CONTROLLI AUTOMATICI
Ingegneria Gestionalehttp://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm
Ing. Federica Grossi
Tel. 059 2056333
e-mail: [email protected]
http://www.dii.unimore.it/wiki/index.php/Federica_Grossi
SISTEMI ELEMENTARI
DEL 1o E 2o ORDINE
Sistemi Elementari -- 2Controlli Automatici
Sistemi elementari
Sistemi elementari del 1o e 2o ordine:
• La funzione di trasferimento di un sistema comunque complesso può essere
vista come somma di funzioni di trasferimento del primo e secondo ordine, ad
esempio:
• La stessa proprietà vale per la risposta (somma delle risposte)
Sistemi Elementari -- 3Controlli Automatici
Sistemi elementari
Risposta al gradino:
• Viene usato come segnale d’ingresso u(t) un gradino unitario
• Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza K, la risposta sarebbe la
stessa moltiplicata per K (linearità):
t
1
u(t)
G(s)U(s) Y(s)
Yk(s) = G(s) KU(s) = K G(s) U(s) = K Y(s)
Sistemi Elementari -- 4Controlli Automatici
Sistemi elementari
Risposta al gradino:
• Nota la risposta al gradino, è molto semplice ricavare la risposta all’impulso,
alla rampa e a tuti i “segnali canonici” (con trasformata di Laplace del tipo 1/si,
i = 1, 2, 3, …)
• Dato:
Allora la risposta all’integrale di u(t) è data dall’integrale di y(t)
Quindi la risposta alla rampa la si può ottenere integrando la risposta al
gradino, la risposta alla parabola integrando quella alla rampa, e così via.
Sistemi Elementari -- 5Controlli Automatici
Sistemi elementari
Risposta al gradino:
• Inoltre, se u(0-) = 0, y(0-) = 0, l’uscita generata dalla derivata di u(t) è
la derivata di y(t)
Quindi ad esempio la risposta all’impulso è la derivata della risposta al gradino
(l’impulso può essere interpretato come la derivata del gradino).
Sistemi Elementari -- 6Controlli Automatici
Sistemi elementari – Primo ordine
• Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di
trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma
in cui la costante di tempo costituisce il parametro che caratterizza il
comportamento dinamico.
• La risposta al gradino unitario
è data da
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (t/tau)
y(t
)
Sistemi Elementari -- 7Controlli Automatici
Sistemi elementari – Primo ordine
• Sistema elementare del primo ordine
• Per la risposta a gradino, si ha:
• Cioè il valore iniziale è nullo e la
pendenza (tangente) vale 1/:
per t = la tangente
assume il valore di regime
0 1 2 3 4 5 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (t/tau)
y(t
)
Sistemi Elementari -- 8Controlli Automatici
Sistemi elementari – Primo ordine
• per t = la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di regime,
• per t = 2 il valore è pari all'86,5% del valore di regime,
• per t = 3 si raggiunge il 95,0% del valore di regime.
0.63
0.865
0.95
2 3
Risposta di un sistema del primo ordine
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (t/tau)
y(t
)
Sistemi Elementari -- 9Controlli Automatici
Sistemi elementari – Primo ordine
• Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il
5% del valore finale.
Per t = 5 si raggiunge il
99,3% del valore di regime.
Per t = 7 si raggiunge il 99,91
% del valore di regime, cioè
l'assestamento residuo rimane
inferiore all'un per mille.
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (t/tau)
y(t
)
0.95
Sistemi Elementari -- 10Controlli Automatici
Sistemi elementari – Primo ordine
• Al variare di varia la velocità di risposta del sistema
• Se Ta
0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Tempo (sec)
y(t
)
[1, 10]
= 10 = 1
xxxxxx
-1 -1/10
j
Poli più a “sinistra”
( piccoli)
corrispondono a risposte “più veloci”.
Sistemi Elementari -- 11
o
Controlli Automatici
Sistemi elementari – Primo ordine con zero
• Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema proprio)
• La risposta a gradino è data da
Essendo = T/ il rapporto tra le
costanti di tempo dello zero e del polo
(p = z)
= -1
= 1.5
= 0.5
x
= 1
j
> 1 < 1
oo
0 1 2 3 4 5 6-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo (t/)
Valore iniziale = Pendenza iniziale = (1-)/
Sistemi Elementari -- 12Controlli Automatici
Considerazioni generali sul controllo
• Requisiti/specifiche di un sistema di controllo
• stabilità
|e| limitato t (|u| limitato t)
• prestazioni statiche
valore dell'errore (modulo) a regime (esaurito il transitorio)
con segnale di riferimento e/o di disturbo standard
gradino, rampa,…
• prestazioni dinamiche
caratteristiche del transitorio
segnali di riferimento standard
Sistemi Elementari -- 13Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
• Spesso i sistemi in retroazione, anche se di ordine elevato, presentano una
risposta analoga a quella dei sistemi del secondo ordine.
