1. GENERALITÀ Cause determinanti la vibrazione di una struttura sono: - SISMA - VENTO - URTO - CARICO APPLICATO O TOLTO NON STATICAMENTE - SCOSCENDIMENTO SUBITANEO DELLA FONDAZIONE - FUNZIONAMENTO DI UNA MACCHINA NON EQUILIBRATA - CARICO VIAGGIANTE - ECC.

Lo spettro di risposta elastico )T(Se [ ]2t/l (formula 3.2.4 NTC pag 31 GU) dipende

dal periodo fondamentale della vibrazione armonica che si indica con T.

Non sono necessari apici o pedici, esso è il periodo più grande dei modi principali di

vibrazione di una struttura a più gradi di libertà ( in numero finito).

Per la valutazione dell’azione sismica, si ritiene utile applicare tutte le formule

approssimate di T esistenti in letteratura e nelle norme tecniche superate, in aggiunta

a quella fornita dalle NTC vigenti ( formula 7.3.5. pag. 248 GU).

Usando tali formula approssimate, si potrà procedere ad esempio come segue:

- considerare la media aritmetica dei valori di T; - scartare il minimo e il massimo valore trovato e considerare la media

aritmetica dei restanti valori di T - considerare una media pesata secondo l’affidabilità che, soggettivamente, si

attribuisce alle varie formule, anche in vista delle particolari caratteristiche della struttura.

Quanto sopra, a giudizio dello scrivente, costituisce un calcolo più dettagliato di T

( NTC p.to 7.3.3.2 pag 248 GU).

In sismi con scosse di durata 4020 ÷ s, si sono riscontrati periodi s505,0 ÷

( scosse ondulatorie)-[4]. Una struttura si considera molto deformabile se ;

secondo le NTC la risposta normalizzata può essere utilizzata per periodi .

sT 2>

sT 4≤

Negli atri casi occorre procedere con analisi diversa da quella statica lineare. ( p.to

3.2.3.2 pag 31 GU).

1

Si riportano i classici teoremi di Lord Rayleigh ( 1842 – 1919) sulle vibrazioni

armoniche:

a. aumentando la massa ( inerzia), aumenta T; b. aumentando i vincoli, NON può aumentare T ( in genere diminuisce); c. aumentando l’energia somministrata, il periodo diminuisce ( o almeno non

aumenta); Infine a seguito di plasticizzazioni, il periodo T aumenta NTC p.to 3.2.3.5 pag 34

GU).

Le armoniche sono le prima a smorzarsi perché dissipano maggiore energia. Resta la

fondamentale che si smorza per ultima. [1].

Per un elemento strutturale sottoposto anche a sforzo normale, si ha:

T diminuisce per N di trazione T aumenta per N di compressione [1]

Una stessa costruzione ha periodi diversi con fondazioni su terreno (dirette) rispetto a

fondazioni su pali ( indirette). Per le fondazioni su pali il periodo è maggiore.

2. TELAIO A PORTALE SEMPLICE MONOPIANO ( VIBRATORE ELEMENTARE)

- Traverso infinitamente rigido ( rispetto ai montanti ) ≡ SHEAR – TIPE

- Assenza di smorzamento interno dei montanti ( caso teorico, ma significativo;

- Assenza di forzanti esterne.

- Sistema a GL1 ( l’impiego del modello a GL1 è giustificabile se i periodi delle

armoniche successive sono s1< ) [3].

02 =+••

xωx

i Eqarmonica done di vibrazi

oprio periodo pr per WF = si ha:

g

T stδπ= 2 1

Tπ

=ω2

pulsazione[rad/s]

πω

==2

1T

f frequenza [vibraz/s] -Hertz

1 È una delle formule più “strabilianti” che si incontra nella SdC.. lo spostamento (in campo elastico) della struttura è legato al periodo T di vibrazione armonica, in assenza di smorzamento e forza.

2

)bilea trascura ( di mass

tetana del monte elastictancosk

=2

Mk

=ω2

)to o impalcatrasverso(delmassag

WM ==

quando la massa M è spostata dalla posizione di riposo per

l’applicazione di una forza

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =⇒==

•••

0;0 xxx 0

WF = (peso del traverso) in modo quasi statico,

restando, per lo spostamento stδ , in campo elastico con montanti di costante 2k , si

ha il moto armonico libero o naturale di periodo T.

