Alessandro M. Ostrowski (1893–1986)La sua vita, le sue opere e i suoi allievi∗

Walter Gautschi†

Quale uno degli ultimi allievi del professor Ostrowski, mi fa immenso piacerericordare la vita e le opere di uno dei grandi matematici del ventesimo secolo.In considerazione del suo vasto e diversificato legato matematico, va da se chenon e possibile farlo se non in modo molto sommario. Ulteriori indicazionibiografiche su Ostrowski si possono trovare in alcune delle note bibliografichealla fine dell’articolo. Propongo anche un elenco completo degli allievi Ph.D.e la traccia delle carriere di alcuni di loro.

1 La sua vita

La madre di Alessandro.

Alessandro Marcovic Ostrowski nacque a Kievil 25 settembre, 1893, figlio di Marco Os-trowski, un mercante di Kiev, e di VeraRashevskaya. Frequento la scuola primariaa Kiev e per un anno una scuola privata,prima di entrare all’Istituto Commerciale diKiev. Cola i suoi maestri si accorsero subitodel talento straordinario di Alessandro nelcampo della matematica e lo raccomandaronoa Dmitry Alessandrovic Grave, professore dimatematica all’Universita di Kiev. Gravestesso fu allievo di Chebyshev a S. Pietro-burgo prima di assumere una posizione all’

Universita di Kharkov e, nel 1902, la cattedra di matematica all’Universita

∗Versione estesa di una relazione presentata ad un convegno della Fondazione Ostrowskia Bellinzona, Svizzera, il 24–25 maggio, 2002

†Department of Computer Sciences, Purdue University, West Lafayette, Indiana 47907-2006 (wxg@cs.purdue.edu).

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di Kiev. E considerato il fondatore della Scuola russa di algebra, avendolavorato sulla teoria di Galois, sugli ideali e sull’equazione algebrica di gradocinque. Il seminario di algebra che egli teneva all’Universita di Kiev erafamoso a suo tempo.

D. A. Grave.

In seguito a qualche colloquio personale conAlessandro, Grave si convinse delle sue abilita eccezio-nali e lo accetto — un ragazzo di 15 anni — come mem-bro regolare del suo seminario. Alessandro frequento ilseminario per tre anni, mentre allo stesso tempo com-pletava i suoi studi all’Istituto Commerciale. Durantequesto periodo scrisse, con l’aiuto di Grave, il suo primolavoro matematico (in Ucraino), una lunga memoriasui campi di Galois, lavoro che qualche anno dopo (nel1913) apparse in stampa.

Quando giunse il tempo di iscriversi all’universita,ad Alessandro fu rifiutata l’ammissione all’Universita

di Kiev per motivi puramente burocratici: egli si era diplomato all’IstitutoCommerciale invece che al liceo! Il rifiuto spinse Grave a scrivere a E. Landaue K. Hensel chiedendo il loro aiuto. Tutti e due risposero in modo favore-vole, invitando Ostrowski a venire in Germania. Ostrowski scelse l’offertadi Hensel di studiare con lui all’Universita di Marburgo. Dopo due annia Marburgo, accadde un altro evento di rottura — lo scoppio della primaguerra mondiale — che rese Ostrowski un prigioniero civile. Solo grazie ad unintervento di Hensel furono alleviate le restrizioni imposte ai suoi movimenti egli fu concesso di utilizzare la biblioteca dell’Universita. In verita, questo eratutto cio di cui egli aveva bisogno. Fu durante questo periodo di isolamentoche Ostrowski, quasi senza aiuto, sviluppo la sua teoria, ora famosa, dellavalutazione sui campi.

Alessandro, ca. 1915.

Terminata la guerra e ristabilita la pace fra Ucrainae Germania, Ostrowski nel 1918 si sposto a Gottingen,allora centro mondiale della matematica. La si dis-tinse subito dagli altri studenti per la sua memoriafenomenale e la sua conoscenza molto vasta e fondatadella letteratura matematica. Piu tardi uno degli stu-denti ricordo che a Gottingen il compito fastidioso dellericerche bibliografiche era estremamente facile: bastavachiedere allo studente russo, Alessandro Ostrowski, perottenere una risposta immediata ed esauriente! Una

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volta tiro perfino Hilbert fuori dai guai, quando durante una sua con-ferenza, come disse, egli ebbe bisogno di un bel teorema del cui au-tore purtroppo non riusciva piu a ricordarsi. Fu Ostrowski a bisbigliar-gli: “Ma, Herr Geheimrat, questo e proprio uno dei suoi teoremi!”

David Hilbert.

Non sorprende dunque cheFelix Klein, sempre acuto a ri-conoscere giovani talenti, si in-teresso ad Ostrowski e lo as-sunse come uno dei suoi assis-tenti. Gli affido, insieme adR. Fricke, l’edizione del primovolume della sua opera omnia.Nel 1920, Ostrowski si laureosumma cum laude, con una tesiscritta sotto la guida di Hilbert edi Landau. Anche con la sua tesiOstrowski fece scalpore, avendorisolto in parte il diciottesimo problema di Hilbert. Ostrowski riuscı a di-mostrare, fra le altre cose, che la serie zeta di Dirichlet, ζ(x, s) = 1−sx +2−sx2 + 3−sx3 + · · · , non puo soddisfare un’equazione algebrica a derivateparziali.

