Automation diModena e Reggio Emilia Corso di …Assignment 2.2 Calcolare il modello matematico del...

Università degli Studidi Modena e Reggio Emilia

AutomationRobotics and

SystemCONTROL

Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica

CONTROLLI AUTOMATICI ED AZIONAMENTI ELETTRICIAZIONAMENTI ELETTRICI

CA - 02 – MODELLI DI SISTEMI FISICICesare Fantuzzi ([email protected])

Alberto Bellini ([email protected])www.automazione.unimore.it

La modellistica Matematica

I contesti di applicazione dei controlli automatici sono molteplici.

Un controllo automatico efficace richiede la conoscenza del comportamento del sistema da controllare

La modellistica matematica consente di: La modellistica matematica consente di:– Generalizzare il progetto del controllore.– Strutturare la conoscenza del sistema da controllare per il

progetto del controllore.

Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 2

Modelli Matematici di sistemidinamici

Considereremo sistemi descritti da equazioni differenziali tra derivate dei segnali di ingresso u(t) e derivate dei segnali di uscita y(t)

Sistemau(t) y(t)

Marzo - Giugno 2011

∑∑==

=n

jj

j

j

m

jj

j

j dt

udb

dt

yda

00

3CA-02-ModelliFisici

Notazione semplificativa

yDdt

yd jj

j

=


)(1

)(0

tyD

dttyt

=∫

Circuiti elettrici

Marzo - Giugno 2011

Q0 è la carica iniziale del condensatoreN1 e N2 sono i numeri di spire del circuito primario e secondario


Circuiti elettrici

Le unità di misura delle grandezze elettriche nel sistema SI sono: Variabili:

– [v] = V, Volt;– [i] = A, Ampere;– [Q] = C, Coulomb;

Parametri:– [R] = Ω, Ohm;– [L] = H, Henry;– [L] = H, Henry;– [C] = F, Farad;

In genere, i modelli matematici di circuiti elettrici (composizione di sistemielementari) si ricavano applicando le

leggi di Kirchhoff

che esprimono il bilancio delle cadute di potenziale lungo le maglie o dellecorrenti ai nodi:

Marzo - Giugno 2011 6CA-02-ModelliFisici

Circuiti elettrici

Le leggi di Kirchhoff esprimono il bilancio delle cadute dipotenziale lungo le maglie o delle correnti ai nodi:

v2

• La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla;

• La somma algebrica delle correnti in un nodo è nulla.

Marzo - Giugno 2011

v1 v3v4

v1= v2 + v3 + v4

i1

i2

i4

i3

i1 + i2 + i3 +i4 = 0


Circuiti elettrici - Esempio

Marzo - Giugno 2011

Volendo ricavare, anzichè la corrente i, la tensione d'uscita vu, si può operare la sostituzione

i(t) = C D vu(t), mediante la quale si ottiene (vC(t) = vu(t)) l'equazione differenziale

che mette in evidenza la relazione tra causa vi ed effetto vu.



dttdv

Ci

tvR

i

C

R

)(

)(1

=

=Kirchoff al

nodo Ai = iR + iC

A

i(t)v(t)

iCiR

ingresso uscita

condizioni iniziali nulle

Marzo - Giugno 2011

equazione differenziale dt

tdvCtv

Rti

)()(

1)( +=

ingresso uscita

iR

v CDv= +1equazione algebricanell'operatore D

Sistema del 1°ordine

1 accumulatoredi energia



equazione differenziale

( ) ∫+=t

i idC

tRitv0

1)( τ

∫=

=t

c

R

idv

Riv

0τ

Kirchoff alla magliavi = vR + vC


Sistema del 1° ordine

vi(t) vc(t)vR

i(t)

