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502 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Esempio di Processo Aleatorio – La passeggiata casuale Per ogni kT si genera una v.a. Y Bernoulliana con ( ) ( )AAP P 0.5= = Se { } ( ){ }Y X kT X k 1TA 1= ⇒ = − + k 1,2,...= { }X 0 0= { } ( ){ }Y X kT X k 1TA 1= ⇒ = − − k 1,2,...= { }X 0 0=
A A AAAAAAA A AAA AAAAA
1
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503 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Esempio di Processo Aleatorio – La passeggiata casuale Simulazione
0 100 200 300 400 500 600-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
tempo
X(t
)
Passeggiata casuale
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504 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Esempio di Processo Aleatorio – La passeggiata casuale Simulazione
0 100 200 300 400 500 600-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
tempo
X(t
)
Passeggiata casuale
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505 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Esempio di Processo Aleatorio – La passeggiata casuale Simulazione
0 100 200 300 400 500 600-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
tempo
X(t
)
Passeggiata casuale
Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13
506 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Esempio di Processo Aleatorio – La passeggiata casuale Simulazione
0 100 200 300 400 500 600-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
tempo
X(t
)
Passeggiata casuale
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507 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Esempio di Processo Aleatorio – La passeggiata casuale Simulazione
0 100 200 300 400 500 600-40
-30
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-10
0
10
20
30
40
tempo
X(t
)
Passeggiata casuale
Teoria dei Fenomeni Aleatori AA 2012/13
508 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Esempio di Processo Aleatorio – La passeggiata casuale Simulazione
0 100 200 300 400 500 600-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
tempo
X(t
)
Passeggiata casuale
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509 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Spettro della “passeggiata casuale”
Pendenza di 20 dB per decade
10-2
10-1
100
-30
-20
-10
0
10
20
30
Normalized Frequency (×π rad/sample)
Pow
er/fr
eque
ncy
(dB
/rad
/sam
ple)
Power Spectral Density Estimate via Burg
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510 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Rumore Bianco: forma d’onda (nel tempo)
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511 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Rumore Bianco: Spettro (in frequenza)
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512 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Rumore Rosa o In acustica si definisce rumore rosa o rumore 1/f un particolare
tipo di rumore in cui le componenti a bassa frequenza hanno potenza maggiore, a differenza del rumore bianco in cui la potenza è uguale per qualsiasi frequenza.
o Questo tipo di rumore è strutturato in modo tale da compensare la
sensibilità dell'orecchio umano alle varie frequenze, e viene utilizzato per l'equalizzazione del suono in ambito professionale.
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513 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Rumore Rosa: Forma d’onda (nel tempo)
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514 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Rumore Rosa: Spettro (in frequenza)
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515 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Esempio di Processo Aleatorio – Il rumore nel clock GGeenneerraazziioonnee ddii uunn rriiffeerriimmeennttoo tteemmppoorraallee ssttaabbiillee
⇓ OOsscciillllaattoorrii ee CClloocckk
⇓ Fluttuazioni dell’oscillatore:
o Fluttuazioni sistematiche: principali cause di divergenza dal “vero” tempo e dalla “vera” frequenza nel lungo periodo (giorni od anni)
o Fluttuazioni random: osservate sul breve periodo (frazioni di secondo o minuti)
⇓ o La tensione d’uscita di un oscillatore di precisione reale
non è una sinusoide perfetta a frequenza nominale ν0 a causa del rumore.
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516 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
GGeenneerraazziioonnee ddii uunn rriiffeerriimmeennttoo tteemmppoorraallee ssttaabbiillee
o L’instabilità in frequenza è “il cambiamento di frequenza spontaneo e/o causato dall’ambiente, all’interno di un determinato intervallo di tempo”.
