Derivate di funzioni
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
Universita degli Studi di PadovaDipartimento di Matematica
9 novembre 2015
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 1/ 121
Approssimazione
Problema.
Data una funzione f definita in un intorno di x0, ci poniamo ilproblema di approssimarla localmente, cioe in un intornosufficientemente piccolo di x0, con una retta di equazioney = ax + b, passante per (x0, f (x0)) e quindi tale chef (x0) = ax0 + b.
Notazione.
Dicendo che una funzione f e uguale a o(x − c) intenderemo che
limx→c
f (x)
x − c= 0.
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Nota sugli o
Nota.
Osserviamo che se limx→x0 f (x) = 0, limx→x0 g(x) = 0 alloraavevamo gia visto che f = o(g) se
limx→x0
f
g= 0.
Con questa vecchia notazione, g(x) = x − c e x0 = c, scrivevamof e uguale a o(x − c) qualora
limx→c
f (x)
x − c= 0.
proprio come nella definizione appena introdotta.
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Approssimazione
Esempio
La funzione sin(x)− x e o(x) (cioe o(x − 0)).
Svolgimento.
Da limx→0sin(x)
x = 1 abbiamo che
limx→0
sin(x)− x
x= lim
x→0
sin(x)
x− lim
x→0
x
x= 1− 1 = 0
e quindi sin(x)− x e o(x).
Di conseguenza, sin(x)− x = o(x) e quindi, con un abuso dinotazione, sin(x) = x + o(x).
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Approssimazione
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−2
−1
0
1
2
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
x 10−3
0
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
−8
Figura : In alto. La funzione sin(x) in [−2, 2] (in nero) e x (in rosso). Inbasso. L’errore assoluto | sin(x)− x | in un intorno di 0.
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Retta tangente al grafico di f in (x0, f (x0))
Definizione (Retta tangente)
Sia I un intervallo (anche illimitato), e x0 sia interno ad I (cioe nonsia un estremo di I ). Si dice che la retta passante per (x0, f (x0))
y = f (x0) + m(x − x0)
e tangente al grafico di f in (x0, f (x0)) se
f (x)− [f (x0) + m(x − x0)] = o(x − x0).
Usando l’abuso di notazione precedente, che tornera utile, cio siscrive pure
f (x) = [f (x0) + m(x − x0)] + o(x − x0).
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Approssimazione
Nota. (1)
Potrebbe dar fastidio l’abuso di notazione. Vediamone la ragione.Quando scriviamo
f (x)− g(x) = o(x − c)
intendiamo che h(x) = f (x)− g(x) (cioe f (x) = g(x) + h(x)) euna funzione tale che limx→c h(x)/(x − c) = 0. Quindi, portandoa secondo membro g(x) con
f (x) = g(x) + o(x − c)
intendiamo diref (x) = g(x) + h(x)
con h(x) tale che limx→c h(x)/(x − c) = 0.Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 7/ 121
Approssimazione
Teorema
Sef (x) = o(x − c) per x → c
alloralimx→c
f (x) = 0.
Dimostrazione. (Facoltativa)
Infatti, per definizione, limx→cf (x)x−c
= 0, dice che
∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 : |x − c| < δ(ε)⇒ |f (x)/(x − c)| < ε
ovvero∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 : |x − c| < δ(ε)⇒ |f (x)| < ε · |x − c|
e quindi, esiste un intorno di c per cui |f (x)| < ε · |x − c| e visto che|x − c| → 0 per x → c, per il teorema del confronto, da
−ε · |x − c| < f (x) < ε · |x − c|
deduciamo che f (x)→ 0 per x → c.
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Retta tangente al grafico di f in (x0, f (x0))
Nota.
Ricordando la definizione di o(x − x0)
f (x)− [f (x0) + m(x − x0)] = o(x − x0)
significa
limx→x0
f (x)− [f (x0) + m(x − x0)]
x − x0= lim
x→x0
f (x)− f (x0)
x − x0−m = 0
cioe facilmente
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= m ∈ R.
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Derivata
Definizione (Rapporto incrementale)
La quantitaf (x)− f (x0)
x − x0
si chiama rapporto incrementale di f in x relativamente a x0.
Definizione (Derivabilita )
Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I ⊆ R→ R, con x0 interno ad I .Diremo che f e derivabile in x0 se esiste finito il limite
f ′(x0) = limx→x0
f (x)−f (x0)x−x0
.
Tale limite f ′(x0) viene chiamato derivata (prima) di f in x0 eviene a volte indicato con df
dx |x0 o Df (x0).
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Derivabilita : definizione alternativa
Nota.
Osserviamo che posto x = x0 + h, abbiamo
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
h→0
f (x0 + h)− f (x0)
h.
Per questo motivo spesso si definisce
f ′(x0) = limh→0
f (x0 + h)− f (x0)
h.
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Derivata, esempio 1
Esercizio
Mostrare che la derivata prima di sin(x) in 0 vale 1.
Svolgimento.
Per quanto detto basta sia, per f (x) = sin(x)
f ′(0) = limh→0
f (0 + h)− f (0)
0 + h − 0= lim
h→0
sin(h)− sin(0)
h
= limh→0
sin(h)
h= 1
cosa nota per il limite notevole
limx→0
sin(x)
x= 1.
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Derivata, esempio non derivabile, 1
Esercizio
La funzione 3√
x non e derivabile in x0 = 0.
Traccia.
Scrivendo il rapporto incrementale
f (0 + h)− f (0)
h=
3√
h
h= h−2/3 → ±∞
con ± a seconda si tenda da destra o sinistra, rispettivamente.
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Derivata, esempio
−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1−0.5
−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Figura : In alto. La funzione 3√
x in [−0.1, 0.1] (in blue).
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Derivata, esempio non derivabile, 2
Definizione (Punto angoloso)
Se
f ′−(x0) = limh→0−
f (x0 + h)− f (x0)
h,
f ′+(x0) = limh→0+
f (x0 + h)− f (x0)
h
sono finiti ma distinti, il punto x0 si dice angoloso per f .
Nota.
In questo caso la funzione non risulta derivabile, si ha quando
f ′+(x0) = limh→0+
f (x0 + h)− f (x0)
h6= lim
h→0−
f (x0 + h)− f (x0)
h= f ′−(x0)
in quanto, come noto, implica che non esiste limh→0f (x0+h)−f (x0)
h.
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Derivata, esempio non derivabile, 2
Esercizio
La funzione f (x) = |x | ha un punto angoloso in x0 = 0.
Traccia.
Si vede subito che
1 = limh→0+
|h| − 0
h6= lim
h→0−
|h| − 0
h= lim
h→0−
−h − 0
h= −1.
e quindi il limite richiesto per essere derivabile in x0 = 0 non esiste.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 16/ 121
Derivata, esempio
−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Figura : In alto. La funzione |x | in [−0.1, 0.1] (in blue).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 17/ 121
Derivata, cuspide
Definizione (Cuspide)
Se uno tra f ′+(x0) e f ′−(x0) vale +∞ e l’altro −∞, il punto x0 sidice cuspide per f .
