Elettronica di Front End nei rivelatori di particelle

Flavio Dal CorsoI tecnologoINFN-Padova

Corso di formazione per personale tecnicogiugno luglio 2011

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Sommario Introduzione Analog Signal processing nei rivelatori di particelle Breve ripasso di elettronica fondamentale

Transistors - BJT, JFET, MOSFET La transconduttanza Circuiti basilari

LAmplificatore Operazionale Funzione di trasferimento Impedenza dingresso con reazione R||C

Teoria del rumore Rumore come processo stocastico ergodico Potenza del rumore e spettro di potenza Trasformazione dello spettro di rumore nei sistemi lineari Tipi di rumore

Johnson, Shot, Flicker Rappresentazione del rumore nelle reti relazione tre noise figure,

temperatura di rumore e spettro del rumore Rumore nei componenti

Resistori BJT, JFET, MOSFET Amplificatore Operazionale

3

Formazione del segnale nei rivelatori Teorema di Shokley-Ramo

Soluzioni particolari Blocchi funzionali di una catena analogica

Modello del detector accoppiamento DC o AC Preamplificatore

Disegno di un amplificatore di carica Un amplificatore integrato custom

Shaper (filtro) Teoria del filtro ottimo per misura di energia

Spettro di rumore in ingresso Spettro di rumore in uscita ENC Forma del filtro ottimo

Altre cause di perdita di risoluzione Panoramica sui filtri reali

Filtri semigaussiani a poli complessi coniugati Uno shaper semigaussiano commerciale Uno shaper semigaussiano integrato

Preamplificatori per situazioni particolari Adattamento ottimale con rivelatori ad alta capacit

Matching capacitivo Matching con trasformatore

Terminazione attiva

4

Un premaplificatore commerciale Un premaplificatore a componenti discreti per rivelatore a bassa

capacit Filtro ottimo per misura del tempo

Read-out Acquisizione

Sample & hold Peak Detector Pipeline Analogica

Conversione digitale Wilkinson ADC ADC ad integrazione Dual Slope ADC ad inseguimento ADC ad approssimazioni successive Flash ADC ADC

Riferimenti e bibliografia

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Analog Signal Processingnei rivelatori di particelle

Lobbiettivo fondamentale del processamento dei segnali fornito dai rivelatori estrarre le informazioni rilevanti dal rumore ovunque presente, ottenendo il migliore rapporto possibile tra il segnale utile e il rumore.

Sono due le quantit di maggior importanza che si possono estrarre dal segnale di un rivelatore: la sua ampiezza e il tempo di occorrenza.

Lampiezza correlata allenergia e al tipo di particella;la misura di tempo serve per lo pi alla sua localizzazione (sebbene talvolta la posizione si ricavi da misure di baricentro delle ampiezze in canali contigui).

I rivelatori che qui ci interessano rivelano il passaggio di una particella dalla ionizzazione di un opportuno mezzo. Rilasciano quindi un segnale elettrico tipicamente una certa quantit di carica elettrica in qualche misura proporzionale allenergia della particella incidente.

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Rivelatori che non producono un segnale elettrico (erenkov, transitionradiation, scintillatori ) richiedono eventualmente un secondo stadio di rivelazione che trasformi il segnale originale in segnale elettrico (rivelatori ad effetto fotoelettrico: PM, MCP, SiPD, APD, HPD, SiPM ). Dal punto di vista dellelettronica questultimo il rivelatore.

In altre situazioni la proporzionalit con lenergia abbandonata a favore di un segnale pi ampio, qualora serva solo la misura di posizione o di tempo sulla particella incidente; (RPC, LST, contatori Geiger ). In tali casi allelettronica pu non essere richiesta amplificazione e ottimizzazione del rapporto segnale/rumore, bastando una immediata digitalizzazione (discriminatori).

Nota sul termine elettronica di front-endSpesso (anche in questa dispensa) questa locuzione usata per indicare complessivamente lelettronica di processamento dei segnali analogici sviluppati dai rivelatori di particelle, mentre a stretto rigore di termini, essa dovrebbe indicare solo lelettronica che riceve immediatamente il segnale del rivelatore e che posta nelle sue immediate vicinanze. Solitamente solo uno stadio (preamplificatore o discriminatore) dellintera catena di processamento risiede fisicamente vicino al rivelatore.

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Lelettronica di front end pu dover affrontare due diverse situazioni:

1. La carica proporzionale allenergia della particella incidente (rivelatori proporzionali)a) misura analogica della caricab) misura analogica del tempo

amplificatori di carica filtro ottimo (a e b differiscono al livello del circuito di campionamento)

2. La proporzionalit con lenergia abbandonata a favore di un segnale pi ampio, e serve solo linformazione sul tempo di occorrenza del segnale nel rivelatore (RPC, LST, contatori Geiger) a) misura digitale del tempo discriminatori

Questo corso sar dedicato alle tecniche di processamento analogico finalizzate alla ottimizzazione delle misure di ampiezza e di tempo (punto 1), lasciando ad altra occasione le tecniche basate su discriminatori (punto 2)

8

A grandi linee possiamo intendere per signal processing la formazione del segnale nel rivelatore dovuta al passaggio della particella, la sua amplificazione e formatura (signal shaping) utili ad ottenere il migliore rapporto segnale/rumore, e il read-out.

Pertanto il corpo principale del corso sar organizzato in tre parti:1. studio della formazione del segnale nei rivelatori;

2. tecniche di processamento analogico, con particolare attenzione alle tecniche di disegno degli amplificatori di carica, e presentazione di una ampia panoramica sui filtri;

3. dedicata alle diverse tecniche di campionatura del segnale e di conversione analogico-digitale, limitatamente alla tecniche tradizionali di campionamento unico del segnale ad un istante ottimale, tralasciando tecniche pi recenti (e poco usate nellambito dei rivelatori di particelle) di campionamento continuo e ricostruzione digitale del segnale.

Allo scopo di fornire gli strumenti necessari alla comprensione degli argomenti presentati, sar premesso un breve richiamo di elettronica fondamentale sul funzionamento dei principali dispositivi, e un po di teoria del rumore, necessaria alla comprensione delle tecniche di ottimizzazione del rapporto segnale/rumore.

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Breve ripasso del funzionamento dei transistors e amplificatori operazionali

Presenter una essenziale descrizione del principio di funzionamento dei tre tipi di transistor BJT, JFET, MOSFET senza entrare nel dettaglio di tutte le varianti possibili (gli esempi e i disegni si riferiranno solo a dispositivi a canale n); introdurr poi il concetto di transconduttanza, quindi presenter alcuni circuiti base, necessari alla comprensione degli amplificatori che verranno illustrati in seguito.

Richiamer poi brevemente lamplificatore operazionale e svilupper in qualche dettaglio le configurazioni tipicamente usate per realizzare i filtri dei processori analogici per rivelatori di particelle.

10

A grandi linee il BJT pu essere visto come una coppia di giunzioni PN contrapposte, in cui la sezione centrale di semiconduttore estremamente sottile e la conformazione geometrica tale per cui il collettore racchiude base ed emettitore.

La giunzione base-emettitore polarizzata direttamente, mentre la giunzione base-collettore polarizzata inversamente.

I portatori iniettati dallemettitore, per lo spessore della base e la configurazione geometrica, hanno alta probabilit di attraversarla ed essere raccolti dal volume depleto della giunzione di collettore.

Si ha quindi:

ec II = con prossimo a 1

cceb IIII == 1e quindi bc II = Con = 20 500

Il BJT

11

non indipendente dalla corrente di collettore

n dalla frequenza

Il comportamento in dettaglio definito dalle caratteristiche duscita (sin) e di trasferimento (dx)

12

Il JFET un dispositivo il cui la conduzione di corrente avviene nello spessore del semiconduttore (bulk), in un canale la cui sezione viene strozzata dalla zona di svuotamento della giunzione inversa del gate.

La caratteristica duscita non dissimile da quella del BJT, mentre alquanto diversa quella di trasferimento. Quindi con il JFET si potrrealizzare un dispositivo da comportamento simile al BJT, ma con tensioni di gate diverse da quelle di base di un BJT.

Il JFET

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Il funzionamento del MOSFET si basa sullo stesso principio del JFET, salvo che il canale di conduzione ricavato immediatamente sotto lossido di isolamento del gate.

La caratteristica duscita sostanzialmente identica a quella del JFET, mentre quella di trasferimento assai variabile con il modello di MOS (enanchement o depletion mode) e livelli di drogaggio.

Bench il MOS sia usato prevalentemente come interruttore (tra interdizione e zona ohmica), pu operare come dispositivo analogico in zona di saturazione realizzando comportamenti non dissimili dal BJT e JFET

Il MOSFET

Caratteristiche di un enanchementMOS a canale n. Per un depletionMOS la Vth scende a valori negativi, e il comportamento diviene quasi identico ad un JFET

14

Tutti e tre i dispositivi illustrati agiscono come modulatori della corrente duscita (collettore o drain) in funzione della tensione dingresso (base o gate).

I segnali applicati al transistor possono essere visti come piccole variazioni dei valori di polarizzazione, sufficientemente piccole da considerare lineare il comportamento del transistor rispetto ai segnali. Si conviene di indicare con lettere maiuscole i valori di polarizzazione e con minuscole i segnali.

La transconduttanza il rapporto tra il segnale duscita (corrente) e il segnale dingresso (tensione); il guadagno del dispositivo:

Si dimostra che per il BJT vale la relazione:

i

o

i

o

i

om

V

I

V

I

v

ig

KTamV

I

kT

qIg ccm == 300

25

Mentre per JFET e MOSFET gm dipende dalla geometria del dispositivo

vi

io

gm

La transconduttanza

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Vediamo alcuni dei circuiti fondamentali che si possono costruire con i tre tipi di transistors, quasi dei bulding blocks con cui affronteremmo pi avanti lanalisi di circuiti pi complessi (nei disegni c un JFET, ma potrebbe essere indifferentemente un BJT o un MOS).

