Elementi di teoria ed esercizi sui moti

apparenti della luna e dei pianeti

LaLunaMo$apparen$dellaLunaedeipiane$,massaeraggiodellaLuna,distanzaTerra-Luna,fasilunariedeipiane$,transi$e

occultazioni,eclissi

Olimpiadi di Astronomia 2018 Selezione Interregionale Lazio astrolimpiadi.lazio@iaps.inaf.it

LaTerrae la Luna si possono considerare,permol$aspe9, comeunpianeta doppio. Infa9, le dimensioni e lamassa della Luna non sonoaffa=otrascurabili rispe=oaquelledellaTerra: Il raggiomediodellaLuna è circa 1/3.7 di quello della terra. Anche le masse sonoconfrontabili:MassadellaLunaècirca1/81dellamassadellaTerra.E’infa9ilbaricentrodelsistemaTerra-Lunachesimuoveintornoalsolee la suaposizioneèa circa1700kmso=o superficie terrestre,quindibenlontanodalcentrodellaTerra.

IlsistemaTerra-Luna

Mese siderale; Msid=27d7h43m; è il tempo che impiega la Luna adeffe=uareungirodi360°intornoallaterrarispe=oallestellefisseMesesinodico;Msin=29d12h44m;èladistanzaditempocheintercorretraduenoviluni.Se la terra fosse ferma rispeGo al sole, i duemesi coinciderebbero.Invece, nel tempo che la luna impiega per compiere una rivoluzione,ovvero360°(13,3°/giorno),laterrasièspostatadi27°sullasuaorbitaa=ornoalsole(1°/giorno).Lalunaperciòrisulteràallineataconlestellefissemanonsaràritornatainnovilunio:stessoallineamentosole,luna,terra. La Lunadevequindi descrivereunangolodi 27°per riallinearsiconsoleeterra.

h=p://digilander.libero.it/furlanma/museo/cabrianima/lunare1.html

Fig1.

LibrazioniIlmotodellaLunaèmoltocomplessorisentendodell’influenzasiadellaTerrachedelSole.Adesempioilpianodell’orbitavarialasuainclinazione rispe=o all’eccri9ca di circa 40’ ogni 6 mesi, leperturbazioni secolari invece influiscono sulla longitudine delperigeo dell’orbita che si sposta verso est e fa un intero girodell’eccli9ca incirca9anni(annoanomalis)co). Inodidell’orbitasi spostano sull’eccli9ca in senso opposto e percorrono tu=al’eccli9caincirca18annie7mesi(mesedraconico).LaLunamostraunmotodirotazionea=ornoalproprioasse che è sincrono colmoto di rivoluzione a=orno alla Terra, diconseguenza, in prima approssimazione, la Luna rivolge verso laTerra sempre lo stesso emisfero. Ma in realtà questo non èpropriamente vero perché la luna è sogge=a ad altri mo$apparen$, de9di librazione. L’effe=odeimo$di librazione fa siche la faccia rivolta verso la terra non sia esa=amente la stessasempre. Infa9, dalla terra si riesce ad osservare il 59% dellasuperficie della Lunaenon il 50% come ci si aspe=erebbedaunmotoperfe=amentesincrono.Imo$dilibrazionesidividonoin:•  Librazione in longitudine: dovuta al fa=o che per la seconda

leggediKeplero,all’apogeolalunaèpiùvelocechealperigeo,mentrelavelocitàdirotazioneècostante.

•  Librazioneinla$tudine:l’assedirotazionedellalunaèinclinatodicirca6°rispe=oallaperpendicolarealsuopianoorbitale.PercuidivoltainvoltalaLunamostraallaTerraprimaunpolo,poiunaltro(stessomeccanismodellestagioniperlaTerrarispe=oalSole).

•  Librazionediurnaoparalla9ca.lavisioneprospe9cadellaLunadipendedallaposizionedell’osservatoresullaterra(influiscedicircaun1°)

•  Librazionefisica:dien$tàtrascurabile,dovutaallavariazionedidirezionedelsemiassemaggioredell’orbitalunare.