Marzo - Giugno 2011

differenziale C 0v Ri

CD i

Dv RDiC

i

i

i

= +

= +

−1

1

1equazione algebricanell'operatore D

1° ordine

Se interessa v c come uscita

cCDvi = ( ) ci vRCDv 1+=ricordando che



tdv )(11dt

tdvCi

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)(

)(1

)(1

=

=

∫=

Kirchoff al nodo A

i = iL+ iR + iC

A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita


Marzo - Giugno 2011

equazione integro-differenziale dt

tdvCtv

Rdttv

Lti

)()(

1)(

1)( ++∫=

equazione differenzialedel 2°ordine 2

211

dt

vdC

dt

dv

Rv

Ldt

di ++=

derivando ambo i membri

equazione algebricanell'operatore D

Sistema del 2°ordine

2 accumulatoridi energia11CA-02-ModelliFisici


dttdv

Ci

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)(

)(1

)(1

=

=

∫=

Kirchoff al nodo A

i = iL+ iR + iC

A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita


Marzo - Giugno 2011

Se come uscita interessa la corrente nell'induttanza, ricordando che

v LDi=

Consente di ricavare l'uscitav(t) a partire dall'ingresso i(t)



dttdv

Ci

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)(

)(1

)(1

=

=

∫=

Kirchoff al nodo A

i = iL+ iR + iC

A

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita


Marzo - Giugno 2011


v RiR=Se come uscita interessa la corrente nella resistenza, ricordando che


Circuiti elettrici - EsempioA

i(t)v(t)

iL iCiR

ingresso uscita dttdv

Ci

tvR

i

dttvL

i

C

R

L

)(

)(1

)(1

=

=

∫=

Kirchoff al nodo A

i = iL+ iR + iC


Marzo - Giugno 2011


vC

D iC= −1 1Se come uscita interessa la corrente nei diversi componenti, ricordando che:


Assignment 2.1

Si calcoli il modello matematico del sistema elettrico

v2(t)v1(t)


ingresso uscita

Sistemi meccanici

In generale si cerca di adottare modelli a costanti concentrate, perchè di più facile impiego, anche se spesso alquanto approssimativi e meno aderenti alla realtà di quanto non lo siano nel caso dei circuiti elettrici: ad esempio, in un modello a costanti concentrate la massa di una molla, (distribuita) è supposta trascurabile o concentrata agli estremi della molla.

Si cerca di adottare modelli lineari, anche se ciò implica la limitazione dello studio a variazioni relativamente piccole delle grandezze in gioco.studio a variazioni relativamente piccole delle grandezze in gioco.


Sistemi meccanici

Nella deduzione dei modelli, per semplicità si farà riferimento a moti di traslazione lungo una sola direzione e di rotazione attorno ad un solo asse.

Le equazioni differenziali che descrivono il moto dei sistemi meccanici si ricavano di regola esprimendo l'equilibrio delle forze e delle coppie applicate a ciascuna delle parti in movimento.

Per ottenere il modello dinamico di un sistema meccanico in moto Per ottenere il modello dinamico di un sistema meccanico in moto traslatorio è fondamentale la legge di Newton:

dove– m è la massa concentrata,– f è la risultante di tutte le forze applicate, – x lo spostamento risultante ( è quindi l'accelerazione).

Marzo - Giugno 2011

f1

f2

f3

f4 f5

f


Sistemi meccanici

Per un corpo in rotazione attorno ad un asse la legge di Newton si scrive

essendo:– J il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione,– c la risultante delle coppie, θ la rotazione del corpo.

Marzo - Giugno 2011

θ

c


Sistemi meccanici I sistemi meccanici in moto traslatorio si possono considerare costituiti dai componenti

elementari:

la massa, in cui si concentrano le forze di inerzia,

la molla, in cui si concentrano le forze di richiamo elastico,

mf2

xf1

f fKin cui si concentrano le forze di richiamo elastico,

(se per x1 = 0 e x2 = 0 la molla non è caricata)

l'ammortizzatore, in cui si concentrano le forze di attrito viscoso.

Si suppone che gli estremi di tali componenti meccanici siano sottoposti a moto traslatorio orizzontale.