Nota.
Tale funzione non risulta derivabile, si ha quando
f ′+(x0) = limh→0+
f (x0 + h)− f (x0)
h6= lim
h→0−
f (x0 + h)− f (x0)
h= f ′−(x0)
in quanto, come noto, implica che non esiste limh→0f (x0+h)−f (x0)
h.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 18/ 121
Derivata, cuspide
Esempio
La funzione√|x | ha una cuspide in x0 = 0.
−0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Figura : In alto. La funzione√|x | in [−0.1, 0.1]. Si noti che
f ′−(x0) = −∞, f ′+(x0) = +∞.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 19/ 121
Derivabilita
Definizione (Derivabilita in un intervallo)
Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I ⊆ R→ R, derivabile per ogni x∗
interno ad I . Diremo che f e derivabile in I e con
f ′(x)
intenderemo la funzione che ad x associa il valore della derivata nelpunto x.
Nota.
A voltedf
dx(x)
intenderemo una notazione alternativa a f ′(x), per definire lafunzione che ad x associa il valore della derivata.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 20/ 121
Derivata, derivate sinistre e destre
Definizione (Derivata destra)
Sia [a, b] ⊆ R un intervallo e sia a ≤ x0 < b. Diremo che f ederivabile a destra in x0 se esiste finito il limite destro
limx→x+
0
f (x)− f (x0)
x − x0:= f+
′(x0)
Definizione (Derivata sinistra)
Sia [a, b] ⊆ R un intervallo e sia a ≤ x0 < b. Diremo che f ederivabile a sinistra in x0 se esiste finito il limite sinistro
limx→x−0
f (x)− f (x0)
x − x0:= f−
′(x0)
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 21/ 121
Derivata, teorema sulla derivazione, dalle derivate sinistre edestre
Teorema (Legame derivabilita e derivate destre e sinistre)
Sia I ⊆ R un intervallo aperto contenente x0. La funzione f ederivabile in x0 se e solo se
esistono finite f−′(x0), f+
′(x0),
f−′(x0) = f+
′(x0) = f ′(x0).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 22/ 121
Derivabilita e continuita
Teorema (Legame derivabilita e continuita)
Sia I ⊆ R un intervallo aperto contenente x0. Sia la funzione fderivabile in x0. Allora la funzione e continua in x0.
Dimostrazione.
Dalla definizione,
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0
⇔ limx→x0
f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0)
x − x0= 0
⇔ f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0) = o(x − x0)
⇔ f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + o(x − x0)
ed essendo f ′(x0)(x − x0)→ 0, o(x − x0)→ 0, per x → x0, ricaviamo
limx→x0
f (x) = f (x0)cioe f continua in x0.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 23/ 121
Derivabilita e continuita
Nota.
Il teorema precedente di che la derivabilita di una funzione si studiasolo nei punti in cui f e continua perche dove e discontinuasicuramente non e derivabile.
Nota.
Ci sono funzioni continue che non sono derivabili, come adesempio, la funzione f (x) = |x | che e ovunque continua ma non ederivabile in x0 = 0.
Si noti che, contro l’intuito, esistono perfino funzioni continueovunque e mai derivabili.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 24/ 121
Derivabilite delle funzioni elementari: monomi
Teorema (Derivata di f (x) = xα.)
La derivata di f (x) = xα e, internamente al dominio di f ,
f ′(x) =
{0, se α = 0α · xα−1, se α 6= 0
Dimostrazione.
se α = 0, x0 6= 0 abbiamo
f ′(x0) = limh→0
(x0 + h)0 − (x0)0
h= lim
h→0
0
h= 0.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 25/ 121
Derivabilita delle funzioni elementari: monomi
se α 6= 0, da
(x0 + h)α = (x0(1 + (h/x0)))α = xα0 (1 + (h/x0))α
necessariamente
f ′(x0) = limh→0
(x0 + h)α − xα0h
= limh→0
xα0 (1 + (h/x0))α − xα0h
= limh→0
xα0
((1 + h
x0
)α− 1)
h
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 26/ 121
Derivabilita delle funzioni elementari: monomi
Dal limite notevole
limt→0
(1 + t)α − 1
t= α
e
f ′(x0) = limh→0
xα0
((1 + h
x0)α − 1
)h
posto t = h/x0, necessariamente t → 0 e
limh→0
x0α(
(1 + hx0
)α − 1)
h= lim
t→0
xα0 ((1 + t)α − 1)
tx0
= limt→0
x0α−1 · ((1 + t)α − 1)
t
= x0α−1 · lim
t→0
((1 + t)α − 1)
t︸ ︷︷ ︸=α
= αxα−10 .
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 27/ 121
Derivabilita delle funzioni elementari: monomi
se α 6= 0, α 6= 1, x0 = 0 e ha senso considerare il limite per x → 0(pensare quanto differenti siano i casi x2 e
√x!)
limh→0
(0 + h)α − 0α
h= lim
h→0hα−1
che vale 0, come xα−1 per x = 0, se α > 1, mentre se α < 1 vale ∞,come xα−1 per x = 0 (con abuso di notazione).
se α 6= 0, α 6= 1, x0 = 0 e ha senso considerare esclusivamente il limiteper x → 0+
limh→0+
(0 + h)α − 0α
h= lim
h→0+hα−1
che vale 0, come xα−1 per x = 0, se α > 1, mentre se α < 1 vale ∞,come xα−1 per x = 0 (con abuso di notazione).
se α = 1 e x0 = 0 allora
limh→0
(0 + h)α − 0α
h= lim
h→0
h
h= 1
come x0 = 1 per x = 0, definendo 00 = 1.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 28/ 121
Derivabilita delle funzioni elementari: sin(x)
Teorema (Derivata di f (x) = sin(x).)
La derivata di f (x) = sin(x) e f ′(x) = cos(x).
Dimostrazione.
Osserviamo che da sin(x0 + h) = sin(x0) cos(h) + sin(h) cos(x0)
limh→0
sin(x0 + h)− sin(x0)
h
= limh→0
sin(x0) cos(h) + sin(h) cos(x0)− sin(x0)
h
= limh→0
sin(x0)(cos(h)− 1) + cos(x0) sin(h)
h
= limh→0
sin(x0)h(cos(h)− 1)
h2+ lim
h→0
cos(x0) sin(h)
h= 0 · (−1/2) + cos(x0) = cos(x0).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 29/ 121
Derivabilita delle funzioni elementari: cos(x)
Teorema (Derivata di f (x) = cos(x).)
La derivata di f (x) = cos(x) e f ′(x) = − sin(x).
