1

MODELLIDI

INTERAZIONE STRATEGICA

di

AGOSTINO LA BELLA

2

SOMMARIO• INTRODUZIONE• FONDAMENTI DI TEORIA DEI GIOCHI

– STRATEGIA– PRINCIPALI NOZIONI DI EQUILIBRIO– GIOCHI SEQUENZIALI– GIOCHI RIPETUTI

• IL PARADOSSO DI BERTRAND• IL MODELLO DI COURNOT• COLLUSIONE VERSUS GUERRA DEI PREZZI• CONCLUSIONI

3

DEFINIZIONE• UN INSIEME DI “GIOCATORI”

• UN INSIEME DI REGOLE

• UN INSIEME DI FUNZIONI DI “PAYOFF”

LE REGOLE DEFINISCONO L’INSIEME DI AZIONI POSSIBILI IN OGNI CIRCOSTANZA PER OGNI GIOCATORE (STRATEGIE)

IL RISULTATO (PAYOFF) DIPENDE DALLE STRATEGIE DI TUTTI I GIOCATORI

4

SEMPLICE GIOCO(IN FORMA NORMALE)

L R

T 5; 5 3; 6

B 6; 3 4; 4

GIOCATORE 2

GIO

CA

TO

RE

1

5

EQUILIBRIO DI NASHE

SOLUZIONE “EFFICIENTE”

L R

T 5; 5 3; 6

B 6; 3 4; 4

GIOCATORE 2

GIO

CA

TO

RE

1

6

I CONCETTI• STRATEGIA DOMINANTE: STRETTAMENTE

MIGLIORE DI OGNI ALTRA SCELTA, INDIPENDENTEMENTE DALLE STRATEGIE DEGLI ALTRI GIOCATORI

• EQUILIBRIO DI NASH: N-PLA DI STRATEGIE DA CUI NESSUN GIOCATORE HA CONVENIENZA A DISCOSTARSI UNILATERALMENTE

• SPESSO NON ESISTONO STRATEGIE DOMINANTI, MA ESISTE (QUASI) SEMPRE ALMENO UN EQUILIBRIO DI NASH

7

STRATEGIE DOMINATE

L C R

T 1; 1 2; 0 1; 1

M 0; 0 0; 1 0; 0

B 2; 1 1; 0 2; 2

GIOCATORE 2G

IOC

AT

OR

E 1

8

EQUILIBRIO DI NASH

L C R

T 2; 1 2; 2 0; 3

M 1; 1 1; 1 1; 1

B 0; 1 0; 0 2; 2

GIOCATORE 2

GIO

CA

TO

RE

1

9

EQUILIBRIO DI NASH

xi: strategia del giocatore i

x-i: vettore delle strategie degli altri giocatori

i(xi, x-i): payoff del giocatore i

STRATEGIA DI RISPOSTA OTTIMA

x‘i: i(x‘

i, x-i) i(x“i , x-i) x“

i x‘i

EQUILIBRIO DI NASH

xN = (xNi, xN

-i): i(xN) i(x’i , xN

-i) i e x’i xN

10

IPOTESI

• RAZIONALITA’ DEI GIOCATORI

• CONVINZIONE SULLA RAZIONALITA’ DELLA CONTROPARTE

• SIMMETRIA DELLE CONVINZIONI

• SCELTE SIMULTANEE

11

EQUILIBRI MULTIPLI

L R

T 1; 2 0; 0

B 0; 0 2; 1

GIOCATORE 2

GIO

CA

TO

RE

1

12

GIOCHI SEQUENZIALIFORMA ESTESA

1

2 2

1ac; 2ac 1ad; 2ad 1bc; 2bc 1bd; 2bd

a b

c d c d

13

ENTRATA-RAPPRESAGLIA

1

2

1=102=

e ne

r nr

1=2=

1=2=

14

MINACCIA CREDIBILE 2

1 1

c nc

e ne e ne

1=102=

2 21=2=

1=102=

1=102=

1=102=

1=2=

nrrnrr

15

SUPERGIOCHI E GIOCHI RIPETUTI

L C R

T 5; 5 3; 6 0; 0

M 6; 3 4; 4 0; 0

B 0; 0 0; 0 1; 1

GIOCATORE 2

GIO

CA

TO

RE

1

16

SOLUZIONI DI NASH

L C R

T 5; 5 3; 6 0; 0

M 6; 3 4; 4 0; 0

B 0; 0 0; 0 1; 1

GIOCATORE 2

GIO

CA

TO

RE

1

17

MODELLI DI INTERAZIONE STRATEGICA NELL’ECONOMIA INDUSTRIALE

COURNOT (1838)