Dopo la sua laurea Ostrowski partı da Gottingen per andare ad Amburgodove, come assistente di E. Hecke, lavoro sulla tesi di abilitazione. Anche

Ostrowski, il pattinatore.

questo lavoro, trattandosi di moduli sopra un anello polinomiale, fu ispiratoda Hilbert. L’abilitazione fu completata nel 1922, dopodiche egli ritorno a

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Gottingen per tenere lezioni sugli sviluppi recenti nella teoria delle funzionicomplesse e per abilitarsi di nuovo nel 1923. Spese l’anno accademico 1925-

Ostrowski, all’eta dei 40, 50, e 60.

26 ad Oxford, Cambridge ed Edinburgo come stipendiato della FondazioneRockefeller. Appena ritornato a Gottingen ricevette — ed accetto — unachiamata alla cattedra di matematica presso l’Universita di Basilea. Il gior-nale locale, in occasione dell’ottantesimo compleanno di Ostrowski, non potefare a meno di ricordare che 200 anni prima, l’Universita aveva perso Euleroche si trasferı a S. Pietroburgo. Questo perche, secondo leggenda, egli uscı

Ostrowski, Washington, D. C., 1964.

perdente in un sistema di lot-teria allora in uso per sceglierei candidati, ma che in realtafu probabilmente consideratotroppo giovane per una catte-dra universitaria. Poi, pero,l’Universita ebbe fortuna por-tando Ostrowski dalla Russia aBasilea!

Ostrowski rimase a Basileaper tutta la sua carriera ac-cademica acquisendo la citta-dinanza di Basilea nel 1950. Fuqui dove la maggior parte della

sua opera matematica si sviluppo. Molti dei suoi lavori appartengonoal dominio della matematica pura. Visite ricorrenti negli Stati Uniti alla finedegli anni quaranta e nei primi anni cinquanta spinsero pero i suoi interessiverso problemi piu applicativi, particolarmente verso metodi numerici per

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trasformazioni conformi e verso problemi allora emergenti, collegati ai metodiiterativi per la risoluzione dei grandi sistemi di equazioni lineari algebriche.Si applico a questo lavoro con grande entusiasmo, anzi con esuberanza, tantoche fu una volta sentito recitare, nelle aule del National Bureau of Standards,i versi di Gottfried Keller: “Trinkt, o Augen, was die Wimper halt, von demgoldnen Uberfluss der Welt!”1. E davvero, in questo periodo, cominciaronoad imporsi problemi affascinanti ed importanti che richiedevano l’interventopreveggente ed immaginativo di tecniche matematiche avanzate.

Margret

Ostrowski, 1970.

Nel 1949 Ostrowski si sposo con Margret Sachs, unapsicoanalista dalla Scuola di Carl Gustav Jung e unavolta, come essa stessa mi ha rivelato, segretaria e con-fidente di Carl Spitteler2. La sua personalita calda edincantevole aiutava molto ad ammorbidire lo stile di vitasevero di Ostrowski, lo studioso, e portava nella loro vitauna misura di gioia. Fu proprio quello il periodo in cui iofeci la conoscenza di Ostrowski, essendo diventato suo al-lievo ed assistente ed avendo avuto il piacere, in parecchieoccasioni, di essere ospite a casa loro, nella parte vecchiadella citta.

Ostrowski ando in pensione dall’Universita nel 1958.Non smise pero la sua attivita scientifica. Al contrario!

Continuo, forse con passo ancor piu veloce, a produrre risultati nuovi edimportanti fino ad ottant’anni inoltrati. All’eta di novant’anni, era ancoracapace di seguire la pubblicazione presso Birkhauser della sua opera omnia,che uscı in sei volumi negli anni 1983–85.

Dopo essere andato in pensione, Ostrowski e sua moglie presero residenzaa Montagnola, dove precedentemente avevano fatto costruire una bella villa— Casa Almarost (ALexander MARgret OSTrowski), come l’hanno chia-mata — che si affaciava sul lago di Lugano. Erano sempre lieti di ricevereospiti ad Almarost e la loro ospitalita era leggendaria. La signora Ostrowski,conoscendo bene le inclinazioni dei matematici, era solita guidare suo ma-rito e i suoi ospiti giu nella biblioteca di Ostrowski per lasciarli soli cosı chepotessero aggiornarsi sulle piu recenti novita e pettegolezzi matematici. Lepareti della biblioteca erano piene di libri, non tutti di matematica, con unabuona parte su fantascienza e romanzi polizieschi, il passatempo letterario

1Come ricordato e gentilmente raccontato all’autore dalla Olga Taussky-Todd2Poeta Svizzero (1845–1924), 1919 vincitore del Nobel

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Margret ed Alessandro Ostrowski ad Almarost.

favorito di Ostrowski.Margret Ostrowski morı nel 1982, quattro anni prima della morte di suo

marito nel 1986. Sono sepolti nel bel cimitero di Gentilino, non lontano dallatomba di Hermann Hesse, di cui erano amici.

