AMD

Analisi Fattoriale

Modelli Fattoriali

Marcello Gallucci

Milano-Bicocca

Modello Fattoriale dell’ACP

Lezione: IV

V15V14V11 V12 V13

Fattore 1 Fattore 2

V20Variabilità osservata

Variabilità catturata (spiegata)

AF

.735 unicità unicità unicità unicità .438Variabilità non condivisa

440. 266.538.−522.

Fattori funzione degli items

Nell’ACP gli item formano i fattori

3211 131211 vavavaF FvFvFvi ++=

3212 232221 vavavaF FvFvFvi ++=

3213 333231 vavavaF FvFvFvi ++=

Esempio 3 items

Matrice di componentia

.717 -.022 -.697

.609 -.659 .441

.592 .705 .390

v1v2v3

1 2 3Componente

Metodo estrazione: analisi componenti principali.3 componenti estrattia.

3592.2609.1717.1 vvvF i ++=

3705.2659.1022.2 vvvF i +−+−=

3390.2441.1697.3 vvvF i ++−=

Varianza e comunalità

Nell’ACP la comunalità iniziale è 1 (100%)

Dunque si assume che tutta la varianza di ogni item può essere spiegata

Anche se poi ne spiegheremo solo una parte

Comunalità

1.000 .4311.000 .2821.000 .2691.000 .6761.000 .4321.000 .4301.000 .4691.000 .5491.000 .735

v1 Scherzosov2 Estroversov3 Espansivov4 Divertentev5 Coloritov13 Diligentev14 Previdentev15 Serenov17 Stabile

Iniziale Estrazione

Metodo di estrazione: Analisi componenti principali.

Varianza spiegabile

Varianza spiegata

Per ogni item

Varianza e comunalità

Nell’ACP la comunalità iniziale è 1 (100%)

Dunque si assume che tutta la varianza di ogni item può essere spiegata

Anche se poi ne spiegheremo solo una parte

v2v1

v4

v3

v3 v2

Varianza spiegabile

Per item v2 (ad esempio)

Varianza e comunalità

Nell’ACP la comunalità iniziale è 1 (100%)

Dunque si assume che tutta la varianza di ogni item può essere spiegata

Anche se poi ne spiegheremo solo una parte

v2v1

v4

v3

v3 v2

Varianza spiegata

F1

F2

Per item v2 (ad esempio)

Il problema della ACP

Il problema dell’ACP è che si assume che tutta la varianza di ogni item possa essere spiegata

Ciò comporta l’estrazione di fattori “in cerca” di varianza non spiegabile

v2v1

v4

v3

v3 v2

Varianza spiegata non condivisa con nessun item

Se una parte di varianza di un item non è condivisa con nessun item, non potrà essere condivisa con un fattore

che accomuna gli item

Ma allora perché provare a spiegarla?

Il problema della ACP

Il problema dell’ACP è che si assume che tutta la varianza di ogni item possa essere spiegata

Ciò comporta l’estrazione di fattori “in cerca” di varianza non spiegabile

v2v1

v4

v3

v3 v2

Varianza non condivisa con nessun item

Non ha molto senso cercare un fattore che spieghi parti di varianza non

condivise

F1

Un altro problema della ACP

un problema più teorico dell’ACP è che si assume i fattori siano la risultante degli items

V5V4V1 V2 V3

Fattore 1 Fattore 2

V6

Items formano il fattore

3211 131211 vavavaF FvFvFvi ++=

Al variare degli item, varia il fattore

Un altro problema della ACP

un problema più teorico dell’ACP è che si assume i fattori siano la risultante degli items

V5V4V1 V2 V3

Fattore 1 Fattore 2

V6

I fattori dovrebbero formare gli item

211 2111 FaFav FvFvi +=

Al variare dei fattori, varia l’item

Sarebbe più logico che gli items variassero al

variare della dimensione sottostante

Items come indicatori del fattore

In un modello più logico gli items rispecchiano la variabilità dei fattori

V1 V2 V3

EstroversioneTanto più uno è

estroverso

Tanto più risponderà con punteggio alto agli

aggettivi di estroversione

Gli items indicano il fattore

Analisi Fattori Comuni

Il modello fattoriale che assume i fattori come formativi degli items si può stimare mediante vari algoritmi (minimi quadrati, massima verosimiglianza, assi principali) facenti parte della famiglia dell’analisi fattori comuni