VARIAZIONICONGETTURALI

APPROCCIOSTRATEGICO

18

COURNOT

• N IMPRESE

• BENE OMOGENEO

• VARIABILE STRATEGICA: QUANTITA’

• FUNZIONI DI COSTO INDIPENDENTI

• STRATEGIE NON-COOPERATIVE

• VARIAZIONI CONGETTURALI NULLE

19

DEFINIZIONI

• Funzione di domanda: p=p(x)

• Produzione totale: x=i xi

• Funzione di costo: ci=ci(xi)

Problema dell’impresa i-ma:

Max i(x) = p(x) xi - ci(xi)

Condizione del primo ordine: 0x

(x)π

i

i

xi

0x

)(xc

x

x

x

p(x)

x

p(x)xp(x)

i

ii

ij i

j

jii

in cui però si deve porre:(var. congetturali nulle)

ij 0x

x

i

j

0x

)(xc

x

p(x)x)p(x :x

i

ii

i

i

xx

Equilibrio di Cournot:

Esempio

2 imprese i, j, con:

p = 6 – (xi + xj)

ci = 1 + xi cj = 1 + xj

i = 6 – (xi + xj) xi – (1 + xi)

j = 6 – (xi + xj) xj – (1 + xj)

Condizioni del primo ordine:

i/xi = 6 – (xi + xj) – xi – 1= 0

j/xj = 6 – (xi + xj) – xj – 1= 0

2

x5x

2

x5x

ij

ji

Risolvendo si ottengono le curve di reazione

1,778ππ

3

5 x;

3

5x

ci

ci

cj

ci

Apparente contraddizione con l’ipotesi di variazioni congetturali

nulle ( )!ij 0x

x

i

j

In

Lo studio della soluzione grafica aiuta a chiarire meglio ilsignificato dell’equilibrio di Cournot e delle ipotesi che nesono alla base.

ij 0x

x

i

j

26

Soluzione cooperativa nel caso simmetrico:

xi = xj = x/2

Max (i + j) = (6-x) x – 2 (1+x/2)

x*i = x*j = 5/4

*i = *j = 2,125

27

Ciascuna impresa ha interesse ad allontanarsi dalla soluzione cooperativa. Ad esempio, se j decide di non rispettare le quote di produzione concordate, portandosi al livello che corrisponde all’equilibrio di Nash-Cournot

xCi = 5/4 xN

j = 5/3

si ha:

i = 1,604 j = 2,472

28

DILEMMA DEL PRIGIONIERO

C N

C 2,125; 2,125 1,604; 2,472

N 2,472; 1,604 1,778; 1,778

IMPRESA j

IMP

RE

SA

i

30

IL MODELLO DI BERTRAND

•Variabile strategica: prezzo•Variazioni congetturali nulle (pj/pi = 0)

Esempio

2 impreserendimenti costanti

D1(p1, p2)

1(p1, p2) = (p1-c)D1(p1, p2)

D(p1) p1 p2

0,5 D(p1) p1 = p2

0 p1 p2

31

EQUILIBRIO DI NASH

(p*1, p*

2):

1(p*1, p*

2) 1(p1, p*2) p1

2(p*1, p*

2) 1(p*1, p2) p2

E’ FACILE VERIFICARE CHE L’UNICOEQUILIBRIO NON-COOPERATIVOPOSSIBILE E’ DATO DA:

p*1 = p*

2 =c

Bertand versus Cournot

2 imprese i, j, con:

p = 6 – (xi + xj)

ci = 1 + xi cj = 1 + xj 1,778ππ

3

5 x;

3

5x

8/3p

ci

ci

cj

ci

Monopolio

p = 7/2

x*i = x*j = 5/4

*i = *j = 2,125

Oligopolio (Cournot)

Oligopolio (Bertrand)

p = 1

x*i = x*j = 5/2

*i = *j = 0

Variazioni congetturali à la Bertrand

Quali congetture devono formulare le imprese sulle reazionidei concorrenti per comportarsi come se fossero price-taker?