TransiJeoccultazioniLeOccultazionisonofenomeniincuiunogge=ocelestenecopreunaltro inmaniera da renderlo invisibile all'osservatore per un certoperiodo di tempo. Transi$ sono invece il passaggio di un corpoceleste più piccolo davan$ ad un altro più grande. In ques$ duefenomeni sono sempre convol$ ogge9 del sistema solare: Luna,Sole, piane$, satelli$. Ma si può parlare anche di transito di unesopianetadavan$allasuastella.Traquesto$podifenomeniilpiùcomuneèl’occultazionedistellefisse da parte della Luna che perme=e, conoscendo l’esa=aposizionedella stella, uno studiomoltode=agliatodella velocità edella posizione della Luna e quindi del suo motoDuranteun’occultazione si dis$nguono due fasi: l’immersione, cioè lasparizione dell’astro dietro il bordo lunare, e l’emersione, cioè lariapparizionedell’astrodall’altrapartedeldiscolunare.Fenomeni più rari ma molto importan$ per determinare lecara=eris$chedeipiane$edeisatelli$sonoadesempio:

•  Piane$occulta$dalsole•  Piane$occulta$dallaluna•  Luna che occulta ogge9 estesi

lontani(ammassi,galassie,nebulose)•  Satelli$occulta$dalloropianeta•  Occultazionimutuetrapiane$(ades.

Saturno occultato da Giove, che haorbitapiùinterna)

•  Transito di Mercurio e/o Veneredavan$alsole

•  Transito dei Satelli$ davan$ al loropianeta (con proiezione dell'ombradelsatellitesulpianeta,vedifigura)

•  Transi$ tra piane$ (Es: Venere intransitodavan$aGiove)

Fig2.TriplotransitosuGiove

La culminazione è il passaggio di un corpo celeste a=raversoilmeridianoastronomico(cerchiomassimochepassaperipoli,lozeniteilnadir).Si dis$ngue una culminazione superiore o transito comel'a=raversamentopiùvicinoallozenitelaculminazioneinferiorecomel'a=raversamentopiùlontanodallozenit.Per le stelle circumpolari e per la Luna, il transito viene de=oanche passaggio sopra il polo, mentre la culminazione inferiore sichiamaanchepassaggioso=oilpolo.

IlTemposolaremedio(TSM,de=oanchetempomedio,tempomediolocale)èl'angoloorariodelSolemediopiù12ore.L'orazero(iniziodelgiornosolaremedio)èdatadallaculminazioneinferioredelSolemedioperilluogodiosservazione.

ALCUNEDEFINIZIONIUTILI

Testoedisegnocopia$da:h=ps://eratostene.viala=ea.neterielabora$

Fig3.

FasiLunari

Le fasi lunari sono unaconseguenza delle diverseposizioni occupate dallaLuna, rispe=o al Sole, nelsuo moto di rotazionea=ornoallaTerra(vediFig1);Sipossonodis$nguere4fasiprincipalichesitrasformanoprogressivamente l ’unanell’altra, più due fasiintermedie:

•  Luna nuova, (1) in congiunzione col sole, invisibile, mostra la suaparte in ombra. Culmina a mezzogiorno (tempo solare medio).Stessalongitudinedelsole

•  Luna crescente (2) apparedopoduegiornidalla lunanuova,unafalce so9le ad ovest al tramonto in direzione del sole, convessitàversoilsole.

•  primo quarto(3). Dopo 7 giorni dalla luna nuova, la Luna è inquadratura orientale (90° est in longitudine dal sole), culmina alle18.00(TSM),visibilesolonellaprimapartedellano=e.

•  Lunagibbosacrescente(4).Laparteilluminatacon$nuaacrescereper7giorni

•  Lunapiena (5).Dopo7giornidalprimoquarto, inopposizionecolSole (180° in longitudine rispe=oal Sole), tu=o il disco illuminato,visibiletu=alano=e,culminaamezzano=e(TMP).

•  Lunagibbosacalante(6.).lalunacominciaadecrescere,convessitàrivoltaversolevante.

•  UlJmo quarto (7.).Dopo 7 giorni dalla luna piena, in quadratura(longitudine 90° ovest dal Sole), culmina alle 6 del ma9no(TMP),visibilesolonellasecondametàdellano=e

•  Lunacalante(8.).FalcesemprepiùpiccolafinchésiritornaincongiunzionecolSole.

Fig4.

Eclissidisoleediluna

EclissediSole=occultazionedelSoledapartedellaLuna.EclissediLuna=occultazionedellaLunadapartedellaTerra.