Per stimare tali modelli bisogna prima aver deciso quanti fattori estrarre (ad esempio con ACP)

Il tipo di informazione in output è la stessa dell’ACP

La soluzione può essere soggetta alle rotazioni

I risultati tendono ad essere peggiori dell’ACP

Ma più veritieriV1 V2 V3

Estroversione

AFC (analisi a fattori comuni)

AFC produce K fattori da noi scelti che formano gli item osservati

V5V4V1 V2 V3

Fattore 1 Fattore 2

V6

I fattori formano gli item

211 2111 FaFav FvFvi +=

Al variare dei fattori, varia l’item

AFC

L’AFC suddivide la varianza degli item in unica (non spiegabile), spiegata e di errore

La varianza spiegata risulterà più veritiera

v2v1

v4

v3

v2

Varianza non condivisa con nessun item= unica

Varianza condivisa non spiegata=Varianza di errore

F1

Varianza condivisa con

items e fattori= spaigata

Il problema della comunalità iniziale

Per calcolare la varianza spiegata e quella di errore, dobbiamo prima sapere quanto è la varianza spiegabile

Ma per sapere quanto è la varianza spiegabile, dobbiamo sapere quanto è la varianza spiegata e quella di errore

Ciò crea un circolo vizioso che va risolto stimando precedentemente una quantità plausibile di varianza spiegabile ed iterare il procedimento di calcolo dei fattori finché tale quantità soddisfa alcuni criteri

Ogni algoritmo di calcolo (minimi quadrati, massima verosimiglianza, etc) usa un criterio diverso

Noi vediamo la logica sottostante

Correlazioni

1 .084 .154 .242*.409 .126 .015

100 100 100 100.084 1 .514** .231*.409 .000 .021100 100 100 100

.154 .514** 1 .588**

.126 .000 .000100 100 100 100

.242* .231* .588** 1

.015 .021 .000100 100 100 100

Correlazione di PearsonSig. (2-code)NCorrelazione di PearsonSig. (2-code)NCorrelazione di PearsonSig. (2-code)NCorrelazione di PearsonSig. (2-code)N

a1

a2

a3

a4

a1 a2 a3 a4

La correlazione è significativa al livello 0,05 (2-code).*.

La correlazione è significativa al livello 0,01 (2-code).**.

Comunalità iniziale

Ma se tutta la varianza di un item non è inclusa nell’analisi, la

matrice di correlazione iniziale non potrà avere 1 sulla diagonale

Matrice di correlazione

Esempio calcolato su un campione di 100 persone

Varianza totale item= comunalità iniziale nella ACP

Correlazioni

1 .084 .154 .242*.409 .126 .015

100 100 100 100.084 1 .514** .231*.409 .000 .021100 100 100 100

.154 .514** 1 .588**

.126 .000 .000100 100 100 100

.242* .231* .588** 1

.015 .021 .000100 100 100 100

Correlazione di PearsonSig. (2-code)NCorrelazione di PearsonSig. (2-code)NCorrelazione di PearsonSig. (2-code)NCorrelazione di PearsonSig. (2-code)N

a1

a2

a3

a4

a1 a2 a3 a4

La correlazione è significativa al livello 0,05 (2-code).*.

La correlazione è significativa al livello 0,01 (2-code).**.

Comunalità iniziale

Dovremmo stimare la quantità di varianza spiegabile ( che sarà poi

divisa in spiegata ed errore)

Matrice di correlazione

Esempio calcolato su un campione di 100 persone

Varianza spiagabile dell’item= comunalità iniziale nella AFC

?

?

?

?