Marzo - Giugno 2011

f fx1 x2

f fx1 x2B


Sistemi meccanici

Analogamente per sistemi in moto rotatorio:

– Forze coppie– Masse inerzie

c(t), θ (t) c(t), θ (t)K

c(t), ω(t) J

Marzo - Giugno 2011

c(t), θ1(t) c(t), θ2(t)K

Bc(t), ω1(t) c(t), ω2(t)


Sistemi meccanici

Riduttorec1(t), ω1(t)

c2(t), ω2(t)

In un riduttore ideale (senza perdite per attrito e con accoppiamento perfetto tra gli ingranaggi), la velocità viene ridotta del fattore kr

Poiché in questo meccanismo la potenza entrante deve essere uguale a quella uscente

la coppia risulta amplificata .


Sistemi meccanici

Altri elementi:Cinghia/puleggia Vite a ricircolazione di sfere

Marzo - Giugno 2011

CammaBiella/manovella


Sistemi meccanici

Le unità di misura delle grandezze meccaniche nel sistema SI sono:

Variabili: [f] = N, Newton; [x] = m, metri; = m/sec, velocità; = m/sec2, accelerazione.

Oppure (caso rotatorio)

Variabili:[c] = N m;[θ] = rad;

= rad/sec;= rad/sec^2.

Parametri: Parametri: [M] = kg, chilogrammi; [K] = N/m, coefficiente di rigidezza; [B] = N sec/m, coefficiente

di attrito viscoso.

Marzo - Giugno 2011

Parametri:[J] = kg\,m^2;[K] = N\,m/rad, coefficiente di rigidezzatorsionale;[B] = N\,m\,sec/rad, coefficiente di attritotorsionale.


Sistemi meccanici - Esempio Carrelli con attrito u(t)

m2

x2(t)

m1

x1(t)

Applicando la legge di Newton a ciascuna massa si ottiene


Sistemi meccanici - Esempio

Carrelli con attrito

La variabile osservata del sistema è la velocita di m2 e quindi

u(t)m2

x2(t)

m1

x1(t)

Dalle due eq.ni differenziali, utilizzando l'operatore D, si ottiene:



Da

Si ricava

Se si considerano per esempio per i parametri i valori numerici:

si ottiene l'equazione differenziale

la cui soluzione y(t) descrive l'andamento dell'uscita in funzione dell'ingresso u(t) e delle condizioni iniziali y(t_0) =



Le coppie applicate in questo caso sono:– coppia esterna c(t)– coppia dovuta alla molla torsionale ck(t) = k θ(t)– coppia dovuta all'attrito torsionale cb(t) = B

Applicando la legge di Newton si ha


Assignment 2.2

Calcolare il modello matematico del seguente sistema

u(t)

m2

B2

R2

R


u(t)

x2(t)

m1

x1(t)B1 B12

B2R1 R12

Effetti non lineari - Attrito

Nei sistemi meccanici esistono fenomeni nonlineari che, per la discontinuità delle caratteristiche, non sono suscettibili neppure di una linearizzazione locale: il più importante di questi è l'attrito.

Per rimanere nel campo dei modelli lineari si dovrebbe considerare il solo attrito viscoso. In realtà è presente anche l'attrito secco o attrito al distacco, consistente in una forza che

equilibra la forza applicata, impedendo l'inizio del moto, finché questa non supera una soglia F_d, oltre la quale inizia il movimento e la forza si annulla.

Inoltre può essere presente l'attrito coulombiano, caratterizzato da una forza nulla quando il corpo è immobile, costante quando esso è in movimento e tale da opporsi al moto.

L'attrito al distacco e l'attrito coulombiano sono fenomeni tipicamente nonlineari, per cui, finché l'approssimazione risulta accettabile, nei modelli matematici si considera il solo attrito viscoso.


Effetti non lineari - Saturazione

SaturazioneLa saturazione è un fenomeno comune a tutti i processi fisici: l'uscita y del sistema è proporzionale all'ingresso xsolo in un certo intervallo di valori, mentre rimane praticamente costante al di fuori di esso.


