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Progettazione Impianti pe l’architettura A.A. 2013-2014
Coefficiente di trasmissione del calore per convezione – Metodo dell’analisi
dimensionale
ing. Simona Bartocci e-mail: [email protected]
Coefficiente di scambio termico per convezione
La potenza termica scambiata per convezione tra una superficie e un fluido può essere valutata con
la relazione di Newton
La valutazione del coefficiente di scambio termico è difficile poiché è funzione della
fluidodinamica, delle proprietà termiche del fluido e della geometria del sistema. Il suo valore
numerico in generale non è uniforme sulla superficie e dipende dal punto in cui si misura la
temperatura del fluido. Il coefficiente convettivo dipende:
1. forma ed estensione della superficie di scambio, per il deflusso esterno, o della sezione di
deflusso nel caso di deflusso interno, lunghezza caratteristica L o diametro equivalente D
2. condizioni fluidodinamiche medie nella posizione d’interesse:
- velocità media w
3. proprietà fisiche del fluido che influenzano direttamente il campo di moto del fluido:
- densità, la viscosità dinamica,
- il trasporto di calore:
- conduttività termica e calore specifico cp.
Coefficiente di scambio termico per convezione
Per la determinazione del coefficiente di scambio termico convettivo sono utilizzabili 4 metodi
generali:
1. Analisi Dimensionale combinata con esperimenti
2. Soluzione matematica esatta delle equazioni dello strato limite
3. Studio approssimato dello strato limite con metodi integrali
4. Analogia tra il trasporto di calore e, materia e quantità di moto
Tutti e quattro queste tecniche hanno contribuito alla comprensione dello scambio termico per
convezione.
L’analisi dimensionale è semplice da un punto di vista matematico ed ha trovato un vasto campo di
applicazione. La principale limitazione è che i risultati ottenuti non sono completi e del tutto inutili
senza dati sperimentali.
Un altro limite è legato al fatto che non da alcuna informazione sulla natura del fenomeno. Infatti
per applicare l’analisi dimensionale è necessario conoscere precedentemente quali variabili
influenzano il fenomeno ed il successo, o il fallimento, del metodo dipende dalla opportuna scelta
di queste variabili. E’ necessario quindi disporre di una teoria preliminare o avere una completa
comprensione fisica del fenomeno prima di usare l’analisi dimensionale.
Analisi dimensionale
Quando si studia un particolare fenomeno fisico occorre considerare un certo numero di grandezze
che sono in qualche modo interessate dal fenomeno.
GRANDEZZE
Le grandezze che vengono definite direttamente e indipendentemente dalle altre vengono dette
fondamentali e le loro unità di misura costituiscono le unità fondamentali; le altre grandezze, la cui
definizione viene fatta in funzione di quelle fondamentali, sono dette derivate, e così pure le sue
unità di misura.
DIMENSIONE DI UNA GRANDEZZA
Si chiama dimensione di una grandezza derivata rispetto ad una grandezza fondamentale
l’esponente della potenza di questa grandezza fondamentale cui la grandezza derivata è
proporzionale
OGNI LEGGE FISICA può essere espressa mediante una relazione fra le varie grandezze
interessate, relazione che si può immaginare risolta (a parte le eventuali difficoltà analitiche)
rispetto ad una di tali n grandezze, che chiameremo y, la quale risulta essere espressa in funzione
delle altre x1, x2, …xn-1
y=f(x1, x2, …xn-1 )
Analisi dimensionale
TEOREMA DI BUCKINGMAN
Ogni legge fisica può essere espressa in funzione di un certo numero di parametri
adimensionali.
Occorre a questo scopo un numero di parametri adimensionali Pk che sia
almeno uguale al numero n delle grandezze che intervengono nel
fenomeno in questione meno quello m delle grandezze fondamentali scelte
per definirle, cioè (n-m) parametri adimensionali.