o Le fluttuazioni in frequenza corrispondono a fluttuazioni nel tempo. Per caratterizzare le fluttuazioni si definisce la deviazione di frequenza frazionaria rispetto al valore nominale ν0:
( ) ( ) 0
0
ty t
ν νν−
= (numero puro)
integrando si ottiene la deviazione del tempo ( )x t , in secondi:
( ) ( ) [ ]t
0x t y t' dt', s= ∫
( ) ( )( ) ( )[ ]0 0 0V t V sin 2 t x t V sin tπ ν= ⋅ + = Φ⎡ ⎤⎣ ⎦
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517 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Deviazione del tempo
E’ dovuta alla somma di un contributo sistematico e di uno random: ( ) ( ) ( )sist .x t x t tε= +
o Fluttuazioni sistematiche:
( ) ( ) ( ) 2sist
1x t x 0 y 0 t Dt termini di ordine superiore (trascurati )2
= + + +
con: ( )x 0 offset nel tempo
( )y 0 offset in frequenza
D drift in frequenza (dovuto a fattori come l’invecchiamento, i cambiamenti nell’ambiente e altri fattori esterni all’oscillatore)
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518 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Fluttuazioni frazionarie dell’oscillatore nel tempo
o Fluttuazioni random: Sono dovute essenzialmente a:
Rumore di Johnson (fluttuazioni di carica indotte
dall’agitazione termica);
Difetti del cristallo, il rumore dovuto ai circuiti dell’oscillatore
(elementi passivi e attivi);
Vibrazioni casuali.
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519 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Stabilità di un oscillatore: accuratezza e precisione
Preciso manon accurato
Non accuratoe non preciso
Accurato manon preciso
Accurato epreciso
Tempo TempoTempoTempo
Stabile manon accurato
Non stabile enon accurato
Accurato(in media)
ma non stabileStabile eaccurato
0
f fff
Preciso manon accurato
Non accuratoe non preciso
Accurato manon preciso
Accurato epreciso
Tempo TempoTempoTempo
Stabile manon accurato
Non stabile enon accurato
Accurato(in media)
ma non stabileStabile eaccurato
0
f fff
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520 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Processi Aleatori
Definizione:
Un processo aleatorio è una corrispondenza ( )X t,ζ tra le funzioni (reali) di
una variabile indipendente t (normalmente t è il tempo) e gli elementi ζ
dello spazio campione S , cioè i risultati di un definito esperimento.
Notazione:
Un processo aleatorio è anche indicato con ( )X t .
Realizzazione di un Processo:
( )X t,ζ pensata come funzione di t è una realizzazione del processo.
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521 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Processi Aleatori Complessi
Definizione:
Un processo aleatorio complesso ( )Z t è definito come:
( ) ( ) ( )Z t X t jY t= +
in cui ( )X t e ( )Y t sono due processi reali.
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522 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Esempio di Processo Aleatorio Reale
( ) ( )X t Acos 2 ft Y= π +
dove: f ed A sono due numeri reali positivi (costanti);
Y è una variabile aleatoria compresa tra 0,2π.
Il processo ( )X t descrive la famiglia di funzioni cosinusoidali con ampiezza
A e frequenza f fissate e fase iniziale variabile Y . Per A 1= :
( )cos 2 ft Yπ +
0
1
-1
Y=0Y=Y1
Y=Y2
t
cos 2 ft Yπ +
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523 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Uguaglianza tra Processi
• Due processi ( )X t e ( )Y t sono eguali in senso quadratico se:
( ) ( ) 2E X t Y t 0 t⎡ ⎤− = ∀⎣ ⎦
• Due processi ( )X t e ( )Y t sono eguali in senso stretto (ovunque) se:
( ) ( )X t, Y t , t , ζ = ζ ∀ ∀ζ
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524 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Classificazione dei Processi
Si definiscono quattro tipi di processi in base a:
• l’insieme dei valori assunti dal processo;
• il dominio della variabile indipendente t .
1. Processi Aleatori tempo-continui a valori continui;
2. Processi Aleatori tempo-continui a valori discreti;
3. Processi Aleatori tempo-discreti a valori continui;
4. Processi Aleatori tempo-discreti a valori discreti.
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525 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Processo aleatorio tempo-continuo a valori continui, caso (1)
0 t
1
2
3
4
x t, ( )i
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526 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Processo aleatorio tempo-continuo a valori discreti, caso (2)
t
t
t
0
0
0
x t ( )
x t ( )
x t ( )
n+2
n+1
n
ζ1
ζ2
ζ3
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527 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Processo aleatorio tempo-discreto a valori continui, caso (3)
k
k
k
0 1 2
1 2
n 2x k+
n 1x k+
nx k
ζ1
ζ2
ζ3
,t k t t passo di campionamento= Δ Δ = .