I meriti di Ostrowski non si limitano alla sola ricerca ma sono eminentianche sul piano didattico. Inoltre egli esercito un’influenza considerevole sulla

Ostrowski all’eta di 90.

editoria matematica. Per quanto concerne l’insegnamento,i suoi tre tomi sul calcolo differenziale ed inte-grale [22] (che cominciarono ad apparire a metadegli anni quaranta) ed in particolare la vastacollezione di esercizi (pubblicata piu tardi separata-mente con le soluzioni [23]) sono modelli splen-didi di esposizione matematica, che ancor oggiservono a formare generazioni di matematici e scien-ziati. Il suo libro sulla soluzione di equazioni e sis-temi di equazioni nonlineari, pubblicato negli StatiUniti nel 1960, con parecchie successive edizioni [24],[25], continua ad essere uno dei trattati piu usati inquesto campo. Per ultimo, ma non per importanza,Ostrowski ebbe piu di una dozzina di allievi, alcuni dei quali raggiunserostatura internazionale; tutti rimasero a lui riconoscenti per aver aperto lorole bellezze della matematica e impartito a loro i suoi elevati canoni di in-tegrita intellettuale. Per quanto riguarda l’attivita editoriale, Ostrowski perlungo tempo fu consulente per la casa editrice Birkhauser e contribuı a sta-bilire e guidare la ben nota Serie Verde di libri di testo. In gran parte si puo

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ascrivere a lui il merito per la posizione preminente assunta dalla Birkhauserda allora in poi.

Cimitero di Gentilino.

I successi scientifici di Os-trowski ebbero ampi riconosci-menti. Gli furono assegnatitre dottorati ad honorem: unodalla Scuola Politecnica Fede-rale (ETH Zurigo) nel 1958,uno dall’Universita di Besanconnel 1967 ed un altro nel 1968dall’Universita di Waterloo.

Nei primi anni ottanta ilprofessore e la signora Os-trowski fondarono un PremioInternazionale da assegnare ognidue anni dopo la loro morte [13].

La volonta e di riconoscere i migliori risultati ottenuti nel campo dellaMatematica pura e dei fondamenti teorici dell’Analisi numerica. Finora,sono stati assegnati undici premi: il primo nel 1989 a Louis de Branges perla sua dimostrazione della congettura di Bieberbach, il quarto nel 1995 adAndrew Wiles per la sua dimostrazione del teorema di Fermat. In sintoniacon la sua visione della matematica come scienza internazionale ed univer-sale, Ostrowski dichiaro espressamente che il premio dovesse essere assegnato“del tutto senza riguardo a politica, razza, religione, domicilio, nazionalita edeta.” Questa alta stima dei meriti scientifici di chi li raggiunge senza badarea convinzioni politiche, difetti personali o di altro genere, si manifesto gia nel1949, quando ebbe il coraggio di invitare Bieberbach—allora caduto in dis-grazia ed ostracizzato dall’intelligentia europea per il suo passato nazistico—apassare un semestre come ospite presso l’Universita di Basilea per dirigereun seminario sulle costruzioni geometriche. Senza dubbio fu poi ancora Os-trowski stesso che riuscı a persuadere Birkhauser a pubblicare i contenuti ditale seminario sottoforma di libro [3].

2 Le sue opere

Prendiamo ora brevemente visione delle opere matematiche di Ostrowski. Unprimo apprezzamento della vasta portata di queste opere puo essere ottenuto

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dai titoli dei sei volumi dell’opera omnia [27]:

Vol. 1. Determinanti, Algebra Lineare, Equazioni AlgebricheVol. 2. Algebra Multivariata, Algebra FormaleVol. 3. Teoria dei Numeri, Geometria, Topologia, ConvergenzaVol. 4. Analisi Reale, Equazioni Differenziali, Trasformazioni

DifferenzialiVol. 5. Analisi ComplessaVol. 6. Trasformazioni Conformi, Analisi Numerica, Miscellanea

Molti di tali lavori si trovano ai livelli piu alti della matematica e possonoessere qui accenati solo mediante parole e frasi chiave. Lo stesso discorsosi applica ai lavori che, benche piu accessibili, sono difficili da riassumereadeguatamente in poche parole. Dei lavori che rimangono, qualche risul-tato e scelto in ordine cronologico e brevemente schematizzato in “estratti”,sperando cosı da dare una impressione fugace del mondo matematico di Os-trowski. Percorriamo questi lavori, volume dopo volume ed aggiungiamo ledate per indicare il periodo della sua vita in cui sono stati scritti.

2.1 Volume 1

Parole chiave : Regola dei segni di Descartes, Budan–Fourier e Runge (1928–65); critica e rettifica della prima e quarta dimostrazione di Gauss del Teo-rema Fondamentale dell’Algebra (1933); lunga memoria sul metodo di Graef-fe (1940); metodi iterativi lineari per matrici simmetriche (1954); teoria gene-rale delle norme vettoriali e matriciali (1955); convergenza dell’iterazionequoziente di Rayleigh per il calcolo degli autovalori reali di una matrice(1958–59); teoria di Perron-Frobenius delle matrici non negative (1963–64).

Estratto 1.1: Matrici con diagonale dominante (1937),

A = [aij ], di := |aii| −∑

j 6=i

|aij | > 0, per ogni i.

Hadamard nel 1899 aveva dimostrato che per tali matrici si ha det A 6= 0.

Ostrowski miglioro questo risultato dimostrando che |det A| ≥∏

i

di.

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Estratto 1.2: M-Matrici (1937),

A = [aij ], aii > 0, aij ≤ 0 (i 6= j),

a11 > 0,

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12

a21 a22

∣

∣

∣

∣

∣

∣

> 0, . . . , det A > 0.

Teorema. Se A e una M-matrice, allora A−1 ≥ 0.

La teoria delle M-matrici e la teoria ad essa connessa delle H-matrici del1937 si sono dimostrate strumenti potenti nell’analisi dei metodi iterativiper risolvere sistemi di equazioni lineari di grandi dimensioni. In piu, questateoria fornisce elegantemente la base per la teoria generale dei domini diinclusione per autovalori di matrici, come per esempio nel caso del ben nototeorema di Gerschgorin. Vedi anche Estratto 2.2.