Dimostrazione. (Facoltativa)
Osserviamo che da cos(x0 + h) = cos(x0) cos(h)− sin(h) sin(x0)
limh→0
cos(x0 + h)− cos(x0)
h
= limh→0
cos(x0) cos(h)− sin(h) sin(x0)− cos(x0)
h
= limh→0
cos(x0) · (cos(h)− 1)− sin(h) sin(x0)
h
= − cos(x0) · limh→0
h︸︷︷︸→0
· 1− cos(h)
h2︸ ︷︷ ︸→1/2
− limh→0
sin(h)
h︸ ︷︷ ︸→1
· sin(x0)
= 0− sin(x0) = − sin(x0).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 30/ 121
Derivabilita delle funzioni elementari: ex
Teorema (Derivata di f (x) = ex .)
La derivata di f (x) = ex e f ′(x) = ex .
Dimostrazione.
Osserviamo che da limh→0eh−1h = 1
limh→0
ex0+h − ex0
h= lim
h→0
ex0 · eh − ex0
h
= limh→0
ex0 · eh − 1
h︸ ︷︷ ︸→1
= ex0 .
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 31/ 121
Derivabilita delle funzioni elementari: ax
Teorema (Derivata di f (x) = ax .)
Per a 6= 1, la derivata di f (x) = ax e f ′(x) = ax log(a).
Dimostrazione.
Osserviamo che da limh→0ah−1h = log(a)
limh→0
ax0+h − ax0
h= lim
h→0
ax0 · ah − ax0
h
= limh→0
ax0 · ah − 1
h︸ ︷︷ ︸→log(a)
= ax0 log(a).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 32/ 121
Derivabilita delle funzioni elementari: ax
Nota.
Abbiamo visto che se a 6= 1, la derivata di f (x) = ax e
f ′(x) = ax log(a).
Nel caso particolare di a = e abbiamo che se f (x) = ex
f ′(x) = ex log(e) = ex
come affermava il teorema precedente a quello appena mostrato.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 33/ 121
Algebra delle derivate
Teorema
Siano f , g : I ⊆ R→ R derivabili in x0 interno ad I . Allora
f + g e derivabile in x0 e
(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g ′(x0);
se c ∈ R allora c · f e derivabile in x0
(c · f )′(x0) = c · f ′(x0);
f · g e derivabile in x0 e
(f · g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f (x0)g ′(x0);
se g(x0) 6= 0 allora f /g e derivabile in x0 e
(f /g)′(x0) = f ′(x0)g(x0)−f (x0)g′(x0)
g2(x0)
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 34/ 121
Algebra delle derivate. Esempi.
Esempio
Abbiamo visto che D sin(x) = cos(x), che Dx3 = 3x2 e cheDex = ex . Di conseguenza
D(x3) = 3x2 + cos(x),
D(2 · x3) = 2 · D(x3) = 2 · 3 · x2 = 6 · x2
D(x3 · sin(x)) = 3x2 · sin(x) + x3 · cos(x)
D
(ex
sin(x)
)=
ex · sin(x)− ex · cos(x)
sin2 (x)= ex · sin(x)− cos(x)
sin2 (x)
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 35/ 121
Algebra delle derivate: tan(x), cot(x)
Teorema (Derivata di f (x) = tan(x))
Se f (x) = tan(x) allora, per x 6= (π/2) + kπ, k ∈ Z,f ′(x) = 1 + tan2(x).
Dimostrazione.
Dall’algebra delle derivate sopra esposta e cos2(x) + sin2(x) = 1
d
dxtan(x) =
d
dx
sin(x)
cos(x)=
cos2(x) + sin2(x)
cos2(x)
=1
cos2(x)= 1 + tan2(x)
Teorema
Se f (x) = cot(x) := (cos(x)/ sin(x)) allora, per x 6= kπ, k ∈ Z,f ′(x) = −1 + cot2(x).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 36/ 121
Derivazione di funzioni composte
Teorema (Derivata di funzioni composte)
Sia I un intervallo e supponiamo che
f : I ⊆ R→ R sia derivabile nell’interno di I ,
g : J ⊆ R→ R sia derivabile nell’interno di J,
f (I ) ⊆ J.
Allora g ◦ f e derivabile e vale
(g ◦ f )′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 37/ 121
Derivazione di funzioni composte
Esempio
Calcolare la derivata di
h(x) = cos(x)
utilizzando la derivata di una funzione composta.
Svolgimento.
La funzione h(x) = cos(x) = sin(π/2− x) e la composta dig(y) = sin(y) e f (x) = π/2− x. Quindi dalla regola appena vista,visto che g ′(y) = cos(y) e f ′(x) = 0− 1 = −1, ricaviamo
h′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x) = (−1) · cos(π/2− x) = − sin(x).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 38/ 121
Derivazione di funzioni composte
Esempio
Calcolare la derivata di
h(x) = esin(x).
Svolgimento.
La funzione h(x) = esin(x) e la composta di g(x) = ex ef (x) = sin(x). Quindi dalla regola appena vista, visto cheg ′(x) = ex e f ′(x) = cos(x), ricaviamo
h′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x) = esin(x) · cos(x).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 39/ 121
Derivazione della funzione inversa
Teorema (Derivata della funzione inversa)
Sia I un intervallo e supponiamo che
f : I ⊆ R→ R sia derivabile in x0 appartenente all’interno diI ,
f ′(x0) 6= 0.
Allora f −1 e derivabile in y0 = f (x0) ed e
(f −1)′(y0) = 1f ′(f −1(y0))
.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 40/ 121
Derivazione della funzione inversa
Traccia.
Basta applicare il teorema della funzione composta e ricordare che,derivando ambo i membri di f −1(f (x)) = x visto che
D(f −1(f (x))) = (f −1)′(f (x)) · f ′(x);
Dx = 1,
deduciamo che
(f −1)′(f (x)) · f ′(x) = 1⇔ (f −1)′(f (x)) =1
f ′(x)
da cui posto y = f (x), abbiamo x = f −1(y) e quindi
(f −1)′(y) = 1/f ′(x) = 1/f ′(f −1(y)).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 41/ 121
Derivazione della funzione inversa: arcsin(x)
Teorema (Derivata di arcsin(x))
Se f (x) = arcsin(x) allora f ′(x) = 1√1−x2
.
Traccia.
Posto f (x) = sin(x), abbiamo per il precedente teorema, visto cheddx
sin(x) = cos(x), che
d
dxarcsin(y) =
1
cos(arcsin(y)).
Osserviamo poi che essendo arcsin(y) ∈ [−π/2, π/2], sicuramentecos(arcsin(y)) ≥ 0 in quanto cos(τ) ≥ 0 per τ ∈ [−π/2, π/2] e quindi dasin2(x) + cos2(x) = 1 abbiamo
cos(arcsin(y)) =√
1− sin2(arcsin(y)).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 42/ 121
Derivazione della funzione inversa: arcsin(x)
Inoltre, poiche sin2(τ) := (sin(τ))2 e sin(arcsin(y)) = y, necessariamente
sin2(arcsin(y)) := (sin(arcsin(y)))2 = y 2.