Quindi in virtù di questo teorema la relazione precedente può essere scritta nel seguente
modo:
P=F(P1;P2….Pn-m-1)
Analisi dimensionale
TEOREMA DI BUCKINGMAN
Per servirsi di questo metodo occorre:
1. Stabilire quali sono le grandezze fisiche che intervengono in modo essenziale nel
problema in esame;
2. Determinare i raggruppamenti adimensionali di tali grandezze, in base ai quali si può
esprimere la legge del fenomeno in esame;
3. Effettuare una serie di esperienze, facendo assumere via via valori diversi alle varie
grandezze, e correlare i dati sperimentali calcolando per ogni esperienza i valori che i
parametri adimensionali assumono in quel caso particolare
I risultati possono essere sintetizzati in diagrammi o tabelle che
stabiliscono una relazione fra i vari parametri adimensionali,
relazione che rappresenta la legge del fenomeno studiato
Analisi dimensionale
L’UTILITA’ DELL’ANALISI DIMENSIONALE nello studio dei fenomeni fisici
proviene da due fatti
1. Il teorema di Buckingman consente di ridurre da n ad n-m il numero dei parametri
da considerare per rappresentare la legge del fenomeno
2. Mediante l’uso dei parametri adimensionali, è possibile estendere l’applicazione dei
dati dell’esperienza anche a situazioni non direttamente sperimentate
Analisi dimensionale
IL METODO DEGLI INDICI
Il compito dell’analisi dimensionale è quello di determinare quali sono i raggruppamenti
adimensionali delle variabili fisiche, in base ai quali può essere espressa la legge del
fenomeno che si vuole studiare. Tali parametri rientrano tutti certamente nella forma
generale di gruppo:
cioè un prodotto di tutte le n grandezze x1; x2….xn che interessano il fenomeno,
ciascuna elevata ad un esponente (indice) incognito, il quale deve essere determinato
servendosi della condizione che l’intero gruppo deve risultare adimensionale rispetto a
ciascuna delle grandezze fondamentali.
Quando le grandezze da cui il fenomeno dipende sono numerose, come nel caso della
convezione è conveniente utilizzare il METODO DEGLI INDICI, che consente di
determinare in modo sistematico tutti i parametri adimensionali occorrenti.
Analisi dimensionale
IL METODO DEGLI INDICI
ESEMPIO:
Si vogliono determinare i possibili raggruppamenti adimensionali di quattro grandezze:
1. Veolocità u
2. Dimensione geometrica (lunghezza l)
3. Densità δ
4. Viscosità dinamica μ
Che intervengono in tutti i problemi di moto dei fluidi reali
La formula generale di gruppo si scrive nel seguente modo:
Trattandosi di un problema di natura meccanica, le grandezze fondamentali sono tre: la
lunghezza L, massa M e tempo τ
Si ricaverà quindi un solo parametro adimensionale in quanto n-m=4-3=1
Analisi dimensionale
IL METODO DEGLI INDICI
Le equazioni dimensionali delle 4 grandezze che ci interessano, in funzione delle tre
fondamentali, sono come è noto:
[u]= [ L•τ-1 ]
[l]= [ L ]
[δ]= [ M•L-3 ]
[μ]= [ M• L-1•τ-1 ]
Sostituendo queste espressioni nella precedente si ottiene
Cioè
Analisi dimensionale
IL METODO DEGLI INDICI
Se il gruppo deve risultare adimensionale, occorre che i tre componenti di L,M, τ siano
tutti identicamente nulli. Occorre che siano soddisfatte contemporaneamente le tre
relazioni lineari tra gli indici:
Il sistema delle tre equazioni lineari contiene quattro incognite; esso può perciò essere
risolto esprimendo tre degli indici incogniti in funzione del quarto, ad esempio i3, cui si
possono assegnare valori arbitrari. Si trova così:
Analisi dimensionale
IL METODO DEGLI INDICI
Pertanto al relazione sopra diventa
Il parametro adimensionale cercato è dunque il numero di Reynolds:
In conclusione, l’analisi ci consente di affermare che, in un qualunque problema di moto
dei fluidi reali, il numero di Reynolds è uno dei parametri adimensionali da considerare.