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528 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Processo aleatorio tempo-discreto a valori discreti, caso (4)
k
k
k
0 1 2
1 2
n 2x k+
n 1x k+
nx k
ζ1
ζ2
ζ3
,t k t t passo di campionamento= Δ Δ = .
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529 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Riduzione di un Processo Aleatorio
Un Processo aleatorio si riduce ad uno dei casi seguenti:
o Se si fissa 0ζ = ζ , si ha un campione (o realizzazione o funzione
membro) di ( )X t , indicato con ( )0x t ,ζ o ( )0x t o semplicemente ( )x t ,
cioè una funzione (reale se il processo è a valori reali) del tempo.
o Se si fissa 0t t= , si ha la variabile aleatoria ( )0X t ,ζ o ( )X ζ o
semplicemente X .
o Se si fissano 0t t= e 0ζ = ζ , si ha il numero ( )0 0x t ,ζ .
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530 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Processi Regolari e Processi Predicibili • Un processo regolare ha realizzazioni non predicibili, cioè noti i valori
passati del processo non è possibile predirne i valori futuri.
• Un processo regolare non è esprimibile in forma analitica, ma le sue
realizzazioni possono essere rappresentate in forma grafica.
0 t
, 1x t ς
, 2x t ς
, 3x t ς
Esempio di un processo regolare (moto Browniano).
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531 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Processi Regolari e Processi Predicibili (segue)
• In un processo predicibile ( )X t (detto anche quasi deterministico) i
valori di una realizzazione ( )iX t ,ζ per *t t> , sono noti se si conoscono
i valori di quella realizzazione per *t t< .
• La conoscenza di una realizzazione ( )iX t ,ζ non permette in generale
di ricavare le statistiche ( )0X t ,ζ del processo con 0t assegnato.
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532 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Processi Regolari e Processi Predicibili (segue) Un esempio di processo predicibile è:
( ) ( )X t Asin 2 ft= π +Φ
in cui A e Φ sono due variabili aleatorie.
Le sue realizzazioni sono completamente note per *t t> se si conosce il
loro andamento per *t t< .
0 t
x t( , )
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533 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Gerarchie di un Processo Aleatorio
Da ogni processo si può “estrarre” un insieme di variabili aleatorie in alcuni
istanti di tempo:
( )1 2 3 nt ,t ,t ,...,t ,...
( )1 1X X t ,= ζ , ( )2 2X X t ,= ζ , ( )3 3X X t ,= ζ , … , ( )n nX t ,ζ , …
Gerarchia del 1° ordine:
Assegnato t , ogni v.a. ( )X X t,= ζ o semplicemente ( )X t è caratterizzata
dalla propria distribuzione di probabilità:
( ) ( ){ },XF x t P X t x= ≤
che è detta distribuzione (o gerarchia) del 1° ordine del processo.
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534 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Gerarchie di un Processo Aleatorio (segue)
La derivata:
( ) ( )X
F x,tf x,t
x∂
=∂
è la funzione di densità del primo ordine del processo.
Gerarchia del 2° ordine:
La funzione di distribuzione congiunta
( )1 2X X 1 2 1 2F x ,x ;t ,t
ottenuta campionando il processo in due istanti di tempo 1 2t ,t è detta
distribuzione (o gerarchia) del 2° ordine.
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535 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Gerarchie di un Processo Aleatorio (segue) La densità del 2° ordine è:
( ) ( )1 2
1 2
2X X 1 2 1 2
X X 1 2 1 21 2
F x ,x ;t ,tf x ,x ;t ,t
x x∂
=∂ ∂
Gerarchia di ordine n:
Si possono definire analogamente la distribuzione e la densità di ordine n
considerando le v.a. estratte in n istanti temporali:
( )1 2 nX X X 1 2 n 1 2 nF x ,x ,...,x ;t ,t ,...,t⋅⋅⋅
( )1 2 nX X X 1 2 n 1 2 nf x ,x ,...,x ;t ,t ,...,t⋅⋅⋅
Dalla gerarchia di ordine n si possono ricavare le distribuzioni di ordine
inferiore per integrazione.
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536 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Descrizione Statistica di un Processo Aleatorio
• La conoscenza della distribuzione di ordine n comunque elevato
equivale alla conoscenza completa del modello probabilistico del
processo.
• In molti casi ci si limita a valori attesi relativi alla distribuzione del 1° e
del 2° ordine.
