = 10 × R0 il coefficiente negativo k2 epraticamente nullo, k1 praticamente unitario e l’andamento sembra un perfet-to esponenziale (ma basta zoomare per controllare che all’origine la derivatae nulla). Si nota inoltre che per R grande lo smorzamento e piu lento, nono-stante l’aggettivo ‘sovrasmorzato’ potrebbe far pensare che tanto maggiore e ildiscriminante dell’equazione algebrica associata, quanto maggiore e lo smor-zamento. Infatti si puo facilmente provare che nel limite di R molto grande
c� G. D’Agostini 2015
10.10 Applicazioni al circuito RCL 259
0 10 20 30 40 50 60 70
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
VC (V)
t (µs)
Rc × 1.1
Rc × 1.1
Rc × 1.3
Rc × 1.1
Rc × 10
0 10 20 30 40 50 60 70
−0.3
5−0
.25
−0.1
5−0
.05
I(mA)
t (µs)
Rc × 1.1
Rc × 1.3
Rc × 10
Figura 10.15: In alto: casi sovrasmorzati con resistenze maggiori del 10% e del30% di quella critica in cui sono stati graficate (puntinate quelle negative e tratteggiatequelle negative) le due esponenziali di cui la soluzione fisica e sovrapposizione. Perconfronto viene riportato anche il caso di R = 10RC , dall’andamento praticamenteesponenziale (sembra rettilineo in quanto la sua costante di tempo e molto grande,valendo circa 200µs). Il grafico in basso riporta le correnti corrispondenti.
c� G. D’Agostini 2015
10.10 Applicazioni al circuito RCL 261
0 50 100 150 200
−0.5
0.0
0.5
1.0
0 50 100 150 200
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
t (µs)
t (µs)
VC (V)
I (mA)
Rc/10
Rc/10
Figura 10.16: Tensioni ai capi del condensatore e correnti che fluiscono nel circuitoper il caso critico (curve tratteggiate) e quello sottosmorzato al diminuire della resi-stenza (in unita della resistenza critica e a mano a mano che ci allontaniamo dal casocritico e quindi le oscillazioni si spengono piu lentamente: 0.9, 0.7, 1/2, 1/5, 1/10.).
c� G. D’Agostini 2015
10.11 Energia di un oscillatore smorzato 263
0 50 100 150 200
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0 50 100 150 200
01
23
45
t (µs)
t (µs)
P (mW)
E (nJ)
Figura 10.17: Potenza dissipata per effetto Joule (grafico superiore) ed energiaresidua nell’oscillatore RCL (grafico inferiore) in funzione del tempo (vedi testo)
c� G. D’Agostini 2015
266 Induttanza: l’inerzia dei circuiti
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
−0.5
0.0
0.5
1.0
VC (V)
t (ms)
Q = 50
Figura 10.18: Oscillazioni sottosmorzate con fattore di merito 5, 10 e 50, a cui cor-rispondono η di 0.28, 0.53 e 0.88 (da cui n0 di 0.8, 1.6 e 8.0). Nei casi di Q di 10e 50 sono state anche sovraimposte le curve che indicano lo smorzamento esponen-ziale delle ampiezze con costanti di tempo di, rispettivamente, 0.20 ms e 1.0 ms. (Sinotino come le diverse oscillazioni sono caratterizzate da pseudoperiodi praticamenteidentici.)
2π/ω0. Indicando tale costante di tempo ‘energetica’ con τE , abbiamo quindi
τE ≈ n0
2π
ω0
(10.148)
≈ 1
γ=
τ
2, (10.149)
come ci si poteva attendere: la costante di tempo della decrescita energetica epari alla meta di quella della decrescita delle ampiezze, semplicemente perchel’energia all’n-ma oscillazione e proporzionale al quadrato della tensione delcondensatore. Quindi per l’energia abbiamo:
E(n) ≈ E0 e−tn/τE = E0 e
−γ tn , (10.150)
ove tn rappresenta il tempo per arrivare fino al termine dell’n-ma oscillazionecompleta, che per le nostre approssimazioni vale circa nT0, o n (2π/ω0).
Concludiamo dando l’espressione di Q in funzione dei parametri del pro-
c� G. D’Agostini 2015
11.5 Corrente nel circuito e tensione ai capi di R 287
0 1 2 3 4
−10
−50
510
0 1 2 3 4
−1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
0 1 2 3 4
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
V
V
Vin(t)
V(1)out (t)
V(2)out (t)
t/T0
t/T0
t/T0
Figura 11.6: Esempio di sovrapposizione di segnali sinusoidali (in alto) filtrata dapassa banda con due diversi fattori di merito (al centro Q = 20 e in basso Q = 100).La scala temporale e pari al periodo della sinusoide di frequenza uguale a quella dirisonanza del circuito.
c� G. D’Agostini 2015
11.10 Potenza in corrente continua usando il metodo simbolico 295
0 10000 20000 30000 40000
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0
10.0
20.0
50.0
100.
0
0 10000 20000 30000 40000
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0
10.0
20.0
50.0
100.
0
ν (Hz)
ν (Hz)
AL
AC
ν0
ν0
Figura 11.9: Ampiezza relativa di tensione ai capi di L (10 mH) e di C (10 nF) perdiversi valori della resistenza, in ordine dalle curve piu piccate intorno alla frequenzadi risonanza alle piu larghe: 10, 50, 100, 200, 500 e 1000Ω. (Le ordinate in scalalogaritmica per tener conto dei vari ordini di grandezza.)
c� G. D’Agostini 2015
296 RCL in regime sinusoidale
1e+03 2e+03 5e+03 1e+04 2e+04 5e+04 1e+05 2e+05
1e−0
21e
−01
1e+0
01e
+01
1e+0
2
1e+03 2e+03 5e+03 1e+04 2e+04 5e+04 1e+05 2e+05
1e−0
21e
−01
1e+0
01e
+01
1e+0
2
ν (Hz)
ν (Hz)
AL
AC
Figura 11.10: Come 11.9, con scale log-log per mostrare gli andamenti asintotici.
c� G. D’Agostini 2015
11.10 Potenza in corrente continua usando il metodo simbolico 297
1e+03 2e+03 5e+03 1e+04 2e+04 5e+04 1e+05 2e+05
1e−0
21e
−01
1e+0
01e
+01
1e+0
2
ν (Hz)
A
ν0/νν/ν0
ν20/ν2ν2/ν20
Figura 11.11: Visione d’insieme dei due grafici di figura ??, con l’aggiunta del-le ‘semirette’ (in scala log-log!) degli gli andamenti asintotici che mostrano lecaratteristiche di filtro passa alto e passa basso (vedi testo).
c� G. D’Agostini 2015
298 RCL in regime sinusoidale
1e+03 2e+03 5e+03 1e+04 2e+04 5e+04 1e+05 2e+05
0.00
20.
005
0.02
00.
050
0.20
00.
500
ν (Hz)
1/√2
AR
Figura 11.12: Grafico log-log dell’attenuazione della tensione ai capi dellaresistenza.
�ZA B
�V
�I
+ −
Figura 11.13: Generico dipolo, costituito internamente da resistori, condensatori einduttori disposti in qualsivoglia configurazione.
c� G. D’Agostini 2015