PerunastranacoincidenzaSoleeLuna,puravendodimensionimoltodiverse,sitrovanoadistanzetalidallaTerradamostrarepiùomenolostessodiametroapparente(circa0°.5).Lunaècirca400voltepiùvicinaalla Terrama suodiametroè circa400 voltepiùpiccolodi quellodelSole.Se il piano dell’orbita della Luna coincidesse con quello dell’ecli9ca,invecediessereinclinatodi5°9’,adogninoviluniosiavrebbeun’eclissedi Luna e ad ogni plenilunio un’eclisse di Sole. Quindi, condizionenecessariaesufficienteperchésiabbiaun’eclisseècheinplenilunioonovilunio la Luna si trovi in prossimità dei nodi, cioè in vicinanzadell’ecli9caecheicentridiLunaeSolesianoallinea$,oquasiallinea$,conl’osservatore.Al novilunio possono esserci eclissi di Sole totali, anulari o parziali.Questo dipende da quanto è buono l’allineamento tra Luna e Sole(eclisse parziale) e dalle dimensioni apparen$ del disco lunare, seeccedequellodelsole(eclissetotale)oseèpiùpiccolo(eclisseanulare)Analogamentealplenilunio,selaTerrasiinterponetrailSoleelaLuna,può interce=areper intero (eclissi totale)o inparte (eclissiparziale) iraggisolaricheilluminanolaLuna

EclissediLuna

EclissediSole

Fig5.

Fig6.

Soluzione:considerandoilgiornosolaremediosiha:-  Lalunanuovaculminaamezzogiorno-  LaLunapienaculminaamezzano=e-  Ilprimoquartoculminaalle18.00-  L’ul$moquartoculminaalle6delma9no

Quindiselalunaculminaalle20.00vuoldirecheètrailprimoquartoelalunapiena:LalunaèquindiGIBBOSACRESCENTE

Es 1. La Luna è alla sua culminazione superiore alle 8pmTemposolaremedio.SJmalafasedellaluna

Fig7.

Es 2. Perché durante un’eclissi totale, la Luna non è buia mailluminatadaunalucepiùtenuediquellaSolaredireGaedicolorerosso?La luce solare a=raversando l’atmosfera subisce rifrazione, ovverounadeviazionedelpercorsodellalucechedipendedallafrequenzaequindilalucesidivideneisuoicolori.Inoltrelalucevienediffusadallepar$celledell’atmosfera.

Laluceblu-viole=asubisceunadiffusionepiùmarcatarispe=oaquellarossacheinveceescedallaterraedilluminalaLuna.Mentrelalucebluviene“sparpagliata”(cieloazzurro).Allostessofenomenoèa=ribuibileladebole luminositàdeldisco lunare inombraquandosolounafalcediLunaèilluminata.

FotoNasa

Fig8.

EsercizisulleeclissiEs3.Calcolareilraggioydellasezionedelconod’ombraproieGatodallaterrapereffeGodell’illuminazionesolaresullaLunapostaadunadistanzal=60r(conr=raggioterrestre=AT)

x=LE,altezzadelconoa=ST=dist.terra-Sole=23481rR=BS=raggiodelsole=109rl=LT=dist.terra-luna=60r

ET LS

B

A

Fig9.

y

LEy=SER=TEr;ma TE = TL + LE = 60r + x

definiamo poi : x = !xr e y = !yrTEr=SER=STR+TLR+LER⇒60r + xr

=aR+60rR

+xR;

R =109r; a = 23481r; l = 60r; x = !xr;60r + !xr

r=23481rR

+60rR

+!xrR=

23421r + !xr109r

;

60+ !x = 23421+ !x109

⇒ !x =156.276⇒ x =156.3 r.

xy=TEr; TE = x +TL = x + 60r = !xr + 60r; y = !yr

!xr!yr=!xr + 60r

r⇒ !y = 0.72⇒ y = 0.72r

Poichéilraggiodellalunaèparia:rL=0.00027r,ilraggiodelconod’ombrasaràmoltomaggiore del raggio della Luna. Il conod’ombraproie=atodalla terrasulla luna ha sempre un’apertura molto più ampia del raggio della Luna.QuindinonesistonoeclissianularidiLuna(mentreperleeclissidisolequestononèvero).Duranteun’eclissitotalediLunatu=alalunapuòentrarenelconod’ombra.Mentre durante un eclisse di sole, l’ombra della Luna ricopre unapiccolaporzionedellasuperficieterreste.

