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Corso di Sistemi e ModelliProf. Claudio Cobelli – Gianna Maria Toffolo

A.A. 2014-2015

Introduzione al corso

LEZIONI Mercoledi 14.30-16.30 aula Ke Giovedi 10.30-12.30 aula Be Venerdi 10.30-12.30 aula Le

ESERCITAZIONI Tutor Venerdi 12.30-14.30 aula Ve

ORARIO RICEVIMENTO durante il corso: Mercoledi ore 16.30 poi su appuntamento tramite mail

Orario

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Alcune informazioni

• Corso con due canali: Canale 1 : prof. Gianluigi Pillonetto - Mauro Bisiacco Canale 2 : prof. Gianna Maria Toffolo - Claudio Cobelli

• Svolgimento lezioni: 45min lezione + 15min pausa + 45min lezione

• Comunicazioni tramite forum del corso https://elearning.dei.unipd.it/ E’ necessario iscriversi!!!

• Modalità d’esame: prova scritta identica per entrambi i corsi gli studenti che hanno superato lo scritto possono-su richiesta-sostenere una

prova orale integrativa, su TUTTO il programma, nello stesso appello dello scritto

2 appelli nella sessione 26 gennaio – 28 febbraio 20151 appello nella sessione 15 giugno - 25 luglio 20151 appello nella sessione 24 agosto - 23 settembre 2015

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Alcune regole…

• Il compito scritto ha validità un anno, ovvero il voto deve essere registrato entro un anno dalla data della prova

• La consegna di un compito scritto annulla la validità di un eventuale voto positivo conseguito dallo studente in un appello precedente, ma non l’iscrizione ad un appello e la presenza in aula se poi lo studente si ritira

• La registrazione dell’esame è un atto ufficiale che richiede la presenza dello studente. Vengono ammesse deleghe solo in caso di gravi e provati motivi

• Nelle comunicazioni via e-mail, utilizzare il proprio indirizzo istituzionale nome@studenti.unipd.it (messaggi anonimi NON saranno presi in considerazione)

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Testi di riferimento:

• Mauro Bisiacco, Gianluigi Pillonetto: Sistemi e Modelli, Progetto Leonardo, Esculapio, Bologna 2015

• Claudio Cobelli, Ewart Carson: Introduzione alla Modellistica in Fisiologia e Medicina, Patron, Bologna, 2012

Slides sul sito del corso

Testi

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Testi per consultazione:

• L Benvenuti, A De Santis, L Farina: Sistemi Dinamici, Mc Graw Hill, 2009

• JA Gubner: Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers, Cambridge Univ Press, 2006

• E Fornasini, G Marchesini: Teoria dei Sistemi, Libreria Progetto, Padova

• K Astrom, R Murray : Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, Princeton University Press, 2008. Disponibile online: http://www.cds.caltech.edu/~murray/amwiki/

• G Picci: Metodi Statistici per l’Identificazione di Sistemi Lineari, 2011. Disponibile online : http://www.dei.unipd.it/~picci/IdentAnalisiDati.html

Testi

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Prerequisiti

• Fisica Generale 1 e Fisica Generale 2 Equazioni che regolano la dinamica di sistemi meccanici ed elettrici

• Segnali e Sistemi Trasformate di Fourier, Laplace e Zeta; Funzioni di trasferimento, a tempo

continuo e discreto

• Algebra Lineare e Geometria Autovettori/autovalori, Matrici definite positive e loro diagonalizzazione

• Analisi dei dati Variabili aleatorie gaussiane, calcolo di media e varianza di variabili aleatorie

gaussiane condizionate, regressione lineare

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SistemaGruppo o insieme di elementi riuniti da qualche interazione regolare o da una mutua dipendenza per realizzare un determinato fine (Shannon)

“il tutto è maggiore della somma delle

singole parti” (Aristotele)

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Modello

MODELLO = OGGETTO, COMPORTAMENTO CHE SI COPIA

Esempio: - modello in pittura; modello di virtù

Proprietà: - completo; perfezione ideale

MODELLO = SCHEMA TEORICO, STRUTTURA ASTRATTA, LUOGO DI SIMULAZIONE

Esempio: - modello di un edificio; modello dell’atomo

Proprietà: - immagine impoverita del “reale”; astrazione, vengono riprodotti solo aspetti “rilevanti” dal punto di vista adottato

“più ricco e complesso”

“più povero e schematico”

Linguaggio comune:

Linguaggio scientifico:

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Tipi di modelli

• Modelli mentali (rappresentazione di un fenomeno)

• Modelli verbali (descrizione a parole di un fenomeno)

• Modelli fisici (iconici; leggi della similitudine; leggi dell’analogia)

• Modelli concettuali diagrammi, schemi (pianta città- flow chart)

• Modelli matematici…..