Estratto 1.3: Continuita delle radici di un’equazione algebrica (1939).E ben noto che le radici di un’equazione algebrica dipendono in modo

continuo dai coefficienti dell’equazione. Ostrowski ci da una formulazionequantitativa di questo fatto.

Teorema. Siano xν , yν rispettivamente gli zeri di

p(z) = a0zn + a1z

n−1 + · · · + an, a0an 6= 0

e diq(z) = b0z

n + b1zn−1 + · · · + bn, b0bn 6= 0.

Sebν − aν = ενaν , |εν | ≤ ε, 16nε1/n ≤ 1,

allora∣

∣

∣

∣

xν − yν

xν

∣

∣

∣

∣

≤ 15nε1/n.

Estratto 1.4: Convergenza del metodo sovrarilassamento successivo (1954).La soluzione iterativa di grandi sistemi (non singolari) di equazioni alge-

bricheAx = b, A ∈ R

n×n, b ∈ Rn,

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era oggetto di studi intensi negli anni di 1950, culminando nel “metodosovrarilassamento successivo” (SOR)

Dxk+1 = ω(b − Lx

k+1 − Uxk) − (ω − 1)Dx

k, k = 0, 1, 2, . . . ,

dove ω e un parametro reale e D, L, U sono rispettivamente la parte diago-nale, triangolare inferiore, e triangolare superiore di A. Il metodo e dettoconvergente se limk→∞ xk = A

−1b per b arbitrario e per ogni x0 ∈ Rn.

Teorema di Ostrowski–Reich. Se A e simmetrica con elementi diago-nali positivi e se 0 < ω < 2, allora SOR converge se e solo se A e definitapositiva.

Reich dimostro il teorema nel 1949 per ω = 1. Ostrowski lo dimostro perω arbitrario nell’intervallo (0, 2), anche se ω = ωk dipende da k, ma rimanein un sottointervallo compatto di (0, 2).

Estratto 1.5: Un piccolo gioiello matematico (1979).Teorema. Siano p e q polinomi di grado m e n, rispettivamente. Si

definiscaMf = max

|z|=1|f(z)|.

AlloraγMpMq ≤ Mpq ≤ MpMq, γ = sinm π

8msinn π

8n.

L’interesse qui riguarda il limite inferiore, quello superiore essendo banale. Evero che questo limite inferiore puo essere abbastanza piccolo, specialmentese m e/o n sono grandi. Ma i gioielli non devono essere utili, basta chebrillino!

2.2 Volume 2

Parole chiave : Algebra dei campi finiti (1913); teoria della valutazione su uncampo (1913–17); condizioni necessarie e sufficienti per l’esistenza di una basefinita per un sistema di polinomi a piu variabili (1918–20); qualche questionedi irriducibilita (1922, 1975–77); teoria degli invarianti di una forma binaria(1924); teoria aritmetica dei campi (1934); struttura degli anelli polinomiali(1936); convergenza di metodi iterativi a blocchi (1961); teoria di Kroneckerdell’eliminazione per anelli polinomiali (1977).

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Il fatto, dimostrato da Ostrowski nel 1917, che i campi dei numeri realie complessi sono, a meno di isomorfismi, i soli campi completi (Ostrowskiusa il termine piu vecchio “perfetto” in luogo di “completo”) rispetto ad unavalutazione Archimedea e noto oggi nella teoria della valutazione come il“Teorema di Ostrowski” (P. Roquette [31]).

Estratto 2.1: Calcolo di polinomi (1954). Se

p(x) = a0xn + a1x

n−1 + · · · + an−1x + an,

allora, secondo la regola di Horner, si ha p(x) = pn, dove

p0 = a0, pν = xpν−1 + aν , ν = 1, 2, . . . , n.

Complessita: n addizioni, n moltiplicazioni.Teorema. La regola di Horner e ottimale rispetto all’addizione, ed otti-

male rispetto alla moltiplicazione quando n ≤ 4.E stato dimostrato piu tardi da V. Ja. Pan [28] che lo schema di Horner,

infatti, non e ottimale rispetto alla moltiplicazione, quando n > 4.In vista di questo lavoro, l’anno 1954 e generalmente considerato “l’anno

della nascita della teoria della complessita algebrica” (P. Burgisser and M.Clausen [5]).

Estratto 2.2: Proprieta metriche delle matrici a blocchi (1961),

A =

A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · · A2n...

......

An1 An2 · · · Ann

, Aνµ ∈ Rν×µ.

Domanda: E ancora valido il teorema di Hadamard se | · | e sostituito da‖ · ‖? Risposta: Sı, se

‖A11‖∗ −‖A12‖ · · · −‖A1n‖−‖A21‖ ‖A22‖∗ · · · −‖A2n‖

......

...

−‖An1‖ −‖An2‖ · · · ‖Ann‖∗

e una M-matrice, dove

‖B‖∗ = min‖x‖=1

‖Bx‖, ‖B‖ = max‖x‖=1

‖Bx‖.

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2.3 Volume 3

Parole chiave : Esistenza di una base “regolare” per polinomi, con coefficientiin un campo aritmetico finito, che assumono valori interi per argomenti interi(1919); teoria aritmetica dei numeri algebrici (1919); equazioni e approssi-mazioni Diofantee (1921–27, 1964-82); criteri di esistenza di uno zero comunea due funzioni reali continue nell’interno e sulla frontiera di un disco (1933);topologia degli elementi di linee orientate (1935); evolute ed evolventi di unacurva piana (1955) e di un’ovale in particolare (1957); geometria differen-ziale di curve piane parallele (1955); criterio di convergenza e divergenza diErmakov per

∫ ∞f(x)dx (1955); criteri necessari e sufficienti per due ele-

menti di linee affinche siano connettibili mediante una curva con curvaturamonotona (1956); comportamento degli elementi dell’iterazione punto fissonel caso di divergenza (1956); sommare serie lentamente convergenti positiveo alternanti (1972).