Rgv

Ri

v

vA m

i

o

i

ov =

=

Amplificatore a singolo transistor (configurazione Common Emitter/Source)

vi

vogm

R

VCC

1i

oi

i

iA

Common Base/GateSi dimostra che per tutti i tre tipi di dispositivo limpedenza dingresso di emettitore/source 1/gm. Quindi, se R>>1/gm, il trasferimento di corrente di questo circuito vale (nel BJT si trascura la corrente di base):

ii

io

gm

R

Circuiti basilari

16

Emitter/Source Follower

1i

ov

v

vA

Poich limpedenza dingresso alta (104-106 per BJT; 1010 -1014 per JFET e MOS) e quella duscita bassa, il circuito adatta limpedenza della sorgente al carico.

vivo

gm

R

m

i

o gv

i

Cascode e Folded CascodeUsando la definizione di gm e le proprietdel common base/gate, per questi circuiti si ha:

Quindi non modificano la transconduttanza del dispositivo dingresso, ma ne migliorano molto la risposta in frequenza, perch inibiscono leffetto della capacit di drain.Il folded cascode permette anche di aumentare la dinamica duscita.

Si dimostra che se R>>1/gm, per tutti i tre tipi di dispositivo vale la relazione:

io

RVp

gmvi

io

Vpgmvi

Vcc

17

Generatori di correnteEsiste unampia gamma di circuiti che emulano un generatore di corrente ideale, quindi con alta impedenza. Tutti generano corrente dal collettore/drain, che un terminale ad alta impedenza (la corrente indipendente dalla sua tensione). Le migliori configurazioni arrivano ad impedenze dellordine di 107 .

R

Vp

I

Vengono usati come elementi di polarizzazione di un circuito o come carichi attivi per spingere lamplificazione senza necessit di usare alte resistenze.

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MOS come resistoriUn MOS polarizzato nella regione ohmica pu sostituire una resistenza (con grande risparmio di silicio, nei circuiti integrati). Il comportamento non sarmolto lineare, ma dove non critica la precisione, offrono un grande vantaggio alla densit di integrazione.

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Coppia differenziale il circuito dingresso degli amplificatori operazionali. costituito da una coppia di dispositivi (BJT, JFET o MOS) identici, accoppiati in emettitore/source, polarizzati con un generatore di corrente sul nodo comune.

sostanzialmente insensibile alla tensione di modo comune ed amplifica solo la tensione differenziale: 2

m

d

o g

v

i

Al variare del tipo di dispositivo cambia solo lampiezza della zona lineare:

BJT JFETMOSFET

gm gm

I

io

vcm

vd/2 -vd/2

20

Amplificatore operazionale un amplificatore differenziale con elevato guadagno (anche oltre 106). Di conseguenza gli ingressi sono quasi equipotenziali, pure essendo tra loro isolati; si dice che sono in contatto virtuale.

Con gli operazionali si realizzano una grande variet di funzioni, che non possiamo qui analizzare. Mi limiter a presentare alcuni concetti ed alcuni circuiti utili allanalisi di un processore analogico di segnali da rivelatori.

Av1 vo

ZfZd

v2

Nella configurazione pi comune le funzioni di trasferimento rispetto ai due ingressi sono:

d

fo

Z

Z

v

v=

1 d

fo

Z

Z

v

v+=1

2

21

Configurazione tipica impedenza dingresso

Usualmente, nelle nostre applicazioni, lingresso non invertente posto a massa. Esso quindi diviene un amplificatore invertente ad alto guadagno, privo (idealmente) di offset in uscita.

ChargePreamp

Rf

A

Cf

OpAmp

Rf

A

Cf

Nel primo stadio dellelettronica di frontend richiesto un amplificatore invertente ad elevato guadagno, che quindi potrebbe essere fatto con un operazionale con ingresso non invertente a massa, ma diverse ragioni sconsigliano questa scelta. Lamplificatore viene quindi realizzato con il solo ingresso invertente, il che comporta che abbia un considerevole offset.

Negli stadi successivi, invece, conveniente usare amplificatori operazionali commerciali.

Inoltre lamplificatore di front end viene usato come integratore, quindi con reazione R||C (resistore, di alto valore, in parallelo ad un condensatore).

22

11

1

>>

+

+= f

f

Af

in CAsR

A

A

ZZ

interessante valutare limpedenza dingresso dellamplificatore, nel caso sia realizzato con un OpAmp commerciale oppure con un tipico preamplificatore da front end.

Per il teorema di Miller, limpedenza dingresso vale:

quindi come se allingresso ci fosse, verso massa, un condensatore ACf molto grande (essendo A molto grande), che la condizione ideale per un integratore. Compare anche un resistore Rf/A, che disturba, ma inevitabile; nellassunzione che Rf essa trascurabile.

Ma valutiamo come limpedenza varia con la frequenza.

A

Rf/AACf

23

Che pu essere riscritta cos:

1

0

01

1)1(1

++

+=

+=

ss

ff

in

AR

A

ZZ

f

01

0

s

AA

+=

Espressa anche limpedenza di feedback in termini del suo polo f=1/RfCf essa diviene:

)1)(1(

1

0

0

0 of Ass

sf

inA

RZ

++

+=

La risposta in frequenza dellamplificatore pu, con buona precisione, essere descritta in termini del suo polo dominante:

24

Proviamo una stima numerica in queste condizioni:

Il modulo dellimpedenza illustrato nella figura sottostante. Si vede che fino a 0 (50 Hz) limpedenza resistiva e bassa (100 ), poi cresce con andamento induttivo fino a f (1590 Hz), dove riprende andamento resistivo con valore relativamente alto (3184 ). Prende a decrescere con andamento capacitivo solo a frequenza A0 0 (50 MHz).

Il risultato che, nelle frequenze interessanti, come se il segnale del rivelatore venisse raccolto su una R||C con Rk e C=Cf, che non proprio la soluzione ideale!

OpAmp commerciale con

A0=120dB (=106)

0=314 s-1 ( GBW=50MHz)

Zf data da:

Rf=100 M

Cf=1pF

f=104 s-1

100 1000 10000 100000.

200

500

1000

2000

1. 106

1. 107

1. 108

1. 109

Hz

25

Vediamo ora cosa succede usandoun amplificatore da front end:

Zf come prima

Amplificatore invertente con

A0=60dB (=103)

0=3,14106 s-1 ( GBW=500MHz)

Ora limpedenza resistiva e pari a Rf/A0 fino a f, dove diventa capacitiva.

Il risultato netto , nelle frequenze di interesse, un impedenza dingresso dato da una R||C con R=Rf/A0 che rimane abbastanza alta, e C=Cf A0, che ci che si desidera.

Il trucco sta nellavere il polo dominante dellamplificatore pi alto del polo del feedback; 0>>f.

Tra 0 e Ao 0 limpedenza ritorna resistiva, ma a queste frequenze non si pu pi (come implicitamente stato fatto) trascurare la capacit del dispositivo dingresso.

Una situazione interessante si ha quando 0=f. Verr ripresa in considerazione pi avanti.

1000 10000 100000.

500

1000

5000

10000

50000

100000.

1. 106

1. 107

1. 108

1. 109

Hz

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Un po di teoria sul Rumore in elettronicaLa teoria del rumore ritenuta una disciplina oscura e difficile; cercher di dare qualche informazione, senza eccessiva pretesa di rigore. Debbo presumere alcune conoscenze di analisi statistica, teoria dei circuiti, trasformate di Fourier e Laplace.

In un sistema elettronico rumore qualsiasi segnale che si sovrappone al segnale utile, ostacolandone le misura.

Possiamo distinguere tra rumore deterministico, causato essenzialmente da interferenze con altri sistemi o variazioni di parametri ambientali, che in linea di principio (molto teoricamente) pu essere analizzato in modo totalmente deterministico e rimosso. Non verr preso in considerazione in questo corso, ma rimando ad una fonte fondamentale al rif. 7,e rumore casuale, che non pu essere analizzato se non in termini statistici e non pu mai essere totalmente rimosso, perch intimamente connesso alle propriet fisiche fondamentali dei componenti elettronici.

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Rumore come processo stocastico ergodico

La forma donda del rumore, come ci che si vede alloscilloscopio quando la sonda connessa ad un circuito privo di segnale, una funzione del tempo dalla forma irregolare e del tutto imprevedibile.

Diciamo che un processo casuale, e lo chiamiamo n(t). Comunemente per descriverlo usiamo un unico valore: la deviazione standard (o valore rms), ma nel fare ci facciamo implicitamente alcune assunzioni non banali:

1. Assumiamo che la distribuzione statistica di n(t) sia indipendente dal tempo

2. Assumiamo che la distribuzione sia gaussiana con media nulla

3. Assumiamo anche a priori che tale distribuzione esista per qualsiasi circuito ed in qualsiasi circostanza.

Sono assunzioni che ci detta lesperienza, ma su quali principi fisici e matematici si fondano?

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Per fissare le idee, poniamo che n(t) sia la tensione ai capi di una resistenza. A causa dellagitazione termica degli elettroni e degli atomi, in generale sarn(t)0.

Operativamente, come determiniamo la statistica di n(t), ad esempio la media?

=T

dttnT

n0

)(1

1. Possiamo prendere una schermata sufficientemente lunga alloscilloscopio e valutarne la media (statistica temporale).

2. Oppure possiamo prendere molti campioni a tempi sufficientemente lontani tra loro da poter assumere che siano statisticamente indipendenti, e farne la media (statistica dinsieme).

)}({ itnEn =

Se facciamo bene le cose (a meno di variazioni delle condizioni ambientali), lesperienza ci dice che otteniamo lo stesso risultato. In realt non neppure raro che le misure non tornino, perch non sappiamo bene cosa voglia dire, nelle preposizioni suddette, lavverbio sufficientemente.

Come determinarne la statistica di n(t) senza fare assunzioni che non sappiamo giustificare?

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Poich la resistenza un insieme di 1023 particelle in equilibrio termodinamico con lambiente, il cui microstato impossibile da determinare, si usano alcuni concetti della meccanica statistica(10).

Si ricorre ad un esperimento ideale, immaginando di disporre di un insieme arbitrariamente grande di resistenze identiche (statistical ensemble), idealmente una per ciascun dei microstati possibili della resistenza.

Avremmo quindi a disposizione un insieme {ni(t)} di processi casuali. Linsieme, pensato come un tuttuno, chiamato processo stocastico.

processo stocastico = {ni(t)}

Il processo stocastico descrive, quindi, levoluzione temporale di tutti i microstati possibili del sistema.

