Controlli automatici - II · 2019. 5. 1. · I controlli automatici – II a parte 2 dt dV Q in =...

I controlli automatici – IIa parte 1

I controlli automatici – IIa

parte 1 – Definizione del modello matematico

Cerchiamo adesso di applicare quanto detto sui sistemi di controllo ad un caso pratico di processo (elementare): lo svuotamento ed il riempimento di un serbatoio quale, ad esempio, lo sciacquone del bagno di casa. L’operazione può essere descritta attraverso 3 variabili:

▫ volume V di liquido contenuto nel serbatoio; ▫ portata di liquido in ingresso Qin; ▫ portata di liquido in uscita Qout;

La variabile controllata è rappresentata dal volume V (noi vogliamo che lo sciacquone sia sempre pieno!), il disturbo è dato dalla portata in uscita Qout che improvvisamente può passare dal valore zero ad un massimo che determina lo svuotamento del serbatoio. La variabile manipolata è quindi la portata in ingresso Qin che permette di riempire nuovamente il serbatoio riportando il volume al valore originario V0 (set-point) che esso aveva prima del disturbo. In assenza di un adatto sistema di controllo il riempimento del serbatoio deve essere fatto manualmente aprendo la valvola posta sulla tubazione di ingresso e chiudendola poi quando il volume di liquido abbia raggiunto il valore desiderato. Le tre variabili su indicate sono legate tra loro da una relazione matematica che esprime il bilancio di materia sul serbatoio:

t

VVQQ

inizialefinale

outin

−

=−

Dove coi simboli Q si sono indicate le portate volumetriche medie nel tempo t. Eseguendo il bilancio relativo ad un intervallo di tempo infinitesimo dt ed indicando col simbolo Q le portate istantanee:

dt

dVQQ

outin=− (1)

In condizioni normali di funzionamento le portate Qin e Qout sono entrambe nulle ed il volume di liquido nel serbatoio è costante e pari a V0. L’intervento della variabile di disturbo Qout, che assume un valore diverso da zero, determina improvvisamente lo svuotamento del serbatoio all’istante t = 0. L’utilizzo della equazione (1), a partire da questo momento, ci consente di studiare il comportamento del sistema, ossia come il volume V di liquido contenuto nello sciacquone si modifichi nel tempo. Naturalmente tale comportamento dipenderà dal valore fatto assumere alla variabile Qin dal sistema di controllo adoperato. Una volta che lo scarico è avvenuto (e non ci sono perdite) Qout = 0 per cui l’equazione di bilancio si semplifica in:


dt

dVQ

in=

ossia, esprimendo il volume V di liquido come prodotto tra l’area A della sezione dello sciacquone e il livello h:

dt

dhAQ

in⋅= (2)

Nel caso in cui, invece, la portata in uscita non sia nulla per la presenza di una perdita avremo: avQ

outout⋅=

In cui vout è la velocità e a l’area della sezione di uscita del liquido. Velocità di flusso e livello h sono legati tra loro dall’equazione di Bernoulli1:

hgkvout

⋅⋅⋅= 2

In cui k è un coefficiente che dipende dalla geometria del sistema, dalle caratteristiche fisiche del liquido nonché, entro certi limiti, dalla stessa velocità di flusso vout. Supponendo che quest’ultima dipendenza sia poco significativa (ipotesi di moto turbolento pienamente sviluppato) e che quindi k sia costante nel tempo, potremo scrivere:

( )dt

dhAahgkQ

in⋅=⋅⋅⋅⋅− 2

dt

dhAhKQ

in⋅=⋅− (3)

La (2) o la (3) permettono una volta integrate, noto il valore della portata Qin, di ricavare l’andamento nel tempo del livello h. Saranno quindi possibili diversi casi, riportati nel seguito, a seconda del tipo di controllo impiegato. Prima di effettuare l’integrazione delle suddette equazioni, però, vale la pena di soffermarsi su alcune ipotesi semplificative che è opportuno fare per facilitare l’analisi matematica del problema:

1. Qualunque sia la legge secondo la quale il controllore interviene per regolare la portata di ingresso Qin (proporzionale P, proporzionale-derivativa PD, proporzionale-integrale PI, proporzionale-integrale-derivativa PID), si suppone che tale portata abbia sempre un valore inferiore a quello della portata massima che può alimentare lo sciacquone. Tale portata massima Qin,max è funzione del diametro del tubo di alimentazione, della pressione esistente nella rete idrica a monte della valvola di regolazione e della perdita di carico che si viene a determinare nella valvola quando questa è completamente aperta. Se tale ipotesi non fosse soddisfatta dovremmo infatti scrivere:

( )