Tutto ciò cessa per le immancabili resistenze passive nei montanti.

Nel caso di sisma, si assume WcF = con =coefficiente sismico “grezzo” ( vedi

NTC 2008) ⇒Analisi Statica Lineare o METODO DELLE FORZE LATERALI

PER LA COMPONENTE ORIZZONTALE DEL SISMA.

c

2.1 Applicazione numerica – Determinazione del periodo T DATI:

- Telaio in c.a. normale 2 5103 cm/kgE ⋅=

- Pilastri 30x30 4 m.h 0350067 cm.I = = 10,c = - tW cFkg.m.m.m/kgW 30003005061000 2 ==⇒=⋅⋅=- Piede incastrato e Piede incernierato

")i " rigidia trasvers

Telaiodo MAR - (vedi metFhm4

=

EIhFhh

EIm

4432

432

⋅⋅

==ψ

EIFhhst

3

241

==ψδ

3

nel caso di cerniera al piede, si ha

EIFhhst

3

61

==ψδ

0,08 s

0,16 s

Essendo EI

MhcgEI

FhT24

224

233

π=π= MgcF =

Si ricava kMcT π= 2

Con

324hEIk = ( costante elastica dei montanti con incastro al piede) = 2

2

24hg

hEA

36hEIk = ( costante elastica dei montanti con cerniera al piede)= 2

2

6hg

hEA

In questo caso particolare T dipende da 23h . Inoltre T aumenta passando da zona 4 a

zona 1 perché aumenta . cLa presenza dello sforzo normale di compressione nei montanti produce anche un

aumento di T.

Il coefficiente c imposto dalla NTC, essendo ˆ Wg

)T(SF d= , vale:

g)T(Sc d= ( ) ( ( costruzione regolare in elevazione) cTT 2< )oTT <

4

L’espressione di è una delle 3.2.4 ( NTC p.to 3.2.3.2.1 pg 31 GU) nelle quali

si sostituisce η con

)T(Sd

q1

( q fattore di struttura ). La formula da scegliere dipende da T.

Eseguendo i calcoli si possono confrontare le due formule:

( incastro al piede )

EIWh)T(ST d

242

3π= e shT 17,0075,0 4

3==

A differenza dell’applicazione numerica riportata, l’espressione di dipende

da:

)T(Sd

- ga = accelerazione orizzontale max su sito rigido orizzontale; - S = coefficiente di sottosuolo e topografico - oF = fattore di amplificazione - (NTC 3.2.3.2.1 pag 31 GU) periodiT;T;T;T dcg =

3. FORMULE APPROSSIMATE DEL PERIODO T DI STRUTTURE EDILIZIE ( IN ORDINE CRONOLOGICO)

a. FORMULA DI LORD RAYLEIGH ( 1842 – 1919)

∑∑π

=i ii

i ii

dF

dF

gT

222 4

2 id

i Wg

)T(SF =

iF = forza statica orizzontale al piano i

iW = peso al piano i

( norme sismiche superate indicano iii sQGW +=

con

2 Ai fini della determinazione di T, si ritiene NON debba applicarsi il coefficiente di piano . La formula di Lord Rayleigh non contiene lo smorzamento.

iγ

5

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

=1

depositi,ecc,uffici,abitazioni

s 50330

in occasione del sisma NON sempre tutti gli impalcati sono a pieno carico)

id = spostamento del piano i ( totale )

( formula riportata anche su CNR 10012-85 – Azioni sulle costruzioni pg 81)

b. FORMULA USCGS ( United States Coast and Geodetic Survey -1949)

BHT 11,0= H, B (m) T (s)

Questa formula è riportata anche nel DM LLPP 24.1.1986 (P.TO C.6.1.1.) per edifici

con struttura intelaiata. Il coefficiente vale 0,1

SISMA

6

c. Nomogramma ASCE ( American society of Civil Engineers )

)B,H(fT = H, B (m) T(s)

il nomogramma fornisce anche il valore del coefficiente sismico c.

limitazioni:

mH 150≤ Esempio

mB 60≤ B = 20m, H = 30m; T=0,75s, c = 0,02

08850010 ,c, ≤≤ ( linea tratteggiata)