Ad ogni istante possiamo calcolare le grandezze statistiche del processo (media, rms, densit di probabilit ) operando sugli elementi dellinsieme (statistica dinsieme), e saranno in genere funzione del tempo.

30

ed , in genere, funzione del tempo.

Quando invece le grandezze statistiche dinsieme risultano indipendenti dal tempo, il processo stocastico detto stazionario.

Alternativamente alla statistica dinsieme, per un processo stazionario si pu valutare la statistica temporale. Ad esempio la media temporale espressa come:

Ad esempio, la media dinsieme degli ni pu essere espressa come:

+

=T

T

iT

ni dttnT

)(2

1lim

ed una variabile casuale (dipende dallindice i ma non dal tempo), i cui valori di aspettazione sono difficili da esprimere analiticamente.

{ } +

== dnnnpn

tntnE

i

i i

i )()(

)}({|{ni}| indica la cardinalit dellinsieme {ni}, p(n) la densit di probabilit di {ni}, E sta per expected value

31

Vi sono tuttavia dei processi in cui le due tecniche di calcolo conducono allo stesso risultato; per esempio per la media:

+

+

== dnnnpdttnT

nEti

T

T

iT

ini )()(2

1lim}{),(

cio le medie temporali sono tutte uguali e coincidono con le medie dinsieme, che non dipendono dal tempo.

Tali processi sono detti ergodici.Sintetizzando, possiamo quindi definire ergodico un processo stocastico in cui le medie dinsieme sono uguali alle medie temporali.

Di conseguenza, tutte le propriet statistiche di un processo ergodico possono essere determinate per mezzo di una singola funzione del processo.

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Il postulato fondamentale relativo allanalisi del rumore che esso sia un processo ergodico. Il fondamento della ragionevolezza del postulato sta nel fatto che assumiamo la sorgente di rumore attiva ab eterno e, per il principio di omogeneit del tempo, immutabili nel tempo le sue propriet (a condizioni ambientali ferme, ovviamente).

Si deve poi assumere che il valore medio del rumore sia nullo, per non violare qualche principio fondamentale (la tensione di rumore di una resistenza deve avere media nulla, per evitare che essa diventi una sorgente gratuita di energia).

Infine, si deve ritenere che la distribuzione di probabilit del rumore sia gaussiana: questo assunto conseguenza del teorema del limite centrale e del fatto che il rumore dipende da un grandissimo numero di fattori casuali.

Va comunque detto che alcune grandezze si definiscono pi facilmente nella statistica dinsieme (caso notevole, la densit di probabilit), altre nella statistica temporale (caso notevole, lautocorrelazione).

33

Riassumendo, il rumore un processo casuale con queste propriet:

ergodico

Ha media nulla

Ha distribuzione normale (gaussiana)

quindi completamente determinato statisticamente da un solo parametro; la sua varianza (o dal valore rms, che della varianza la radice quadrata).

2222

2

1lim)(}{ nT

i dtnT

dnnpnnE == +

+

34

Potenza del rumore e spettro di potenza

La varianza del rumore chiamata potenza di rumore.Pu essere espressa sotto forma di un integrale nella frequenza:

=0

2)( dffWn

W() detto spettro della potenza di rumore, ed esprime la potenza di rumore per unit di banda di frequenza.

Lo spettro di potenza uno strumento fondamentale nellanalisi del rumore. I datasheets dei componenti spesso riportano questo parametro (nella forma della sua radice quadrata), oppure la noise figure, che ad esso legato, come vedremmo.

35

Lo spettro di potenza esprimibile in termini della trasformata di Fourier della autocorrelazione del rumore, cio:

+

=T

TT

n dttntnT

R )()(2

1lim)(

{ })()(),( 2121 tntnEttR iini =

Per i processi ergodici lautocorrelazione funzione solo di t2-t1= e si pu esprimere con una media temporale:

)(2)( SfWn =

Lautocorrelazione una grandezza statistica la cui prima definizione avviene nel dominio della statistica dinsieme, ed esprime la correlazione tra due valori della stessa variabile casuale, calcolati un due istanti diversi. D quindi una misura di quanto lontani debbano due campioni di una stessa variabile casuale per essere statisticamente indipendenti.

( )fdeRS i 2)()( == +

con

Teorema di Wiener-Khintchine

Si vede subito che: 2)0( nnR =

36

Dimostrazione.

Data lanti-trasformata di Fourier di R():

+=

+=

=

+

+

+

+

dSidS

diS

deSRi

)]sin()()cos()(2

1

)]sin()[cos()(2

1

)(2

1)(

che per =0 d: dfSdSR ++

===00

2 )(2)(2

2)0(

poich R() reale e simmetrica, anche S() lo . Allora il secondo integrale nullo e il primo pu essere scritto:

dSR )cos()(2

2)(

0

+

=

37

Trasformazione del rumore nei sistemi lineari

Un sistema elettrico lineare tempo-invariante deterministico (= privo di rumore) pu essere descritto mediante un operatore lineare:

Si dimostra che se x(t) un processo ergodico, anche L[x(t)]=y(t) lo , purch il circuito sia attivo da sempre (ovvero, in pratica, sia esaurito il transitorio). Lo studio del rumore non prevede lanalisi al transitorio, per tale ragione si usa la trasformata di Fourier e non quella di Laplace.

Il comportamento del circuito descritto anche dalla sua risposta allimpulso h(t) o dalla sua funzione di trasferimento H(i), legate dalla trasformata di Fourier:

L

h(t) H(i)x(t) y(t)=L[x(t)]

deiHth

i

+

= )(2

1)(dtethiH i

+

= )()(

38

Per i segnali deterministici applicati al circuito, valgono le ben note relazioni (la lettera maiuscola indica la trasformata della corrispondente variabile con lettera minuscola):

Per il rumore si dimostra una formula analoga, che esprime lo spettro di rumore in uscita in funzione di quello dingresso:

una formula fondamentale nellanalisi del rumore.

dthxdhtxty +

+

== )()()()()()()()( iHiXiY =

2)()()( iHfWfW io =

In una catena di sistemi posti in cascata, lo spettro di rumore del primo stadio d il maggior contributo al rumore totale, rispetto alle sorgenti intermedie, che subiscono una amplificazione minore.

Per questo ragione lanalisi del rumore dei circuiti si concentra particolarmente sullo stadio dingresso.

2

22

2

211 HWHHWWo +=H1

W1 W2

H2 Wo

39

Dimostrazione della

Dalla:

moltiplico prima per x(t-)e poi per y(t+),e valuto i valori daspettazione dei due risultati (media dinsieme).

le medie sono rispettivamente la correlazione tra x e y e lautocorrelazione di x e di y,e dipendono solo dalla differenza dei tempi (processi stazionari).

dhtxty +

= )()()(

dhtxtxEtxtyE +

= )()}()({)}()({

)()}()({ xyRtxtyE =

)()}()({ = xRtxtxE

dhtxtyEtytyE +

+=+ )()}()({)}()({

)()}()({ +=+ xyRtxtyE

)()}()({ yRtytyE =+

2)()()( iHfWfW io =

40

Quindi si ha (* indica la convoluzione):

Passando alle trasformate di Fourier e osservando che F[h(-t)]=H*(i):

Combinando i risultati:

Ricordando il teorema di W-K:

)()()( iHiSiS xxy =

)()()( * iHiSiS xyy =

2)()()( iHiSiS xy =

)(*)()()()( =+= +

hRdhRR xyxyy

)(*)()()()( hRdhRR xxxy == +

2)()()( iHfWfW xy =

41

Nota sullintegrale di convoluzioneLa formula di convoluzione permette di calcolare nel dominio del tempo la risposta di un circuito. La formula pi usuale e nota quella nel dominio della variabile di Laplace:

dthxdhtxty +

+

== )()()()()(

)()()( sHsXsY =

Ovvero, luscita del circuito data dallingresso, moltiplicato per la funzione di trasferimento, o guadagno, del circuito. Poich con il rumore si opera sempre in regime stazionario, alla variabile s si sostituisce i e si lavora con la trasformata di Fourier, anzich quella di Laplace.Ci che nel dominio delle frequenze un prodotto, nel domino del tempo, ciodelle anti-trasformate, diventa un integrale di convoluzione:

Ovvero, il segnale duscita del circuito dato dalla convoluzione del segnale dingresso con la risposta allimpulso del circuito.

42

Il calcolo dellintegrale di convoluzione pu essere talvolta molto arduo (ma allora si opera nello spazio delle trasformate, dove diventa un banale prodotto), per lo si pu rappresentare, molto intuitivamente, in maniera grafica.Fissando le idee sulla prima forma dellintegrale:

dhtxty +

= )()()(

lo si pu interpretare come lintegrale delle due funzioni (di cui la prima limmagine riflessa del segnale dingresso), fatte scivolare luna rispetto allaltra.

Forse la cosa pi chiara passando dal tempo continuo al tempo discreto e alle funzioni campionate ad intervalli t. Allora lintegrale diventa:

thtxtyj jjii

= )()()(

Con questa formula ho fatto un esercizio numerico e cercato di visualizzare come la convoluzione si costruisce

43

Si ottiene una cosa del genere:

0

1

2

3

4

5

6

7

-5,E-06 0,E+00 5,E-06

h(tau)

x(tau-t)

0

1

2

3

4

5

6

7

-5,E-06 0,E+00 5,E-06

h(tau)

x(tau-t)

0

1

2

3

4

5

6

7

-5,E-06 0,E+00 5,E-06

h(tau)

x(tau-t)

0

1

2

3

4

5

6

7

-5,E-06 0,E+00 5,E-06

h(tau)

x(tau-t)

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0,0E+00 2,0E-06 4,0E-06 6,0E-06 8,0E-06 1,0E-05 1,2E-05 1,4E-05 1,6E-05

convoluzione

La convoluzione finale questa:

44

Tipi di Rumore

Il rumore esibito dai componenti fisici si descrive mediante tre modelli fondamentali di rumore:

Rumore termico o Johnson; causato dallagitazione termica dei portatori nei conduttori

Rumore granulare o shot; compare con correnti dovute a pochi portatori che attraversano in tempi brevissimi una barriera di potenziale, generando una successione casuale di impulsi di corrente.