==⇒<

=⇒≥

εfQQQQ se

QQQQ se

econtrollorininmaxin,econtrollorin

maxininmaxinecontrollorin

,,

,,,

Dove col simbolo ( )εf si è indicata la legge generica con la quale il controllore agisce sulla valvola di regolazione. Ad esempio, nel caso di controllore ad azione proporzionale, ( ) εε ⋅=

cKf e l’equazione di bilancio di materia, opportunamente integrata come vedremo,

porta ad ottenere per il livello h dell’acqua in funzione del tempo t l’espressione:

−⋅=

⋅− tA

Kc

ehh 10

Mentre se la portata di ingresso fosse costante e pari a quella massima ammissibile Qin,max il livello varierebbe linearmente nel tempo secondo la legge:

tA

Qh maxin, ⋅=

1 Supponendo che la perdita sia alla base del serbatoio, ovvero in corrispondenza della valvola di scarico dell’acqua e

dovuta ad un difetto di chiusura di questa.


Fig. 1 - Risposta del sistema per Qin,controllore ≥ Qin,max

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tempo t

live

llo

h Qin = Qin,max

Qin = Kc·ε

Qin = min(Qin,max , Kc·ε)

Avremo pertanto che, in base al valore fissato per la costante Kc del controllore e di quello assunto dall’errore ε:

−⋅=⇒


Fig. 2 - Effetto dell'azione di un controllo integrale

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20 25 30 35

tempo t

liv

ello

h

3. Nel caso in cui si consideri una portata uscente Qout > 0, ovvero si voglia integrare

l’equazione (3) per ottenere la funzione h(t), è evidente che la soluzione della suddetta

equazione diviene complicata per la presenza del termine non lineare h . In tal caso una semplificazione può consistere nell’utilizzare, nel bilancio differenziale, al posto della

portata istantanea Qout, la portata media outQ (assunta costante) valutabile come:

0

0

3

0003

2

2

3

11

0

0

hKh

Kh

hKh

Q

h

h

out⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= ∫

In tutti i calcoli per i diversi tipi di controllori (tranne che per quello On-Off dove l’integrazione è stata eseguita in modo esatto) si è adottata questa ipotesi semplificativa.

2 – Controllore On-Off

In questo schema il controllore agisce mantenendo costante la portata di ingresso (valvola completamente aperta) fino al momento in cui il livello h raggiunge il valore fissato di set-point h0. Dall’equazione di bilancio (2) separando le variabili ed integrando:

∫∫ ⋅=t

in

h

dtA

Qdh

00

tA

Qh in ⋅= (4)

Il livello dell’acqua quindi aumenterà in misura lineare col tempo, tanto più rapidamente quanto maggiore è la portata Qin. Ponendo, nella relazione su scritta, come valore per h quello h0 del livello finale, è possibile ricavare il tempo necessario affinché il serbatoio si riempia:

in

oriempimentQ

Aht

⋅

=0


Se la portata in uscita Qout non è nulla (ma comunque inferiore a quella in ingresso), l’integrazione della (3) fornisce2:

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

⋅⋅⋅−=

⋅+

⋅−

21ln

2

(5)

Il tempo di riempimento del serbatoio si ottiene ponendo nella (5) 0hh =

+

⋅−⋅⋅

⋅−=

0

01ln

2h

Q

hK

K

Q

K

At

in

in

oriempiment

La (3) è una equazione differenziale non lineare e, come già detto, per semplificarne la soluzione si può considerare costante la portata uscente Qout ponendo il suo valore uguale alla portata media:

0

3

2hKQhKQ

outout⋅⋅=≅⋅=

ottenendo così, come risultato finale dell’integrazione:

A

QQth outin

−

⋅≅ (6)

Diagrammando le (4), (5) e (6) otteniamo le figure 3 e 4. Dai due grafici si deduce che, come è logico, nel caso di portata uscente non nulla il tempo di riempimento del serbatoio si allunga e che, sempre nel caso in cui Qout sia diverso da zero, la linearizzazione della funzione h(t) (equazione (6)) comporta un errore trascurabile, rispetto alla soluzione esatta data dalla (5), solo per bassi valori del rapporto Qout / Qin.

Fig. 3 - Controllore On-Off Qout/Qin = 0.70

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq. (4)

Eq. (5)

Eq. (6)

Set-Point

Le figure 3 e 4 tuttavia non sono rappresentative di ciò che effettivamente succede sotto l’azione di un controllore di questo tipo in presenza di una portata uscente Qout ≠ 0. Infatti, una volta che il livello dell’acqua abbia raggiunto il valore di set-point, il controllore chiude la valvola di alimentazione. In presenza di una predita il serbatoio inizierà a svuotarsi con una velocità deducibile dall’equazione di bilancio fornita da: 2 Si veda a tale proposito la dimostrazione nell’Appendice n° 1.