• Dalle distribuzioni del primo e del secondo ordine è possibile ricavare
alcuni momenti di particolare interesse: la media, l’autocorrelazione e
l’autocovarianza del processo.
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537 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Descrizione Statistica di un Processo Reale • Media
( ) ( ) ( )Xt E X t x f x;t dx+∞
−∞⎡ ⎤η = = ⋅⎣ ⎦ ∫
In generale la media risulta funzione di t .
• Autocorrelazione
( ) ( ) ( ) ( ), , ; ,1 2X 1 2 1 2 1 2 X X 1 2 1 2 1 2R t t E X t X t x x f x x t t dx dx
+∞ +∞
−∞ −∞⎡ ⎤= ⋅ = ⋅⎣ ⎦ ∫ ∫
• Potenza Media
( ) ( ),2XE X t R t t⎡ ⎤ =⎣ ⎦
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538 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Descrizione Statistica di un Processo Reale (segue)
• Autocovarianza (o brevemente Covarianza)
( ) ( ) ( ) ( )X 1 2 X 1 2 1 2C t ,t R t ,t t t= −η η
• Coefficiente di Correlazione
( )( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 1 2 2
1 2 2 21 1 2 2
E X t t X t tr t ,t
E X t t E X t t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤−η −η⎣ ⎦ ⎣ ⎦=⎡ ⎤ ⎡ ⎤−η ⋅ −η⎣ ⎦ ⎣ ⎦
che si può scrivere come
( ) ( ) ( )X 1 2 X 1 2 1 21 2
1 2 1 2
C t ,t R t ,tr t ,t
−η η= =
σ σ σ σ
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539 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Descrizione Statistica di due Processi Reali
• Mutua Correlazione tra due processi reali
( ) ( ) ( )XY 1 2 1 2R t ,t E X t Y t⎡ ⎤= ⋅⎣ ⎦
• Mutua Covarianza tra due processi reali
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }XY 1 2 1 X 1 2 Y 2C t ,t E X t t Y t t⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −η ⋅ −η =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )1 2 X 1 Y 2E X t Y t t t⎡ ⎤= −η η⎣ ⎦
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540 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Processi Ortogonali e Processi Incorrelati
Definizione:
Due processi ( )X t e ( )Y t sono detti (mutuamente) ortogonali se:
( )XY 1 2 1 2R t ,t 0 t ,t= ∀
Definizione:
Due processi ( )X t e ( )Y t sono detti incorrelati se:
( )XY 1 2 1 2C t ,t 0 t ,t= ∀
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541 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Indipendenza Statistica di Processi
Due processi ( )X t e ( )Y t si dicono statisticamente indipendenti se le
variabili aleatorie
( ) ( ) ( )1 2 NX t , X t ,..., X t
sono indipendenti dalle variabili aleatorie
( ) ( ) ( )1 2 MY t ,Y t ,...,Y t′ ′ ′
per qualunque insieme dei tempi
1 2 N 1 2 Mt ,t ,...,t ; t ,t ,...,t′ ′ ′
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542 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Il Concetto di Stazionarietà
Stazionarietà in Senso Stretto
Un processo aleatorio ( )X t è detto “stazionario in senso stretto” se la sua
densità di probabilità di qualsiasi ordine è invariante rispetto ad una
traslazione dell’origine:
( ) ( )X 1 2 N 1 2 N X 1 2 N 1 2 Nf x ,x ,..,x ;t ,t ,..,t f x ,x ,...x ;t c,t c,..,t c= + + +
per ogni N e per ogni c .
Stazionarietà di ordine M Un processo è stazionario di ordine M se l’invarianza rispetto ad una
traslazione dell’origine si verifica solamente fino all’ordine M .