Rumore 1/f o Flicker; comprende unampia gamma di sorgenti di rumore, spesso di origine poco chiara, che mostrano uno spettro di tipo 1/f con prossimo a 1.

Nei componenti fisici reali vi pu essere un tipo di rumore dominante, ma possono essere anche tutti compresenti.

45

Ai capi di un resistore R in equilibrio termico alla temperatura T compare una tensione di rumore dovuta al moto casuale degli elettroni di conduzione. Questo fenomeno fu studiato sperimentalmente da J.B. Johnson nel 1928 (11) e lo spettro di potenza fu ben presto determinato da H. Nyquist (12).

La resistenza connessa ad un circuito, e con esso in equilibrio termico, a causa del rumore scambia con esso energia, con una potenza per unit di banda di frequenza data da:

Rumore Johnson

dfe

hfdP

kT

hf

1=

h

kTfperdfkTdP

46

Una resistenza reale allora rappresentata da una resistenza ideale (priva di rumore) con un generatore di tensione in serie, o un generatore di corrente in parallelo (teorema di Thevenin-Norton), tali da generare rumore con la stessa potenza.

R

en

Rin

Lo spettro di potenza dei due generatori vale allora:

]/HzV[4)( 2RkTfWne

=]/HzA[4

)( 2

R

kTfW

ni=

Vale la pena di rimarcare che, ricordando come lo spettro di potenza legato alla varianza della rispettiva variabile di rumore, le dimensioni di Win sono A2/Hz e quelle di Wen sono V2/Hz

47

Si ha quando la corrente dovuta a pochi portatori che generano brevi impulsi con occorrenza casuale.

un fenomeno importante nella emissione di elettroni da fotocatodi, nelle valvole termoioniche, nelle correnti di portatori minoritari (correnti di gate nei JFET e MOSFET, e di base nei BJT).

Viene descritto mediante la statistica di Poisson, con la quale si calcola media e varianza della corrente:

Rumore Shot

Corrente media (q = carica dellelettronef = frequenza media degli impulsi)

Varianza della corrente

qfI =

t

qII

=

2

48

Come intuibile, la varianza della corrente tanto pi piccola quanto lungo lintervallo t di osservazione.

Per calcolare spettro del rumore shot bisogna trovare lautocorrelazione del processo che lo descrive e trasformarla secondo Fourier. Trattando gli impulsi di corrente come delta di Dirac, si ottiene che: (cfr. rif. 10 pag. 350):

anche questo un rumore bianco, nel limite in cui regge lapprossimazione degli impulsi come delta di Dirac; quindi fino a frequenze dellordine dellinverso della durata degli impulsi.

]/HzA[2)( 2IqfWs =

49

Un unampia serie di fenomeni, non solo fisici ed elettronici, mostrano fluttuazioni di ampiezza crescente allaumentare del tempo di osservazione, descrivibili come un rumore con uno spettro proporzionale a 1/f,.

Le cause fisiche del rumore 1/f sono spesso oscure; sappiamo che resistori a carbone mostrano pi rumore 1/f rispetto a quelli metallici, e se ne imputa la causa alle discontinuit di resistivit dovuta ai contati pi o meno buoni tra i granuli della pasta resistiva di cui essi sono composti.

Nei dispositivi a semiconduttore il rumore 1/f cresce al crescere dei difetti reticolari. Di conseguenza, dispositivi a conduzione superficiale (i.e. MOS) hanno pi rumore 1/f dei dispositivi a conduzione di bulk (i.e. BJT e JFET).

Va infine detto che il rumore 1/f assolutamente presente ovunque.

La trattazione teorica del rumore 1/f complessa,(13) (14) perch non pu essere considerato un processo stazionario.

La sua varianza diverge verso le basse frequenze; questa catastrofe evitata perch in realt nessun circuito ha banda che si estende a frequenza zero.

Rumore Flicker

50LMV793 MOS input OpAmp

equivalent input noise voltage

Slope = -1/2

Dal punto di vista pratico, le prestazioni dei dispositivi sono caratterizzate dalla frequenza di 1/f noise corner, sopra la quale il rumore 1/f diventa trascurabile rispetto al rumore bianco.

Nelle applicazioni pratiche si cerca di minimizzare leffetto del rumore 1/f, mantenendo le frequenze di interesse sopra il noise corner.Esso pu essere un problema serio per circuiti in continua ad alta sensibilit, p.es. generatori di tensioni di riferimento, che notoriamente sono soggetti a lente pendolazioni e richiedono periodiche calibrazioni.

Nei nostri circuiti, osservata lavvertenza di stare sopra il noise corner, solitamente il rumore 1/f trascurato.

LMP7731 Bipolar input OpAmpequivalent input noise voltage

51

Un generico sistema elettronico lineare viene rappresentato come un doppio bipolo. In esso ci sono molteplici sorgenti di rumore, ciascuna produce rumore in uscita secondo la sua funzione di trasferimento. Il rumore in uscita pu essere riportato in ingresso mediante la funzione di trasferimento del bipolo. Poich il bipolo descritto da un sistema lineare nelle tensioni e correnti dingresso e duscita:

Vi doppio bipoloIi Io

Vo

+=

+=

iio

iio

IhVhI

IhVhV

2221

1211

allora tutto il rumore del sistema pu essere riportato in ingresso mediante due generatori, uno di tensione in serie, detto anche rumore serie, ed uno di corrente in parallelo, detto rumore parallelo. Tutto il rumore quindi espresso dallo spettro delle due sorgenti (ed eventualmente dalla mutua correlazione)(3).

enin

doppio bipolo

privo di rumore

Rappresentazione del rumore nelle reti

I datasheets dei componenti esprimono il rumore con la radice quadrata dei relativi spettri. Quindi danno il valore dei due generatori con le dimensioni: [en]=V/Hz [in]=A/ Hz

52

Relazione tra spettro di rumore, e noise figureUn altro parametro spesso usato per quantificare il rumore, soprattutto di amplificatori e grandi sistemi, la noise figure, che esprime il rapporto tra rumore rms in uscita al sistema e quello dovuto alla sola sorgente, espresso in decibell:

Nel rumore in uscita separiamo la parte dovuta al sistema da quello dovuto alla sorgente (i due rumori sono statisticamente indipendenti, quindi i loro rms si sommano quadraticamente):

Osservando che nH/H il rumore del sistema riportato in ingresso, nHi:

In termini di spettro, e considerando che il rumore della sorgente dovuto tipicamente ad una resistenza Rs:

2

2

)(log10

Hn

nNF

s

o=

222 )( Hso nHnn +=

Hi o

ns nH

( )110 1022 = NFsHi nn

( )[ ]RsTkW NFHi 1104 10 =

La quantit T(10NF/10-1) detta temperatura equivalente di rumore, ed esprime la temperatura a cui dovrebbe trovarsi la sorgente per rendere conto del rumore del sistema.

53

Rumore nei componenti elettronici

Rumore nei componenti passiviDel rumore generato da resistenze si gi detto.

A rigori, andrebbe aggiunto la componente 1/f, che dipende dalle particolaritcostruttive delle resistenza

Forse non inutile dire che condensatori e induttanze (trascurando loro resistenze parassite) non generano rumore.

R

en

Rin

RkTfWne

4)( =R

kTfW

ni

4)( =

54

Rumore nel BJTCi sono molteplici sorgenti di rumore nel BJT: il rumore shot dei portatori minoritari, il rumore termico delle resistenze diffuse, il rumore di generazione e ricombinazione, il rumore 1/f

Il modello che presento non tiene conto di tutto, ma sufficiente in tutte le situazioni pratiche (senza ricorrere a tecniche computazionali), e soprattutto non richiede conoscenze di parametri esotici dei dispositivi .

55

Secondo questo modello le sorgenti di rumore nel BJT sono:

Shot noise delle corrente di base. Essa infatti dovuta ai portatori iniettati dellemettitore, che nel volume della base sono portatori minoritari

Johnson noise della resistenza diffusa di base. A causa del suo ridotto spessore, la base presenta una resistenza non trascurabile (10-100), che genera rumore termico. Spesso viene trascurato.

Shot noise delle corrente di collettore. Essa dovuta ai portatori iniettati dallemettitore, che attraversano la base e giungono nel volume depleto della giunzione base-collettore. Sono quindi portatori minoritari.Questo rumore viene riportato in ingresso, mediato dalla transconduttanza del transisor.

56

Disegnando il transistor come un doppio bipolo con funzione di trasferimento gm (che vale a bassa frequenza, ma assumiamo di usare il transistor ben sotto la sua ft):

( ) ( )bbm

bb

m

cn kTR

g

kTkTR

g

qIWe 4

24

22

+=+= qI

qIWi cbn

22 ==

Dove Rbb la resistenza diffusa di base.

Si usa rappresentare gli spettri di rumore bianco in termini di resistenza equivalente di rumore, definita come la resistenza che genera lo stesso spettro di rumore.

Allora le resistenze di rumore equivalenti del BJT per il rumore serie e parallelo valgono, rispettivamente:

in

vnvi

io

allora lo spettro del rumore serie e parallelo valgono, rispettivamente:

KTamV

I

kT

qIg ccm = 300

25

( )bbm

nns R

gkT

WeR +=

5,0

4 mnnp

gWi

kTR

24=

57

Rumore nel JFETIl JFET un dispositivo il cui la conduzione di corrente avviene nello spessore del semiconduttore (bulk), in un canale la cui sezione viene strozzata dalla zona di svuotamento della giunzione inversa del gate.

La corrente di drain quindi dovuta ai portatori maggioritari ed affetta da rumore termico. Anche in questo caso il rumore della corrente di drainviene riportato in ingresso mediato dalla transconduttanza del transistor.

La corrente di gate invece affetta da shot noise, essendo la corrente di una giunzione polarizzata inversamente. Andrebbe anche considerato un contributo dovuto allaccoppiamento capacitativo tra in canale ed il gate, che riporta sul gate un po del rumore della corrente nel canale.