Estratto 3.1: Prodotti infiniti (1930),

x0 = x, xν+1 = ϕ(xν), ν = 0, 1, 2, . . . ,

∞∏

ν=0

(1 + xν) = Φ(x).

Esempio: prodotto di Eulero ϕ(x) = x2, Φ(x) = (1 − x)−1. Problema:Determinare tutti i prodotti che convergono in un intorno di x = 0, per cuiϕ e razionale e Φ algebrica. Soluzione: enumerazione completa.

Estratto 3.2: Serie “normali” di potenze (1930),

∞∑

ν=−∞aνz

ν con aν ≥ 0, a2ν ≥ aν−1aν+1,

con tutti i coefficienti fra due positivi sono anch’essi positivi.Teorema. Il prodotto di due serie normali di potenze, se esiste, e

anch’esso normale.

2.4 Volume 4

Parole chiave : Serie di Dirichlet ed equazioni differenziali algebriche, tesiGottingen (1919); rafforzamento, o semplificazione delle dimostrazioni, di

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molti risultati dell’analisi reale (1919–38); varie classi di trasformazioni dicontatto nel senso di S. Lie (1941–42); trasformazioni invertibili di elementidi linee (1942); condizioni di integrabilita per equazioni a derivate parziali(1943); integrali indefiniti di funzioni “elementari”, teoria di Liouville (1946);funzioni convesse nel senso di Schur con applicazioni alle proprieta spet-trali di matrici Hermitiane (1952); teoria delle caratteristiche per equazionia derivate parziali del prim’ordine (1956); punti di attrazione e di repul-sione per l’iterazione punto fisso nello spazio Euclideo (1957); univalenza ditrasformazioni nonlineari nello spazio Euclideo (1958); una decomposizionedi un operatore matriciale differenziale ordinario del second’ordine (1961);teoria delle trasformazioni di Fourier (1966); studio del resto nella formula diEulero-Maclaurin (1969-70); sviluppo asintotico di integrali che dipendonoda un parametro grande (1975).

Una tecnica introdotta nel lavoro del 1946 sulla teoria di Liouville, nellaletteratura odierna, e nota come il “metodo di Hermite-Ostrowski” (J. Dav-enport, Y. Siret, and E. Tournier [7]). Questo lavoro ha assunto una rinno-vata importanza in vista della sua applicabilita alle tecniche di integrazioneformale in sistemi di computer algebra.

Estratto 4.1: La disuguaglianza (frequentemente citata) di Ostrowski-

Gruss (1970),

∣

∣

∣

∣

∫ 1

0

f(x)g(x)dx −∫ 1

0

f(x)dx

∫ 1

0

g(x)dx

∣

∣

∣

∣

≤ 1

8osc[0,1]

f max[0,1]

|g′|.

Estratto 4.2: Integrale Cauchy–Frullani generalizzato (1976),

∫ ∞

0

f(at) − f(bt)

tdt = [M(f) − m(f)] ln

a

b, a > 0, b > 0,

dove

M(f) = limx→∞

1

x

∫ x

1

f(t)dt, m(f) = limx↓0

x

∫ 1

x

f(t)

t2dt.

Nella versione originale della formula, ci sono valori puntuali, f(∞) e f(0),al posto dei valori media M(f) e m(f).

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2.5 Volume 5

Parole chiave : Teoremi sulle serie di potenze aventi lacune e fenomeni di“sovraconvergenza” ad esse connessi (1921–30); ricerche relative al teoremadi Picard (1925–33); funzioni quasi-analitiche, teoria di Carleman (1929);prolungamento analitico delle serie di potenze e di Dirichlet (1933,1955).

Estratto 5.1: Caratterizzazione alternativa di sistemi normali di funzioni

meromorfe (1925).Teorema. Un sistema F di funzioni meromorfe e normale (cioe pre-

compatto) se e solo se e equicontinuo rispetto alla metrica sferica.

Estratto 5.2: Il teorema di Carleman su funzioni quasi-analitiche comeriformulato da Ostrowski (1929).

Data una successione m = {mν}∞ν=1 di numeri positivi mν , una funzione finfinitamente derivabile su I = [0,∞) e detta appartenente alla classe C(m)se

|f (ν)(x)| ≤ mν su I, ν = 0, 1, 2, . . . .

La classe C(m) e detta quasi-analitica se f ∈ C(m) e f (ν)(0) = 0, ν =0, 1, 2, . . . , implica f(x) ≡ 0 su I.

Ostrowski riformula uno dei risultati principali della teoria di Carlemansu funzioni quasi-analitiche, introducendo la funzione T (r) = supν rν/mν

(qualche volta chiamata col nome di Ostrowski).Teorema. La classe C(m) e quasi-analitica se e solo se

∫ ∞

1

log T (r)dr

r2= ∞.

Il lavoro di Ostrowski connesso al teorema di Picard, anche se e an-tecedente alla teoria specifica di R. Nevanlinna sulle funzioni meromorfe,punta verso la stessa direzione.