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543 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Il Concetto di Stazionarietà (segue)
Se un processo ( )X t è stazionario di “ordine uno”, il suo valore atteso non
dipende dal tempo:
( )E X t t⎡ ⎤ = η ∀⎣ ⎦
Infatti se
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
X 1 X 1
1 X 1
1 X 1
X 1 1
f x;t f x;t c c
E X t x f x;t dx
E X t c x f x;t c dx
x f x;t dx E X t
+∞
−∞+∞
−∞+∞
−∞
= + ∀
⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦
⎡ ⎤+ = ⋅ + =⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⋅ = ⎣ ⎦
∫∫
∫
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544 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Il Concetto di Stazionarietà (segue)
Per un processo ( )X t stazionario di “ordine due” si ha:
( ) ( )X 1 2 1 2 X 1 2 1 2f x ,x ;t ,t f x ,x ;t c;t c c= + + ∀
Di conseguenza oltre all’invarianza del valore atteso si ha
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
X 1 2 1 2
1 2 X 1 2 1 2 1 2
1 2 X 1 2 1 2 1 2
X 1 2
R t c,t c E X t c X t c
x x f x ,x ;t c,t c dx dx
x x f x ,x ;t ,t dx dx
R t ,t
+∞ +∞
−∞ −∞+∞ +∞
−∞ −∞
⎡ ⎤+ + = + ⋅ + =⎣ ⎦
= ⋅ + + =
= ⋅ =
=
∫ ∫∫ ∫
cioè la autocorrelazione non dipende dal valore di 1t e 2t ma solamente
dalla loro differenza.
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545 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Il Concetto di Stazionarietà (segue)
Stazionarietà in Senso Lato
Un processo aleatorio ( )X t è stazionario in “senso lato” se:
( )E X t t⎡ ⎤ = η ∀⎣ ⎦
( ) ( )X XR t ,t R t+ τ = τ ∀
cioè se il valore atteso del processo è costante e l’autocorrelazione dipende
solo dalla differenza dei tempi 2 1t tτ = − .
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546 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Rumore Bianco
Si dice Rumore Bianco un processo ( )X t tale che:
• ( )E X t 0⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ;
• presi due istanti 1t e 1t + τ, le variabili aleatorie ( )1X t e ( )1X t + τ sono
incorrelate per 0τ ≠ , cioè:
( ) ( ) ( )X 1 1 1R t ,t q t+ τ = δ τ
dove ( )1q t è una funzione non negativa e ( )tδ è l’impulso di Dirac.
In termini intuitivi, la funzione impulsiva di Dirac vale 0 per 0τ ≠ e vale ∞
per 0τ = ed ha area unitaria.
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547 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Rumore Bianco (segue)
Se ( )X t è stazionario, la proprietà delle funzioni di autocorrelazione del
rumore bianco si riduce a:
( ) ( )XR Kτ = ⋅δ τ
dove K è una costante.
In pratica un tale processo (avente potenza infinita) non esiste nella realtà
fisica, tuttavia questo modello costituisce una utile schematizzazione di
numerosi processi aleatori.
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548 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Rumore Bianco (segue)
( ) ( )0N
NR2
τ δ τ= ( ) 0N
NS 2
ω ω= ∀
0 0
S ( )R ( )NNNN
N /2 N /20
0
(a) (b)
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549 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Rumore Bianco (segue)
Possibili Autocorrelazioni di processi che approssimano il rumore bianco.
XR τ
XR τ
1 0
0
1
11
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550 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Rumore Bianco a banda limitata
( )N
P WWS0 W
π ωω
ω
⎧ ≤⎪= ⎨⎪ >⎩
( ) ( )N
sin WR P
Wτ
ττ
=
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551 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Realizzazione di un rumore bianco
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
tempo (sec)
Am
piez
zaRumore Bianco
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552 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Spettro del rumore bianco
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-60
-40
-20
0
20
40
Frequenza (kHz)
Spr
etto
di D
ensi
tà d
i Pot
enza
Rumore Bianco
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553 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Il Concetto di Stazionarietà Congiunta
Definizione:
Data una coppia di processi:
( )X t e ( )Y t
essi si dicono congiuntamente stazionari (in senso stretto o di ordine n) se
le loro densità di probabilità congiunte sono invarianti rispetto alla
traslazione (rispettivamente per qualunque ordine e fino all’ordine n).
Un processo complesso:
( ) ( ) ( )Z t X t jY t= +
è stazionario se lo sono congiuntamente i processi ( )X t e ( )Y t .
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554 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Il Concetto di Ciclostazionarietà
A volte l’invarianza rispetto alla traslazione si può avere, non per qualunque
spostamento, ma quando ci si sposta di multipli di un intervallo T , cioè:
( ) ( )X 1 2 N 1 2 N X 1 2 N 1 2 Nf x ,x ,..,x ;t ,t ,..,t f x ,x ,...x ;t T ,t T ,..,t T= + + +
In questo caso si parla di Processo Ciclostazionario.