58

Si dimostra che per il JFET lo spettro del rumore serie e la resistenza equivalente di rumore serie valgono:

m

ng

kTWe

47,0

+=

2242.02 GSm

Gn Cg

kTqIWi

E lo spettro di rumore parallelo vale:

m

nsg

R7,0

=

Il confronto con il BJT ci dice che:

Il rumore serie confrontabile (ma nel BJT molto pi facile ottenere unalta gm)

Il rumore parallelo molto pi alto nel BJT

in

vnvi

io

59

Rumore nel MOSFETIl MOSFET ha un modello circuitale molto simile a quello del JFET, ed anche le sorgenti di rumore sono molto simili.

Ma ci sono non trascurabili differenze.

MOSFET a confronto con il JFET :

La transconduttanza gm pi alta nel MOS, a parit di corrente di drain; quindi minor rumore serie.

Correnti di gate pi basse nel MOS; quindi minor rumore parallelo.

Rumore 1/f pi alto nel MOS, perch la conduzione di corrente avviene sulla superficie del silicio, subito sotto lossido di gate, dove i difetti reticolari sono pi densi.

60

Il bilancio dei pro e dei contro e la scelta finale dipendono dalle applicazioni:

In amplificatori realizzati a componenti discreti il MOS svantaggiato dal rumore 1/f e dal fatto che le protezioni sul gate vanificano il minor rumore parallelo.

In amplificatori integrati il MOS avvantaggiato dal fatto che la tecnologia dintegrazione dei MOS pi semplice.

Il trend tecnologico da un lato porta ad una riduzione del rumore 1/f nei MOS, dallaltro va verso amplificatori a sempre pi alta frequenza, dove il rumore 1/f pesa poco.

In amplificatori a tempo di formatura lunga (p.es. per spettroscopia nucleare, tipicamente a componenti discreti) il dispositivo delezione resta il JFET

Negli amplificatori integrati su larga scala per gli esperimenti HEP il MOS lunica scelta praticamente possibile.

61

Rumore dei vari dispositivi a confronto. La risalita a tempi piccoli dovuta al

rumore serie La risalita a tempi grandi dovuta al

rumore parallelo Il rumore 1/f indipendente dal

tempo di formatura

62

Rumore nellAmplificatore Operazionale

Generalizzando la rappresentazione del rumore nei doppi bipoli, e dopo aver visto come si rappresenta il rumore nei transistor, la rappresentazione piimmediata del rumore nellAmpOp data mediante una coppia, per ciascun ingresso, di generatori di rumore serie e parallelo.

I generatori di corrente rappresentano essenzialmente il rumore (shot) delle correnti di bias. I generatori di tensione rappresentano essenzialmente il rumore (termico e/o shot) delle correnti di drain/collettore del dispositivo dingresso . Le coppie di generatori di tensione e di corrente sono, in prime approssimazione, identici e statisticamente indipendenti.

I due generatori di tensione sono connessi agli ingressi dellOpAmp, che sono equipotenziali; possono quindi essere fusi in un unico generatore con spettro dato dalla somma dei due.

en-

in- in+en+

63

Questo il modello usato dai costruttori per rappresentare il rumore di un OpAmp, con un unico generatore di rumore serie, a cui contribuiscono entrambi gli ingressi. Ovvero en 2 volte il rumore serie del singolo ingresso

en

in- in+

Spettri del rumore serie e parallelo dellOpAmp LMP7731

64

Formazione del segnale nel rivelatore

Il segnale elettrico fornito dai rivelatori elettronici una certa quantit di carica rilasciata in un tempo solitamente molto breve.Un esempio sempliceNel situazione pi semplice possiamo immaginare il rivelatore come un condensatore piano carico, nel cui volume una particella ionizzante generi una coppia elettrone/ione. Le cariche migrano nel volume del rivelatore, sotto lazione del campo elettrico, e generano sul circuito esterno una corrente I(t) che trasporta una carica e.

Le due cariche generano corrente finch non raggiungono gli elettrodi. Lelettrone, che si muove velocemente, genera una corrente alta per un tempo breve; lo ione positivo, pi lento, genera una corrente pi bassa e pi lunga.

I

t

Corrente da e-

Corrente da e+

I(t)-e +e

65

La forma del segnaleTeorema di Shockley-Ramo

La descrizione analitica generale della corrente indotta da una carica in movimento sui conduttori circostanti formulata dal teorema diShockley-Ramo;W. Shockley, J. Appl. Phys. 9 (1938) 635 - S. Ramo, Proc. IRE 27 (1939) 584

nii EvqIrr

=

Ii la corrente indotta dalla carica q sul conduttore i;v la velocit della carica, determinata dal campo totale sentito dalla

carica;Eni il campo normalizzato sentito dalla carica (cio, applicando un

potenziale unitario al conduttore i, e nullo agli altri conduttori).

La soluzione generale di questa equazione, in presenza di molti conduttori, non pu che venire affrontata con simulazioni numeriche. Dal punto di vista dellelettronica di front end interessa solo trovare la corrente sullelettrodo di lettura.

66

Soluzioni particolari del teorema di Shockley-Ramo

Condensatore piano e cariche con velocit saturata un buon modello di rivelatori con elettrodi piani a ionizzazione di liquido o gas (nei gas la condizione di velocit satura pu essere violata cfr rif. 2 pag. 22 ss).

Assumiamo di avere una coppia elettrone/ione creata a distanza x dallelettrodo di riferimento. Sia d la distanza tra gli elettrodi. Nellequazione di Shockley-Ramo vanno quindi messe le quantit (con i corretti segni):

q = e carica dellelettrone/ione;

v = E la velocit della carica proporzionale al campo elettrico (gli urti con gli atomi del mezzo saturano la velocit);

En = 1/d il campo ottenuto applicando una differenza di potenziale unitaria agli elettrodi (lindice i scompare perch c una sola corrente da calcolare).

-e +e

x

d

E

67

Le correnti create dal movimento delle due cariche valgono quindi:

d

Ee

dEeEvqI n

+++ =+==

1)(

d

Ee

dEeEvqI n

===

1)(

-e +e

x

d

E

La durata delle due correnti rispettivamente:

E

xts +

+ = E

xdts

=

Poich ->> + allora ts-

68

Una particella ionizzante che attraversi tutto lo spessore del rivelatore, crea n coppie lungo tutto il percorso, che arrivando progressivamente agli elettrodi, generano due impulsi di corrente di forma triangolare, alto e corto gli elettroni, basso e lungo gli ioni.

Ciascun impulso porta met della carica totale, tuttavia, a causa del lungo tempo di raccolta, di solito il contributo degli ioni positivi trascurato.

t

I

Corrente da elettroni

Corrente da ioni

d

Ene

E

d

1

d

Ene

+

E

d+

1

ne21

69

Rivelatore proporzionale a geometria cilindrica (camera a fili)

Nelle camere a fili il campo elettrico raggiunge intensit sufficienti a generare moltiplicazione della carica nelle immediate vicinanze del filo. Gli elettroni vengono rapidamente raccolti dal filo, e danno un contributo modesto al segnale totale (tanto pi piccolo quanto pi sottile il filo), mentre il grosso del segnale dovuto agli ioni che si allontanano dal filo. Appare quindi come un impulso inizialmente molto ampio, seguito da una lunga, debole coda. (cfr rif. 2 pag. 44 ss)

Forma del segnale calcolata per contatore proporzionale a geometria cilindrica (tratto da rif. 8)

70

Rivelatori a silicioSono essenzialmente una giunzione PN polarizzata inversamente e con un esteso volume svuotato da portatori liberi. Possono allora essere rappresentati come un condensatore piano con una distribuzione spaziale di carica che altera luniformit del campo. La distribuzione di carica, e quindi la forma dellimpulso generato da una particella ionizzante, dipende dal profilo di drogaggio e dal potenziale di polarizzazione, rendendo possibili una variet di forme del segnale. significativo che, avendo gli elettroni e le hole mobilit comparabili, contribuiscono entrambi al segnale.

Tratto da rif. 6

Segnale generato da traccia passante in silicon pad detector, under-depleted (sin) e over-depleted (dx)Tratto da rif. 9

71

Blocchi funzionali di una catena analogica.

In una catena completa di processamento analogico dei segnali da rivelatori possiamo individuare a grandi linee tre blocchi funzionali.

Q(t)Cd Rd Charge

Preamp

Shaper SamplingDetector

ADC

trigger

DAQ

Rf

Cf

A

Signal Precessing Data Acquisition

Hf

72

DetectorIl detector rappresentato con il suo circuito equivalente (pu variare nei dettagli; dipende dalla configurazione), composto essenzialmente da:

generatore di corrente che eroga un impulso di corrente Q(t). Solitamente si assume che abbia durata nulla, o comunque molto pibreve della risposta allimpulso della catena analogica, per cui pu essere assimilato ad una delta di Dirac:

Q(t) = Q (t) capacit Cd che principalmente la capacit del rivelatore, ma include

ogni capacit parassita (capacit del dispositivo dingresso, di interconnessioni ). La minimizzazione delle capacit parassite e delle interferenze la ragione per cui il preamplificatore posto immediatamente vicino al rivelatore.

resistenza Rd che principalmente la resistenza di polarizzazione del rivelatore, ed include ogni resistenza parassita (perdite delle interconnessioni e del rivelatore stesso)

Q(t)Cd Rd Charge

Preamp

Detector

A

Sign

73

Accoppiamento in DC o ACIl rivelatore pu essere connesso allamplificatore in continua o mediante un condensatore di isolamento. Il circuito equivalente varia nei due casi, ma si assume che i condensatori di blocco e di isolamento siano tanto grandi da rendere trascurabili le loro impedenze.

Ci sono pro e contro per entrambe le configurazioni. La scelta un compromesso tra diverse esigenze; pi frequente laccoppiamento AC.

Nellaccoppiamento in DC lamplificatore vede anche leventuale corrente di perdita del rivelatore, cosa talvolta utile, ma porta uno spostamento in continua del livello di base delluscita.

Laccoppiamento in AC elimina la corrente di perdita del rivelatore e, pu introdurre un taglio utile ad attenuare il rumore a bassa frequenza (1/f, microfonicit, interferenze). Per contro, impedisce una formatura esattamente unipolare, con errore tanto pi grande quanto piccolo il condensatore.

Pu essere difficile trovare condensatori da alta tensione di elevato valore (e magari anche piccoli).