Assemblando i risultati
cos(arcsin(y)) =√
1− sin2(arcsin(y));
esin2(arcsin(y)) := (sin(arcsin(y)))2 = y 2.
ricaviamo
d
dxarcsin(y) =
1
cos(arcsin(y))=
1√1− sin2(arcsin(y))
=1√
1− y 2.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 43/ 121
Lista di derivate
Teorema
Vale la seguente lista di derivate (nel dominio della funzione):
f (x) f ′(x) nota
xα α · xα−1 α ∈ Rex ex
ax (log a) · (ax) a > 0sinh (x) cosh (x)cosh (x) sinh (x)log (|x |) 1/xloga (|x |) (1/x) loga(e) a ∈ R+\{0, 1}
sin(x) cos(x)cos(x) − sin(x)tan(x) 1 + tan2(x)
arcsin(x) (1− x2)−1/2
arccos(x) −(1− x2)−1/2
arctan(x) (1 + x2)−1
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 44/ 121
Derivazione della funzione inversa: log(x)
Teorema (Derivata di log(x))
Mostrare ched
dxloga(x) =
1
x log a
Dimostrazione.
Ricordato che loga ax = x, che ddx ax = (log(a)) · ax , dal teorema
della funzione inversa e aloga(x) = x,
d
dxloga(x) =
1
(log(a)) · aloga(x)=
1
(log(a))x.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 45/ 121
Massimi e minimi relativi
Definizione (Minimo locale)
Sia f : I ⊆ R→ R, con I intervallo. Diremo che x0 ∈ I e unminimo relativo (o locale) per f se esiste un intorno U di x0 taleche
f (x) ≥ f (x0), per ogni x ∈ U.
Definizione (Massimo locale)
Sia f : I ⊆ R→ R, con I intervallo. Diremo che x0 ∈ I e unmassimo relativo (o locale) per f se esiste un intorno U di x0 taleche
f (x) ≤ f (x0), per ogni x ∈ U.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 46/ 121
Massimi e minimi assoluti
Definizione (Minimo assoluto)
Sia f : I ⊆ R→ R, con I intervallo. Diremo che x0 ∈ I e unminimo assoluto (o globale) per f se
f (x) ≥ f (x0), per ogni x ∈ I .
Definizione (Massimo assoluto)
Sia f : I ⊆ R→ R, con I intervallo. Diremo che x0 ∈ I e unmassimo assoluto (o globale) per f se
f (x) ≤ f (x0), per ogni x ∈ I .
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 47/ 121
Massimi e minimi assoluti
Nota.
Se x0 e un minimo assoluto allora e anche un minimo relativo.
Se x0 e un massimo assoluto allora e anche un massimorelativo.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 48/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f ′
Teorema (Fermat (1637))
Sia I un intervallo e f : I → R sia derivabile in x0 interno ad I .Allora se x0 e un punto di minimo relativo o massimo relativo per fsia ha che f ′(x0) = 0.
Svolgimento.
Dalla derivabilita deduciamo che
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0:= f ′(x0).
Se x0 e un minimo relativo, esiste un intorno U ⊆ I tale chef (x0) ≤ f (x) per ogni x ∈ U, cioe
f (x)− f (x0) ≥ 0 per ogni x ∈ U.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 49/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f ′
In particolare se x > x0 allora x − x0 > 0 e quindi
f (x)− f (x0)
x − x0≥ 0 per ogni x ∈ U, x > x0
e quindi per il teorema di permanenza del segno
limx→x+
0
f (x)− f (x0)
x − x0≥ 0.
Se invece x < x0 allora x − x0 < 0 e quindi
f (x)− f (x0)
x − x0≤ 0 per ogni x ∈ U, x < x0
da cui per il teorema di permanenza del segno
limx→x−0
f (x)− f (x0)
x − x0≤ 0.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 50/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f ′
Siccome la derivata in x0 esiste, necessariamente
0 ≤ limx→x+
0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
x→x−0
f (x)− f (x0)
x − x0≤ 0
e quindi
limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
x→x+0
f (x)− f (x0)
x − x0= lim
x→x−0
f (x)− f (x0)
x − x0= 0.
Con la stessa tecnica si dimostra l’asserto nel caso x0 sia unmassimo relativo.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 51/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f ′
Definizione (Estremi)
I massimi e minimi locali e globali di una funzione si chiamanoestremi di f .
Nota.
Gli estremi possono essere anche in punti nei quali f non econtinua o non derivabile!
Definizione (Punto critico o stazionario)
Sia I un intervallo e f : I → R sia derivabile in x0 interno ad I .Diremo che x0 e un punto critico o stazionario per f se f ′(x0) = 0.
Nota.
Non tutti i punti stazionari sono estremi. La funzione f (x) = x3 haun punto stazionario in x0 = 0 che pero non e estremo.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 52/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f ′. Punti critici.
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Figura : La funzione x3 in [−1, 1] (in alto) e la sua derivata (in basso).Evidentemente non ha un punto estremo in 0, tuttavia si annulla laderivata.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 53/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f ′. Punti critici.
Teorema
Sia I un intervallo e f : I → R e supponiamo che x0 sia un minimoo un massimo relativo per f . Allora vale una delle seguenti:
x0 e un punto critico per f ;
x0 non e interno a I (e un estremo, anche ±∞ se l’intervallo eillimitato);
f non e derivabile in x0.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 54/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f ′. Punti critici.
−3 −2 −1 0 1 2 30
0.5
1
1.5
2
−3 −2 −1 0 1 2 3−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Figura : La funzione ||x | − 1| in [−3, 3] (in nero) e la sua derivata (inrosso), qualora esistente.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 55/ 121
Teorema di Rolle.
Teorema (Weierstrass (1860))
Sia f : [a, b]→ Rcontinua in [a, b];
−∞ < a < b < +∞Allora esiste f ha un minimo e un massimo assoluto in [a, b].
Teorema (Rolle (1691))
Sia f : [a, b]→ R, con −∞ < a < b < +∞ e supponiamo
f continua in [a, b];
f derivabile in (a, b);
f sia tale che f (a) = f (b).
Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che f ′(ξ) = 0.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 56/ 121
Teorema di Rolle.
Dimostrazione.
Se f e costante in [a, b], il teorema e ovvio.
Se f non e costante, certamente e continua in quanto persinoderivabile. Per il teorema di Weierstrass, essendo−∞ < a < b < +∞, ha un massimo e minimo in [a, b] equindi esistono x1, x2 ∈ [a, b] tali che
f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2), per ogni x ∈ [a, b].
Siccome f (a) = f (b) e f non e costante, necessariamente ox1 ∈ (a, b) o x2 ∈ (a, b) e quindi per il Teorema di Fermat, of ′(x1) = 0 o f ′(x2) = 0 con x1 ∈ (a, b) o x2 ∈ (a, b).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 57/ 121
Teorema di Rolle.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−1
−0.5
0
0.5
1
Figura : La funzione sin(x) in [0, π] (in nero) e la sua derivata (in rosso).Evidentemente e applicabile il teorema di Rolle e in effetti la derivata siannulla in almeno un punto (cioe π/2 ≈ 1.570796326794897).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 58/ 121
Teorema di Lagrange.