Effetti non lineari – Elasticita’ Elasticità

Si fa, quando possibile, l'ipotesi che i corpi con cui si tratta siano rigidi. A causa della presenza di inevitabili elasticità strutturali, i modelli che si ricavano con le ipotesi di corpi rigidi sono validi solo in opportune bande di frequenze, che per definizione sono al di sotto delle frequenze naturalidelle strutture definite da questi effetti.

Se possibile, si deve prestare attenzione a non eccitare queste frequenze. Una regola di tipo empirico che si può adottare è quella di far sì che la pulsazione del sistema complessivo (con il controllo) sia sì che la pulsazione del sistema complessivo (con il controllo) sia inferiore di quella naturale

non è semplice determinare ω0

Marzo - Giugno 2011 31 CA-02-ModelliFisici

Effetti non lineari – Isteresi…

IsteresiIl sistema di attuazione (riduttore) introduce solitamenteun qualche effetto di isteresi. Nel caso di riduttori, è dovuto al gioco d esistente tra gli ingranaggi.– x: spostamento in ingresso– y: spostamento in uscita– y: spostamento in uscita


Effetti non lineari - Isteresi

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−1

−0.5

0

0.5

1Ingresso − Uscita (dash)

0

0.5

1Isteresi (d = 0.6)

Il movimento dell'ingranaggio “pilota” non sitrasmette all'altro fino a quando i denti delledue ruote non sono in contatto. Se la velocitàdi x cambia segno, allora y rimane costanteper un certo tratto.

Marzo - Giugno 2011

−1 0 1−1

−0.5

Non linearità a “due valori”: per ogni x vi sono

2 possibili valori di y, a seconda della “storia”

dell'ingresso. Si possono avere instabilità o

oscillazioni permanenti (cicli limite)


Sistemi meccanici – Effetti non lineari

Zona mortaL'uscita non risente di variazioni dell'ingresso contenute in una data banda.




SystemCONTROL

SCHEMI A BLOCCHI


Schemi a blocchi

Un sistema viene rappresentato graficamente con un blocco, e le sue variabili mediante collegamenti con l'ambiente esterno o con altri sistemi.

S

Marzo - Giugno 2011

S

S1 S2


Schemi a blocchi

Un sistema orientato è un sistema in cui le variabili sono suddivise in– Variabili di ingresso (cause)– Variabili di uscita (effetti)

Non sempre la suddivisione tra ingressi ed uscite (cause ed effetti) è

Su1(t)

u2(t)

u3(t)

y(t)

ingressi

uscita

Non sempre la suddivisione tra ingressi ed uscite (cause ed effetti) è univoca


Ra Lac(t), ω(t)

Le

va(t)

ia(t)

ve(t)

ie(t)

Schemi a blocchi

I sistemi (sottosistemi) possono essere connessi tra loro mediante le variabili di ingresso/uscita.

Le variabili sono indicate con frecce, e in uno schema oltre ai blocchi che descrivono i sistemi vi possono essere – nodi sommatori e – nodi sommatori e – punti di diramazione.


++

-

u1(t)

u2(t)

u3(t)

y(t) u(t)

y1(t)

y2(t)

y3(t)

Schemi a blocchi

Connessione in cascata (serie):l’uscita del primo costituisce l’ingresso del secondo

S1 S2y2(t) = y(t)u(t) = u1(t) y1(t) = u2(t)

Connessione in parallelo:stesso ingresso


S1

S2y2(t)

u(t)

y1(t)u1(t)

u2(t)

Schemi a blocchi

Connessione in retroazione: i sistemi sono collegati ad anello e si influenzano reciprocamente

S1

y1(t)u1(t)


S2u2(t)

y2(t)

Riduzione di schemi a blocchi

Spesso i sistemi complessi vengono rappresentati con schemi a blocchi, i cui elementi hanno ciascuno un solo ingresso e una sola uscita.