Se da un processo ciclostazionario di periodo T si deriva per
campionamento con passo T un processo tempo-discreto, questo risulta
stazionario.
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555 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione
Simmetria Hermitiana:
Considerando per generalità il caso di un processo complesso stazionario,
la sua funzione di autocorrelazione gode della proprietà di simmetria
coniugata (detta anche hermitiana), cioè:
( ) ( ) ( )*XR E X t X t⎡ ⎤τ = + τ⎣ ⎦ ( ) ( )*
X XR R−τ = τ
Infatti
( ) ( ) ( )*XR E X t X t⎡ ⎤−τ = − τ⎣ ⎦
con il cambio di variabile z t= − τ diviene
( ) ( ) ( ) ( )* *X XR E X z X z R⎡ ⎤−τ = + τ = τ⎣ ⎦
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556 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue)
Analogamente per la correlazione mutua vale la proprietà di simmetria
hermitiana:
( ) ( ) ( )*XYR E X t Y t⎡ ⎤τ = + τ⎣ ⎦ ( ) ( )*
XY YXR R−τ = τ
Infatti con il cambio di variabile z t= − τ, si ha
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
*XY
*
*YX
R E X t Y t
E Y z X z
R
⎡ ⎤−τ = − τ =⎣ ⎦⎡ ⎤= + τ =⎣ ⎦
= τ
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557 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue)
Proprietà dell’Autocorrelazione nell’Origine:
La funzione di autocorrelazione nell’origine è:
( ) ( ) ( ) ( ) 2*XR 0 E X t X t E X t 0⎡ ⎤⎡ ⎤= = >⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( )X XR R 0τ ≤
per dimostrare quest’ultima relazione si fa uso della disuguaglianza (valida
per la coppia di v.a. complesse Z ,W ):
[ ] 2 2 2E ZW E Z E W⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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558 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue)
Proprietà dell’Autocorrelazione nell’Origine:
Ponendo ( )*Z X t= e ( )W X t= + τ
si ottiene
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2*E X t X t E X t E X t⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤+ τ ≤ ⋅ + τ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ovvero
( ) ( ) ( )2X X XR R 0 R 0τ ≤ ⋅
e quindi
( ) ( )X XR R 0τ ≤
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559 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue)
Periodicità della Funzione di Autocorrelazione:
Per un processo reale ( )X t , se ( ) ( )X 1 XR R 0τ = allora la funzione di
autocorrelazione è periodica di periodo 1τ .
Verifica:
Applicando ancora la diseguaglianza
[ ] 2 2 2E ZW E Z E W⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦
in cui
( ) ( )1Z X t X t= + τ+ τ − + τ
( )W X t=
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560 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue)
Periodicità della Funzione di Autocorrelazione:
si ottiene:
( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ){ }
21
2 21
E X t X t X t
E X t X t E X t
⎡ ⎤+ τ+ τ − + τ ≤⎣ ⎦
⎡ ⎤≤ + τ+ τ − + τ ⋅⎣ ⎦
ovvero
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2X 1 X X X 1 XR R 2R 0 2R R 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤τ + τ − τ ≤ − τ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Se ( ) ( )X 1 XR R 0τ = il secondo membro della diseguaglianza è nullo e
quindi deve risultare ( ) ( )X 1 XR Rτ + τ = τ .
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561 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue)
Periodicità della Funzione di Autocorrelazione:
Si può ripetere la dimostrazione con 1mτ invece di τ (m intero):
( ) ( )X 1 XR m Rτ + τ = τ
la funzione di autocorrelazione è periodica con periodo 1τ .
• Se risulta ( ) ( ) ( )1 2R R R 0τ = τ = e 1τ , 2τ sono incommensurabili (cioè il
loro rapporto è un numero irrazionale) allora la funzione di
autocorrelazione è costante.
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562 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Proprietà delle Funzioni di Auto-Mutua Correlazione (segue)
Se il processo ( )Z t è complesso e si verifica
( ) ( )Z 1 ZR R 0τ =
allora la funzione di autocorrelazione di ( )Z t ha la forma:
( ) ( ) ( )Z Z 0R R 0 exp jτ = ⋅ ω τ
cioè è un esponenziale complesso di ampiezza ( )ZR 0 .
