Date post: | 01-May-2015 |
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ASCISSA SOPRA UNA RETTA
Sia data una retta r, si fissi:
1) Un verso positivo di percorrenza
2) Un punto O detto Origine
3) Un segmento u detto unità di misura
O
ur- r+ r
ASSE DELLE ASCISSE• Preso un punto P sull’asse delle ascisse, a P
si può sempre associare xPR, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo) xP è chiamata ascissa di P
• Viceversa, xR ! P r : x= xP .
• Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.
COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO
Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna:
1) Un verso positivo di percorrenza2) Una unità di misuraSi ottiene così un sistema di riferimento
cartesianoOrtogonale / obliquo Monometrico / dimetrico
COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO
• Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y)
III
III IV
ESEMPIO
2
1P=(2,1)
P=(-2,-1)
-2
-1
3P=(-2,3)
P=(2,-2)-2
ANGOLO
• Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo.
ANGOLO ORIENTATO
• Verso positivo di rotazione antiorario
+ a
b
-a
b
ARCO
• La parte di circonferenza compresa tra i lati dell’angolo.
A
B
SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI
• SESSAGESIMALE:
grado sessagesimale = la 360a parte dell’angolo giro.
• CENTESIMALE:
grado centesimale = la 400a parte dell’angolo giro
• RADIANTE
RADIANTE
• L’angolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio.
Misura in radianti di un angolo
• È uguale alla misura dell’arco diviso il raggio:
• Angolo giro = 2r / r = 2• Angolo piatto = r / r = • Angolo retto =
Misura in radianti di un angolo
0
/4
/4)
/2
Misura in radianti di un angolo
0
/6
/2
Misura in radianti di un angolo
• Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante:
360 : 2 = s : r
Ex: 360 : 2 = : r
r =
CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
• Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano, la circonferenza con raggio 1 e centro nell’origine è detta circonferenza goniometrica.
A=(1,0) x
y
Seno e coseno
• Seno = ordinata del punto M
• Coseno = ascissa del punto M
A=(1,0)
yM=(cos(), sin())
Tangente
• Tangente = ordinata del punto T
• tan() = sin() / cos()
T = (1, tan())
A=(1,0)
y
Cotangente
Cotangente = ascissa del punto T’
cot() = 1 / tan() = cos() / sin()
A=(1,0)
yB=(0,1) T’ = (cot(), 1)
f(x) = sin (x)
A=(1,0)
y
x
/2
/2)
2 x
y
-/2
/2
/2)
1
-1
Funzione seno
• Dominio R
• Codominio [-1, 1]
• Periodica di periodo 2
y = cos (x)
x
y
-/2
/2 /2) x
/2
/2)
A=(1,0)
y
x2
Funzione coseno
• Dominio R
• Codominio [-1, 1]
• Periodica di periodo 2
y = tan (x)
x
y
-/2 /2 /2)A=(1,0)
y T = (1, tan())/2
/2)
2
Funzione tangente
• Dominio = R \ /2 + k k Z
• Codominio = R
• Periodica di periodo
y = cot(x)
x
y
-/2 /2 /2)A=(1,0)
yB=(0,1) T’ = (cot(), 1)
/2
/2)
2
Relazione tra seno e coseno
• sin2(x) + cos2(x) = 1
A=(1,0)
yM=(cos(), sin())
)(cos1)sin( 2 xx
Relazione tra seno e coseno• Esempi:
cos (x) = ½ x [0, /2]
2
32/11)sin( 2 x
2
2
4
21)cos( x
],2
[2
2)sin(
xx
Relazione tra seno, coseno e tangente
• sin2(x) + cos2(x) = 1
)(cos
1)(tan1
22
xx
)(tan1
1)(cos
22
xx
)(tan1
1)cos(
2 xx
Relazione tra seno, coseno e tangente
• sin(x) = tan(x) cos(x)
)(tan1
1)tan()sin(
2 xxx
Valori in archi particolari : /6
2
1)
6sin(
2
3)
6cos(
3
1)
6tan(
3)6
cot(
Valori in archi particolari: /3
2
3)
3sin(
2
1)
3cos(
3)3
tan(
3
1)
3cot(
Valori in archi particolari: /4
2
2)
4sin(
2
2)
4cos(
1)4
tan(
1)4
cot(
ARCHI SUPPLEMENTARI
• La cui somma è :
sin() = sin()
cos() = - cos()
tan() = - tan()
cot() = - cot()
x
y
ARCHI che differiscono di
sin() = - sin()
cos() = - cos()
tan() = tan()
cot() = cot() x
y
ARCHI la cui somma è 2
sin(2) = - sin()
cos(2) = cos()
tan(2) = - tan()
cot(2) = - cot() x
y
ARCHI complementari
• La cui somma è :
sin() = cos()
cos() = sin()
tan() = cot()
cot() = tan()
x
y
ARCHI che differiscono di /2
sin() = cos()
cos() = - sin()
tan() = - cot()
cot() = - tan() x
y
EQUAZIONI GONIOMETRICHE
• Equazioni in cui le variabili compaiono come argomento di funzioni goniometriche.
sin(x) = a
cos(x) = a
|a| >1 impossibile
a = 1 1 soluzione fondamentale
a= -1 1 soluzione fondamentale
-1< a < 1 2 soluzioni fondamentali
EQUAZIONI GONIOMETRICHE
tan(x) = a
cot(x) = a
Mai impossibile
1 soluzione fondamentale
ESEMPI
sin(x) = ½
x1 = /6 + 2k
x2 = (/6) + 2k
2
2)cos( x
x1 = /4 + 2k
x2 = (/4) + 2k
ESEMPI
• tan(x) = 1
x = /4 + k
• cot(x) = -1
x = (3/4) + k