Rb

Cb

Vb

all'amp

Rb

Cb

Vb

all'amp

Accoppiamento in DC

Accoppiamento in AC

74

Preamplificatore (amplificatore di carica) il componente pi critico dellintera catena; da esso dipendono in maniere cruciale le prestazioni al rumore del sistema.

costituito da un amplificatore di tensione con alta impedenza dingresso e alto guadagno invertente, con reazione capacitiva, inmodo da realizzare un integratore. Nella reazione compare una resistenza, per fornire la tensione di polarizzazione allingresso, ma il suo contributo deve essere trascurabile.

Funzioni fondamentali:1. Massimizzare la raccolta di carica.

Efficienza di raccolta:

se ACf>>Cd.

2. Ottimizzare le prestazioni rispetto al rumore.3. Fornire il primo stadio di signal shaping.4. Fornire un adattamento di impedenza (raro).

Charge

Preamp

Rf

Cf

A

Signal Precessing

Il preamplificatore tagliato su misura per ogni rivelatore

1+ df

f

CAC

AC Cd RdA

Rf/AACf

75

Disegno di un amplificatore di caricaLa configurazione operazionale che forma il nucleo dellamplificatore di carica deve avere queste caratteristiche:

1. Alto guadagno invertente ad anello aperto

2. Alta impedenza dingresso;

3. Alto prodotto guadagno-banda;

4. Basso rumore;

5. Dispositivo dingresso adattato al rivelatore.

Non invece necessario che abbia ingresso differenziale, anzi controindicato dai punti 3 (lingresso non invertente contribuisce comunque al rumore) e 4 . Non sar quindi un amplificatore operazionale commerciale. Il punto 2, per quanto visto a proposito dellimpedenza dingresso di un operazionale con reazione R||C, porta a dire che il polo dominante dellamplificatore deve essere maggiore del polo dellimpedenza (0>>f).

Tutto ci porta a concludere che un operazionale commerciale poco indicato per realizzare un amplificatore di carica.

76

Un amplificatore a componenti discreti con ingresso JFETLamplificatore qui presentato, nonostante la semplicit, mostra eccellenti prestazioni per costruire un amplificatore di carica. uno schema derivato, con qualche modifica, dal classico schema di Radeka.

Aol -1000 -8000 @ Rl=0,4 5 k, Cl=50 pF

GBW 400 MHz (simulati)

Power 23 mW

Q1=BF851A

Q2 Q5 = HFA3096

Nota: lamplificatore disegnato senza feedback. chiaro che il gate dingresso ha bisogno di una tensione di polarizzazione, che sar prelevata dalluscita mediante una resistenza di alto valore. Luscita quindi avr un offset pari alla tensione Vgs del JFET.

77

Il segnale di tensione Vin sul gateinduce un segnale di corrente id=gmVin sul drain, che viene catturata (quasi) integralmente dal folded cascode

Folded cascode

vin

id

78

La corrente id viene convertita in tensione sul carico attivo, costituito da una resistenza bootstrapped.

Il generatore di corrente fornisce le correnti di polarizzazione senza caricare luscita.

Il guadagno totale dato da gmZo dove Zo limpedenza vista sul collettore di Q2

id

Generatore di

corrente

Carico attivo

79

Lo stadio duscita costituito da un emitter follower con un booster di corrente che ne abbassa ulteriormente limpedenza duscita. La correte su carico si ripartisce su Q3 e Q4 in proporzione inversa al rapporto delle resistenze di collettore, su Q4, e di emettitore, su Q3.

Emitter follower

booster

80

Il risultato un amplificatore con unottima risposta in frequenza, seppure alquanto sensibile al carico.

Rl=400

Rl=5 k

GBW=400 MHz

o1 MHz

81

Un amplificatore integrato MOSFETQuesto invece lamplificatore in tecnologia MOS, integrato nel chip HELIX, usato nel read out del microvertice di ZEUS

Level shifter

Il MOS dingresso ha piccola gate length ( alta risposta in frequenza) e grande gate width ( grande gm). Non ha buffer duscita perch usato con un carico ben definito, che partecipa alla definizione del guadagno.

cascode

Resistenze variabili

82

Filtro o Shaper.

Subito dopo il preamplificatore di carica viene il cosiddetto shaper che svolge le seguenti funzioni fondamentali:

1. Filtrare il segnale in modo da ottimizzare il rapporto segnale/rumore (teoria del filtro ottimo).

2. Dare al segnale una forma adeguata alle successive elaborazioni: la carica misurata dal valore di picco della forma donda, il tempo dallistante di occorrenza del picco.

Nel caso di soluzione a componenti discreti esso si trova, in tutto o in parte, lontano dal rivelatore, per minimizzare la dissipazione di potenza dentro il rivelatore. Il che comporta lo sviluppo di componenti dedicate alla trasmissione (line driver).

Nel caso di soluzione integrata, solitamente il chip di front end alloggia tutta la catena fino alla digitalizzazione.

83

Teoria del filtro ottimo

Per trovare qual il filtro con il quale si ottiene il migliore rapporto segnale/rumore, bisogna tornare a guardare lintero sistema, compreso il rivelatore (rappresentato dalla sua impedenza equivalente, Zd).

Il filtro che segue il preamplificatore rappresentato dalla sua funzione di trasferimento Hf(s), di modo che la funzione di trasferimento dellintera catena H(s)=-Zf(s)Hf(s)

Si dimostra che esiste una forma di H(s) che permette la misura del segnale dingresso con il migliore rapporto segnale/rumore.

Cercheremo poi le migliori realizzazioni pratiche del filtro ottimo, che concilino semplicit costruttiva con buone prestazioni, anche nei confronti di altre cause di perdita di risoluzione, diverse dal rumore casuale.

84

Spettro di rumore in ingressoUsando un principio gi enunciato, tutto il rumore del sistema rappresentato dai due generatori di rumore serie e parallelo, e ricordando che pesano di pi i generatori di rumore vicini alla sorgente, con buona approssimazione tutto il rumore pu essere ricondotto a pochissimi elementi.

In questa rappresentazione si ha:

Rumore parallelo in dovuto a: Rumore termico di Rd Rumore termico di Rf Rumore shot della corrente di

leackage del detector Rumore shot del dispositivo

dingresso dellamplificatore Rumore 1/f

Zd

Zf

A Hf(s)

in

en

Rumore serie en dovuto a: Rumore riportato in ingresso dei primi dispositivi dellamplificatore

(transistor dingresso, resistenza di drain, cascode) Rumore 1/f

85

Rappresentando globalmente la componente bianca del rumore parallelo mediante la resistenza di rumore equivalente, lo spettro del rumore parallelo vale:

ssn

fkTRe += 4)(

2

pi

mp

n

fC

g

kT

R

kTi +

+= 2

22 42,0

4)(

Il termine tra parentesi esiste nel caso che il dispositivo dingresso sia un JFET o un MOS (molti autori lo trascurano comunque).

Analogamente, il rumore serie si pu scrivere:

Zd

Zf

A Hf(s)

in

en

Per portare in uscita il rumore bisogna trovare le funzioni di trasferimento del circuito rispetto ai due generatori, che sono:

ff

n

o HZi

v=

f

d

df

n

o HZ

ZZ

e

v

+=

86

Spettro di rumore in uscita al filtro

Lo spettro di rumore in uscita viene determinato mediante la relazione fondamentale:

2)()()( iHfWfW io =

La applichiamo a ciascuna delle due sorgenti e sommiamo i contributi:

2

2

22222

2222 11)( H

ZZeHiH

Z

ZZeHZifW

df

nnf

d

df

nffno ++=+

+=

( )( ) 22

2

2

||

111CdCf

RRZZ dfdf++=+

Osservando che :

(Rf||Rd indica il parallelo di Rf e di Rd)

87

( )

( )

( )( ) 222

2

22

22

2

2

1

||

2,04

||1

4)(

HCCfHRR

ff

HgR

CCCRkT

HRR

RR

R

kTfW

fds

df

sp

ms

ifds

df

sp

p

o

++

++

+++

+=

E inserendo le precedenti espressioni degli spettri dingresso, lo spettro duscita diviene:

rumore parallelo

rumore serie

rumore 1/f

Conviene introdurre qualche approssimazione:

RpRs

88

22

22 2,0

44

)( HgR

CCRkT

R

kTfW

ms

ids

p

o

++=

Con queste approssimazioni, lo spettro duscita diviene:

La quantit tra parentesi quadre chiaramente lo spettro del rumore totale riportato in ingresso come sorgente parallela, e pu essere scritto come:

=0

2)( dffWn

dtthdiH +

+

=22

)()(2

1

dt

dt

tdhdiH

+

+

=

222 )()(

2

1

La quantit c detta noise corner time constant

Ora bisogna ricordare una formula presentata nelle teoria del rumore, e un paio di propriet della trasformata di Fourier:

( )2214)( cp

iR

kTfW +=

+=

ms

idspc

gR

CCRR

22 2,0

con

89

dtthgR

CCRkTdtth

R

kT

ms

ids

p

no

++= )(

2,02)(

2 22

222 &

Da cui si ottiene che la varianza del rumore in uscita vale:

Quindi la varianza del rumore in uscita dipende dalla forma, nel dominio del tempo, della risposta allimpulso del filtro.

Poich Qh(t) la risposta del sistema allimpulso di carica in ingresso Q (t), misurando la risposta allinstante tM in cui il segnale ha la massima ampiezza, sar possibile determinare Q con la migliore precisione.

Si definisce rapporto segnale/rumore la quantit:

Ovvero il rapporto tra il segnale duscita, misurato al picco, e il valore rms del rumore in uscita.

no

MthQ

)(

90

ENCSi definisce Equivalent Noise Charge (ENC) la carica in ingresso che fornisce un segnale pari a no, ovvero la carica per la quale si ha un rapporto segnale/rumore pari ad 1.

Quindi :)( M

no

thENC

=

LENC il parametro fondamentale per esprimere la qualit, rispetto al rumore, di una catena di amplificazione (ed determinato quasi esclusivamente dal preamplificatore di carica).

Se definiamo hn(t)=h(t)/h(tM) [cio la normalizziamo ad altezza unitaria] si pu scrivere:

dtthgR

CCRkTdtth

R

kTENC n

ms

idsn

p

++= )(

2,02)(

2 22

222 &

La ricerca del filtro ottimo si basa sulla minimizzazione dellENC al variare della hn(t) .

