38
Analisi Numerica - 12 crediti D. Lera LEZIONE 1 Analisi Numerica - 12 crediti Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A. 2016-2017
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Analisi Numerica - 12 crediti
Daniela Lera
Università degli Studi di CagliariDipartimento di Matematica e Informatica
A.A. 2016-2017
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
INFORMAZIONI SUL CORSO
Il corso consiste in48 ore di lezioni teoriche48 ore di esercitazione in laboratorio
Orario
martedì 9-11 Aula D – 15-17 Laboratorio 5giovedì 9-11 Aula D – 15-17 Laboratorio 5venerdì 9-11 Aula D – nei giorni 21/10, 4/11, 18/11
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
INFORMAZIONI SUL CORSO
Sito web: http://people.unica.it/leradaniela/
Nel sito si possono scaricare le lezioni e le esercitazioni(con password)
E-mail: [email protected]: 070 6758517.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
Testi di riferimento
V. Comincioli, Analisi Numerica, Mc Graw-HillG.Rodriguez, Algoritmi Numerici, Pitagora Editrice,Bologna, 2008.A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri, Matematica Numerica,Ed. Springer, Milano.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
Altri testi di riferimento
F.Fontanella, A.Pasquali, Calcolo Numerico, Metodi edAlgoritmi Ed. Pitagora, Bologna.J.Stoer, R.Burlisch, Introduzione all’Analisi Numerica,Ed. Zanichelli, Bologna.E.Isaacson, H.B.Keller, Analysis of Numerical Methods,Ed. John Wiley, New York.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
CONTENUTI DEL CORSO - I parte
Scopo dell’Analisi Numerica
Richiami di algebra lineareRappresentazione dei numeri sul calcolatoreAnalisi degli erroriSistemi lineariApprossimazione di funzioni
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
CONTENUTI DEL CORSO - I parte
Scopo dell’Analisi NumericaRichiami di algebra lineare
Rappresentazione dei numeri sul calcolatoreAnalisi degli erroriSistemi lineariApprossimazione di funzioni
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
CONTENUTI DEL CORSO - I parte
Scopo dell’Analisi NumericaRichiami di algebra lineareRappresentazione dei numeri sul calcolatoreAnalisi degli errori
Sistemi lineariApprossimazione di funzioni
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
CONTENUTI DEL CORSO - I parte
Scopo dell’Analisi NumericaRichiami di algebra lineareRappresentazione dei numeri sul calcolatoreAnalisi degli erroriSistemi lineari
Approssimazione di funzioni
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
CONTENUTI DEL CORSO - I parte
Scopo dell’Analisi NumericaRichiami di algebra lineareRappresentazione dei numeri sul calcolatoreAnalisi degli erroriSistemi lineariApprossimazione di funzioni
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
CONTENUTI DEL CORSO - II parte
Integrazione Numerica
Risoluzione di equazioni non lineariSistemi non lineari: metodi di punto fissoDeterminazione di autovalori e autovettoriEquazioni differenziali: problema di Cauchy
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
CONTENUTI DEL CORSO - II parte
Integrazione NumericaRisoluzione di equazioni non lineari
Sistemi non lineari: metodi di punto fissoDeterminazione di autovalori e autovettoriEquazioni differenziali: problema di Cauchy
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
CONTENUTI DEL CORSO - II parte
Integrazione NumericaRisoluzione di equazioni non lineariSistemi non lineari: metodi di punto fisso
Determinazione di autovalori e autovettoriEquazioni differenziali: problema di Cauchy
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
CONTENUTI DEL CORSO - II parte
Integrazione NumericaRisoluzione di equazioni non lineariSistemi non lineari: metodi di punto fissoDeterminazione di autovalori e autovettori
Equazioni differenziali: problema di Cauchy
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
CONTENUTI DEL CORSO - II parte
Integrazione NumericaRisoluzione di equazioni non lineariSistemi non lineari: metodi di punto fissoDeterminazione di autovalori e autovettoriEquazioni differenziali: problema di Cauchy
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Info corso
MODALITA DELL’ESAME
Prova scritta. Due prove parziali in itinere (il primoparziale previsto nella prima settimana di Novembre, ilsecondo parziale a fine corso, prima di Natale), oppure1 prova scritta negli appelli ufficiali.Chi non supera il primo parziale non può sostenere ilsecondo ma deve fare la prova scritta ufficiale su tutto ilprogramma (I e II parte).Prova orale, con l’ausilio del calcolatore, per la verificadella parte teorica e dell’attività di laboratorio.(Ammessi alla prova orale solo se si supera la provascritta).
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1 L’Analisi Numerica è lo studio degli algoritmi per iproblemi del continuo.