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insieme di relazioni matematiche che descrivono i legami tra le grandezze del sistema reale, quindi una rappresentazione della realtà con un certo grado di approssimazione

Modelli Matematici

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Sistemi e modelli dinamici

Evolvono nel tempoSono causali, cioè le uscite al tempo t dipendono dalla storia passata degli ingressiSono tipicamente modellizzati tramite equazioni differenziali

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ttutxhty

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Metodologie modellistiche

MODELLO

SISTEMA

SCOPO

PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE

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SISTEMA X

Quesito Qx

Perché un modello?

???

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SCOPI DESCRIVERE es.Legge di Ohm V = R x I

INTERPRETARE se si misurano in due dispositivi un diverso legame I-V , si deduce che i valori di R sono diversi

PREDIRE come sarà V se applico un ingresso I sinusoidale?

MODELLO M

Quesiti QM

Risposte RMRisposte RX

SISTEMA X

Quesiti Qx

Definizione operativa di modello

1

4 3

2

M è un modello di X, per un osservatore, se esso può utilizzare M per rispondere a domande su X

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White box/Gray box• Descrivono il funzionamento interno del

sistema sulla base di principi fondamentali della scienza (fisica, biologia, chimica ecc) e di ipotesi sulla struttura del sistema (livello di approssimazione dettato da conoscenze a priori e natura delle ipotesi)

• Danno informazione sui meccanismi interni del sistema

• Si parla di scatola bianca (trasparente) se struttura e parametri del modello sono noti

• Si parla di scatola grigia se i parametri non

sono noti-devono essere identificati dai dati

Classi di modelli: Modelli di Sistema

Parametri p=[k01, k12, k21, V1]T

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22121212

1212121011

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Vtqty

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eliminazionek01

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y = concentrazione del farmaco

Ingresso farmaco

1

plasma

2

tessuti

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Metodologie modellistiche

MODELLO

SISTEMA

STRUTTURA STIMA PARAMETRICA

Conoscenze a priori

Assunzioni

DATI

PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE

Modelli di Sistema

ingresso-uscita, black box• Descrivono la relazione

ingresso-uscita del sistema senza nessuna (minime) ipotesi sulla struttura

• Non danno informazione sui meccanismi interni del sistema

• Utili se non ci sono conoscenze sul sistema e comunque se interessa solo il comportamento ingresso-uscita, da inferire a partire dai dati sperimentali

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0

5

10

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TEMPO

CO

NC

EN

TR

AZ

ION

E

y t p A eit

i

i( , )

1

2

Classi di modelli: Modelli di Dati

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Metodologie modellistiche

MODELLO

SISTEMA

RELAZIONE INGRESSO-USCITA

STIMA PARAMETRICA

DATI

Modelli di Dati

PROCESSO DI MODELLIZZAZIONE

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Identificazione

PROGETTO DELL’ESPERIMENTO

SISTEMA

STRUTTURADEL MODELLO

STIMA PARAMETRICA

INGRESSO USCITA

CONOSCENZE A PRIORIASSUNZIONI

ESPERIMENTO

MODELLO

• Spesso (gray box/black box) è necessario stimare il valore dei parametri del modello dai dati

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PROGETTO DELL’ESPERIMENTO

SISTEMA

STRUTTURADEL MODELLO

STIMA PARAMETRICA

VALIDAZIONE

INGRESSO USCITA

CONOSCENZE A PRIORIASSUNZIONI

ANALISI DEI DATI

IDENTIFICAZIONE

ESPERIMENTO

MODELLO FINALE

Validazione

• Il modello e' adeguato per lo scopo per cui e' stato costruito?

• Qual’è il suo dominio di validità?