7

d. FORMULA DI M. TAKEUCHI ( 1960)

( )[ ] )s(Hm

T γ−+= 4141

H = altezza (m)

)ni (mutti i piaΣaree di t)i piani (mvar muri ai di tutti ilunghezza raledensità muγ 2==

m = numero variabile tra 50 e 80 e. FORMULA DI ARIAS – MUSID ( 1962)

)s(H,T ,,

140710 10240

γ⋅=

Struttura in c.a. H = altezza (m) raledensità muγ =

f. FORMULA DI G.W. HOUSNER ( 1962)

)(1,0 sNT = N = numero dei piani dell’edificio

- ossatura in acciaio - muratura in laterizio - solai in c.a.

g. CIRCOLARE LL.PP. 24.5.1982 n. 22631 ( Istruzioni Carichi e

sovraccarichi…..) p.to 3.4.4.3.

- Edifici in muratura HB

HB

H,T+

=2

2060

- Edifici con Controventi

formati da pareti in c.a. HB

HB

H,T+

= 080

- Edifici intelaiati in c.a. B

H,T 090=

- Edifici intelaiati in acciaio B

H,T 080=

(Stesse unità di misura e significato dei materiali )

8

h. FORMULA DI FONTE IMPRECISATA

BH,,T 25020 ÷=

i. NUOVO COLOMBO ( Manuale dell’Ingegnere) ( 1997) pag E257.

go l’altezza ( Prismi e cilindri a sezione costante torri, ciminiere, ecc.)

Strutture con massa distribuita uniformemente lun

⇒

gEI

pHT 297,1=

di in zia della se ione H = altezza (m) =

.2003 (pa 162 GU) e NTC 2008 ( pg 248 GU)

p = peso per unità di altezza (t/m) E = modulo del materiale ( t /m2) I = momento er z ( m4)

2/10 smg

j. ORDINANZA PCM del 20.3 g- costruzioni civili e industriali mH 40≤ ; - massa approx distribuita lungo l’altezza; - regolare in altezza ( NTC2008 pto 7.2.2. pg 239 GU) - ; ; Analisi lineare Statica;

cT,T 52≤ dTT <

43

1HCT = H(m); T(s)

l. Formula di Goel e altri ( 1997) [5] 9,053,0 HT = gag 15,0<

9

9,0047,0 HT = gag 15,0>

m. Eurocodice 8 – UNI ENV 1998 -1-2 (1997) ( pag 24) per strutture con pareti a taglio il valore del coefficiente ( vedi NTC 2008) può

essere calcolato con 1C

CAC 075,0

1 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∑

2

2,0Hwil

AA iC

CA = area delle pareti a taglio al 1° piano ( m2 )

iA = area della sezione della parete a taglio al 1° piano ( m2 )

wil = lunghezza della i-esima parete a taglio al 1° piano nella direzione della forza sismica ( m)

( limitazione: 9,0≤Hwl )

n. EUROCODICE 8 – UNI ENV 1998 -1-2 ( 1997) ( pag 24)

gdT π2=

d = spostamento laterale dell’impalcato più alto dovuto ai pesi proprio applicati orizzontalmente o. CROWLEY e altri (2006)

tamponatiedificio plasticH ",T

elasticocampoHT

⎭⎬⎫

==

0550038,0

p. RICCI ed altri

tamponatin c.a. edifici iN ,T

H,T ,

⎭⎬⎫

==

05500260 860

la determinazione di T dovrebbe essere spinta a 2 decimali ( = centesimo al secondo) come è fornito ( ALL B. NTC pag 440). ∗

cT

4. TELEAI A IMPALCATI ( TRASVERSI) “RIGIDI” (applicazione della f di LORD RAYLEIGH) NGL = = numero di piani

10

(N=2 in figura) - FFWtcosW ii =⇒==

- htcoshi == altezza di piano in figura: 2 pilastri uguali Dal MAR per telai si ha:3

pil

N

iii

i n

hFm

2

∑=

Se i pilastri sono diversi j

jiii R

RhFm

ΣΣ

=2

3 Metodo degli angoli di rotazione- Telai a traversi “rigidi”- Pilastri uguali o diversi

11

jj h

EIR ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= del pilastro di piano j ( l’elemento più “rigido” ha un momento maggiore).