Analisi dimensionale
In casi complessi i gruppi adimensionali che ci interessano possono essere trovati con il
seguente procedimento
1. Stabilito l’elenco delle n grandezze fisiche da cui si ritiene che il fenomeno dipenda,
si scrive la forma generale di gruppo lasciando indeterminati gli indici
2. Si scrivono le equazioni dimensionali delle suddette grandezze fisiche in funzione
delle m grandezze fondamentali
3. Si sostituiscono tali espressioni nella forma generale di gruppo in modo tale da
ottenere un prodotto di potenze delle grandezze fondamentali: gli esponenti delle
potenze sono espressioni lineari negli indici incogniti i1…in
4. Si impone la considerazione che il gruppo abbia dimensione zero rispetto a tutte le
grandezze fondamentali, cioè si eguagliano a zero le suddette espressioni lineari
negli indici i. Si ottiene così un sistema di m equazioni lineari nelle n incognite i. Ad
(n-m) indici possono essere assegnati valori arbitrari, dopo di che gli altri restano
determinati risolvendo il sistema. Infine si trova una espressione che assume la forma
di un prodotto di (n-m) parametri adimensionali elevati ad altrettanti indici arbitrari. I
parametri in questione sono quelli cercati.
Analisi dimensionale
APPLICAZIONE DELL’ANALISI DIMENSIONALE ALLA CONVEZIONE TERMICA
Nel caso della convezione termica il problema fondamentale consiste nel trovare
un’espressione per il fattore di convezione hc.
1. Consideriamo le grandezze fisiche che influenzano il fenomeno:
- Dimensione geometrica, l
- Velocità del fluido, u
- Viscosità, μ
- Densità, δ
- Conduttività termica interna λ
- Calore specifico, c
- Coefficiente di dilatazione termica per accelerazione di gravità, (ag)
- Differenza di temperatura della superficie del corpo scaldante (o raffreddante) e la
temperatura del fluido, θ
- Fattore di convezione, hc
2. Consideriamo le grandezze fondamentali:
Lunghezza (L), massa (M), tempo (τ), temperatura (T), quantità di calore (Q)
IL NUMERO DI PARAMETRI ADIMENSIONALI E’ (9-5)=4
Analisi dimensionale
APPLICAZIONE DELL’ANALISI DIMENSIONALE ALLA CONVEZIONE TERMICA
La forma generale di gruppo comprende 9 grandezze che intervengono nello studio della
convezione termica, quindi:
Si considerano a questo punto le equazioni dimensionali delle 5 grandezze fondamentali:
M, L, T, Q e τ
Analisi dimensionale
APPLICAZIONE DELL’ANALISI DIMENSIONALE ALLA CONVEZIONE TERMICA
Sostituendo le equazioni dimensionali della forma generale di gruppo si ha:
Affinché P sia adimensionale è necessario che gli esponenti di ciascuna dimensione siano
nulli.
Ottengo così 5 equazioni lineari negli indici ik.
Analisi dimensionale
APPLICAZIONE DELL’ANALISI DIMENSIONALE ALLA CONVEZIONE TERMICA
Si hanno così 5 equazioni e 9 incognite. Il sistema può essere risolto in funzione di 4 dei 9
indici.
Le grandezze scelte sono: hc, u, (ag), c
Si risolve il sistema in funzione di questi 4 indici e si ottengono le seguenti espressioni dei
rimanenti 5 indici:
Con tali valori degli indici, la forma generale di gruppo diviene
Analisi dimensionale
APPLICAZIONE DELL’ANALISI DIMENSIONALE ALLA CONVEZIONE TERMICA
Ossia
L’analisi dimensionale permette di concludere che la trasmissione del calore per convezione
può essere studiata mediante una relazione fra i 4 parametri adimensionali, Nu, Pr, Gr, Re.
In molti casi si può esprimere tale legge nella forma suggerita dall’analisi degli indici, cioè:
Dove le 4 costanti devono essere determinate utilizzando i risultati sperimentali, mediante un
metodo di interpolazione
Analisi dimensionale
SIGNIFICATO DEI PARAMETRI ADIMENSIONALI
1. Numero di NUSSELT (Nu)
Rapporto fra la quantità di calore trasmesso per convezione e la quantità di calore trasmesso
per sola conduzione.