h

dhdt

A

K

dt

dhAhK

dt

dhAQ

out=⋅−⇒⋅=⋅−⇒⋅=−

Relazione che, inegrata tra l’istante t1 e l’istante t, fornisce:

( )2

11

211

−⋅

⋅−=⇒=⋅− ∫∫ tt

A

Khh

h

dhdt

A

Kh

h

t

t

(7)

Quando il livello sarà sceso al di sotto del punto di intervento, il controllore riapre la valvola di alimentazione ed il livello risale nuovamente con una legge data dall’eq. (5b) dell’Appendice 1. L’intera sequenza di svuotamenti/riempimenti è raffigurata nella fig. 5

Fig. 4 - Controllore On-Off Qout/Qin = 0.30

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

livello

h

Eq. (4)

Eq. (5)

Eq. (6)

Set-Point

Fig. 5 - Effetto dell'azione di un controllore On-Off per Qout ≠ 0

0

10

20

30

40

50

60

0 20 40 60 80 100 120

tempo t

liv

ello

h Serie1

Set Point

Punto Intervento


3 - Controllore proporzionale P

Se la portata in ingresso è proporzionale all’errore ε: ( )hhKKQ

ccin−⋅=⋅=

0ε

Definito come la differenza tra il livello h0 dell’acqua all’inizio (prima del disturbo) e quello h all’istante t, l’equazione (2) diventa:

( )( )dt

hhdA

dt

dhAhhK

c

−

⋅−=⋅=−⋅0

0

Separando le variabili ed integrando tra il tempo 0 e l’istante t:

( )( )

( )

( )

0

0

0

0

00

0

lnln0

0

0

0

h

hhe

h

hhxt

A

K

x

dxdt

A

K

hh

hhddt

A

K

tA

K

hh

h

c

hh

h

t

cc

c −=

−==⋅−

=⋅−⇒−

−=⋅−

⋅−

−

−

∫∫

−⋅=

⋅− tA

Kc

ehh 10

(8)

Se la portata in uscita non fosse nulla (lo sciacquone ha un difetto di chiusura) avremmo invece:

( )dt

dhAQhhK

outc⋅=−−⋅

0

Ovvero:

( )( )[ ]

dt

QhhKd

K

AQhhK outc

c

outc

−−⋅

⋅−=−−⋅0

0

Separando le variabili ed integrando: ( )[ ]( )

( ) ( )

( )

outc

outct

A

K

outc

outcQhhK

QhK

c

outc

outcc

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

A

K

QhhK

QhhKddt

A

K

c

outc

outc

−⋅

−−⋅=

−⋅

−−⋅==⋅−

−−⋅

−−⋅=⋅−

⋅−

−−⋅

−⋅

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

−⋅

−=

⋅− tA

K

c

out

c

eK

Qhh 10

(9)

Le seguenti figure 6, 7 e 8 rappresentano il diagramma delle eq. (8) e (9) su scritte per diversi valori della costante Kc (guadagno o sensibilità) del controllore. Il calcolo porta a concludere che, in presenza di un disturbo permanente, il controllo proporzionale non consente al livello h di tornare al valore di set-point h0. Il livello tenderà ad un nuovo valore di regime che sarà tanto più vicino ad h0 quanto più elevato sarà il valore di Kc. I grafici permettono anche di notare come, all’aumentare del guadagno, l’azione del controllore proporzionale sia sempre più rapida e più simile a quella di un controllore On-Off.


Fig. 6 - Controllore Proporzionale P

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Kc = 0,1

Kc = 0,2

Kc = 1

Set Point


0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout = 0 ; Kc = 0.1

Qout > 0 ; Kc = 0.1

Set Point



0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

live

llo

h

Qout > 0 ; Kc = 0.1

Qout > 0 ; Kc = 0.2

Qout > 0 ; Kc = 1

Set Point

4 - Controllore proporzionale-derivativo PD

In presenza di un controllo PD proporzionale derivativo, l’equazione di bilancio (relativa a una portata uscente Qout diversa da zero e costante) diventa:

( )( )

dt

dhAQ

dt

hhdKhhK

outDcc⋅=−

−⋅⋅+−⋅

0

0τ

Ossia:

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )[ ]

dt

QhhKd

K

AKQhhK

dt

hhdAKQhhK

dt

hhdAQ

dt

hhdKhhK

outc

c

Dc

outc

Dcoutc

outDcc

−−⋅⋅

+⋅−=−−⋅

−⋅+⋅−=−−⋅

−⋅−=−

−⋅⋅+−⋅

0

0

0

0

00

0

τ

τ

τ

Separando le variabili ed integrando:

( )( )[ ]( )

( )( ) ( )

( ) ( )

outc

outct

AK

K

outc

outcQhhK

QhKDc

c

outc

outc

Dc

c

QhK

QhhKe

QhK

QhhKxt

AK

K

QhhK

QhhKddt

AK

K

Dc

c

outc

outc

−⋅

−−⋅

=

−⋅

−−⋅==⋅

+⋅

−

−−⋅

−−⋅

=⋅

+⋅

−

⋅

+⋅

−

−−⋅

−⋅

0

0

0

0

0

0

lnln0

0

τ

τ

τ

( )

−⋅

−=

⋅

+⋅

− tAK

K

c

out Dc

c

eK

Qhh

τ

10

(10)

È evidente che, ponendo nella (10) Qout = 0, si ottiene la risposta del sistema all’azione del controllo PD per una portata uscente nulla.