Teorema (Lagrange (1797))
Sia f : [a, b]→ R, con −∞ < a < b < +∞ e supponiamo
f continua in [a, b];
f derivabile in (a, b).
Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che
f ′(ξ) = f (b)−f (a)b−a .
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 59/ 121
Teorema di Lagrange.
Dimostrazione.
Sia
g(x) = f (x)− f (b)− f (a)
b − a(x − a).
La funzione g e continua in [a, b] e derivabile in (a, b) essendo tali
f e f (b)−f (a)b−a (x − a), e valendo l’algebra delle funzioni continue e
derivabili lo e pure g.
Inoltre g(a) = f (a), g(b) = f (a) e quindi, per il teorema di Rolleesiste ξ ∈ (a, b) tale che
0 = g ′(ξ) = f ′(x)− f (b)− f (a)
b − a
d
dx(x − a) = f ′(x)− f (b)− f (a)
b − a
cioe per cui
f ′(ξ) =f (b)− f (a)
b − a.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 60/ 121
Teorema di Lagrange.
0 1 2 3 4 5 6−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
0 1 2 3 4 5 6−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Figura : La funzione sin(x) + cos(x) in [0, (5/3)π] (in nero), la sua derivata
(in rosso) con sovrapposta la retta di equazione y = f (b)−f (a)b−a
= f ((5/3)π)−f (0)(5/3)π
.
Evidentemente e applicabile il teorema di Lagrange e in effetti la derivata
interseca la retta in verde in almeno un punto.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 61/ 121
Teorema di Cauchy.
Teorema (Cauchy)
Siano f , g : [a, b]→ R, entrambe continue in [a, b] e derivabili in(a, b) con g(a) 6= g(b) e g ′ 6= 0. Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che
f ′(ξ)
g ′(ξ)=
f (b)− f (a)
g(b)− g(a)
Dimostrazione.
Si verifica facilmente che
h(x) = f (x)(g(b)− g(a))− g(x)(f (b)− f (a))
e continua in [a, b] e derivabile in (a, b) essendo tali f e g .
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 62/ 121
Teorema di Cauchy.
Inoltre, da h(x) = f (x)(g(b)− g(a))− g(x)(f (b)− f (a)),
h(a) = f (a)(g(b)− g(a))− g(a)(f (b)− f (a))
= f (a)g(b)− g(a)f (b),
h(b) = f (b)(g(b)− g(a))− g(b)(f (b)− f (a))
= −f (b)g(a) + f (a)g(b).
Per il teorema di Rolle, da h(a) = h(b), esiste ξ ∈ (a, b) tale che
0 = h′(ξ) = f ′(ξ)(g(b)− g(a))− g ′(ξ)(f (b)− f (a))
cioe per cuif ′(ξ)
g ′(ξ)=
f (b)− f (a)
g(b)− g(a).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 63/ 121
Derivate prime e monotonia.
Teorema
Supponiamo I sia un intervallo e
f : I → Rf sia derivabile in I
Allora
f crescente in I se e solo se f ′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ I .
f decrescente in I se e solo se f ′(x) ≤ 0 per ogni x ∈ I .
f strettamente crescente in I , se f ′(x) > 0 per ogni x ∈ I .
f strettamente decrescente in I , se f ′(x) < 0 per ogni x ∈ I .
Nota.
Si noti che il se e solo se vale solo nel caso crescente e decrescente.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 64/ 121
Derivate prime e monotonia.
Dimostrazione. (⇒)
Siano x1, x2 ∈ I , x1 < x2, arbitrariamente scelti. Per il teorema diLagrange esiste ξ ∈ (x1, x2) tale che
f (x2)− f (x1) = f ′(ξ)(x2 − x1).
Se
f ′(x) > 0 per ogni x ∈ I allora in particolare lo e in ξ, edessendo x1 < x2
f (x2)− f (x1) = f ′(ξ)(x2 − x1) > 0
e vista l’arbitrarieta della scelta x1, x2 ∈ I , x1 < x2, deduciamoche f e strettamente crescente.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 65/ 121
Derivate prime e monotonia.
f ′(x) < 0 per ogni x ∈ I allora in particolare lo e in ξ, edessendo x1 < x2
f (x2)− f (x1) = f ′(ξ)(x2 − x1) < 0
e vista l’arbitrarieta della scelta x1, x2 ∈ I , x1 < x2, deduciamoche f e strettamente decrescente.
La dimostrazione per f crescente o decrescente, e simile.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 66/ 121
Derivate prime e monotonia.
Dimostrazione facoltativa. (⇐)
Viceversa, se
se f e crescente in I , allora
f (x)− f (x0)
x − x0≥ 0, x , x0 ∈ I
in quanto
se x > x0 allora f (x) > f (x0) e quindi x − x0 > 0,f (x)− f (x0) > 0;se x < x0 allora f (x) < f (x0) e quindi x − x0 < 0,f (x)− f (x0) < 0.
e quindi per il teorema di permanenza del segno
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0≥ 0
e quindi vista l’arbitrarieta di x0 e positiva in I .Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 67/ 121
Derivate prime e monotonia.
se f e decrescente in I , allora
f (x)− f (x0)
x − x0≤ 0, x , x0 ∈ I
in quanto
se x > x0 allora f (x) < f (x0) e quindi x − x0 > 0,f (x)− f (x0) < 0;se x < x0 allora f (x) > f (x0) e quindi x − x0 < 0,f (x)− f (x0) > 0.
e quindi per il teorema di permanenza del segno
f ′(x0) = limx→x0
f (x)− f (x0)
x − x0≤ 0
e quindi vista l’arbitrarieta di x0 e negativa in I .
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 68/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio 1.
Esercizio
Mostrare che la funzione f (x) = x3 e strettamente crescente in R.
Svolgimento.
Da f ′(x) = 3x2 ≥ 0 e crescente in R.Osserviamo che per ogni x 6= 0 e strettamente crescente, in quantof ′(x) = 3x2 > 0 per x 6= 0. Quindi siccome f ′(x) non estrettamente positiva al piu in un insieme numerabile di punti, lafunzione f (x) = x3 e strettamente crescente in R.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 69/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio 2.
Esercizio
Determinare dove e crescente o decrescente f (x) = ex − x.
Svolgimento.
Da f ′(x) = ex − 1, essendo il logaritmo una funzione crescente,
ex − 1 > 0⇔ ex > 1⇔ x > log(1) = 0,
e quindi e strettamente crescente per x > 0, altrimentistrettamente decrescente. Si deduce che x = 0 e un punto diminimo.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 70/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio 2.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20
1
2
3
4
5
6
Figura : Il grafico di ex − x in [−2, 2].
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 71/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio 3.