Dalle condizioni del primo ordine per il massimo profittodella singola impresa si ha:

0x

c-p 1

x

x

:cui da

x

c

x

x

x

p

x

pxp(x)

x

π

1

1

1

2

1

1

1

2

211

1

1

35

Bertrand versus Cournot

• Se capacità e livello di output possono essere

variate “facilmente”, allora le imprese

scelgono prima il livello del prezzo (Bertrand).

• Se capacità e livello di output possono essere

variate solo nel lungo periodo, allora le

imprese scelgono prima il livello di output

(Cournot).

36

COLLUSIONE

• INDICA ACCORDI TRA IMPRESE RIVOLTI AD AUMENTARNE IL POTERE DI MERCATO

• PUO’ ESSERE ESPLICITA, SEGRETA, TACITA

• PUO’ RIGUARDARE:– IL VOLUME DELL’OFFERTA– I PREZZI– IL MARKETING– LA QUALITA’– LA RIPARTIZIONE DELLA DOMANDA

37

PUNTI DI INTERESSE

• CONDIZIONI CHE RENDONO CONVENIENTI ACCORDI COLLUSIVI

• STABILITA’

• FATTORI CHE FACILITANO LA COLLUSIONE

• MISURE ANTICOLLUSIONE

38

LA CONVENIENZA

• IPOTESI:– DUOPOLIO CON PRODOTTO OMOGENEO– COSTI MARGINALI COSTANTI– LE IMPRESE DECIDONO LE QUANTITA’– GIOCO RIPETUTO

• SOLUZIONI:– SUCCESSIONE DI EQUILIBRI DI COURNOT– “TRIGGER STRATEGIES” (SOTTO SPECIFICHE

CONDIZIONI STRUTTURALI)

40

TRIGGER STRATEGY

• CIASCUNA IMPRESA MANTIENE LA STRATEGIA COLLUSIVA FINCHE’ LA RIVALE FA ALTRETTANTO

• NEL MOMENTO IN CUI UN’IMPRESA OSSERVA UNO SCOSTAMENTO NELLA STRATEGIA DELLA RIVALE, FISSA E MANTIENE LA PRODUZIONE AL LIVELLO

NON-COOPERATIVO (COURNOT)

Strategia dell’impresa i:

altrimenti xx

1)-(t 2,......, 1, 0, τx xse xx

0 t xx

ciit

*jjτ

*iit

*iit

Strategia dell’impresa j: simmetrica

Profitti collusivi:

zioneattualizza di tecoefficien r1

1αcon

α1

παπ

ii

i

*it

i0t

*i

ci

i

1tit

i'i

*i

i

ti

ki1tk

ci

ti

'i

ki

1t

0k

*i

πα1

ααππ

α1

α1

απαπαπ

Profitti opportunistici (xit= xi

c)

L’accordo collusivo è quindi stabile se:

ππ

ππ

ππ

ππ i

ππ

ππα

:ovvero

α1

ππ

α1

ααππ

α1

α1

cj

'j

*j

'j

ci

'i

*i

'i

ci

'i

*i

'i

i

i

*ic

ii

1tit

i'i

*i

i

ti

43

EQUILIBRIO DI NASH PERFETTO

SE IL GIOCO E’ RIPETUTO UN NUMERO

INFINITO DI VOLTE E SOTTO SPECIFICHE

CONDIZIONI SUL FATTORE DI SCONTO E’

POSSIBILE INDIVIDUARE TRIGGER

STRATEGIES CHE GENERANO UN

EQUILIBRIO DI NASH PARETO-EFFICIENTE

(EQUILIBRIO DI NASH PERFETTO).

Variazioni congetturali collusive

i 0x

)(xc

x

x

x

p(x)

x

p(x)xp(x)

i

ii

ij i

j

jii

Condizioni per la soluzione non-cooperativa:

i 0x

)(xc

x

p(x))x(xp(x)

i

ii

iji

Condizioni per la soluzione collusiva:

Le soluzioni coincidono se:i

j

i

j

x

x

x

x

45

CONCLUSIONI• POTENTE LINGUAGGIO FORMALE

• APPROCCIO UNIFICANTE

• PROFONDA COMPRENSIONE DEI MECCANISMI DI DECISIONE STRATEGICA

• VASTITA’ DEL CAMPO DI APPLICAZIONE

• ASSOCIA RIGORE E SEMPLICITA’