91

Filtro ottimoNelle ipotesi usate (segnale dingresso impulsivo, rumore bianco), si dimostra che il filtro ottimo descritto dalla forma:

Ma un filtro con questa caratteristica concettualmente impossibile da realizzare ( definito da t=-, conseguenza dellaver usato la trasformata di Fourier).

c

t

ethn

=)(

)(thn

)(thn&

92

Tuttavia lENC del il filtro ottimo costituisce il termine di paragone per tutti i filtri realizzabili:

c

p

optR

kTENC

4=

optENC

ENCF =

Per i filtri realizzabili si definisce un fattore di merito, dato dal rapporto dellENC con quello del filtro ottimo:

93

Altre cause di perdita di risoluzione

Deficit balistico. Compare quando la durata dellimpulso dingresso non trascurabile e variabile. Si compensa con una h(t) a sommit piatta di durata superiore alla massima (ragionevole) durata dellimpulso dingresso. Dallintegrale di convoluzione si vede che con questa forma la risposta ha ampiezza di picco indipendente dalla durata dellimpulso dingresso.

Pile-up. Compare quando la frequenza degli impulsi dingresso tale da provocare sovrapposizione delle risposte. Si minimizza richiedendo una h(t) picorta del periodo medio tra gli impulsi dingresso, con rapido ritorno a zero. Nei rivelatori asincroni la probabilit di pile-up non pu essere mai eliminata del tutto.

Oltre al rumore casuale, ci sono altre cause che provocano perdita di risoluzione nella misura del segnale, e che condizionano la scelta del filtro.

94

Rumore a bassa frequenza (microfonicit, rumore 1/f ). Si riduce introducendo un taglio a bassa frequenza. Un taglio a frequenza molto bassa (i.e. accoppiamento in AC) produce perdita di risoluzione per baseline shift. Un taglio a frequenza meno bassa produce una formatura bipolare, che ha scarso fattore di merito, scarse prestazioni verso il deficit balistico e il pile-up, ma pu essere lestrema ratio contro rumore a (non tanto) bassa frequenza.

Rumore dinterferenza e di massa. Bisogna curare shielding, grounding e layout circuitale. In linea di principio non ha influssi sulla scelta del filtro.

95

Filtri realiEsiste unincredibile variet di soluzioni per realizzare filtri, alla ricerca del miglior compromesso tra le diverse esigenze. In tutti si verifica che gli integrali nellespressione dellENC assumano la forma:

pMn Ktdtth =

)(2

M

sn

t

Kdtth =

)(2&

LENC dei filtri diventa allora:

Mms

idspM

p t

Ks

gR

CCRkTKt

R

kTENC

++=

222 2,02

2

Dove Kp e Ks dipendono solo dalla forma di h(t), normalizzata in altezza e durata, e sono dei parametri specifici di ciascun filtro. Il tempo di picco viene detto shaping time

96

Dato un particolare filtro, con definite Kp e Ks il rumore (ENC) ora dipendono solo dallo shaping time, ed esiste un valore che lo minimizza.

97

Una veloce panoramica

98

Una nota sul nome di filtri molto comuni

I pi comuni filtri time invariant (cio, che non usano curcuiti commutati o linee di ritardo) vengono indicati con denominazioni del tipo CR-RC o CR-(RC)4 ecc Queste denominazioni derivano da una rappresentazione equivalente un podatata e, a mio avviso, fuorviante.

Ad esempio, la forma normalizzata del cos detto filtro CR-RC 1

e

e

ed la risposta di un filtro a due poli reali coincidenti, che non contiene alcun circuito CR (infatti perfettamente unipolare).

R1

A

C1

R2

A

C2

R1C1=R2C2

99

)||1)(1)(1(

1

1

)||1)((

11

1312

1

31

2

1

13131

2

2

3

2

CRsRss

s

RR

RR

s

CRsRRR

s

R

s

R

Z

ZZ

i

v

f

ff

f

f

i

o

+++

+

+=

+

++

++==

Cancellazione polo-zero

Questo un circuito che si incontra frequentemente nel disegno dei filtri per elettronica di front end.

una funzione che ha uno zero e tre poli. Se lo zero in 1/R1C1 viene fatto coincidere con il polo in 1/RfCf, e gli altri due poli vengo posto allo stesso valore, la funzione si semplifica in:

ChargePreamp

Rf

A

Cf

R1

C1R3

R2

A

C2

voii

Supponiamo (come spesso ) che la f del preamplificatore sua molto maggiore dello shaping time desiderato, con un circuito cossi pu cancellare il polo del preamp e portare il filtro alla forma voluta.

La funzione di trasferimento del circuito :

2

31

2

)1(

1

sRR

RR

i

v f

i

o

++=

100

Bisogna prestare attenzione che in uscita al preamp si pu avere un notevole pile-up; quindi il preamp deve avere adeguato range dinamico .

ChargePreamp

Rf

A

Cf

R1

C1R3

R2

A

C2

voii

Che realizza un filtro a due poli reali coincidenti, con risposta:

+=

tf

et

RR

RRth

)()(

31

2

1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

)(nh

101

Filtri semigaussianiTra le curve analitiche che meglio approssimano la cuspide del filtro ottimo c la gaussiana, che per anchessa irrealizzabile, essendo definita da t=-.

La si pu approssimare, con approssimazione crescente al numero di poli, con filtri a molti poli reali coincidenti (cfr. esempi a pag. 97), e ancor meglio (per fattore di merito del filtro e minor uso di elettronica), con filtri a poli complessi coniugati, per i quali si dimostra che esiste una disposizione ottimale dei poli(5).

A

Il bulding block di base per questi filtri il passa basso attivo del secondo ordine, che con un solo OpAmprealizza una coppia di poli complessi coniugati.

Non si trovano molto frequentemente, perch difficili da analizzare, ma sono molto efficienti. Il fattore di merito attorno a 1,20-1,15 e decresce molto lentamente allaumentare del numero di poli.

102

Uno shaper semigaussiano commerciale

E uno shaper semigaussiano a 2 coppie di poli complessi coniugati.

Molto versatile, ampiamente usato in spettroscopia nucleare.

La funzione di trasferimento non fornita dal costruttore, ma con un po di ingegno

Uscita dello shaper campionata

a 10 MHz e interpolata con la f(t)

103

Uno shaper semigaussiano integrato

E lo shaper del chip HELIX. Realizza una formatura semigaussiana a un polo reale (dovuto al preamp) e due poli complessi coniugati, con accoppiamento in AC.

]))[(()(

22 +++=

sps

KsH

tBetAeAeth tttp sincos)( +=

In questo caso il progettista, per minimizzare i componenti ha giocatocon i poli interni degli amplificatori.

Funzione di trasferimento e risposta allimpulso sono dati da:

104

I parametri della h(t) non sono noti con esattezza; sono stati determinati con tecniche di minimizzazione dallinterpolazione della risposta

Le prestazioni al rumore del chip HELIXENC(e-) 430 + 35*Cd(pF)ENC(20pF) 1200 e-S/N 20 (1 MIP = 24000 e-)

105

Adattamento ottimale con rivelatori ad alta capacit

Mms

idss

t

Ks

gR

CCRkTENC

+=

222 2,0

2

Quando il rivelatore ha alta capacit, il contributo dominante allENC dato dal rumore serie:

Si dovr quindi lavorare con tempi di formatura lunghi (il che esclude luso di BJT) e cercare di massimizzare la trasconduttanza gm.

Per un preamplificatore integrato, significa fare il MOS dingresso molto grande. Per un preamplificatore a discreti con JFET si pu ottenere lo stesso risultato mettendo molti dispositivi in parallelo. Tuttavia, poichaumentando la transconduttanza si aumenta anche la capacit dingresso del dispositivo, ci sar un valore limite a cui si ottiene il minimo ENC.

106

++= id

i

d

M

s

t

s CCC

C

t

KkTENC 2,12

22

2

Per determinare le condizioni di ENC minimo osserviamo che:

LENC diventa allora:

t

i

m

C

g=

idd CCC +

m

sg

R1

t la pulsazione di taglio del dispositivo. un parametro del processo di produzione. Per i migliori JFET circa 5109 s-1

Cd include tutte le capacit connesse in ingresso; ora assumo che ci sia solo il rivelatore ed il dispositivo dingresso (trascuro le interconnessioni)

La resistenza di rumore serie per un JFET o MOS circa 0,7/gm. Assumo Rs1/gm per tener conto approssimativamente anche degli altri contributi.

107

La condizione di minimo si trova uguagliando a zero la derivata rispetto a Ci.

LENC minimo si trova a Ci0,9Cde vale:

Quindi si possono mettere JFET in parallelo, o aumentare le dimensioni del MOS, fino quasi a raggiungere la capacitdel rivelatore.

Naturalmente la cosa funziona fino a capacit del rivelatore ragionevoli; non si possono mettere troppi dispositivi in parallelo (le capacit parassite crescono anchesse) n fare MOS grandi a piacere.

d

M

s

t

s Ct

KkTENC 4

22

108

Un esempio di matching capacitativo

Preamplificatore a componenti discreti per lettura di PIN diode da 5 cm2 (read out di HPD)

109

spF

eK

t

CKENC

M

ds 8,1=

pFe /8,2

pFe /2

pFe /5,1

pFe /3,1

110

Matching con trasformatore

Per capacit del rivelatore ancora maggiori il rivelatore pu essere accoppiato al preamplificatore mediante un trasformatore.

Q(t)Cd

Charge

Preamp

Rf

Cf

A1:n

(Q/n)(t)Cd/n

Usando le relazioni ideali di ingresso/uscita di un trasformatore: n

I

I

V

V

o

i

i

o ==

il circuito sul primario viene riportato sul secondario con il circuito equivalente mostrato in figura.

Quindi, la carica viene ridotta di un fattore n, ma la capacit viene ridotta di un fattore n2, permettendo un miglioramento del rapporto segnale rumore.

I risultati in realt sono assai meni brillanti, a causa dei molteplici problemi che presenta un trasformatore reale. Cfr rif. 17 e 18

111

Terminazione attiva

In qualche raro caso non si pu assolutamente mettere il preamplificatore vicino al rivelatore, ed il segnale deve venire portato con una linea di trasmissione (non una situazione esclusiva dei rivelatori di particelle).