Stima iniziale della comunalità

Se la parte spiegabile di varianza di un item deve essere comune agli item e ai fattori, sicuramente non potrà essere più piccola della parte di varianza che l’item condivide con gli altri item

v2v1

v4

v3

v2

Varianza non condivisa con nessun item= unica

Varianza condivisa non spiegata=Varianza di errore

F1

Varianza condivisa con

items e fattori= spaigata Varianza condivisa con altri item

Stima iniziale della comunalità

La varianza condivisa con tutti gli altri item è una buona stima della varianza spiegabile

Dunque possiamo usare tale stima al posto degli 1 nella matrice di correlazione

v2v1

v4

v3

v2

Varianza condivisa con altri item

R2 multiplo

Quanto è tale varianza?

Dallo studio della regressione sappiamo che la varianza condivisa da un set di variabili indipendenti ed una dipendente è dato dall’R2 della regressione

v2v1

v4

v3

v2R2 ottenuto facendo una regressione con v2 come

dipendente, e tutte gli altri item come variabili indipendenti

Correlazioni

1 .084 .154 .242*.409 .126 .015

100 100 100 100.084 1 .514** .231*.409 .000 .021100 100 100 100

.154 .514** 1 .588**

.126 .000 .000100 100 100 100

.242* .231* .588** 1

.015 .021 .000100 100 100 100

Correlazione di PearsonSig. (2-code)NCorrelazione di PearsonSig. (2-code)NCorrelazione di PearsonSig. (2-code)NCorrelazione di PearsonSig. (2-code)N

a1

a2

a3

a4

a1 a2 a3 a4

La correlazione è significativa al livello 0,05 (2-code).*.

La correlazione è significativa al livello 0,01 (2-code).**.

R2 come comunalità iniziale

Ripetendo tale stima per tutti gli items, abbiamo una stima iniziale

delle varianze spiegabili per ogni item

Matrice di correlazioneVarianza spiagabile dell’item= comunalità iniziale nella AFC

Ra12

?Ra22

Ra32

Ra42

Fattorializzazione

A questo punto i vari metodi di AFC:

estraggono i fattori

calcolano le nuove comunalità sulla base dei fattori estratti

riestraggono i fattori sulla base della matrice con le nuove

comunalità

fin quando il criterio stabilito (e.s minimo errore, massima

verosimiglianza) è soddisfatto

Esemplificazione del processo di fattorializzazione

Correlazioni

1 .084 .154 .242*.409 .126 .015

100 100 100 100.084 1 .514** .231*.409 .000 .021100 100 100 100.154 .514** 1 .588**.126 .000 .000100 100 100 100.242* .231* .588** 1.015 .021 .000100 100 100 100

Correlazione di PearsonSig. (2-code)NCorrelazione di PearsonSig. (2-code)NCorrelazione di PearsonSig. (2-code)NCorrelazione di PearsonSig. (2-code)N

a1

a2

a3

a4

a1 a2 a3 a4

La correlazione è significativa al livello 0,05 (2-code).*.

La correlazione è significativa al livello 0,01 (2-code).**.

.5

.6

.3

.2

I vari R2

211̂ 21 FaFav viFviFi +=

Calcolo delle saturazioni e varianze fattori

Calcolo delle criterio (esempio mimimizzare la differenza fra

variabili riprodotte e osservate)

minimo11̂ =− ii vv 211̂ 21 FaFav viFviFi +=

Stima delle variabili riprodotte dai fattori

22

21)1̂var( viFviFi aav +=

Calcolo nuove comunalitàRicomincia il ciclo

AFC

Conduciamo un AFC sui soliti items con il metodo minimi quadrati

AFC

Definiamo le variabili su cui fare l’analisi

Andiamo a metodo “estrazione”

AFC

Selezioniamo metodo “minimi quadrati” ed il numero di fattori

prescelto

Per il resto procediamo come per ACP

Metodi di estrazione

SPSS fornisce diversi metodi di estrazione dei fattor comuni

Tutti i metodi hanno pregi e difetti

La miglior strategia è provarne vari e trovare quello che propone una struttura migliore

Il metodo degli ASSI PRINCIPALI e MASSIMA VERISIMIGLIANZA sono i metodi più usati

Quando i risultati di questi due metodi sono assurdi (ad esempio nel caso con troppe variabili e pochi soggetti), si può usare MINIMI QUADRATI

Risultati: Comunalità

Notiamo che la comunalità iniziale non è 1 ma varia tra item ad item

La comunalità finale (“estrazione”) è la comunalità risultalte dall’iterazione che ha estratto i fattori prescelti

Comunalità

.077 .203

.055 .100

.048 .093

.175 .254

.090 .171

.110 .170

.105 .158

.177 .438

.089 .069

v1 Scherzosov2 Estroversov3 Espansivov4 Divertentev5 Coloritov13 Diligentev14 Previdentev15 Serenov17 Stabile

Iniziale Estrazione

Metodo di estrazione: Minimi quadrati non pesati.