Questa definizione, data da Trefethen, chiarisce quali sonogli obiettivi dell’Analisi Numerica, cioé sviluppare edanalizzare algoritmi per risolvere una particolare classe diproblemi, e precisamente quelli che coinvolgono variabilireali o complesse.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
La Matematica viene usata sempre più spesso per risolvereproblemi applicativi.Prevedere l’esito di un fenomeno o simulare l’andamento diun processo.
Il primo passo è la costruzione di un modello matematicodel fenomeno in esame, che prevede una profondaconoscenza della Fisica.
Spesso le equazioni del modello sono troppo complicateper poter essere risolte direttamente. Si associa quindi unproblema numerico in cui viene introdotta qualchesemplificazione o approssimazione, per renderlo risolubilenumericamente su un calcolatore.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1 Problema ben posto (Hadamard, 1924)
DefinizioneUn problema è ben posto se esso possiede, in unprefissato campo di definizione, una e una sola soluzione equesta dipende con continuità dai dati. In caso contrario sidice mal posto.
Esempi.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Problema instabile
Se la soluzione non dipende con continuità dai dati ilproblema è instabile, può accadere che una piccolissimaperturbazione sui dati possa portare ad una soluzione moltodifferente da quella corrispondente ai dati esatti.
Questa proprietà è molto importante nelle applicazioni reali,in cui spesso si ha a che fare con dati misuratisperimentalmente e quindi affetti da errore. Per questomotivo, anche quando il problema è stabile si cerca unamisura quantitativa di come la sua soluzione vengainfluenzata da una perturbazione dei dati.
Questa caratterizzazione viene detta condizionamento delproblema.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Condizionamento
DefinizioneSia δd una perturbazione dei dati d di un problema e sia δxla corrispondente perturbazione sulla sua soluzione x. Ilnumero di condizionamento assoluto K = K(d) è definitodalla relazione
||δx|| ≤ K||δd||
mentre il numero di condizionamento relativo k = k(d)verifica la disuguaglianza
||δx||||x||
≤ k||δd||||d||
.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Algoritmi
DefinizioneUn algoritmo è una sequenza univoca di un numero finitodi operazioni elementari che stabilisce come calcolare lasoluzione di un problema, assegnati certi dati iniziali.
Un algoritmo serve a risolvere problemi, ma non tutti iproblemi matematici sono effettivamente risolubili.
Esistono molti problemi applicativi che vengono modellizzatimediante problemi mal posti e che esigono, comunque,una soluzione.
Inoltre, non è detto che un problema ben posto si possarisolvere in pratica, se per esempio si hanno dati imprecisi odimensioni molto elevate.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Caratterizzazione degli Algoritmi
DefinizioneDefiniamo stabile (risp. instabile) un algoritmo nel quale lasuccessione delle operazioni non amplifica (risp. amplifica)eccessivamente gli errori presenti sui dati.
Non avrebbe senso considerare risolubile un problema alquale, a causa della propagazione degli errori, siamo ingrado di dare una soluzione inaccurata, o addirittura errata.Risulta cruciale la ricerca di algoritmi stabili.
Osserviamo che è possibile sviluppare un algoritmo stabilesolo in presenza di problemi ben condizionati.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Caratterizzazione degli Algoritmi
DefinizioneLa complessità computazionale di un algoritmo, per glianalisti numerici, è il numero delle operazioni in virgolamobile necessarie per risolvere un problema mediantel’algoritmo dato.
L’Analisi Numerica studia algoritmi che coinvolgono variabilireali o complesse e in genere il tempo di calcolo richiestodalle operazioni su queste variabili supera di gran lungaquello richiesto dalle altre istruzioni (operazioni su variabiliintere, spostamento di blocchi di memoria, etc.)