Esercizio
Determinare dove e crescente o decrescente f (x) x2+1x+1 .
Svolgimento.
Osserviamo per prima cosa che il dominio della funzione eD = R\{−1} e che in D la funzione e continua. Da
f ′(x) =2x · (x + 1)− (x2 + 1) · 1
(x + 1)2=
x2 + 2x − 1
(x + 1)2,
visto che il denominatore e sempre positivo in D, f ′(x) > 0 perx ∈ D se e solo se x2 + 2x − 1 > 0.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 72/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio 3.
Vediamo quindi quando x2 + 2x − 1 > 0.
Visto che x2 + 2x − 1 = 0 se e solo sex = (−2±
√4 + 4)/2
cioe x = −1±√
2.
Considerato che
x1 = −1−√
2 = −2.4142 . . . , x2 = −1 +√
2 = +0.4142 . . . .
deduciamo che
f ′(x) > 0, cioe strettamente crescente, se e solo sex ∈ (−∞,−1−
√2) ∪ (1 +
√2,+∞),
f ′(x) = 0 in x1 = −1−√
2, x2 = −1 +√
2,
negli altri punti di D, cioe x ∈ (−1−√
2, 1 +√
2)\{−1},abbiamo f ′(x) < 0, cioe strettamente decrescente.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 73/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio 3.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−60
−40
−20
0
20
40
60
Figura : Il grafico di (x2 + 1)/(x + 1) in [−4, 4].
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 74/ 121
Derivate prime e monotonia, esempio.
Teorema
Supponiamo I sia un intervallo, f : I → R continua. Allora einvertibile in Im(f ) se e soltanto se e strettamente monotona.
Esempio
La funzione f (x) = x3 − 1 : R→ R e continua, strettamentemonotona (lo e x3 e quindi anche x3 − 1). Quindi e invertibile. Ineffetti f −1(y) = 3
√y + 1.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 75/ 121
Derivate prime e monotonia, esercizio.
Esempio
Data f (x) = x + sin (x),
dimostrare che f e invertibile;
calcolare (f −1)′( 3π2 − 1).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 76/ 121
Asintoti orizzontali.
Definizione (Asintoto orizzontale)
La retta y = y0 e un asintoto orizzontale per f a +∞ selimx→+∞ f (x) = y0.
Definizione (Asintoto verticale)
La retta y = y0 e un asintoto orizzontale per f a −∞ selimx→−∞ f (x) = y0.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 77/ 121
Asintoti verticali.
Definizione (Asintoto verticale per f a sinistra di x0)
La retta x = x0 e un asintoto verticale per f a sinistra di x0 selimx→x−0
f (x) = +∞ o limx→x−0f (x) = −∞.
Definizione (Asintoto verticale per f a destra di x0)
La retta x = x0 e un asintoto verticale per f a destra di x0 selimx→x+
0f (x) = +∞ o limx→x+
0f (x) = −∞.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 78/ 121
Asintoti obliqui.
Definizione (Asintoto obliquo a +∞)
La retta y = mx + q (m 6= 0) e in asintoto obliquo per f a +∞ se
limx→+∞
f (x)
x= m
elim
x→+∞f (x)−mx = q.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 79/ 121
Asintoti obliqui.
Definizione (Asintoto obliquo a −∞)
La retta y = mx + q (m 6= 0) e in asintoto obliquo per f a −∞ se
limx→−∞
f (x)
x= m
elim
x→−∞f (x)−mx = q.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 80/ 121
Asintoti.
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x 10−5
−5
0
5
10x 10
5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
1
2
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 31
1.5
2
2.5
3
Figura : Il grafico di tre curve e loro asintoti. In alto, 1/x (in blue) e y = 0 (inverde). La curva ha un asintoto verticale in 0 e un asintoto orizzontale y = 0 a+∞. In centro, (x + 1)/x (in blue) e y = 1 (in verde). La curva ha un asintotoverticale in 0 e un asintoto orizzontale y = 1 a +∞. In basso,
√x2 + 1 (in
blue) e y = x (in verde). La curva ha un asintoto obliquo y = x a +∞.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 81/ 121
Asintoti, esempio.
Esempio
Si determinino i possibili asintoti della funzione f (x) =√
x2 + 1.
Svolgimento.
Si osservi che la funzione e continua in [0,+∞) e quindi non haasintoti verticali. Inoltre
limx→+∞
√x2 + 1 = +∞
e quindi e possibile abbia un asintoto obliquo a +∞. Non haasintoto orizzontale, altrimenti il limite sarebbe finito. Se esiste unasintoto obliquo y = mx + q, allora esiste finito
m = limx→+∞
√x2 + 1
x.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 82/ 121
Asintoti, esempio.
Raccogliendo x,
m = limx→+∞
√x2 + 1
x= lim
x→+∞
x√
1 + (1/x2)
x= 1.
Ora, razionalizzando
q = limx→+∞
√x2 + 1− x = lim
x→+∞(√
x2 + 1− x)
√x2 + 1 + x√x2 + 1 + x
= limx→+∞
x2 + 1− x2
√x2 + 1 + x
= limx→+∞
1√x2 + 1 + x
= 0.
Quindi y = x e un asintoto obliquo per f (x) =√
x2 + 1 a +∞.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 83/ 121
Derivate successive (di ordine superiore).
Definizione (Derivata seconda)
Sia f : I → R, con I intervallo di R. Supponiamo che esista f ′ esia derivabile in I . La funzione f ′′ = (f ′)′ si chiama derivataseconda di f .
Nota.
A volte si scrive
f ′′ =d2
dx2f |x =
d2
dx2f (x).
In alternativa si ponef (2) = f ′′
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 84/ 121
Derivate successive (di ordine superiore).
Definizione (Derivata k-sima)
Sia f : I → R, con I intervallo di R. Supponiamo che
f (k−1) esista,
f (k−1) sia derivabile in I , per k ≥ 2.
La funzione f (k) = (f (k−1))′ si chiama derivata k-sima di f .
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 85/ 121
Derivate successive (di ordine superiore), esercizio.
Esercizio
Calcolare le derivate successive di
f (x) = xn.
Svolgimento.
f (2)(x) = 0 se n = 0, altrimenti f (1)(x) = nxn−1;
f (2)(x) = 0 se n ≤ 1, altrimenti f (2)(x) = n(n − 1)xn−2;
f (3)(x) = 0 se n ≤ 2, altrimentif (3)(x) = n(n − 1)(n − 2)xn−3;
f (k)(x) = 0 se n ≤ k − 1, altrimentif (k)(x) = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)xn−k ;
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 86/ 121
Derivate successive (di ordine superiore), esercizio.
Esercizio
Calcolare le derivate successive di
f (x) = sin(x).
Svolgimento.
f (1)(x) = cos(x);
f (2)(x) = − sin(x);
f (3)(x) = − cos(x);
f (4)(x) = sin(x);
. . .;
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 87/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave.