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TIPI DI MODELLI

• Modelli Statici/Dinamici

• Modelli Deterministici/Stocastici

• Modelli Tempo-Invarianti/Varianti

• Modelli a Parametri Concentrati/Distribuiti

• Modelli Lineari / Non Lineari

• Modelli a Tempo Continuo / Discreto

Osservazione: Tutte le combinazioni sono possibili, ad es.:- Modelli dinamici, deterministici, a parametri concentrati, a tempo continuo;- Modelli dinamici, stocastici, tempo-varianti, a parametri distribuiti, non lineari, a tempo continuo.

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Ricapitolando : i modelli matematici….

• Descrivono in modo non ambiguo gli aspetti essenziali del sistema

• Includono semplificazioni

• Sono riproducibili

• Soddisfano uno scopo

• Permettono (spesso) un’analisi quantitativa del sistema

• Sono accessibili, quindi è possibile modificare e testare il modello

• Sono universali: utilizzati in tutte le aree della scienza e dell’ingegneria

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…ma: le regole d’oroNon esiste il modello, tutti i modelli sono approssimazioni della realtà … Pertanto è necessario: • definire il dominio di validità di un modello e non forzarne l’uso al di fuori• confrontare le predizioni del modello con dati indipendenti da quelli usati per

l’identificazione• progettare il modello in modo “aperto” in modo da potervi includere nuove

conoscenze• progettare il modello in modo “trasparente” in modo da poter consentire

facilmente la sua falsificazione• restare critici e flessibili : avere sempre un modello più semplice ed uno più complesso di quello proposto

In pratica tutti i modelli sono sbagliati, ma alcuni sono utili (G.Box)

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Programma del corso

• Modelizzazione di sistemi dinamici tramite equazioni matematiche

• Analisi qualitativa e quantitativa di sistemi dinamici regolati da equazioni differenziali

• Identificazione gray-box dei parametri incogniti di un sistema dinamico a partire da dati fisici (misure) e identificazione black-box di modelli di dati tramite deconvoluzione

Modellizzazione

• Esempi di sistemi dinamici in vari ambiti (ingegneria, biologia, economia, metereologia, ecc)

• Definizioni di classi di modelli matematici per sistemi dinamici

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Analisi - 1

Sistemi Lineari Autonomi a Tempo Continuo • Soluzione con esponenziale di matrice • Forma di Jordan • Analisi modale• Traiettorie e punti di equilibrio• Stabilità: metodo di Lyapunov

Sistemi NON Lineari • Linearizzazione • Estensione del metodo di Lyapunov

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xoxtAxtdttdx

2828

Analisi-2

Sistemi non autonomi lineari •Evoluzione libera e forzata•Funzioni di trasferimento •Punti di equilibrio

Sistemi a tempo discreto •Analisi modale•Funzione di trasferimento (ZT)

Modelli compartimentali•Definizioni•Proprietà fondamentali

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tDutCxty

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kDukCxky

xoxkBukAxkx

IdentificazioneIdentificabilità a priori

Stimatori: definizioni e proprietà

Stima parametrica•Stima ai minimi quadrati•Stima a massima verosimiglianza

Validazione

L’esperimento è sufficientemente informativo, ovvero consente di identificare in modo univoco i parametri del modello ?

Il modello (struttura & valore/precisione dei parametri) è adeguato allo scopo ?

Sulla base dei dati sperimentali disponibili, quali sono i valori dei parametri e qual è la confidenza che possiamo associare a tali parametri?

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Deconvoluzione

SISTEMA

u(t)

t

d)(u)t(g)t(y Risp impulsiva g(t) nota

Misura?????

Dato un sistema, descritto dalla sua risposta impulsiva (nota) determinare l’ingresso (incognito) che ha prodotto una certa uscita (misurata)

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Programma del corso

• Modellizzazione di sistemi dinamici tramite modelli matematici (prof. G.Toffolo)

• Analisi qualitativa e quantitativa di sistemi dinamici descritti da equazioni differenziali e alle differenze (prof. G. Toffolo)

• Identificazione gray-box dei parametri incogniti di un sistema dinamico a partire da dati fisici (misure) e identificazione black-box di modelli di dati tramite deconvoluzione (prof. C.Cobelli)

• Esercitazioni in orario di lezione + Tutoraggio extra orario di lezione

slides

M. Bisiacco, G. Pillonetto: Sistemi e Modelli

C. Cobelli, E. Carson: Introduzione alla Modellistica…. + slides

M. Bisiacco, G. Pillonetto: Sistemi e Modelli