2.6 Volume 6

Parole chiave : Dimostrazione costruttiva del teorema di Riemann sulla tras-formazione conforme (1929); comportamento al contorno delle trasformazioniconformi (1935–36); il metodo di Newton per una singola equazione ed un sis-tema di due equazioni: convergenza, stime degli errori, stabilita rispetto agli

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errori di arrotondamento (1937–38); convergenza dei metodi di rilassamentoper sistemi lineari ad n equazioni, parametri ottimali di rilassamento pern = 2 (1953); soluzione iterativa di equazioni integrali nonlineari per la fun-zione al contorno di una trasformazione conforme, applicazione alla trasfor-mazione conforme di un’ellisse su un disco (1955); “convergenza assoluta”di metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari (1956); convergenzadell’iterazione di Steffensen (1956); soluzione approssimata di sistemi omo-genei di equazioni lineari (1957); un artificio di Gauss per accelerare metodiiterativi (1958); analisi di convergenza del metodo di Muller per la risoluzionedi equazioni nonlineari (1964); convergenza dell’iterazione punto fisso in unospazio metrico in presenza di “errori di arrotondamento” (1967); convergenzadel metodo della piu ripida discesa (1967); un algoritmo di discesa per glizeri di equazioni algebriche (1969); il metodo di Newton in spazi di Banach(1971); stime a posteriori degli errori in processi iterativi (1972–73); teoriadella probabilita (1946–1980); recensioni di libri, discorsi pubblici, necrologi(G.H. Hardy, Wilhelm Suss, Werner Gautschi) (1932–75).

Estratto 6.1: Matrici “vicine” ad una matrice triangolare (1954),

A = [aij ], |aij | ≤ m (i > j), |aij| ≤ M (i < j), 0 < m < M.

Il caso limite m = 0 corrisponde ad una matrice triangolare, i suoi auto-valori essendo gli elementi sulla diagonale. Se m e piccola, ci si aspetta chegli autovalori rimangano vicini agli elementi sulla diagonale. Questo e statoespresso da Ostrowski nella maniera seguente.

Teorema. Tutti gli autovalori di A sono contenuti nell’unione dei dischi∪iDi, Di = {z ∈ C : |z − aii| ≤ δ(m, M)}, dove

δ(m, M) =Mm

1

n − mM1

n

M1

n − m1

n

.

La costante δ(m, M) e la migliore possibile.

Estratto 6.2: La formula di Moivre-Laplace (1980). Se

M(n) =∑

|ν−np|≤η√

2npq

(

n

ν

)

pνqn−ν , 0 < p < 1, p + q = 1, n > 0,

allora

M(n) =2√π

∫ η

0

e−t2dt + ρ(η, n),

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doveρ(η, n) =

rn√2πnpq

e−η2

+ O(1/n), n → ∞,

e, con R(x) = x − ⌊x⌋,

rn = 1 − R(nq + η√

2npq) − R(np + η√

2npq).

I numeri rn sono densi dappertutto nell’intervallo [−1, 1]. Prima del lavorodi Ostrowski, la formula era apparsa non corretamente in letteratura, con 1al posto di rn.

3 I suoi allievi

Il professor Ostrowski e stato il referente primario per gli allievi Ph. D. elen-cati sotto. Tutte le tesi, ad eccezione di una, furono scritte presso la Facoltadi Matematica e Scienze Naturali dell’Universita di Basilea. L’eccezione e latesi di Willy Richter.

1932 Stefan Emanuel Warschawski (1904–1989)

“Uber das Randverhalten der Ableitung der Abbildungsfunktionbei konformer Abbildung”

1933 Alwin von Rohr (1903–2001)

“Uber die Hilbert–Story’schen invariantenerzeugenden Prozesse”1934 Leo Leib Kruger (1903–?)

“Uber eine Klasse von kontinuierlichen Untergruppen derallgemeinen linearen homogenen projektiven Gruppe des(2N − 1)-dimensionalen Raumes”

1936 Theodor Samuel Motzkin (1908–1970)“Beitrage zur Theorie der linearen Ungleichungen”

1938 Caleb Gattegno (1911–1988)“Le cas essentiellement geodesique dans les equations deHamilton–Jacobi integrables par separation des variables”

1938 Fritz Blumer (1904–1988)“Untersuchungen zur Theorie der halbregelmassigenKettenbruchentwicklungen, I & II”

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1944 Eduard Batschelet (1914–1979)“Untersuchungen uber die absoluten Betrage der Wurzelnalgebraischer, insbesondere kubischer Gleichungen”

1945 Gerhard Stohler (1915–1999)

“Uber eine Klasse von einparametrigen Differential-Transformationsgruppen”

1948 Rolf Conzelmann (1916– )“Beitrage zur Theorie der singularen Integrale beiFunktionen von mehreren Variablen, I & II”

1949 Karl-Felix Moppert (1920–1984)

“Uber Relationen zwischen m- und p-Funktionen”1951 Hermann Georg Wundt (1921–?)

