Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 16/04/2014
Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA “KORE” FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA
Moto vario nelle correnti a superficie libera
INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE COMPLEMENTI DI IDRAULICA AMBIENTALE
Moto vario nelle correnti a superficie libera
16 aprile 2014 3 Moto vario nelle correnti a superficie libera
Un’utile classificazione dei corpi idrici naturali è quella basata sul numero minimo di dimensioni spaziali che è necessario prendere in considerazione per descrivere adeguatamente l’idrodinamica dei fenomeni più importanti che in essi hanno luogo. i fiumi e i canali artificiali, per i quali è spesso sufficiente un’analisi di tipo
mono-dimensionale, in cui le variabili di interesse sono i valori medi delle grandezze sulle sezioni trasversali; i laghi poco profondi, le lagune e le acque costiere di bassa profondità, in cui la complessità delle circolazioni idriche richiede almeno una trattazione di tipo bi-dimensionale, che assuma come grandezze idrodinamiche di riferimento i valori medi lungo la profondità delle velocità orizzontali, ipotizzando una distribuzione verticale delle pressioni di tipo idrostatico; le acque di elevata profondità e anche quelle di bassa profondità, in cui non sia possibile trascurare le componenti verticali dell’accelerazione (a causa, ad esempio, di configurazioni batimetriche molto complesse ovvero di stratificazioni termiche legate alle variazioni di densità lungo la direzione verticale), nelle quali è quindi necessario ricorrere ad una trattazione tri-dimensionale dei fenomeni idrodinamici.
C
C
Sezione C-C
Problemamonodimensionale
Problema bidimensionale
Problema tridimensionale
A
A
Sezione A-A
B
B
Sezione B-B
!
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Moto vario nelle correnti a superficie libera
16 aprile 2014 4 Moto vario nelle correnti a superficie libera
I metodi numerici per la soluzione delle equazioni differenziali utilizzati nell’ambito dell’Idraulica sono molteplici. Il più semplice è probabilmente quello delle differenze finite, basato sulla sostituzione delle derivate parziali con espressioni algebriche. Tanto più è elevato il numero di nodi di calcolo quanto maggiore è l’accuratezza della formulazione adottata. Tale metodo si presta molto bene alla discretizzazione delle equazioni in domini di forma regolare, quali ad esempio le vasche a sezione rettangolare, per i quali si possa ricorrere a griglie di calcolo costituite da elementi rettangolari (in due dimensioni). Nel caso di domini morfologicamente più complessi, quali sono la quasi totalità dei corpi idrici naturali, il metodo delle differenze finite richiede il ricorso a tecniche di trasformazione della griglia o alla rappresentazione dei contorni irregolari con funzioni a gradini. Un rappresentazione più accurata si ottiene con griglie curvilinee.
1 Nx
Ny
p,q
p
q
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Approccio monodimensionale
16 aprile 2014 5 Moto vario nelle correnti a superficie libera
nel caso dei fiumi e dei canali è possibile in molti casi limitare l’analisi allo studio dei valori medi sulle sezioni trasversali delle velocità, riconducendosi, quindi, ad un approccio monodimensionale. In particolare, tale approccio risulta opportuno quando sussistono le condizioni di corrente lineare. avendo indicato con h il tirante idrico e con J il rapporto τm/(γR) tra lo sforzo tangenziale medio esercitato dal contorno bagnato ed il prodotto tra il peso specifico γ ed il raggio idraulico R. Per calcolare J è possibile utilizzare le stesse espressioni valide per il moto permanente uniforme, tra cui in particolare la formula di Chezy. All’equazione del moto andrà unita l’equazione di continuità.
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Approccio monodimensionale
16 aprile 2014 6 Moto vario nelle correnti a superficie libera
Si distingueranno due casi: uno di portata variabile con gradualità: ONDA DI PIENA Uno di portata con variazioni repentine: VARIAZIONE ISTANTANEA.
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VARIAZIONI ISTANTANEE
16 aprile 2014 7 Moto vario nelle correnti a superficie libera
DEFINIZIONI a: celerità assoluta c = a – V0: celerità relativa Onde positive: variazioni di livello verso l’alto Onde negative: variazioni di livello verso il basso Onde discendenti: propagazioni con verso coerente con quello del moto Onde ascendenti: propagazioni con verso opposto a quello del moto
Uno di portata con Q – Q0 è la variazione di volume in un tratto di lunghetta a per un tempo unitario z elevazione della superficie libera per effetto di a
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VARIAZIONI ISTANTANEE
16 aprile 2014 8 Moto vario nelle correnti a superficie libera
Per effetto dell’onda istantanea la portata ha subito una variazione pari al valore a ΔA tale variazione è pari a Q – Q0 a ΔA = Q – Q0 = VA – V0A0 dove A= A0 + ΔA e a = c + V0 sostituendo si ha che: Si consideri adesso il punto di vista di un osservatore che si muove con velocità V0. Questo vede la corrente ferma a valle e con velocità c a monte Applicando il teorema dell’impulso, secondo cui la risultante della quantità di moto e pari alle forze applicate al sistema si ha:
V-V0= c ΔA
A0 + ΔA
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16 aprile 2014 9 Moto vario nelle correnti a superficie libera
La variazione della quantità di moto, pari a ρA0 c(V – V0), deve essere pari alla variazione di massa subita per la perturbazione Siano γz A0 e Δs le variazioni di massa subite dove, Δs è il solo contributo dovuto alla variazione di z. Allora si ha: ρA0 c(V – V0) = γz A0 + Δs essendo . Sostituendo si ha:
V-V0= c ΔA
A0 + ΔA
ρA0ccΔA
A0+ΔA = γzA0 + ΔS
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16 aprile 2014 10 Moto vario nelle correnti a superficie libera
c =± γzA0
ρΔA+ γz
ρ+ΔS
ρΔA+ΔS
ρA0!