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563 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Esempio: Somma di esponenziali complessi Se il processo X(t) è la somma di n esponenziali complessi, pesati
medianti n coefficienti aleatori Ai, tra loro scorrelati, con media
nulla e varianza 2iσ :
( ) i
nj t
ii 1
X t A e ω
=
= ⋅∑
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564 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
La funzione di autocorrelazione è:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
ki
i k k
i i i
n nj tj t* *
i ki 1 k 1
n nj t j
i ki 1 k 1n n n
2 j j j2 f2 2i i i
i 1 i 1 i 1
R E X t X t E A e A e
E A A e e
E A e e e
ω τω
ω ω ω τ
ωτ ωτ π τ
τ τ
σ σ
+−
= =
− −∗
= =
= = =
⎡ ⎤⎡ ⎤= + = =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= =⎣ ⎦
⎡ ⎤= = =⎣ ⎦
∑ ∑
∑∑
∑ ∑ ∑
Lo spettro è quindi: ( ) ( )2i i
i
S f f fσ δ= ⋅ −∑ , cioè costituito da n
righe nei punti fi.
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565 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Ergodicità Il concetto di Ergodicità è connesso alla situazione, che spesso si presenta,
nella quale si desiderano stimare delle statistiche di un processo, avendo a
disposizione una sola realizzazione ( )X t,ζ del processo stesso.
Un esempio è fornito dalla stima del valore atteso ( )E X t⎡ ⎤⎣ ⎦ per la quale ci
si chiede se si può utilizzare la media temporale:
( ) ( ) ( )T2
T2
TT T
1X lim X t, dt lim XT
+
→∞ →∞−ζ = ζ ζ∫
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566 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Ergodicità (segue)
L’uso della media temporale estesa ad un intervallo al limite infinito
presenta diversi problemi:
a) Sotto quali condizioni esiste il limite di X per t →∞ ?
b) Se questo limite esiste, esso dipende in generale dalla particolare
realizzazione: ( )X X= ζ . Sotto quali condizioni esso è invece
costante ?
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567 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Ergodicità (segue) Teorema di Birkhoff
Se il processo ( )X t è stazionario e ( ){ }E X t < ∞ , allora X esiste per
“quasi tutte” le sue realizzazioni.
(Questo significa che X può non esistere per realizzazioni con probabilità
nulla).
Definizione di Ergodicità:
Un processo stazionario ( )X t è ergodico se le sue medie di insieme (medie
statistiche) sono uguali ad opportune medie temporali.
• Ogni statistica di un processo ergodico può essere calcolata da una
singola realizzazione.
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568 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Ergodicità (segue) Calcolo della media statistica
( )E X t⎡ ⎤⎣ ⎦
Dato un processo ( )X t con valor medio ( )E X t⎡ ⎤ = η⎣ ⎦ costante, si forma la
media temporale TX calcolata su un intervallo di ampiezza T :
( )T2
T2
T1X X t dtT
+
−= ∫
[ ] ( )T2
T2
T1E X E X t dtT
+
−⎡ ⎤= = η⎣ ⎦∫
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569 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Ergodicità (segue)
Ergodicità rispetto alla media:
Il processo ( )X t è ergodico rispetto alla media se, con “probabilità 1” si ha:
( )T2
T2
TT T
1lim X lim X t dtT
+
→∞ →∞ −= ∫
cioè se la media temporale coincide con il valore atteso del processo.
Ciò e vero se e solo se la varianza della media temporale
[ ]2T TVar Xσ =
tende a zero per T che tende a infinito: 2TT
lim 0→∞
σ =
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570 Docenti: Gaspare Galati – Gabriele Pavan
Ergodicità (segue) Ergodicità rispetto alla correlazione:
Un processo stazionario in senso lato ( )X t è ergodico rispetto alla
correlazione se la sua autocorrelazione:
( ) ( ) ( )XR E X t X t⎡ ⎤τ = + τ⎣ ⎦
può essere ricavata da una singola realizzazione.
Se si considera il processo ( ) ( ) ( )Z t X t X tτ = ⋅ + τ il processo ( )X t risulta
ergodico rispetto alla correlazione se ( )Z tτ è ergodico rispetto alla media.
Infatti in questo caso si ha:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )+T / 2
XT T / 2
1lim X t X t dt E X t X t RT→∞ −
⎡ ⎤⋅ + τ = + τ = τ⎣ ⎦∫