Generalmente, ma non necessariamente, la comunalità estratta è maggiore di quella di

partenza

Risultati: Varianza spiegata

Varianze spiegate dai fattor comuni, prima e dopo la rotazione

Notiamo che la varianza spiegata non coincide con gli autovalori, che sono calcolati con ACP

ACP che non ci interessa AFC non ruotata AFC ruotata

Risultati: Saturazioni

Saturazioni prima e dopo la rotazione VARIMAX

AFC non ruotataAFC ruotata

AFC vs ACP

Modello teorico

V1 V2 V3

Componente

ACP

V1 V2 V3

Fattore 1

AFC

AFC vs ACP

Decomposizione della varianza di ogni item

ACP AFC

v2

v3

v2F1

Comune

v2

v3

v2F1

Unica

Errore

AFC vs ACP

Comunalità

ACP AFC

v3

Iniziale

Finale

Errore

F1 v2v3

F1 v2

AFC vs ACP

Comunalità

ACP AFC

Comunalità

1.000 .4311.000 .2811.000 .2691.000 .4031.000 .3601.000 .3781.000 .3621.000 .5431.000 .187

v1 Scherzosov2 Estroversov3 Espansivov4 Divertentev5 Coloritov13 Diligentev14 Previdentev15 Serenov17 Stabile

Iniziale Estrazione

Metodo di estrazione: Analisi componenti principali.

Comunalità

.077 .179

.055 .095

.048 .086

.175 .783

.090 .210

.110 .201

.105 .158

.177 .372

.089 .221

v1 Scherzosov2 Estroversov3 Espansivov4 Divertentev5 Coloritov13 Diligentev14 Previdentev15 Serenov17 Stabile

Iniziale Estrazione

Metodo di estrazione: Minimi quadrati non pesati.

AFC vs ACP

Estrazione dei fattori

ACP

Prima tutti, poi un certo numero

Autovalori= varianza spiegata

% varianza totale spiegata non cambia

AFC vs ACP

Estrazione dei fattori

AFC

Ignoriamo ACPVarianza spiegata è

diversa dagli autovalori

% totale non cambia dopo la rotazione

AFC vs ACP

Saturazioni fattoriale non ruotate

ACP AFC

Matrice fattorialea

.153 .424

.195 .249

.149 .267

.482 .146

.281 .303

.380 -.161

.371 -.141

.584 -.312

.257 -.054

v1 Scherzosov2 Estroversov3 Espansivov4 Divertentev5 Coloritov13 Diligentev14 Previdentev15 Serenov17 Stabile

1 2Fattore

Metodo estrazione: minimi quadrati non pesati.2 fattori estratti. 4 iterazioni richieste.a.

Matrice di componentia

.251 .607

.310 .430

.254 .452

.622 .126

.430 .419

.511 -.342

.503 -.329

.612 -.411

.398 -.169

v1 Scherzosov2 Estroversov3 Espansivov4 Divertentev5 Coloritov13 Diligentev14 Previdentev15 Serenov17 Stabile

1 2Componente

Metodo estrazione: analisi componenti principali.2 componenti estrattia.

AFC vs ACP

Saturazioni fattoriale ruotate

ACP AFC

AFC

AFC rappresenta un modello più sofisticato dei dati

E’ preferibile AFC (rispetto a ACP) quando

Il modello teorico è forte

Si conosce il numero di fattori a priori

Si intende stimare un modello realistico

I risultati dell’AFC sono quasi sempre in linea con quelli dell’ACP

Tendono ad essere “peggiori” in termini di varianze spiegate e saturazioni

Tendono ad essere più realistici e più verosimili

Fine

Fine della Lezione