!
c =± g(zA0
ΔA+ z +ΔS
γΔA+ΔS
γA0)!
!ponendo!ΔA = z*Lm; ΔS =
γz2Lm2
c =± g( A0
Lm+ 3 2z +
z2 Lm 2A0
)!!se!z<<h!!c =± g( A0
Lm);!!a =V0 ± g( A0
Lm)!
Vc = g A(k)B(k)
Considerando che: ΔQ = a*Lm*z, si può ricavare l’altezza z della perturbazione a partire dall’incremento di portata ΔQ
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VARIAZIONI GRADUALI
16 aprile 2014 11 Moto vario nelle correnti a superficie libera
Per lo studio del fenomeno dell’onda di piena si può utilizzare il metodo delle caratteristiche già studiato nelle correnti in pressione:
Nelle correnti a superficie libera, uno dei fenomeni di moto vario più importanti è costituito dal fenomeno di propagazione di un’onda di piena. Tale fenomeno si registra quando in una certa sezione di un alveo si produce un incremento rilevante della portata immessa (onda di piena), dovuta all’adduzione in tale sezione di un apporto di portata, da parte della rete idrica di monte, notevolmente superiore alla portata stagionale Q0; tale incremento di portata ΔQ è, in genere, prodotto da eventi meteorici rilevanti o eccezionali.
Equazione di continuità
Equazione del moto
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VARIAZIONI GRADUALI
16 aprile 2014 12 Moto vario nelle correnti a superficie libera
Ponendo Q=UA le equazioni possono essere riscritte nella forma 1g ∂∂t
QA +
∂h∂s +
QgA
∂∂s
QA = i −
U2
χ2R
1gA
∂Q∂t −
QgA2
∂A∂t +
∂h∂s +
QgA2
∂Q∂s −
Q2
gA3 ∂A∂s = i −
U2
χ2R
Derivando le funzioni composte si ha:
Considerando che l’area della sezione trasversale cambia nel tempo in funzione del tirante, si ha che:
Diversamente l’area A può variare nello spazione per effetto di variazioni di forma dell’alveo, da cui:
si tiene conto di variazioni per effetto del tirante e per effetto della forma dell’alveo
h
B
∂A∂t =
∂A∂h ∂h∂t = B
∂h∂t
dh
dA=B*dh
∂A∂s =
∂A∂h ∂h∂s +
!!!∂A
∂s h = B
∂h∂s +
!!!∂A
∂s h
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VARIAZIONI GRADUALI
16 aprile 2014 13 Moto vario nelle correnti a superficie libera
1gA
∂Q∂t −
QgA2
∂A∂t +
∂h∂s +
QgA2
∂Q∂s −
Q2
gA3 ∂A∂s = i −
U2
χ2R
Introducendo nell’equazione del moto le variazioni di area nel tempo e nello spazio si ottiene:
h
B
∂A∂t =
∂A∂h ∂h∂t = B
∂h∂t
dh
dA=B*dh
∂A∂s =
∂A∂h ∂h∂s +
!!!∂A
∂s h = B
∂h∂s +
!!!∂A
∂s h
1gA ∂Q∂t −
QBgA2
∂h∂t +
∂h∂s +
QgA2
∂Q∂s −
Q2BgA3
∂h∂s −
Q2
gA3 """∂A
∂s h = i −
U2
χ2R
Equazione di continuità
∂Q∂s + B
∂h∂t = 0
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VARIAZIONI GRADUALI
16 aprile 2014 14 Moto vario nelle correnti a superficie libera
Equazioni di compatibilità valide lungo le linee caratteristiche. Sono due equazioni differenziali in due incognite funzioni di spazio e tempo; Q=Q(s,t); h=h(s,t)
1gA ∂Q∂t −
QBgA2
∂h∂t +
∂h∂s +
QgA2
∂Q∂s −
Q2BgA3
∂h∂s −
Q2
gA3 """∂A
∂s h = i −
U2
χ2R
∂Q∂s + B
∂h∂t = 0
Moltiplichiamo la prima per gA e la seconda per sommando e sottraendo membro a membro le due equazioni si ottiene:
gAB $
∂Q∂t −
QBA ∂h∂t + gA
∂h∂s +
QA ∂Q∂s −
Q2BA2
∂h∂s −
Q2
A2 """∂A
∂s h = g A i −
gPU2
χ2
gAB $∂Q∂s$+$ gAB$∂h∂t $=$0$
∂Q∂t +
!"#
$%&Q
A ± gAB
∂Q∂s + B
!"#
$%&Q
A --+ gAB
'()
*+,∂h
∂t + !"#
$%&Q
A ± gAB
∂h∂s −
Q2
A2 ...∂A
∂s h = g A i −
gPU2
χ2
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VARIAZIONI GRADUALI
16 aprile 2014 15 Moto vario nelle correnti a superficie libera
Poniamo: Allora considerando il significato di derivata totale si ottiene: Se la corrente è veloce Se la corrente è lenta
∂Q∂t +
!"#
$%&Q
A ± gAB
∂Q∂s + B
!"#
$%&Q
A --+ gAB
'()
*+,∂h
∂t + !"#
$%&Q
A ± gAB
∂h∂s −
Q2
A2 ...∂A
∂s h = g A i −
gPU2
χ2
dsdt =
!"#
$%&Q
A ± gAB
dQdt + B
!"#
$%&Q
A --+ gAB
dhdt −
Q2
A2 (((∂A
∂s h = g A i −
gPU2
χ2
QA >
gAB
QA <
gAB
A sP B
PΔt
s
t
Corrente lenta a) Corrente veloce b)A
Δt
sPB s
P
t
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