2. Numero di PRANDTL (Pr)
Rapporto fra viscosità cinematica (𝜈) che regola la trasmissione della quantità di moto per
effetto della viscosità in presenza di un gradiente di velocità e la diffusività termica (D) che
regola la trasmissione di calore per sola diffusione termica (conduzione termica) quando esiste
un gradiente di temperatura
Analisi dimensionale
SIGNIFICATO DEI PARAMETRI ADIMENSIONALI
3. Numero di REYNOLDS (Re)
Può essere interpretato come il rapporto fra la quantità di moto che attraversa l’unità di area
nell’unità di tempo unitario (δu2) e la forza d’attrito viscoso per unità di area (μ u/l) che
compensa la quantità di moto.
Non contiene alcuna grandezza termica
2. NUMERO DI GRASHOF (Gr)
Rapporto fra forza di gravità per unità di area, dovuta alla differenza di densità provocata dalla
differenza di temperatura e forza d’attrito viscoso per unità di area.
Analisi dimensionale
Dall’analisi dimensionale si è potuto mostrare che il fenomeno della convezione può essere
rappresentato mediante la relazione che esprime il numero di Nu in funzione di altri tre
parametri: Re, Gr e Pr.
Nei problemi concreti è quasi sempre possibile dedurre informazioni che consentono di
ridurre a tre, e talvolta a due soltanto, il numero dei parametri indipendenti che occorre
effettivamente considerare.
In particolare:
a) CONVEZIONE FORZATA
È in generale lecito trascurare l’effetto della gravità rispetto ai moti imposti
Ne segue che per la determinazione del numero di Nusselt e quindi del
fattore di convezione hc il numero di Grashof ha scarsa importanza
rispetto al numero di Reynolds.
I parametri da considerare si riducono quindi a tre: Nu, Re e Pr
Analisi dimensionale
b) CONVEZIONE NATURALE
La velocità dei moti in seno al fluido in questo caso non sono il risultato di cause esterne
meccaniche, come nella convezione forzata, ma sono invece una conseguenza delle stesse
cause termiche che determinano la trasmissione del calore; la velocità non va perciò
considerata come variabile indipendente quindi non lo è neppure Re.
I parametri da considerare quindi sono: Nu, Pr e Gr.
c) Quando il fluido che si considera è un gas, il numero di Pr, che contiene solo grandezze
caratteristiche del fluido, risulta assai poco variabile da un gas all’altro (varia poco anche
con la temperatura). Pertanto tale numero può non essere considerato come variabile.
- Nel caso di CONVEZIONE FORZATA NEI GAS il problema può
essere trattato considerando i parametri Nu e Re
- Nel caso di CONVEZIONE NATURALE NEI GAS si considerano solo
Nu e Gr
Analisi dimensionale
Si esaminano ora i casi accennati confrontando le conclusioni dell’analisi dimensionale,
assistita dall’esperienza, con le osservazioni precedentemente effettuate.
CONVEZIONE FORZATA
È importante Re.
Il moto è laminare se Re<1500-2000, è turbolento se Re è maggiore di qualche migliaio.
Quindi
Nu= f(Re;Pr)
Se i moti sono turbolenti, in un condotto, questa relazione può essere posta nella forma
Nu= A*Re0.8*Prn
Con n=0.3-0.4 e A=costante
Per i gas Pr è quasi costate: si ha Pr=0.37 per i gas monoatomici, Pr=0.7 per i biatomici e
Pr=0.8 per i triatomici
Analisi dimensionale
CONVEZIONE NATURALE
Nu= f(Gr;Pr)
E può essere espresso nella forma
Nu= A*(Gr*Pr) n
- Il valore della costante A dipende dalla disposizione geometrica generale (forma,
orientamento delle superfici limite)
- Se il valore di (Gr*Pr) è molto piccolo, non si hanno affatto moti convettivi. Se ha valori
intermedi (10^4<Gr*Pr<10^8) si ha moto laminare ed n è circa ¼.
Per valori più grandi (10^9<Gr*Pr<10^12) il moto è turbolento ed n è circa 1/3.