ItriangoliBSE,ATEeCLE(n.b.CL=y)sonotriangolisimili,ovverohannotu9gliangoliuguali.Quindisihacheilrapportotraiduecate$ècostante:

C

percomodità

1)

Dallaeq1)siha:

Durante il moto intorno al sole i piane$ interni, vis$ dalla Terra,acquisirannodifferen$gradidielongazionedalSoleeadognigradocorrisponderàuna illuminazionediversadella suasuperficieequindiunadiversafase.Durantelacongiunzioneinferiore,ilpianetadallaterraèinvisibiledalmomentochelafacciascuraèrivoltaanoi. Inquestocaso, lafaseèdello0%edilpianetaèinvisibile(amenodiuneventualetransitosuldiscosolare).In congiunzione superiore, tu=o il disco del pianeta è inveceilluminatoindirezionedellaterra,ma ilSolesifrapponetralaterraed il pianeta. In tal caso la fase è del 100% ma sostanzialmente ilpianeta è invisibile perché anche se non fisicamente occultato daldisco solare, si trova così vicino al sole che sorge e tramonta con ilsole,quindiinvisibileconnormalistrumen$astronomiciNellefasidimassimaelongazionecisarannoiquar$.

Fasideipiane$interni

A causa dei rispe9vi mo$ orbitali,ancheipiane$mostranole"fasi”Ilfenomenoèmoltoevidentesoloneipiane$ interni (Mercurio e Venere)che, similmente alla Luna, mostranoporzioni del proprio disco apparenteche progressivamente vengonoillumina$ dalla luce solare, passandoda una fase nulla, quando sono incongiunzione inferiore, ad unacompletaquandoappaionoaldilàdelSoleincongiunzionesuperiore

Fig10.

EssendoleOrbiteditu9glialtripiane$,ecce=oMercurioeVenere,esterne alla nostra, mostreranno sempre l'emisfero illuminato,variando di poco la percentuale interessata ed assumendo quelcuriosoaspe=odefinito"gibboso".Sipuòcalcolarechelafasediunpianeta esterno “in quadratura” dipende dal rapporto tra il raggiodell’orbita della terra e quello dell’orbita del pianeta.Da questo dideduce facilmente che l’unico pianeta esterno di cui è possibilepercepire con un normale telescopio, senza l’aiuto distrumentazione,lafaseèMarte(la%diilluminazioneperMartepuòarrivare allo 0.877). Per gli altri l’illuminazione della superficie nonscendeso=olo0.989(Giove)

Fasideipiane$esterni

Definizione:TERMINATOREE’ de=o terminatore l'insieme dei pun$su una luna o pianeta dove i raggi checompongono la radiazione solare sonotangen$ alla superficie. La linea separaporzionidisuperficieincuièpresentelalucedaquelle in cui c'èoscurità.Anchesulla terra esiste un terminatore che èovviamente il terminatore è il cerchiocheseparailgiornodallano=e. MarteinfaseGibbosa

h=p://paolocampaner.blogspot.it/2012/05/marte-2012.html

Fig11.

MotoApparentedeipiane$Moto dire=o e moto retrogrado. Per effe=o del proprio moto dirivoluzione intorno al sole e di quello della terra, i piane$ (inpar$colarequelliesterni)descrivonosullasferacelestecolpassaredeltempodelle“S”odeicappi.QuandoilpianetasimuovedaovestversoestsiparladimotodireGo,mentrequandocambiadirezionediparladi moto retrogrado. Il punto in cui il pianeta cambia direzione èchiamatopunto stazionario. Più il pianeta è lontano più dura la suapermanenzanelmotoretrogrado.Seunpianetafosselontanodalsolee pra$camente fermo rispe=o alla terra, il suo moto descriverebbeun’ellissepariallasuaparallasse.

Periodosinodico: il tempoche intercorre tradueeven$ (adesempiodueopposizionisuccessive)Periodo siderale: il periodo “vero” di rivoluzione intorno al sole,ovverodopoaverpercorso360°.Ilperiodosideraleè$picodiundatocorpoceleste,mentre ilperiodosinodicodipendedalladifferenzadeiperiodi siderali dei due corpi presi in considerazione (es. il periodosinodicodellaLunaintornoallaTerra)

2πPs

=2πPp

−2πP0

→1Ps=1Pp−1P0

ω p =

ω0 =

ω p =2πPs; Ps= periodosinodico

Fig12.Velocitàangolaremediadelpianeta

VelocitàangolaremediadellaTerra

ωs =ω p −ω0

Relazionechelegailperiodosinodicoaquellosiderale

Es4.DatoilmesesideraledellaLunapariaMl=27.322calcoliamociilmesesinodico,Ms.