Le figure 9, 10 ed 11 rappresentano il grafico della eq. (10) per diversi valori delle costanti Kc e τD. Come si può notare, la presenza dell’azione derivativa peggiora la risposta (h tenderà più lentamente verso il valore di regime) e non serve ad eliminare l’offset. Il vantaggio dell’impiego di questo tipo di controllo sta però nel fatto che è possibile utilizzare valori elevati di Kc (riducendo l’offset a regime) senza per questo avere risposte troppo brusche (vedi fig. 11).

Fig. 9 - Controllore PD

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

τD = 0

τD = 5

τD = 10

Set Point


0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h Qout > 0 ; τD = 0

Qout > 0 ; τD = 10

Set Point



0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50 60

tempo t

liv

ello

h

Qout > 0 ; Kc = 0.1 ; τD = 10

Qout > 0 ; Kc = 0.2 ; τD = 10

Qout > 0 ; Kc = 1 ; τD = 10

Set Point

5 - Controllore proporzionale-integrale PI

Nel caso di controllore PI proporzionale integrale, il bilancio di materia diventa:

( ) ( )( )dt

hhdAQdthh

KhhK

out

t

I

c

c

−

⋅−=−⋅−⋅+−⋅ ∫ 00

00

τ

Nell’espressione su scritta, ponendo:

( ) ( )∫ ⋅−=t

dthhty0

0

Avremo:

2

2

dt

ydAQy

K

dt

dyK

out

I

c

c⋅−=−⋅+⋅

τ

Ovvero:

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=⋅

⋅

+⋅+

τ2

2

(11)

Che è un’equazione differenziale lineare del secondo ordine (non omogenea) a coefficienti costanti. L’equazione caratteristica della omogenea associata alla suddetta equazione è:

02

=

⋅

+⋅+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Chiamando z1 e z2 le radici di tale equazione caratteristica, la soluzione3 della (11) sarà:

I° caso: ⇒>⋅

⋅−

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

A⋅> 4τ

tztz ezcezchh ⋅⋅ ⋅⋅−⋅⋅−= 2122110

(12)

Dove:

3 Vedasi a tale proposito l’Appendice n° 2


2

4

2

2,1

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτ⋅

⋅−

±−

=

zz

h

zz

z

K

Qc ;

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

−+

−⋅

⋅=

−+

+

−⋅

⋅−=

ττ

II° caso: ⇒=⋅

⋅−

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

A⋅= 4τ

( )22110

11 cetccezhhtztz

⋅−⋅+⋅⋅⋅−=⋅⋅ (13)

Dove:

A

Kzz

c

⋅

−==

221

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc ;

K

Qc

ττ ⋅⋅+=

⋅−=

1021

III° caso: ⇒<⋅

⋅−

=∆ 04

2

I

cc

A

K

A

K

τc

I

K

A⋅< 4τ

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehh tt ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−= ⋅⋅ βββββα αα cossinsincos21210

(14)

Dove :

⋅⋅−

−⋅=

⋅−=⋅±=

I

ccc

A

K

A

K

A

K iz

τβαβα 4

2

1

2

2

2,1

β

τα

τc

Iout

c

IoutK

Qh

c ; K

Qc

⋅⋅+

=⋅

−=

0

21

Dal grafico della risposta di un controllore di questo tipo si deduce che: 1. l’azione integrale elimina l’offset; in altri termini, pur in presenza di un disturbo

permanente, il livello ritorna sempre al valore di set-point; 2. la risposta del sistema tende però a diventare di tipo oscillatorio, anche se tale tendenza è

meno pronunciata quando Qout ≠ 0, con un pendolarismo strettamente legato al valore delle costanti Kc e τI. In ogni caso, al diminuire dell’ampiezza dell’oscillazione, aumenta il tempo affinché la variabile controllata si stabilizzi sul valore di regime;

3. in questo tipo di controllo esiste un problema di scelta del valore ottimale da assegnare alle costanti suddette per rendere la risposta del sistema la migliore possibile.