Questo perché in genere la configurazione
poli-zeri di un sistema dinamico è
caratterizzata dalla presenza di una coppia di
poli “dominanti” complessi coniugati, cioè
una coppia di poli (i più vicini all'asse
immaginario) il cui contributo nell'espressione
del transitorio è notevolmente più importante
di quello degli altri poli.
x
x
x
xx
j
Sistemi Elementari -- 14Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
• Per le specifiche riguardanti la risposta al gradino (segnale tipico più frequentemente
impiegato) si fa riferimento ad un andamento della risposta analogo a quello di un sistema del
secondo ordine con poli complessi, cioè di tipo oscillatorio smorzato.
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tempo (t)
y(t
)
Sistemi Elementari -- 15Controlli Automatici
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tempo (t)
y(t
)
Sistemi elementari – Secondo ordine
• SPECIFICHE DINAMICHE (in transitorio)• I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità del transitorio di un
sistema del secondo ordine sono:
Massima sovraelongazione (o massimo sorpasso) S: differenza fra il valore massimo raggiunto dall'uscita e il valore finale; normalmente si esprime in % del valore finale.
Tempo di ritardo Tr: tempo per raggiungere il 50% del valore finale.
Tempo di salita Ts: tempo occorrente perchè l'uscita passi dal 10 al 90% del valore finale.
Tempo di assestamento Ta: tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il § 5% del valore finale.
Istante di massima sovraelongazione Tm: istante al quale si presenta la massima sovraelongazione.
S
Tr
Ts Ta
Tm
Sistemi Elementari -- 16Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
• Per il tipico sistema del secondo ordine, la cui funzione di trasferimento, a
meno di un fattore costante, si può porre nella forma
0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Tempo (wn * t)
y(t
)
I parametri definiti in precedenza dipendono dalla posizione dei poli nel piano complesso, legata a sua volta ai valori:
del coefficiente di smorzamento
della pulsazione naturale n.
= 2
= 0.1
Sistemi Elementari -- 17Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
La risposta al gradino unitario è data dalla relazione
0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Tempo (wn * t)
y(t
)
dove:
Sistemi Elementari -- 18Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
• Posizione dei poli della f.d.t. al variare di = cos()
Re(s)
Im(s)
0P1
xx
P2
Re(s)
Im(s)
0P1 = P2
nxx
Re(s)
Im(s)
0
p1
p2
n
Poli instabili!
Re(s)
Im(s)
0
p1
p2
n
Sistemi Elementari -- 19Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
• Caratteristiche della risposta poli della f.d.t.
Re(s)
Im(s)
0
p1
p2
n
-n
instabileveloce lento
transitorio
=1
n
>1
n
<1
5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
Risposte al gradino
Sistemi Elementari -- 20Controlli Automatici
Sistemi elementari
• Può interessare la relazione esatta fra il valore del coefficiente di smorzamento e quello della
massima sovraelongazione. Per ricavarla, si deriva rispetto al tempo la
Si ottiene
Ponendo la derivata uguale a zero, si ha
da cui
Sistemi Elementari -- 21Controlli Automatici
Sistemi elementari
• Si ricavano infine i valori dell'uscita in corrispondenza dei vari massimi e minimi
• L’andamento temporale dei massimi e dei minimi è il seguente:
Sistemi Elementari -- 22Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
• Anche il valore della massima sovraelongazione S in % si ricava facilmente:
In un sistema del secondo ordine la massima sovraelongazione è funzione
unicamente del coefficiente di smorzamento ed è uguale al 100 % quando tale
coefficiente è nullo.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
S %
Sistemi Elementari -- 23Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
• Il coefficiente di smorzamento dipende dalla posizione dei poli complessi
coniugati.
• Se il valore della massima sovraelongazione non deve superare un certo massimo
assegnato, i poli del sistema devono essere compresi in settore delimitato dalle
rette b e b’.
Sistemi Elementari -- 24Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
• Spesso si specifica anche il valore massimo del tempo di assestamento Ta. Un
limite superiore per Ta si può ricavare da
Il prodotto n è uguale in modulo, con segno opposto, alla parte reale dei poli del sistema: questo vincolo equivale a limitare la posizione dei poli a sinistra di una retta verticale.