1Ps=1Pp−1P0

1Ms

=1Ml

−1P0

1Ms

=1

27.322g−

1365.256g

=1

0.0339= 29.5g

Es 5. Supponiamo invece di calcolare il periodo tra 2 noviluni diTitano rispeGo ad un osservatore posto su Saturno (supponendoovviamente che gli altri satelliJ di Saturno influenzino l’orbita diTitano in maniera trascurabile). Possiamo definire questo periodocomeil“mese”sinodicodiTitano.ATTENZIOE!! Per la precisioneper “mese sinodico” si intende il periododitempo tra due successivi noviluni della LUNA rispe?o ad un osservatoreterrestre.Peròsoloperquestoeserciziopossiamoestenderneilsignificatoedefinireun“mesesinodicorispe?oaSaturno”

1Ps=1Pp−1P0

P0= in questo caso è il periodo siderale disaturno = 29,45 anni=29.45*365=10749.25giorniPp=èil“mese”sideralediTitano=15,9giorniPs= il “mese” sinodico di Titano rispe=o asaturno

1Ps=115,9

−1

10749.25= 0.063

PS =15.92NelcasodiTitano,vistodaunosservatorepostosuSaturno, periodosinodico e periodo siderale pra$camente coincidono. Questo perchéSaturno ha un periodo siderale è talmente lungo rispe=o al “mese”sideralediTitanodapoteressereconsideratofermorispe=oalSole

Es6.QualipianeJdelSistemaSolarepossonosorgereaestlasera?

Es7.QualipianeJdel sistemasolarepossonoosservarsi inopposizionealsole?

Es 8. Quanto vale la distanza Terra-Marte quando la distanzaangolareMarte-Soleèdi60°?Siconsideriperledistanzeterra-SoleeMarteunvaloreparialsemiassemaggioredell’orbita

Risposta: Ovviamente solopiane$ esterni, i piane$ internisonosempredallapartedel sole(vedi Fig13). Quindi sorgono etramontanodallastessapartedelSole. Se sono as un elongazionedal Sole abbastanza grande sipossono osservare ad est lama9naoppureadovestlasera.

Risposta:Ovviamentesempreipiane$esterni

a=TM=?c=ST=1UAb=SM=1.523UAβ=60°

Impostazione

S M

T

α

β

γ

Soluzione:TM=1.753UA

Fig13.

Fig14.Peruntriangoloqualsiasisiaha:ac

b

α+β+γ=180°

Es9. Volete calcolare quando si verificherà la prossima Luna Piena.Aveteadisposizioneuncalendariobasatosulmese lunaresiderale, lacui durata è:Msiderale = 27.32 giorni. Oggi è il 13 febbraio, il mesesiderale in corso è iniziato con la LunaNuova dello scorso gennaio efiniratra11giorni.SapendocheilmeselunaresinodicoèMsinodico=29.52giorni,quandosiverificheràlaprossimaLunapiena?

13Fe+11g=finemesesideralecheiniziaconlunanuova.Gi=13Fe+11g-27.32=iniziomesesidereale,lunanuovaGi+29.5=LunaNuovasucessiva=13Fe+11g-27.32g+29.5=13Fe+13.18Lalunapienaarrivaametàdelmesesinodico29.5/2=14.8gLalunapienac’èstata2gfa(13Fe+13.8-14.8).Quindilaproxlunapienacisaràilmesesuccessivo,ovvero:Giornodilunanuova+14.8gquindi:13Fe+13.18g+14.8g=13Fe+27.98gproxLunapiena=13Fe+28g=12Marzo

Es10.DimostrarechedaCatanianonsipuòosservarelaLunapassareallo Zenith. Per la soluzione si ricordi che l’orbita della Luna èinclinatadicirca5°rispeGoall’eclilca.InqualiregionidellaTerrasipuòosservarelaLunapassarealloZenith?

•  La$tudineCataniacirca37°•  Inclinazionedell’eccli9carispe=oall’equatoreceleste23°27’•  Inclinazionedellalunarispe=oall’eccli9ca=5°

Angolomassimodellalunarispe=oall’equatore:23°27’+5°=28°27’La$tudinediCatania37°;QuindiperunosservatorepostoaCatania:Avremo: 37°-28° 27’=9° 27’. Questo vuol dire che un osservatorepostoaCataniavedrà la Lunamoltoaltanel cielomanonallo zenit90°-9°27’=81°27’.Aqualila$tudinilalunasipuòvederealloZenit?90°-X°-28°27’=90°;X°=28°27’(desertodelSaharacirca)