Fig. 12 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 ; Kc·τI/A > 4

Qout = 0 ; Kc·τI/A = 4

Qout = 0 ; Kc·τI/A < 4

Set Point

Fig. 13 - Controllore PI

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout > 0 ; Kc·τI/A > 4

Qout > 0 ; Kc·τI/A = 4

Qout > 0 ; Kc·τI/A < 4

Set Point

6 - Controllore proporzionale-integrale-derivativo PID

Per un controllore proporzionale integrale derivativo PID, il bilancio sul serbatoio si scrive:

( ) ( )( ) ( )

dt

hhdAQ

dt

hhdKdthh

KhhK

outDc

t

I

c

c

−

⋅−=−

−

⋅⋅+⋅−⋅+−⋅ ∫ 000

00τ

τ

E, con la solita posizione:


( ) ( )∫ ⋅−=t

dthhty0

0

Avremo:

2

2

2

2

dt

ydAQ

dt

ydKy

K

dt

dyK

outDc

I

c

c⋅−=−⋅⋅+⋅+⋅ τ

τ

Ovvero:

( ) AKQ

yAK

K

dt

dy

AK

K

dt

yd

Dc

out

DcI

c

Dc

c

+⋅

=⋅

+⋅⋅

+⋅

+⋅

+

ττττ2

2

(15)

Sono possibili tre casi (la dimostrazione viene tralasciata perché del tutto identica al caso del controllore PI con le uniche differenze legate alle espressioni del discriminante della equazione caratteristica e del termine noto dell’equazione completa) :

I° caso: ( )

⇒>+⋅⋅

⋅−

+⋅=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+⋅>

c

DI

K

Aττ 4

tztz ezcezchh ⋅⋅ ⋅⋅−⋅⋅−= 2122110

(12)

Dove:

( )

2

4

2

2,1

AK

K

AK

K

AK

K

zDcI

c

Dc

c

Dc

c

+⋅⋅⋅−

+⋅±

+⋅−

=ττττ

−+

−⋅

⋅=

−+

+

−⋅

⋅−=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

II° caso: ( )

⇒=+⋅⋅

⋅−

+⋅=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+⋅=

c

DI

K

Aττ 4

( )22110

11 cetccezhhtztz

⋅−⋅+⋅⋅⋅−=⋅⋅ (13)

Dove:

( )AK

Kzz

Dc

c

+⋅⋅

−==

τ221

⋅⋅+=

⋅−=

c

Iout

c

Iout

K

Qzhc

K

Qc

τ

τ

102

1

III° caso: ( )

⇒<+⋅⋅

⋅−

+⋅=∆ 04

2

AK

K

AK

K

DcI

c

Dc

c

τττ

+⋅<

c

DI

K

Aττ 4


(14)

Dove:

( ) ( )

+⋅⋅⋅−

+⋅−⋅=

+⋅⋅−=

⋅±=

AK

K

AK

K

AK

K

iz

DcI

c

Dc

c

Dc

c

τττβ

τα

βα

42

1

2

2

2,1


⋅⋅+

=

⋅−=

β

τα

τ

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

0

2

1

La risposta del sistema sottoposto ad un’azione di controllo di questo tipo è diagrammata in fig. 14 per Qout = 0.

Fig. 14 - Controllore PID

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h

Qout = 0 ; Kc·τI/(Kc·τD+A) > 4

Qout = 0 ; Kc·τI/(Kc·τD+A) = 4

Qout = 0 ; Kc·τI/(Kc·τD+A) < 4

Set Point

Se ora disegniamo la risposta del controllore PID e la confrontiamo con quella di un controllore PI per un disturbo permanente otterremo un grafico del tipo illustrato nella fig. 15.

Fig. 15 - Controllore PID vs PI

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PID - Kc·τI/(Kc·τD+A) < 4

PI - Kc·τI/A < 4

Set Point


Come si può notare, la presenza dell’azione derivativa comporta un peggioramento della risposta del sistema che diventa più oscillatoria, ossia con periodo e ampiezza dell’oscillazione maggiori. Anche in questo caso inoltre, come in quello già discusso del controllore PI, esiste un problema legato alla scelta ottimale dei valori dei parametri Kc, τI e τD. 7 – Conclusioni

Riassumendo, dall’analisi delle risposte fornite dal sistema sotto l’azione dei diversi controllori è possibile trarre le seguenti considerazioni:

1. il controllore On-Off sarebbe in teoria il migliore tipo di controllo del nostro sciacquone per il suo basso costo e la sua maggiore efficienza in termini di tempo di riempimento. Il suo limite principale è legato al fatto che la risposta al disturbo può essere molto brusca (a meno di non prendere opportune precauzioni) poiché la valvola di alimentazione si apre subito al massimo e rimane in questo stato fino al cessare dell’azione del controllore. Inoltre, nel caso di perdite dovute a una non perfetta chiusura della valvola di scarico, il livello dell’acqua nel serbatoio oscillerà continuamente tra il valore impostato di set-point e il valore minimo al di sotto del quale il controllore si attiva;