“Eine neue Methode der Periodogramm-Analyse und ihreAnwendung auf die Reihe der Sonnenflecken-Relativzahlen”

1952 Willy Richter (1915–1998)”Estimation de l’erreur commise dans la methode deM. W.E. Milne pour l’integration d’un systeme den equations differentielles du premier ordre” (These,Faculte des Sciences, Universite de Neuchatel)

1953 Rudolf Thuring (1924– )“Studien uber den Holditchschen Satz”

1954 Werner Gautschi (1927–1959)“On norms of matrices and some relations betweennorms and eigenvalues”

1954 Walter Gautschi (1927– )“Analyse graphischer Integrationsmethoden”

1959 Hans Richard Gutmann (1907–2001)“Anwendung Tauberscher Satze und Lambertscher Reihenin der zahlentheoretischen Asymptotik”

Molti di questi allievi hanno avuto una carriera di successo, sia nel mondoaccademico sia nel campo dell’educazione scolastica secondaria. Come Os-trowski stesso, qualcuno dei primi allievi vennero a Basilea da fuori: Warscha-wski da Konigsberg; Kruger da Riga; Motzkin da Berlino; Gattegno daAlessandria, Egitto. Tutti gli altri allievi, ad eccezione di Wundt, nativodi Aalen, Wurttemberg, erano nati e cresciuti a Basilea o dintorni.

Non abbiamo informazioni sulle carriere di von Rohr, Kruger e Wundt.

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Warschawski, diventato allievo di Ostrowski quando quest’ultimo era an-cora a Gottingen, si sposto con lui a Basilea, dove finı la sua tesi nel 1932.Ritorno a Gottingen per cominciare la sua carriera di insegnamento, ma fucostretto a sfuggire alla persecuzione nazista. Riuscı alla fine ad arrivare negliStati Uniti, dove si impose come ricercatore molto stimato nel campo delletrasformazioni conformi. Si distinse pure come amministratore accademico disuccesso, avendo portato ad alto livello due dipartimenti di matematica, unoall’Universita di Minnesota, l’altro all’Universita di California a San Diego.Per una biografia, vedi [21].

Motzkin, figlio di Leo Motzkin, prominente membro del movimento sio-nista che partecipo al Primo Congresso Sionistico (1817) a Basilea e ingioventu comincio una tesi di dottorato con Kronecker, dopo la fine dellasua tesi si sposto all’Universita Ebreica di Jerusalemme, dove durante la sec-onda guerra mondiale lavoro come crittografo per il governo britannico. Nel1948 emigro per gli Stati Uniti, dove nel 1950 divento membro dell’Istituto diAnalisi Numerica all’Universita di California a Los Angeles e dieci anni dopoprofessore. L’opera matematica di Motzkin e generalmente riconosciuta perla sua genialita. Estremamente versatile, egli contribuı in modo significativoin campi come programmazione lineare, calcolo combinatorio, teoria delleapprossimazioni, geometria algebrica, teoria dei numeri, teoria delle funzionicomplesse ed analisi numerica. Numeri di Motzkin e Motzkin traiettori sonoentita matematiche ancora investigate ampiamente nella letteratura odierna.Vedi [1] per un necrologio.

Gattegno diresse la sua attenzione verso la psicologia e la didattica dell’in-segnamento in generale e in particolare dell’insegnamento della matematica,del leggere e scrivere e delle lingue straniere. Promosse i suoi approcci in-novativi e poco ortodossi in piu di 50 libri e altre pubblicazioni, organizzoseminari in tutto il mondo, fondo numerose organizzazioni e produsse ma-teriale didattico specifico. Ottenne un secondo dottorato in psicologia nel1952 dall’Universita di Lille. Nel 1956 si sposto a New York, dove aprı unlaboratorio di educazione e continuo le sue attivita pedagogiche. Per datisupplementari sulla vita e sulle opere di Gattegno, vedi [29].

Batschelet insegno all’Humanistischen Gymnasium di Basilea dal 1939fino al 1960 e fu Privatdozent all’Universita di Basilea dal 1952 fino al1957. Nel 1958 ricevette il titolo di Professore straordinario e due annidopo si sposto a Washington, D. C. per assumere una posizione di professoreall’Universita Cattolica. Ritorno in Svizzera nel 1971 quando divento profes-sore di matematica all’Universita di Zurigo. Il suo campo di ricerca erano la

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statistica e la biomatematica; insegno e scrisse libri di testo molto usati inquesti campi. Vedi [18] per un necrologio.

Moppert, dopo quattro anni di insegnamento in scuole di Basilea, emigroin Australia dove ottenne una docenza all’Universita di Tasmania e nel 1958divento senior lecturer in matematica all’Universita di Melbourne. Nel 1967entro nel Dipartimento di Matematica all’Universita di Monash, dove rimasefino alla sua morte. La sua opera matematica si indirizzo sulle superfici diRiemann—suo argomento di tesi—e su diversi altri soggetti, incluso operatoriin spazi di Hilbert, analisi Diofantea, movimento Browniano e geometria Eu-clidea e non Euclidea. Manifesto un forte interesse per strumenti scientifici,fra cui una meridiana assemblata su un muro dell’edificio per ospiti, “spessoun indicatore del tempo giusto molto migliore di quasi tutti gli orologi sulcampus” [6], rimane un testimonio durevole.

Werner Gautschi, fratello gemello dell’autore, emigro negli Stati Uniti nel1953, dove durante un periodo postdottorato presso le Universita di Princetone di California a Berkeley comincio ad interessarsi nel campo della statisticamatematica e della teoria della probabilita. Entro nella carriera accademicanel 1956 all’Universita Statale di Ohio, si sposto all’Universita dell’Indiana aBloomington nel 1957 e due anni dopo ritorno all’Universita Statale di Ohio.Subito dopo il suo arrivo un grave infarto pose una fine brusca alla sua vitae ad una carriera molto promettente. Vedi [4] e [26] per necrologi.