Blocchi elementari per la rappresentazione di sistemi puramente algebricisono

x y

Saturazione: che rappresenta un elemento nonlineare, la cui caratteristica ingresso-uscita è tracciata schematicamente entro il blocco stesso

La seconda rappresentazione verrà estesa anche ai sistemi dinamici lineari stazionari, introducendo, al posto della costante di proporzionalità, la funzione di trasferimento, che comprende ogni informazione relativa al comportamento dinamico ingresso-uscita (a partire da una condizione iniziale di quiete).


Kx y

Guadagno: che rappresenta un elemento lineare, caratterizzato dalla costante di proporzionalità K che lega l'uscita all'ingresso

y(t) = K x(t), specificata di regola entro il blocco stesso

Riduzione di schemi a blocchi -Regole

Riduzione di blocchi in cascata:

Riduzione di blocchi in parallelo:



Scambio di giunzioni sommanti

Spostamento di un punto di prelievo di segnale a monte di un blocco:



Spostamento di un punto di prelievo a valle di un blocco:

Spostamento di una giunzione sommante a monte di un blocco:



Spostamento di una giunzione sommante a valle di un blocco:

Eliminazione di un anello:


Riduzione di schemi a blocchi

Le regole viste prima corrispondono a semplici operazioni sulle equazioni algebriche rappresentate dagli schemi a blocchi.

Mediante queste otto regole fondamentali, si possono ridurre schemi a blocchi comunque complessi fino a giungere ad una forma minima.giungere ad una forma minima.


Riduzione di schemi a blocchiForma minima

Per i sistemi con un solo ingresso ed una sola uscita, in un solo blocco

Per i sistemi con più ingressi e più uscite in un numero di blocchi pari al prodotto del n.o degli ingressi per il n.o delle uscite nb = ni X nu


Esercizio

Ridurre lo schema a blocchi:

G1

c(t)r(t) G3

+ +

-G2

B

d(t)


G1 G3

H1

--

H2

G2

Assignment 2.3

Ridurre lo schema a blocchi:

G1y(t)u(t)

G2

H

+

-

+

-

++

-


H2H1



SystemCONTROL

CLASSIFICAZIONE DEI SISTEMI


Sistemi Dinamici/Statici

Sistema statico/dinamico– modello matematico dei sistemi statici

• equazioni algebriche (sistemi privi di memoria)– l'uscita del sistema dipende solo dal valore assunto

dall'ingresso in quell'istante– relazione tra tensione e corrente in un resistore

– modello dei sistemi dinamici.– modello dei sistemi dinamici.• equazioni differenziali (sistemi con memoria)

– l'uscita del sistema non dipende solo dal valore assunto dall'ingresso in quell'istante, ma anche da quelli passati

– relazione tra tensione e corrente in un condensatore


Esempi

Sistema statico (algebrico)i(t)

v(t) R

0 50 100 150 200 250 3000

10

20

30

40

50

60

Tempo (s)

V, I

Sistema dinamico


i(t)

v(t) R

C

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Modelli a parametri concentrati

Le caratteristiche fisiche dei sistemi dinamici sono distribuite nel sistema fisico stesso:

– - massa– - elasticità– - resistenza– - ...

Nella descrizione dei modelli dinamici, se è possibile fare delle approssimazioni che permettono di concentrare in uno (o pochi) punti tali caratteristiche e quindi ottenere notevoli semplificazioni nelle loro espressioni matematiche. Si hanno i cosiddetti modelli a parametri concentrati.

Nella pratica, anche se è chiaro che tutte le caratteristiche dei sistemi fisici sono distribuite, si cerca ove possibile di avere modelli a parametri concentrati.


Modelli a parametri concentrati

I modelli a parametri concentrati sono espressi da equazionidifferenziali ordinarie, che sono funzioni solo del tempo:

Se non è possibile considerare come concentrati alcuni dei Se non è possibile considerare come concentrati alcuni deiparametri del modello, allora si deve ricorrere a equazioni alledifferenze parziali. Infatti, la dinamica non dipende solo daltempo ma anche, per esempio, dallo spazio:


Modelli a parametri costanti nel tempo

Se le proprietà di un dato sistema sono indipendenti dal tempo (costanti), allora i relativi parametri sono costanti. I relativi modelli sono detti stazionari o invarianti.

