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Statistica - Metodologie per le scienze economiche e sociali 2/edS. Borra, A. Di Ciaccio Copyright © 2008 – The McGraw-Hill Companies srl
Capitolo 4Capitolo 4
La variabilità di una distribuzioneIntervalli di variabilitàBox-plotIndici basati sullo scostamento dalla mediaConfronti di variabilità Standardizzazione
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La variabilitàLa variabilità
La variabilità di una distribuzione esprime la tendenza delle unità di un collettivo ad assumere diverse modalità della variabile
Un indice di variabilità deve soddisfare almeno due requisiti:
deve assumere il valore minimo se e solo se tutte le unità della distribuzione presentano uguale modalitàdella variabileDeve aumentare all’aumentare della “diversità” tra le modalità assunte dalle varie unità.
Osservazione
Osservazione
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Intervalli di variabilitàIntervalli di variabilità
Il campo di variazioneDati n valori e ordinati in senso crescente,
si considera la differenza tra il più grande e il più piccolo valore:
nxxx ≤≤≤ L21
1xxR n −=
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La differenza interquartilica
Dati n valori consideriamo la differenza tra il terzo e il primo quartile:
13 QQW −=
Oss: rappresenta il campo di variazione per il 50% delle unità più vicine alla mediana.
Intervalli di variabilitàIntervalli di variabilità
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Box-plotBox-plot
Un modo per rappresentare graficamente la variabilità di una distribuzione è dato dal box-plot.
Il box-plot è un grafico caratterizzato da tre elementi:una linea o punto, che indicano la posizione
della media della distribuzione;Un rettangolo (box) la cui altezza indica la variabilità dei valori “prossimi” alla media;Due segmenti che partono dal rettangolo e i cui estremi sono determinati in base ai valori estremi della distribuzione.
Ad esempio, come media si può prendere la mediana, come altezza del box la distanza interquartile e come estremi dei segmenti il valore minimo e massimo osservati.
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Max = 10Min = 1Q3=5Q1=3Valore mediano:Me=40
2
4
6
8
10
12125101222453083frequenza
10987654321N° atti aggressivi
Box-plot: esempioBox-plot: esempio
Esempio
RangeRange
interquartile
Medianahttp://www.istat.it/servizi/studenti/valoredati/Cap4/Cap4_5_2.htm
http://www.istat.it/servizi/studenti/valoredati/Cap4/Cap4_5_2.htm
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La varianzaLa varianzaUn indice basato sugli scostamenti dalla media aritmetica è la varianza.
La varianza di valori di una variabile con media aritmetica è:
n nx,...,x,x 21 X x
( )∑=
−=n
ii xx
n 1
22 1σ
Il numeratore è detto devianza: ( )∑=
−n
ii xx
1
2
Calcolo semplificato della varianza
( )∑=
−=n
ii xx
n 1
222 1σ
( )∑=
−=n
ii xx
n 1
22 1σ
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La deviazione standardLa deviazione standard
Osservazione: la varianza non possiede la stessa unità di misura dei valori della distribuzione (èespressa nel quadrato dell’unità di misura della variabile).Si può utilizzare quindi come indice di variabilità la deviazione standard o scarto quadratico medioche è espresso nella stessa unità di misura della variabile:
2σσ =
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EsempioEsempio
Numero di imprese (migliaia) nel 1991 in cinque regioni italiane: 268, 106, 76, 238, 88
2155,x =
( )
766557
215551 5
1
22
,
,xi
i
=
=−= ∑=
σ
9880766557 ,, ==σ
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Altri indici di variabilitàAltri indici di variabilità
Lo scostamento semplice medio dalla media aritmetica:
Lo scostamento semplice medio dalla mediana:
∑=
−=n
iix xx
nS
1
1
∑=
−=n
ieiM Mx
nS
e1
1
100/3=33
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Il coefficiente di variazioneIl coefficiente di variazione
Osservazione: la varianza e la deviazione standard sono indici che risentono dell’unità di misura e dell’ordine di grandezza dei dati. Pertanto il confronto della variabilità tra due distribuzioni risulta compromesso per:
Per confrontare la variabilità di due distribuzioni per la variabile con può essere utilizzato il coefficiente di variazione:
0>x
100x
CVσ
=
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Un esempio di confronto della variabilitàUn esempio di confronto della variabilità
9 industrie con dispositivo anti-inquinante di tipo A e 9 di tipo B.
254022283023436235B
667786545452448069AQuantità di pulviscoloTipo
6764,xA =2234,xB =
6513,A =σ0212,B =σ
%CVA 21=%CVB 35=
Si può concludere che è la distribuzione B ad essere più variabile della distribuzione A.
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La standardizzazioneLa standardizzazione
La standardizzazione è una particolare trasformazione lineare che applicata ai dati originali riconduce qualsiasi variabile con media e deviazione standard a una nuova variabile con media nulla e varianza unitaria.Ogni osservazione viene trasformata in un nuovo valore:
Xx σ
σxx
y ii
−=
ix
La distribuzione risultante ha media nulla e varianza unitaria.
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