L’unità di misura è il flop: floating point operation =operazioni in virgola mobile.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Caratterizzazione degli Algoritmi
In genere non interessa conoscere con esattezza lacomplessità computazionale di un algoritmo, ma ci siaccontenta del suo ordine di grandezza rispetto alladimensione n del problema, ad es. O(1
2 n3) in luogo di12 n3 + 2n2 + n. (Vedi esempio)
Un’altra caratteristica fondamentale degli algoritmi èl’occupazione di memoria da essi richiesta. A volte lamole di dati è tale da dover ricorrere a tecniche dimemorizzazione particolarmente raffinate.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Risolubilità di un problema
Consideriamo un problema risolubile se questo è benposto e ben condizionato e per il quale esista unalgoritmo con caratteristiche di stabilità, complessità eoccupazione di memoria compatibili con la precisionerichiesta, la dimensione del problema, le caratteristiche delcalcolatore utilizzato e il tempo di calcolo ammissibile per lasua soluzione.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Richiami Algebra Lineare
Spazio LineareUno spazio lineare (o vettoriale) reale è un insieme X sucui sono definite due operazioni di somma e prodotto peruno scalare:
somma: x + y, x, y ∈ X
prodotto: α ∗ x, α ∈ R, x ∈ X
e per ogni α, β ∈ R e x, y, z ∈ X godono delle seguentiproprietà:
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Richiami Algebra Lineare
1 x + y ∈ X chiusura risp. somma2 αx ∈ X chiusura risp. prodotto3 x + y = y + x pr. commutativa4 (x + y) + z = x + (y + z) pr. associativa5 esiste 0 ∈ X tale che x + 0 = x elemento neutro6 esiste −x ∈ X tale che x + (−x) = 0 opposto7 α(βx) = (αβx) pr. associativa8 α(x + y) = αx + αy pr. distributiva in X9 (α+ β)x = αx + βx pr. distributiva in R
10 1x = x elemento neutro
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Richiami Algebra Lineare
Esempi
Gli spazi Rn e Cn di tutte le n-uple di numeri reali ecomplessi con le consuete operazioni di somma eprodotto per uno scalare.Lo spazio Mnxn di tutte le matrici nxn.Lo spazio Pn di tutti i polinomi di grado ≤ n.L’insieme dei polinomi di grado pari a n non è unospazio lineare, perché?
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Richiami Algebra Lineare
Esempi
Lo spazio C[a, b] di tutte le funzioni continue in unintervallo [a, b].Lo spazio C(m)[a, b] di tutte le funzioni con derivatecontinue fino alla m-esima in un intervallo [a, b].Lo spazio L2[a, b] delle funzioni a quadrato integrabilisu [a, b], cioé tali che:∫ b
af 2(x)dx <∞
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Richiami Algebra Lineare
Gli elementi di uno spazio lineare si chiamano vettori.
Un sottospazio è un sottoinsieme W ⊂ X che sia essostesso uno spazio lineare.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Richiami Algebra Lineare
Definizione
Dati gli elementi x1, x2, ..., xn di uno spazio lineare, la somma
α1x1 + α2x2 + ...+ αnxn
con α1, α2, ..., αn ∈ R si chiama combinazione lineare deivettori x1, x2, ..., xn
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Richiami Algebra Lineare
Definizione
I vettori x1, x2, ..., xn di uno spazio lineare X si diconolinearmente indipendenti se ∀α1, α2, ..., αn ∈ R vale laseguente relazione
α1x1 + α2x2 + ...+ αnxn = 0⇔ α1, α2, ..., αn = 0
In caso contrario sono detti linearmente dipendenti.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Richiami Algebra Lineare
Dire che n vettori sono linearmente indipendenti equivale adire che nessuno di essi è combinazione lineare degli altri.
Se in uno spazio lineare esistono n elementi x1, x2, ..., xn
linearmente indipendenti tali che ogni elemento y di X puòessere espresso come loro combinazione, cioé
y =
n∑i=1
αixi
con opportuni coefficienti αi, i = 1, ..., n, allora si dice che glielementi x1, x2, ..., xn costituiscono una base di X.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Richiami Algebra Lineare
La dimensione di uno spazio lineare è la cardinalità di unabase.
Quindi se in uno spazio lineare X esistono n elementilinearmente indipendenti e ogni insieme di n+1 elementi èlinearmente dipendente, si dice che X ha dimensione n.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Richiami Algebra Lineare
Esempi
1. I vettori x1 = (1, 0) e x2 = (0, 1) costituiscono una baseper R2 . Infatti, ogni coppia (a1, a2) può essere espressacome
(a1, a2) = a1(1, 0) + a2(0, 1)
2. Analogamente i vettori x1 = (1, 0, 0), x2 = (0, 1, 0) ex3 = (0, 0, 1) sono una base per R3.
3. Generalizzando x1 = (1, 0, ..., 0), x2 = (0, 1, ..., 0) ...xn = (0, 0, ..., 1) sono una base per Rn.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Richiami Algebra Lineare
Esempi
4. Le matrici:
M1 =
(1 00 0
)M2 =
(0 10 0
)
M3 =
(0 01 0
)M4 =
(0 00 1
)Sono una base per lo spazio delle matrici M2x2
(dimensione 4).5. I polinomi
1, x, x2, ..., xn
sono una base per lo spazio Pn dei polinomi di grado≤ n, che quindi ha dimensione n + 1.
AnalisiNumerica -12 crediti
D. Lera
LEZIONE 1
Richiami Algebra Lineare
Esempi
6. L’insieme di tutte le funzioni continue nell’intervallo [a, b]indicato da C[a, b] è uno spazio di dimensioneinfinita.
Non esiste un insieme finito di funzioni la cui combinazionelineare produce una qualsiasi funzione.