Definizione (Funzione convessa)
Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f e convessa se perogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha
f ((1− t)x + ty) ≤ (1− t)f (x) + tf (y).
Definizione (Funzione concava)
Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f e concava se per ognix , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha
f ((1− t)x + ty) ≥ (1− t)f (x) + tf (y).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 88/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave.
Definizione (Funzione strettamente convessa)
Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f e strettamenteconvessa se per ogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha
f ((1− t)x + ty) < (1− t)f (x) + tf (y).
Definizione (Funzione strettamente concava)
Sia f : I → R con I intervallo. Diremo che f e strettamenteconcava se per ogni x , y ∈ I , t ∈ [0, 1] si ha
f ((1− t)x + ty) > (1− t)f (x) + tf (y).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 89/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave.
−3 −2 −1 0 1 2 3−2
0
2
4
6
8
−3 −2 −1 0 1 2 3−8
−6
−4
−2
0
2
Figura : Il grafico di una funzione convessa (in nero, sopra) e il grafico diuna funzione concava (in nero, sotto). In entrambe, il segmento cheunisce due punti del grafico. In un caso e sopra la curva, nell’altro e sotto.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 90/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave.
Teorema
Sia f : I → R, con I chiuso. Se f e concava o convessa, allora f econtinua in I .
Teorema
Sia f : I → R, con I chiuso.
Se f e convessa, allora
f e derivabile nell’interno di I a meno di un insieme finito onumerabile di punti X ;la funzione f ′, ove definita, e monotona crescente.
Se f e concava, allora
f e derivabile nell’interno di I a meno di un insieme finito onumerabile di punti X ;la funzione f ′, ove definita, e monotona decrescente.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 91/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave.
Teorema
Sia f : I → R, con I aperto. Si supponga f ′, f ′′ : I → R. Allora:
f e convessa se e solo se
f ′′(x) ≥ 0, per ogni x ∈ I ;
f e strettamente convessa se e solo se
f ′′(x) > 0, per ogni x ∈ I ;
f e concava se e solo se
f ′′(x) ≤ 0, per ogni x ∈ I ;
f e strettamente concava se e solo se
f ′′(x) < 0, per ogni x ∈ I ;
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 92/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave: flessi.
Definizione (Flesso)
Sia f : (a, b)→ R. Un punto x0 ∈ (a, b) si dice di flesso per f se
f ′(x0) ∈ R∗
per ogni intorno arbitrariamente piccolo di x0, la funzione fcambia concavita.
Teorema
Sia f : (a, b)→ R. Supponiamo f sia derivabile due volte in (a, b)e x0 ∈ (a, b) sia di flesso. Allora f (2)(x0) = 0.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 93/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave: flessi.
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
1
2
3
4
5
Figura : La funzione x5 in [−1, 1] (in alto) e la sua derivata (in basso).Evidentemente ha un punto di flesso in x0 = 0.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 94/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave: nota.
Teorema
Se f : (a, b)→ R e strettamente convessa e derivabile in (a, b)allora ha al piu un punto stazionario e questo sara un minimoglobale.
Teorema
Se f : (a, b)→ R e strettamente concava e derivabile in (a, b)allora ha al piu un punto stazionario e questo sara un massimoglobale.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 95/ 121
Funzioni convesse e funzioni concave: esempio.
Esempio
La funzione f (x) = ex e derivabile due volte ed ef (2)(x) = ex > 0. Quindi e strettamente convessa in R.
Esempio
La funzione f (x) = log(x) e derivabile due volte ed ef (2)(x) = −(1/x2) < 0. Quindi e strettamente concava nel suoinsieme di definizione R+\0.
Esempio
Dire dove, al variare di α ∈ R, la funzione f (x) = xα, e derivabiledue volte, stabilendone la concavita o convessita .
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 96/ 121
Teorema di de l’Hopital.
Teorema (de l’Hopital (1696))
Siano f , g : I ⊆ R→ R, con I = (a, b) intervallo aperto. Sisupponga che
f , g siano entrambe derivabili in I ;
valga una delle seguenti
1 limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0;2 limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = −∞;3 limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = +∞;
sia limx→a+f ′(x)g ′(x) = L, L ∈ R∗.
Allora
limx→a+
f (x)
g(x)= L.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 97/ 121
Teorema di de l’Hopital.
Dimostrazione facoltativa.
Mostriamo esclusivamente il casolimx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0.
Siano
f (x) =
{f (x), x ∈ (a, b)0, x = a.
g(x) =
{g(x), x ∈ (a, b)0, x = a.
Le funzioni f , g sono
continue in [a, b);
derivabili in (a, b);
limx→a+f (x)g(x) = limx→a+
f (x)g(x)
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 98/ 121
Teorema di de l’Hopital.
Osserviamo che
f (x)
g(x)=
f (x)− 0
g(x)− 0=
f (x)− f (a)
g(x)− g(x).
Fissato x ∈ [a, b), si ha che f (x), g(x) sono continue in [a, x ] ederivabili in (a, x).Dal teorema di Cauchy, esiste ξ(x) ∈ (a, x) tale che
f (x)− f (a)
g(x)− g(a)=
f ′(ξ(x))
g ′(ξ(x))
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 99/ 121
Teorema di de l’Hopital.
Quindi
limx→a+
f (x)
g(x)= lim
x→a+
f (x)
g(x)
= limx→a+
f (x)− f (a)
g(x)− g(a)= lim
x→a+
f ′(ξ(x))
g ′(ξ(x)). (1)
Osserviamo ora che se x → a+, pure ξ(x)→ a+ poiche
ξ(x) ∈ (a, x). Inoltre limt→a+f ′(t)g ′(t) = limt→a+
f ′(t)g ′(t) . Posto
t = ξ(x), si ha quindi che t → a+ da cui
limx→a+
f (x)
g(x)= lim
x→a+
f ′(ξ(x))
g ′(ξ(x))= lim
t→a+
f ′(t)
g ′(t)= lim
t→a+
f ′(t)
g ′(t).
come volevasi dimostrare.Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 100/ 121
Teorema di de l’Hopital, esempio.
Esempio
Calcolare
limx→0
1− cos2(x)
x
Svolgimento.
E’ una forma indeterminata del tipo 0/0. Usando la regola del’Hopital
limx→0
1− cos(x)
x2= lim
x→0
sin(x)
2x= lim
x→0
cos(x)
2=
1
2(2)
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 101/ 121
Derivata, esercizio
Esercizio
Mostrare che la derivata prima di log(x) in x0 > 0 vale 1/x0.
Traccia.
Ricordiamo che
limy→0
log(1 + y)
y→ 1.
Dalle proprieta dei logaritmi
log(x + h)− log(x)
h=
log((x + h)/x)
h
=log(1 + (h/x))
(h/x)x→ 1/x
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 103/ 121
Derivazione: esercizi
Esercizio
Calcolare le derivate di
f (x) = asin (x);
f (x) = cos(
x+1x3+2
)f (x) = sin(x)+e1/x
x2 cos(x)+ log(x);
f (x) = xx (nota che f ′(x) 6= x · xx−1)!!
f (x) = (tan(x))x/(x+1);
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 104/ 121
Esercizi di ricapitolazione.