Vale la iii Km ψ23

= (metodo MAR) i

i hEIK ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

4

Spostamento di piano id

hd 11 ψ= piln

Fhm⋅

=23

1

hd 12 ψ= + h2ψpiln

Fhm⋅

=22

2

hd 13 ψ= + + h2ψ h3ψpiln

Fhm⋅

=23

Calcolo iψ

ZEIIuFh

nFh

EIh

ZEInFh

nFh

EIh

ZEInFh

nFh

EIh

pp

pp

pp

===

===

===

122432

262

243

2

342

343

2

2

3

2

2

2

1

ψ

ψ

ψ

avendo posto: puronumero

EInFhZ

p

12

2

=

calcolo di : idZhhd 311 ==ψ

ZhZhZhhhd 523212 =+=+= ψψ ZhZhZhZhhhhd 6233213 =++=++= ψψψ

( )( ) ZhZh

ZhhZ

dd

i i

i i 51470

653653 222222

==++++

=∑∑

ZhgdF

dFg

Ti

i 544 2222 ππ

=ΣΣ

= ( formula di Lord Rayleigh ) ⇒ T

5. APPLICAZIONE NUMERICA – Telaio a 3 impalcati in c.a ( struttura in campo elastico da verificare):

12

DATI:

20001 m/kg.q = 2300506 m.x.A ==

kg.qAW 00030==kg..,WcF 00030003010 =⋅==

pilastri(40x40) = 2=piln ;

25103

cmkgE ⋅=

444

103,211240 cmI ⋅==

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅== −5

45

432

106,172103,2110312

10910312 pilEIn

FhZ

2

3

5222 01,0

10300106,175454 szh

gT =

⋅⋅⋅⋅==

−ππ ⇒ sT 10,0=

Confronto con altre formule:

FORMULA USCGS sT 40,06

911,0 ==

Nomogramma ASCE (fuori scala ) sT 4,0≈ HOUSNER sT 3,031,0 =⋅= CIRCOLARE LL.PP./1982 sT 33,0

6909,0 ==

Fonte imprecisata sT 34,0

69225,0 ==

NTC sT 39,09075,0 4

3=⋅=

GOEL sT 36,09050,0 9,0 =⋅= CROWELL sHT 34,0038,0 == RICCI sHT 17,0026,0 86,0 =⋅=

13

6. OSSERVAZIONE FINALE La formula di Lord Rayleigh e quella del “vibratore elementare” considerano il

periodo della vibrazione libera o naturale della struttura, cioè senza l’immancabile

smorzamento in seno al materiale, che fortunatamente c’è sempre.

Le formule approssimate proposte, esclusa quella del “NUOVO COLOMBO” per le

torri, ciminiere, ecc. sono di natura pratica e quindi, presumibilmente, tengono conto

nel loro empirismo anche dello smorzamento strutturale, non disgiunto dalle altre

circostanze che influiscono sul periodo T.

14

BIBLIOGRAFIA [1] O. BELLUZZI – Scienza delle Costruzioni – Ed. Zanichelli (BO) Cap.XXXIV – Le vibrazioni. [2] E.PERRI – Ingegneria Antisismica – Ed. UTET (TO) 2a ed. Cap. XVII – La libera vibrazione di una struttura. [3] A.CASTIGLIONI – Iintroduzione alla Dinamica delle Strutture – Ed. Tamburini (MI) [4] E.GIANGRECO – Ingegneria delle Strutture – Ed. UTET (TO) vol. II – Cap VIII – La dinamica Strutturale di G.FAELLA e. R. RAMASCO [5] P. RICCI, G.M. VERDERAME, G. MANFREDI - Il periodo elastico degli edifici in c.a. tamponati – Università di Napoli ( 2009)

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NTC – MINISTERO DELLE INFRASTRUTTURE – DECRETO 14.1.2008 Approvazione delle nuove norme tecniche per le Costruzioni. CIRCOLARE 2.2.2009 n. 617 CSLLPP – Istruzioni… NTC 2008 Pubblicazione : ⇒NTC 2008 ⇒ S.O. ALLA G.U. N.29 DEL 4.2.2008 (N..30) CIRCOLARE S.O. alla G.U. n: 47 del 26.2.2009 ( N.27) ⇒

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