Per tali sistemi si ha la ripetibilità degli esperimenti: l'uscita che si ottiene applicando al sistema a uno stato iniziale x0, un ingresso al tempo t0 è uguale (a parte una traslazione nel tempo) a quella che si ottiene (con lo stesso stato iniziale x0) applicando lo stesso ingresso ottiene (con lo stesso stato iniziale x0) applicando lo stesso ingresso all'istante t-δ.

Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 550 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (s)

x, y

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (s)

x, y

Modelli a parametri costanti neltempo

Da un punto di vista pratico, è raro che i parametri di un sistema non cambino nel tempo.

D'altra parte, è sufficiente che essi non varino in modo apprezzabile in un arco temporale confrontabile alla durata dell'esperimento.durata dell'esperimento.

Nei modelli stazionari, non ha importanza l'istante di inizio dell'osservazione, che viene quindi solitamente considerato uguale a zero: t0 = 0


Risposta da stato zero, con ingresso zero, completa

In generale, l'uscita y(t) di un sistema dinamico per t ¸ t0dipende:– dall'ingresso u(τ) applicato in [t0, t];– dallo stato iniziale x0 che ha il sistema per t =t0.

Risposta da stato zero (o risposta forzata)Si dice risposta da stato zero o risposta forzata la Si dice risposta da stato zero o risposta forzata la risposta yZS(t) di un sistema che è inizialmente in quiete (ingresso ed uscita nulli) e che viene sollecitato da un ingresso non nullo.

Il sistema, senza l'applicazione dell'ingresso non nullo, rimarrebbe indefinitivamente nella condizione di quiete.



1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Pos

, V

el

Risposta all`impulso (caso ideale)

f

Risposta da stato zero

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

Tempo [sec]

Pos

, V

el


x(t)

Palla inizialmente in quiete (v0 = 0), sollecitata da una forza impulsiva (piano con attrito non nullo).


Risposta con ingresso zero (o risposta libera) Si dice risposta con ingresso zero o risposta libera la risposta yZI(t) di

un sistema che è sollecitato da un ingresso nullo. Se il sistema è inizialmente in quiete (ingresso ed uscita nulli), vi

permane per t > t0, altrimenti vi è una evoluzione dell'uscita.

0.09

0.1

Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 590 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 10-5

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Tempo [sec]

i(t)

Condensatore inizialmente carico (q(t0) = q0 ≠ 0); la variabile di uscita è la corrente i(t) nel circuito.


Risposta completa Si dice risposta completa la risposta di un sistema che si trova

inizialmente in condizioni non di quiete ed è sollecitato con ingresso non nullo.

E’ in questo caso necessario conoscere sia l'ingresso applicato che lo stato iniziale in cui si trova il sistema.

ESEMPIO: Data una massa m che nell'intervallo [t0, t1] cade in caduta libera, soggetta alla sola forza di gravità -g, non è possibile in t = t1 calcolarne la posizione e/o la velocità se non si conoscono la posizione e la velocità iniziali.



0 0.5 1 1.5 2-0.5

0

0.5

1Posizione

0 0.5 1 1.5 2-6

-4

-2

0

2

4Velocita`

v0 = 0 m/s


0 0.5 1 1.5 2-0.5

0 0.5 1 1.5 2-6

0 0.5 1 1.5 2-0.5

0

0.5

1

1.5Posizione

0 0.5 1 1.5 2-6

-4

-2

0

2

4Velocita`

v0 = 2 m/s

Modelli lineari

Una funzione f: C -> C è lineare sse gode delle seguenti proprietà:

1) Additività

2) Omogeneità

Un modello dinamico è lineare sse valgono le seguenti tre proprietà:1) la risposta con ingresso zero è lineare rispetto allo stato iniziale;1) la risposta con ingresso zero è lineare rispetto allo stato iniziale;2) la risposta da stato zero è lineare rispetto all'ingresso;3) la risposta completa coincide con la somma della risposta con ingresso zero

e della risposta da stato zero:

Spesso, l'ipotesi di linearità di un sistema è una approssimazione che si applica considerando opportune limitazioni sugli ingressi e uscite del sistema stesso.