Esercizio
La funzione f (x) = 1√|x | e ovunque derivabile nel suo
dominio?
La funzione f (x) = 3√|x | e ovunque derivabile?
Mostrare, conoscendo l’algebra dei limiti, teoremi e leprincipali derivate, che
se f (x) = 1/ sin(x) allora f ′(x) = − cos(x)/ sin2(x);f (x) = 3x2 + ex · sin(x) + (1/log(x)) alloraf ′(x) = 6x + ex · sin(x) + ex · cos(x)− 1/(x(log(x))2);f (x) = sin(x2) allora f ′(x) = 2x · cos(x2);f (x) = e−x allora f ′(x) = −e−x ;f (x) = sinh(x) = (ex − e−x)/2 alloraf ′(x) = cosh(x) = (ex + e−x)/2;f (x) = cosh(x) = (ex + e−x)/2 alloraf ′(x) = sinh(x) = (ex − e−x)/2;
f (x) = 2 log(cos(x2)) allora f ′(x) = −4x sin(x2)cos(x2) .
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 105/ 121
Esercizi di ricapitolazione.
Esercizio
Mostrare, conoscendo l’algebra dei limiti, teoremi e le principaliderivate, che
f (x) = xx allora f ′(x) = xx · (log(x) + 1) (sugg.f (x)g (x) = eg(x) log(f (x)));
f (x) = (sin(x))sin(x) + sin(sin(x)) allora f ′(x) =(sin(x))sin(x) ·(cos(x) log(sin(x))+cos(x))+cos(sin(x)) cos(x);
f (x) = arccos(x) allora f ′(x) = −1/(1− x2)1/2 sex ∈ (−1, 1);
f (x) = arctan(x) allora f ′(x) = 1/(1 + x2)1/2;
g(x) = sinh(x), la sua inversa e f (y) = settsenh(y) e alloraf ′(y) = 1/
√1 + y 2 (sugg. se y = sinh(x) allora
cosh(x) =√
1 + y 2);
g(x) = cosh(x), la sua inversa e f (y) = settcosh(y) e alloraf ′(y) = 1/
√−1 + y 2.Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 106/ 121
Esercizi di ricapitolazione.
Esercizio
Mostrare che | sin(x)| e continua ma non e derivabile in x = kπ,per k ∈ Z.
Esercizio
Dire in quali punti sono continue e/o derivabili le seguenti funzioni
f (x) = |x3|;e |x−1|;
f (x) =
{1 + x2, se x ≥ 0−(1 + x2), se x < 0
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 107/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f ′. Esercizi.
Esercizio
Calcolare i punti critici, massimi e minimi relativi e assoluti, di
f (x) =
{x2 − 1, se x ≤ 1(x − 1) sin( 1
x−1 ), se x > 1
Esercizio
Calcolare, al variare di β, γ, i punti critici, massimi e minimirelativi e assoluti, di
f (x) =
{βx + γ, se x < πsin(αx), se x ≥ π
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 108/ 121
Massimi e minimi relativi e zeri di f ′. Esercizi.
Esercizio
Calcolare, al variare di α, β, i punti critici, massimi e minimirelativi e assoluti, di
f (x) =
{αx2 + β, se x ≤ 0
e3x2
x3+x , se x > 0
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 109/ 121
Esercizi di ricapitolazione. Asintoti obliqui.
Esercizio
Calcolare i possibili asintoti di
f (x) = log(|ex − 4|)− arctan(ex − 5)− log(4).
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 110/ 121
Esercizi di ricapitolazione. Asintoti obliqui.
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Figura : In alto. La funzione log(|ex − 4|)− arctan(ex − 5)− log(4) in[−10, 10].
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 111/ 121
Esercizi di ricapitolazione. Teorema di de l’Hopital.
Esercizio
Usando il Teorema de L’Hopital, calcolare
limx→0 sin(x)/x;
limx→0+e−1/x2
x = 0;
limx→0(ex − 1)/x;
limx→0ex
3/(x4+x)−cos(x)sin(x)(tan(x))
limx→0sin(x)+cos(x)−ex
(1/(x+1))−1 = 2;
limx→0ex−(1+x+(1/2)x2)
x2
limx→0x−sin(x)
x3
limx→0+ x3/2 log(sin(x))
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 112/ 121
Studi di funzione, esercizio 1.
Esercizio
Sia
f (x) =x2 + x + 1
2x − 1.
Determinare
il dominio di f ;
determinare dove f e continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f e derivabile e calcolare f ′;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione eeventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 113/ 121
Studi di funzione, esercizio 2.
Esercizio
Sia
f (x) = log
(x + 4
(x + 1)2
).
Determinare
il dominio di f ;
determinare dove f e continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f e derivabile e calcolare f ′;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione eeventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 114/ 121
Studi di funzione, esercizio 3.
Esercizio
Sia
f (x) =x + 2
xe− 1
(x+2) .
Determinare
il dominio di f ;
determinare dove f e continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f e derivabile e calcolare f ′;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione eeventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 115/ 121
Studio di funzione: esercizio 4.
Esercizio
Siaf (x) = arcsin(x2 − 4|x |+ 3).
Si determini
il dominio di f ;
dove e positiva
determinare dove f e continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f e derivabile e calcolare f ′;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione eeventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
dove e concava o convessa.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 116/ 121
Studio di funzione: esercizio 5.
Esercizio
Siaf (x) = x log(x).
Si determini
il dominio di f ;
dove e positiva
determinare dove f e continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f e derivabile e calcolare f ′;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione eeventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
dove e concava o convessa.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 117/ 121
Studio di funzione: esercizio 6.
Esercizio
Siaf (x) = 3−1/| sin(x)|.
Si determini
il dominio di f ;
dove e positiva
determinare dove f e continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f e derivabile e calcolare f ′;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione eeventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
dove e concava o convessa.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 118/ 121
Studio di funzione: esercizio 7.
Esercizio
Siaf (x) = log(ex + e−x) + x .
Si determini
il dominio di f ;
dove e positiva
determinare dove f e continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f e derivabile e calcolare f ′;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione eeventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
dove e concava o convessa.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 119/ 121
Studio di funzione: esercizio 8.
Esercizio
Sia
f (x) = arcsin
(|x − 1|x + 3
).
Si determini
il dominio di f ;
dove e positiva
determinare dove f e continua;
determinare gli asintoti orizzontali/verticali di f (se esistenti);
determinare dove f e derivabile e calcolare f ′;
determinare gli intervalli di monotonia della funzione eeventuali punti di massimo e/o minimo relativo e/o assoluto.
dove e concava o convessa.
Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione 120/ 121