2. il controllore proporzionale (P) può essere reso simile al controllore On-Off aumentando il valore del guadagno Kc ma è anche possibile, modulando opportunamente il valore di questa grandezza, rendere più “dolce” la risposta del sistema ossia meno intensa la portata di adduzione dell’acqua. Tale portata andrà comunque decrescendo nel tempo allungando i tempi di risposta rispetto al caso del sistema On-Off. In effetti il controllore proporzionale è quello universalmente più adoperato per questo tipo di processo anche se il suo limite principale risiede nell’impossibilità di riportare il livello sul valore di set-point nel caso di disturbi protratti nel tempo (presenza di offset);

3. l’aggiunta dell’azione derivativa a quella proporzionale (PD) è inutile o addirittura dannosa in un processo discontinuo quale è il riempimento del nostro sciacquone. In questo processo, infatti, il disturbo o ha una durata molto limitata (periodo nel quale il sistema di controllo in ogni caso non può agire date le caratteristiche costruttive dello sciacquone) o è costante nel tempo per cui l’errore ε è, comunque, una funzione monotona decrescente nel tempo. Per tale motivo l’aggiunta di questo tipo di controllo si traduce in un rallentamento della velocità di riempimento e si può giustificare soltanto se, contestualmente, si incrementa il valore del guadagno proporzionale Kc in modo da avere una risposta rapida, ma non troppo brusca, e con basso offset;

4. l’azione integrale, unita a quella proporzionale (PI), ha il grande vantaggio di eliminare l’offset in presenza di disturbi costanti, a spese però del comportamento oscillatorio assunto dal sistema. L’opportuno settaggio dei parametri di controllo (Kc e τI) può comunque consentire di ottenere una risposta adeguata alle necessità;

5. non esiste alcun motivo realmente valido per utilizzare un controllo di tipo PID per il processo discontinuo in questione. Oltre al maggior costo di questo tipo di apparecchiatura c’è da dire che l’azione derivativa, unita a quella integrale, peggiora in modo molto marcato la risposta del sistema, rallentandola e facendo aumentare l’overshoot (mentre in un sistema continuo si otterrebbe l’effetto esattamente opposto). L’unico vantaggio dell’utilizzo contemporaneo dei tre meccanismi di controllo (proporzionale, integrale e derivativo) si ha nella possibilità di regolare tre parametri (Kc , τI , τD) al posto di uno solo (Kc) o due (Kc e τI oppure Kc e τD) per ottimizzare la risposta. In effetti, incrementando la costante Kc insieme al tempo derivativo τD è possibile rendere la risposta del sistema veloce (ma non troppo rapida come si avrebbe in un controllo di tipo puramente PI) e nello stesso tempo ridurne considerevolmente il comportamento oscillatorio (vedi fig. 16 seguente).


Fig. 16 - PI vs PID (Kc,PID/Kc,PI = 10)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tempo t

liv

ello

h PI

PID

Set Point


Appendice 1: Integrazione dell’equazione di bilancio per un controllore On – Off

Data l’equazione:

dt

dhAhKQ

in⋅=⋅− (3)

Eseguendo la sostituzione:

dhdyyhyhy =⋅⋅⇒=⇒= 22 avremo

A

K

yA

Q

dt

dy

dt

dyyAyKQ

in

in

⋅

−

⋅⋅

=

⋅⋅⋅=⋅−

22

2

Ovvero ponendo:

A

K

A

Qin

⋅

=

⋅

=

22βα

βα−=

ydt

dy

E, introducendo la nuova variabile:

zdt

dz

z

dt

dz

zdt

dzy

dt

dy

dt

dy

ydt

dz

zy

yz

=⋅

+⋅−

⋅

+⋅−=⋅−=⇒⋅−=

+=⇒−=

2

22

2

1

1

β

α

α

β

α

αα

α

β

αβ

α

Abbiamo trasformato l’equazione originaria in una a variabili separabili:

( ) αβdt

dzzz

−=⋅

+⋅2

1

La frazione a primo membro può essere scomposta col metodo dei coefficienti indeterminati, ottenendo:

( ) ( ) ( )( ) ( )

=

−=+⋅−

=

−=

⇒

=

⋅−⋅⋅−=

−=

⇒

=⋅

=+⋅+⋅⋅

=+

=⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅

=⋅++⋅⋅++⋅⇒+

++

+=+⋅

2

22

2

2

2

222

2

22

1

12

1

1

2

1

02

0

12

11

β

ββ

β

β

β

β

β

ββ

β

ββ

βββ

βββββ

A

C

B

A

BAC

AB

A

CBA

BA

zCzBzBAzAzA

zCzzBzAz

C

z

B

z

A

zz

Per cui l’integrale fornisce:

( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫ ∫∫⋅−=⋅

+

+⋅

+

+⋅=⋅

+⋅

dtdzz

Cdz

z

Bdz

z

Adz

zz αβββ

11

22


( )( )

αβαα

β

β

ααα

β

αα

αβ

α

αα

αβ

α

αββ

tyy

Cy

t

CtyCy

A

CtyC

yyA

Ct

y

C

yB

yA

Ct

z

CzBzA

−=⋅

+

⋅−⋅

=⇒

=

=

+−=⋅

−

⋅−⋅

+−=⋅

−

−

−⋅

+−=

−

⋅+

−⋅

+−=+

−+⋅+⋅

1ln1

0'0

0

'1ln

'lnln

'lnln

'lnln

2

α

β

α

β

α

β2

1ln ⋅−=⋅

+

⋅− t

yy

Ovvero:

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

⋅⋅⋅−=

⋅+

⋅−

21ln

2

(5)

Mentre, se le condizioni iniziali fossero diverse, avremmo:

αβαα

β

β

111

2

1

11ln

1'

tyyC

yy

tt+

⋅+

⋅−⋅=⇒

=

=

Ossia:

+

⋅+

⋅−⋅+−=

⋅+

⋅−⋅

αβαα

β

βαβαα

β

β

111

221ln

11ln

1 tyytyy

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β 22

1

111ln1ln ⋅−=

⋅+

⋅+

⋅−−

⋅+

⋅− tt

yyyy

ininininininQA

Kt

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅+

⋅+

⋅−−

⋅+

⋅−

221ln1ln

22

1

11 (5b)

Poiché la (5) non fornisce esplicitamente l’altezza h in funzione del tempo t, è possibile approssimare il logaritmo del primo membro mediante espansione in serie. Avremo allora:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ∑∞

=

−=−

+⋅

−

−−⋅

−

−⋅

−

−−=−

+⋅++⋅+⋅+=

1

2

2

2

1ln

...01

1...

201

1

01

101ln1ln

...!

0...!2

0"0'0

n

n

n

n

n

n

n

xx

n

xxxx

n

xf

xfxffxf

I termini nella sommatoria sono decrescenti (si ricordi che il fattore in

Q

hKx

⋅

= è minore di 1 in

quanto rappresenta il rapporto tra la portata uscente e quella in ingresso al serbatoio). Limitando l’espansione in serie ai primi tre termini non nulli e sostituendo in (5):


ininin

ininininin

QA

Kt

Q

hhK

Q

hK

QA

Kt

Q

hK

Q

hK

Q

hK

Q

hK

⋅⋅

⋅≅

⋅

⋅⋅+

⋅

⋅

⋅⋅

⋅−≅⋅

+

⋅

⋅−

⋅

⋅−

⋅−

232

232

2

3

3

2

2

2

3

33

2

2

inininQA

Kt

Q

hK

Q

hK

⋅⋅⋅≅

⋅⋅+⋅

⋅

⋅

23

21

2

2

2

2

in

out

in

Q

QA

Qth

+

⋅⋅≅

1

1 (5c)

Dove, col simbolo outQ si è indicata la portata media uscente, ovvero:

0

3

2hKQ

out⋅⋅=

La (5c) può essere ulteriormente semplificata espandendo in serie anche il fattore

in

out

Q

Q+1

1:

( ) ( )...

01

1

01

1

01

1

1

1

1

1 232

+⋅

+

+⋅

+

−

+

=

+

=

+

xxx

Q

Q

in

out

E, trascurando i termini con esponente maggiore di 1 (in

out

Q

Q è minore di 1):

in

out

in

outQ

Q

Q

Q−≅

+

1

1

1

Per cui la (5c) diventa:

A

QQt

Q

Q

A

Qth outin

in

outin−

⋅=

−⋅⋅≅ 1 (6)


Appendice 2: Integrazione dell’equazione di bilancio per un controllore PI

Come visto, il bilancio di materia sul serbatoio, in presenza di controllo proporzionale integrale, porta a:

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

ydout

I

cc=⋅

⋅

+⋅+

τ2

2

(11)

La soluzione generale y(t) della suddetta equazione si ottiene sommando ad una sua soluzione particolare y0(t) la soluzione generale della equazione omogenea associata:

02

2

=⋅

⋅

+⋅+ yA

K

dt

dy

A

K

dt

yd

I

cc

τ

Poiché A

Qout (il termine a secondo membro della (1)) è una costante e può essere considerato un

polinomio di grado zero rispetto alla variabile tempo t e I

c

A

K

τ⋅

(il coefficiente della funzione

incognita y) è diverso da zero, la teoria risolutiva di questo tipo di equazioni impone che anche la soluzione particolare y0(t) sia un polinomio di grado zero del tipo: y0(t) = a e che deve rispettare la condizione:

( )c

Iout

c

Ioutout

I

ccout

I

cc

K

Qty

K

Qa

A

Qa

A

K

A

K

A

Qy

A

K

dt

dy

A

K

dt

yd

τ

τ

ττ

⋅=

⋅=⇒=⋅

⋅

+⋅+⇒=⋅

⋅

+⋅+

0

0

0

2

0

2

00

L’equazione caratteristica della equazione differenziale omogenea associata alla suddetta equazione è:

02

=

⋅

+⋅+

I

cc

A

Kz

A

Kz

τ

Avremo allora, in base al segno del discriminante di tale equazione: I° caso: 0>∆

c

I

I

c

I

cc

I

cc

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K⋅>⇒>⇒

⋅⋅>

⇒>

⋅⋅−

4

4404

22

τ

τττ

2

4

2

2,1

I

ccc

A

K

A

K

A

K

zτ⋅

⋅−

±−

=

E l’integrale generale dell’omogenea associata è: tztz ececy ⋅⋅ ⋅+⋅= 2121

II° caso: 0=∆

A

Kzz

K

A

A

K

A

K

A

K

A

K

A

K

c

c

I

I

c

I

cc

I

cc

⋅−==

⋅=⇒=⇒⋅

⋅=

⇒=

⋅⋅−

2

44

404

21

22

τ

τττ

L’integrale generale dell’omogenea associata è: ( )tccey tz ⋅+⋅⋅= ⋅21

1 III° caso: 0


⋅⋅−

−⋅=

⋅−=

I

ccc

A

K

A

K

A

K

τβα 4

2

1

2

2

L’integrale generale dell’omogenea associata diventa: ( ) ( )[ ]tctcey t ⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅ ββα sincos21

L’integrale generale dell’equazione completa (11) sarà allora: ▫ I° caso: ( )tyececy tztz

021

21+⋅+⋅=

⋅⋅

▫ II° caso: ( ) ( )tytccey tz021

1+⋅+⋅⋅=

⋅

▫ III° caso: ( ) ( )[ ] ( )tytctcey t021

sincos +⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅

ββα

L’integrale particolare, ottenuto ponendo le condizioni al contorno: ( ) ( )0

0'00 hyy == sarà:

▫ I° caso:

( )

( )

=⋅+⋅

⋅−=+

⇒

=⋅⋅+⋅⋅=

=⋅

+⋅+⋅=

⋅⋅

⋅⋅

02211

21

0

0

22

0

11

0

2

0

1

21

21

0'

00

hzczc

K

Qcc

hezcezcy

K

Qececy

c

Iout

zz

c

Ioutzz ττ

−

⋅⋅

+

=

⋅−

−

⋅⋅

+

−=

⇒

=⋅+⋅

⋅+−

⋅−−=

12

10

2

12

10

1

02212

21

zz

zK

Qh

c

K

Q

zz

zK

Qh

c

hzczK

Qc

K

Qcc

c

Iout

c

Ioutc

Iout

c

Iout

c

Iout

τ

τ

τ

τ

τ

−+

−⋅

⋅=

−+

+

−⋅

⋅−=

12

0

12

1

2

12

0

12

1

11

zz

h

zz

z

K

Qc

zz

h

zz

z

K

Qc

c

Iout

c

Iout

τ

τ

Per cui: ( ) tztz ezcezchhty ⋅⋅ ⋅⋅+⋅⋅=−= 21

22110'

tztz

ezcezchh⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅−=21

22110

▫ II° caso:

( ) ( )

( ) ( )

⋅⋅+=

⋅−=

⇒

=+⋅

⋅−=

⇒

=⋅+⋅+⋅⋅⋅=

=⋅

+⋅+⋅⋅=

⋅⋅

⋅

c

Iout

c

Iout

c

Iout

zz

c

Ioutz

K

Qzhc

K

Qc

hccz

K

Qc

hceccezy

K

Qccey

τ

τ

ττ

102

1

0211

1

02

0

21

0

1

21

0

11

1

00'

000

Per cui: ( ) ( )

22110

11' cetccezhhtytztz

⋅+⋅+⋅⋅⋅=−=⋅⋅

( )22110

11 cetccezhhtztz

⋅−⋅+⋅⋅⋅−=⋅⋅

▫ III° caso:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

=⋅

+⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅⋅

⋅

021

0

21

0

21

0

0cos0sin0sin0cos0'

00sin0cos0

hcceccey

K

Qccey

c

Iout

ββββββα

τββ

αα

α


⋅⋅+

=

⋅−=

⇒

=⋅+⋅

⋅−=

β

τα

τ

βα

τ

c

Iout

c

Iout

c

Iout

K

Qh

c

K

Qc

hcc

K

Qc

0

2

1

021

1

Per cui: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tctcetctcehhty tt ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=−= ⋅⋅ ββββββα αα cossinsincos'

21210


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