In generale infatti i sistemi fisici NON sono lineari, e possono essere considerati tali solo entro opportuni intervalli di `funzionamento'.


Modelli lineari

ESEMPIO: Si consideri la risposta completa di un sistema dinamico

in cui x0 = x(t0) è lo stato iniziale.in cui x0 = x(t0) è lo stato iniziale.

La risposta è somma della risposta con ingresso zero e da stato zero, però il sistema è non lineare poiché la risposta non è lineare né rispetto allo stato iniziale (x0

2) né rispetto all'ingresso (u2).


Modelli lineari - Esempii Si consideri la risposta completa del sistema dinamico

Il sistema è non lineare poichè la risposta non è lineare rispetto all'ingresso (u2).

Si consideri la risposta completa del sistema dinamico

Il sistema è lineare poiché:– la risposta è somma della risposta con ingresso zero e da stato

zero;– la risposta è lineare rispetto allo stato iniziale;– la risposta è lineare rispetto all'ingresso.Marzo - Giugno 2011 CA-02-ModelliFisici 64

Modelli lineari Molti sistemi ammettono modelli matematici lineari purché i valori

delle variabili non escano da determinati intervalli

x

q1

Si consideri il sistema di figura, costituito da un serbatoio: la portata entrante q1 è funzione lineare della posizione x dello stelo di una valvola q1= K x si suppone che la portata uscente q2 sia indipendente dal livello z.


zz2

q2

Modelli lineari

Il modello matematico del sistema è espresso dall'equazione integrale lineare

o, equivalentemente, dall'equazione differenziale (ottenuta derivando rispetto al tempo ambo i membri)

in cui z indica il livello dell'acqua nel serbatoio (in m), Z0 il livello iniziale, q1 e q2le portate entrante e uscente (in mc/sec), A l'area della sezione orizzontale del serbatoio (in mq).

Tale modello è evidentemente valido entro i limiti

in cui X1, X2, Z1 (=0) e Z2 rappresentano rispettivamente i valori minimo e massimo della posizione dello stelo della valvola e del livello nel serbatoio.


Modelli lineari –Proprietà di sovrapposizione degli effetti

Per i sistemi lineari vale una proprietà molto importante:

La sovrapposizione degli effetti.

Linearità rispetto allo stato inizialeQuesto caratteristica dei sistemi dinamici risulta evidente (ed utile) nello studio dei sistemi nello spazio degli stati. Viene qui citata solo per completezza, ma non verrà utilizzata nel seguito, in quanto si è maggiormente interessati ad una rappresentazione dei sistemi non basata sul concetto di stato.



Linearità rispetto all'ingressoSia dato un sistema inizialmente in quiete. Si applichino (singolarmente) i q ingressi ui(t), i=1, …, q, t ¸ 0, ottenendo le corrispondenti risposte forzate yZS,i(t): u(t) y(t)

ΣΣΣΣ

La linearità rispetto all'ingresso implica che se si applica al sistema l'ingresso

allora si ottiene l'uscita



Esempio :

Additività delle risposteProprietà di additività della risposta libera e della risposta forzata.


Sommario

Abbiamo visto come modellare:– i sistemi elettrici attraverso le leggi della elettrotecnica e– I sistemi meccanici attraverso le leggi della meccanica

classica.– Descrivere mediante schemi a blocchi l’interconnessione

tra sistemi e sottosistemi.tra sistemi e sottosistemi.

Riferimenti al libro di testo:– La modellistica di sistemi fisici è trattata in vari esempi

sparsi sul libro di testo.– Gli schemi a blocchi sono trattati nel capitolo 5 a partire da

pag. 119.




SystemCONTROL

MODELLI DI SISTEMIFINE


Date post:	12-Jul-2020
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