Perché il tempo di assestamento sia non superiore al valore assegnato Ta, dovrà essere
Sistemi Elementari -- 25Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
SISTEMI DEL SECONDO ORDINE (0 < < 1)
Al variare di n si hanno andamenti (risposta al gradino) di questo tipo:
0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tempo (sec)
y(t
)
Risposta al variare di n (0.5 - 5)
NB: il coefficiente di smorzamentoè costante ( = 0.5) e quindi il sorpasso percentuale non cambia.
Sistemi Elementari -- 26Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
• Se i poli complessi coniugati
variano come in figura:
0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Tempo (sec)
y(t
)
Risposta ( = /2; T = 4)
Sistemi Elementari -- 27Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
• Se infine si considerano poli
come in figura:
0 5 10 15 20-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (sec)
y(t
)
Risposta (n = /2)
Sistemi Elementari -- 28Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
SISTEMI DEL SECONDO ORDINE ( >1)
Re(s)
Im(s)
0P1
xx
P2
x
- n
Poli reali:
Coincidenti per = 1
Distinti per > 1
Sistemi Elementari -- 29Controlli Automatici
Per = 1 (poli reali coincidenti) si ha:
e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla relazione
Per = 1 non si ha alcuna sovraelongazione: y(t) tende asintoticamente al valore finale senza mai superarlo.
Sistemi elementari – Secondo ordine
0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (wn
* t)
y(t
)
Sistemi Elementari -- 30Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
• Per > 1 (poli reali distinti) si ha
e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla funzione
con
0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tempo (wn
* t)
y(t
)
Sistemi Elementari -- 31Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
Risposta all’impulso di:
Re(s)
Im(s)
0p1
xx
p2
x
p1 = -25
p2 = -2
Termine corrispondente a p1
Termine corrispondente a p2
Risposta completa
K1 = -2.1739
K2 = 2.1739
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (s)
Sistemi Elementari -- 32Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine
Risposta al gradino di:
Re(s)
Im(s)
0p1
xx
p2
x
p1 = -25
p2 = -2
p3 = 0
x
p3
Termine corrispondente a p1
Termine corrispondente a p2
Termine corrispondente a p3
Risposta completa
K1 = -0.087
K2 = -1.087
K3 = 1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo (s)
Sistemi Elementari -- 33Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine con zero
Sia data la funzione
Si può scrivere:
Da cui la risposta al gradino unitario
Sistemi Elementari -- 34Controlli Automatici
Sistemi elementari – Secondo ordine con zero
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Impulse Response
Time (sec)
Am
pli
tud
eT = 0.2
T = 0
T = - 0.5
T = 1
T = 0.2, 1, -0.5
Zero a parte reale positiva:
Sistema a fase non minima
Sistemi Elementari -- 35Controlli Automatici
Sistemi elementari – poli dominanti
Nel caso di sistemi stabili si definisce polo dominante il polo che si trova più
vicino all’asse immaginario
La risposta del sistema cambia “abbastanza poco” quando I poli non dominanti
sono a parte reale molto più negativa del polo dominante
I poli che si trovano una decade “più in basso” rispetto al polo dominante
influenzano poco la risposta temporale del sistema
Moltiplicare per un fattore K tutti i poli di un sistema G(s) equivale a renderlo più
“veloce” dello stesso fattore K
Sistemi Elementari -- 36Controlli Automatici
Sistemi elementari – poli dominanti
Consideriamo I seguenti sistemi del secondo ordine con guadagno statico
Gi(0)=5. Hanno tutti un polo in -1 e differiscono per la posizione del secondo
polo posizionato, rispettivamente, in -2, -4, -10, -100 e -1000
La risposta al gradino unitario
è la seguente:
L’andamento più lento è quello
di G1(s), quello più veloce è
relativo a G5(s)
Sistemi Elementari -- 37Controlli Automatici
Sistemi elementari – poli dominanti
Le stesse considerazioni valgono anche per sistemi dominati da una coppia di
poli complessi coniugati
Si definiscono poli dominanti di un sistema asintoticamente stabile i due poli c.c.
che si trovano più vicino all’asse immaginario rispetto a un qualunque altro
polo del sistema
La risposta al gradino dei seguenti sistemi
Sistemi Elementari -- 38Controlli Automatici
Sistemi elementari – poli dominanti
È riportata nel grafico
Anche in questo caso i poli che si trovano una decade più in basso rispetto alla
coppia di poli dominanti influenzano poco la risposta temporale del sistema
CONTROLLI AUTOMATICI
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Ing. Federica Grossi
Tel. 059 2056333
e-mail: [email protected]
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Sistemi elementari del 1o e 2o
ordine
FINE