Walter Gautschi, dopo due anni di studi postdottorato a Roma ed allaHarvard University, assunse posizioni di ricercatore al National Bureau ofStandards (oggi chiamato National Institute of Science and Technology) aWashington, D. C. ed al Oak Ridge National Laboratory, Oak Ridge, Ten-nessee. Nel 1963 accetto una posizione di professore di matematica ed in-formatica alla Purdue University, dove rimase fino al momento di andarein pensione nel 2000. Lavoro nei campi delle funzioni speciali, della teoriadell’approssimazione costruttiva e dell’analisi numerica, come documentatoin [15].

Fra gli allievi che scelsero una carriera di insegnamento nelle scuole diBasilea vi sono: Blumer, Humanistisches Gymnasium (HG), 1932–1973; Stoh-

ler, Madchengymnsium (MG) (piu tardi Holbein Gymnasium), 1946–1980;Conzelmann, HG (piu tardi Mathematisch-Naturwissenschaftliches Gymna-sium (MNG)), 1949–1982; Thuring, Realgymnasium (RG), 1956–1986; Gut-

mann, RG, 1935–1970 (rettore cola, 1962–1970). Blumer e Conzelmann ten-nero entrambi anche posizioni accademiche all’Universita di Basilea: il primouna docenza universitaria dal 1960 fino al 1974, il secondo un Lehrauftrag

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nel 1956/57, una docenza univeritaria dal 1958 fino al 1974 ed una posizionedi professore straordinario dal 1975 fino al pensionamento nel 1984. Richter,ferito in un incidente militare e malato di tuberculosi, assolse i suoi studiuniversitari per corrispondenza dalla casa militare di cura a Novaggio e dallacasa di cura a Leysin durante la seconda guerra mondiale. Scrisse la mag-gior parte della sua tesi sul letto di malato. Divento insegnante a Neuchatelper qualche anno all’Ecole de Commerce e poi al Gymnase Cantonal fino alpensionamento nel 1978.

Ostrowski fu anche coreferente per gli allievi seguenti:

1931 Heinrich Johann Ruch (1895–1960)

“Uber eine Klasse besonders einfacher Modulargleichungenzweiten Grades von der Form y2 = R(x)” (referente: OttoSpiess)

1942 Ernst Fischer (1914–2000)“Das Zinsfussproblem der Lebensversicherungsrechnungals Interpolationsaufgabe” (referente: Ernst Zwinggi)

1947 Heinz Hermann Muller (1913–1996)“Scharfe Fassung des Begriffes faisceau in einergruppentheoretischen Arbeit Camille Jordans”(referente: Andreas Speiser)

1955 Mario Gottfried Howald (1925–2001)“Die akzessorische Irrationalitat der Gleichung funftenGrades” (referente: Andreas Speiser)

Non abbiamo alcuna notizia sui curricula vitae di questi allievi, ad ec-cezione di Howald, che insegno al MNG dal 1951 fino al 1990 con un inter-vallo di quattro anni al Gymnasium Baumlihof. Per due anni (1962–1963)lavoro nella sezione di scienze naturali del Goetheanum in Dornach. Oltrealle sue attivita di insegnamento ginnasiale, Howald organizzo regolarmentecorsi a Carona (presso Lugano) per amanti di astronomia. E autore di duearticoli informativi [16], [17] sulla spedizione di Maupertuis nella Lapponiaper misurare la lunghezza di un grado di meridiano che, successivamente,porto verso l’affermazione dell’appiattimento della terra presso i poli. Curoanche l’edizione dell’opera di Daniel Bernoulli sull’astronomia posizionale [2]e scrisse commentari corrispondenti. Dal 1997 fino alla sua morte fu membrodel consiglio di amministrazione della fondazione Otto Spiess che mantienefinanziariamente l’edizione Bernoulli.

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4 Epilogo

Per concludere, aggiungo qualche commento generale sul lavoro di Ostrowski.A parte la varieta caleidoscopica dei temi da lui trattati, una qualita carat-teristica del suo lavoro consiste in un forte desiderio di andare a fondo nellecose, di districare gli aspetti essenziali di un problema ed i concetti fondamen-tali necessari per trattarlo in modo soddisfacente. Cio e accoppiato ad unainesorabile volonta di essere esauriente. Sono notevoli anche i suoi frequentitentativi di stabilire risultati, perfino quelli piu classici, sotto le ipotesi piudeboli possibili, e la sua gioia nel trovare dimostrazioni brevi e succinte. Unabuona parte del lavoro di Ostrowski ha una qualita definitamente costrut-tiva e tutti i lavori mostrano una destrezza da maestro nell’uso di tecnichematematiche avanzate, in particolare di tecniche analitiche di stima. Il suolavoro porta l’impronta di una cultura erudita, proveniente dallo studio at-tento della letteratura, non solo di quella corrente, ma anche, e soprattutto,delle fonti originali.

Riconoscimenti e fonti. L’autore riconosce con gratitudine l’aiuto delDott. H. Wichers dell’Archivio Statale di Basilea fornito per individuare tuttigli allievi Ph. D. del professor Ostrowski e le date biografiche per qualcunidi loro. E riconoscente al professor D. Drasin per l’aiuto con §2.5, a MireilleRichter per le informazioni sulla vita di suo padre, al Dott. F. Nagel perqualche dettaglio sulla carriera di Howald ed al prof. A. Frapolli per unesame critico del testo italiano. Le fotografie del §1 provengono in granparte dall’incarto privato del professor R. Conzelmann. Quelle di Ostrowskia Washington, D. C. e di Margret Ostrowski provengono dalla collezionedi fotografie a Oberwolfach e quella di Ostrowski all’eta di 50 dal possessoprivato dell’autore.

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