Situazione analoga si ha con laccoppiamento tramite trasformatore, che deve essere caricato su una resistenza perch non induca oscillazioni.

In questi casi si dovrebbe mettere in seria una resistenza, che darebbe un contributo al rumore maggiore di quello dellamplificatore.

Si ricorre allora alla terminazione attiva; amplificatori che hanno impedenza dingresso reale che non contribuisce al rumore. Si parla anche di resistenza fredda.

112

Il punto fondamentale sta nel disporre di un amplificatore ad alto guadagno, con polo dominante a frequenza molto bassa. Il circuito equivalente di un tale amplificatore potrebbe essere questo:

Zivpgm

x1

RoCo

Ci

Cf

Rf

Rfs

in cui Ro la resistenza (virtuale) vista in collettore del cascode e Co la capacit (reale, ma con il contributo di capacit parassite) sullo stesso nodo.

Per compensare leffetto della capacit Ci dingresso del transistor (JFET o MOS), nella rete di feedback viene aggiunta una resistenza Rfs in serie a Cf.

113

In queste condizioni il guadagno ad anello aperto vale:

oo

omom

CsR

RgZgA

+==

1

Se si pone RoCo=RfCf, trascurando per ora Ci e Rfs, limpedenza dingresso diviene:

f

o

mo

f

m

iC

C

gR

R

gZ

11==

che reale (resistiva), a cui si aggiunge in parallelo Ci. Aggiungendo in serie a Cfuna resistenza Rfs possibile compensare la presenza di Ci e mantenere Zi reale fino a frequenze abbastanza alte (secondo Radeka ).

114

Un preamplificatore commerciale

E quanto di meglio offra il mercato (a circa 500 )

115

Preamplificatore a componenti discreti per rivelatore a bassa capacit

per esperimento DONEVET (maggio 1988)

116

ENC vs capacitance

ENC = 14,3pF+ 151

ENC = 10,6pF + 116

ENC = 7.0pF + 99

ENC= 5,1pF + 95

ENC = 3,6pF + 102

0

50

100

150

200

250

0 1 2 3 4 5 6

pF

ele

ctr

on

s

tp = 1,3 us

tp = 2,6 us

tp = 5,2 us

tp = 7,8 us

tp = 15,5 us

117

ENC vs peak time

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

micro sec

ele

ctr

on

s Cd = 0 pF

Cd = 1,8 pF

Cd = 3,9 pF

Cd = 5,7 pF

118

Filtro ottimo per la misura del tempoLa misura dellistante di occorrenza degli eventi linformazione primaria dei sistemi di trigger. Viene anche usata per la localizzazione dellevento (camere a drift, localizzazione longitudinale mediante misura di ritardi ).

La teoria del filtro ottimo dice che la forma migliore quella che, allistante della misura, passa per zero con la massima pendenza, minimizzando il timejitter dovuto al rumore. Quindi la migliore forma per la misura di tempo la derivata del filtro ottimo per la misura di energia.

La determinazione del tempo si fa quindi con un discriminatore zero crossing, che esente da timewalk (non risente dellampiezza del segnale). Il deficit balistico e il pile-up contribuiscono al timejitter; bisogna scendere a compromessi diversi da quelli per la misura di energia (la formatura a flat topnon buona per la misura di tempo).

Hanno un grave svantaggio: linformazione temporale disponibile solo dopo il tempo di picco (intollerabile per i sistemi di trigger).

Di conseguenza, prevalentemente la misura di tempo fatta mediante discriminatori.

119

AcquisizioneLampiezza del segnale duscita dello shaper proporzionale alla carica depositata nel rivelatore. Il segnale deve essere quindi campionato al valore di picco e digitalizzato.

Esistono varie soluzioni circuitali, che dipendono anche del sistema di acquisizione nel cui contesto il canale analogico inserito (ADC per ciascun canale o ADC asservito a molti canali).

Sample & Hold

Peak Detector

Pipeline analogica

(Sampling continuo e processamento digitale non presentato in questo corso)

120

Sample & Hold (Track & Hold)Lo schema di principio assai semplice: a switch chiuso la tensione duscita segue lingresso, Quando lo switch si apre, il valore della tensione dingresso resta memorizzato sul condensatore Ch e mantenuto per il tempo necessario alla conversione. Chiaramente lOpAmp deve avere ingressi a MOS.

Se lADC asservito a molti canali, il S&H deve mantenere la tensione con errore trascurabile anche per il tempo di multiplexing e conversione di tutti i canali

Ch

Hold

VinVo

Il comando sul gate dello switch fornito da un sistema di trigger, allistante in cui il segnale analogico raggiunge il picco.

121

In pratica, ci sono svariati problemi che complicano il disegno di un buon S&H:1. Iniezione di carica dal segnale di commando dello switch.

La tensione di commutazione applicata al gate dello switch inietta, attraverso le capacit parassite, della carica che disturba il segnale memorizzato nel condensatore.

2. Feedtrough del segnale dingresso.A switch aperto la capacit di feedtrough forma un partitore capacitivo con la capacit di hold.

3. Ritardo di fase della tensione sul condensatore.La resistenza Ron dello switch chiuso con la capacit Ch forma un passa-basso che ritarda la tensione sul condensatore rispetto allingresso.

4. Ritardo di commutazione dello switch.Lo switch commuta con un po di ritardo rispetto a segnale su gate

5. Perdite di carica sul condensatore.La carica sul condensatore subisce perdite per varie cause: corrente di bias dellOpAmp, leackage dello switch e del condensatore stesso.

6. Rilassamento della tensione sul condensatore.I tempi di polarizzazione dei dielettrici dei condensatori, che per certi dielettrici possono arrivare alle decine di secondi, provocano un rilassamento della tensione sul condensatore, anche con tempi alquanto lunghi.

122

Contro liniezione di carica si pu ricorrere a switch analogici basati su pass gateche, in opportune condizioni, minimizzano liniezione di carica. Per contro, le capacit parassite sono pi alte rispetto ad un singolo MOS

Hold

Vin

MAX313

quad analog switch

SD5000

quad D-type N-channel MOS

123

La perdite di carica dovute alle correnti di leakage e di bias si possono compensare con questo circuito:

Vin

Ch

Ch

Hold

Vo

Assumendo che condensatori, switch e correnti di bias siano uguali, la deriva sui due condensatori uguale mantenendo, in prima approssimazione, costante luscita. Anche liniezione di carica e viene compensata.

Il ritardo di fase e il ritardo di commutazione agiscono in direzioni opposte e in qualche misura si compensano.

Il feedtrough si minimizza imponendo un valore alto alla capacita di hold. Si impone che la frazione di segnale che passa a switch aperto sia minore della risoluzione dellADC.

Poich una capacit alta controindicata in fase di ritorno in tracking, si pu ridurre il feedtrough con una resistenza in serie allo switch; ci aumenta il ritardo di fase e il segnale di hold deve essere opportunamente ritardato.

124

Il rilassamento della tensione sul condensatore, dovuto ai ritardi di polarizzazione del dielettrico, pu essere ridotto usando condensatori con dielettrici veloci e a bassa perdita (mica, policarbonato, teflon ).

Questo un circuito completo (da rif. 16), con reazione globale che offre maggiore precisione, e con circuiti di compensazione delle perdite e di protezione del buffer dingresso. La resistenza r richiesta per ragioni di stabilit del circuito nella fase di ritorno in tracking, ed introduce un ritardo di fase che va compensato con un opportuno ritardo sul segnale di hold.

125

Peak DetectorAnche in questo caso il circuito concettualmente molto semplice.

A switch aperto luscita segue lingresso se esso crescente; rimane stabile se decrescente. Lo switch viene chiuso per resettare il sistema ad acquisizione completata.

Di fatto le complicazioni sono anche maggiori del S&H, e la precisione minore, essenzialmente perch difficile compensare le perdite che avvengono durante lo spegnimento del diodo, e a causa del ritardo (deve uscire dalla saturazione) con cui il primo amplificatore si mette in tracking quando il diodo rientra in conduzione.

Ch

Vo

Reset

Vin

126

In pratica, quando necessario realizzare un peak detector di precisione, si costruisce un S&H con un circuito che riconosce il picco.

127

Questo un vero Peak Detector, con reazione globale. Lo stato di tracking o reset comandato da una coppia differenziale. Liniezione di carica allo spegnimento del diodo minimizzata tenendo molto bassa la sua corrente diretta.La precisione poggia su un accurato bilanciamento delle correnti dei generatori.Lanalisi un po complicata (cfr. rif. 16 pag 383)

128

Questo un circuito di Peak Detection suggerito da una application note Intersil (an1309), che restituisce la modulante di un segnale modulato in ampiezza. Per adattarlo come peak detector per un segnale di uno shaper, R23 va sostituita con uno switch.Il circuito attorno a Q1 serve a prevenire la saturazione del primo OpAmp.R1, R2 e C3 vanno tunati con la risposta in frequenza dello shaper.

129

Pipeline analogica una struttura in cui la tensione analogica dingresso viene campionata e conservata su un array di condensatori. Dal punto di vista circuitale pu essere visto come un S&H con condensatori multiplexati.

Permette sia il campionamento continuo della tensione dingresso, per la ricostruzione della forma donda, attivando in successione gli switches;

Ch

write

VinVo

read

Ch

write read

Ch

readwrite

sia il campionamento di pi eventi che occorrano sullo stesso ingresso, permettendo realizzare multi eventbuffers (sistemi DAQ privi di tempo morto).In questo caso gli switches devono essere controllati da una opportuna logica di controllo, pilotata dal sistema di trigger.

E realizzabile solo in tecnologie VLSI

Pip

elin

e

128x1

41

130

ADCLultimo stadio della catena analogica: la conversione analogico-digitale. Lingresso analogico convertito in un numero binario per il successivo processamento digitale.

I parametri essenziali che definiscono un ADC:

Range dinamico (FS=Full Scale) Numero di bits (Nfs=2N-1) Tempo di conversione

Da questi si ricava il guadagno, o risoluzione:

Gain=FS/Nfs

131

Gli errori pi comuni di cui affetto un ADC: Offset error Gain error Integral non linearity Differential non linearity Non monotonicit

fs

n

V

nGVINL

= max

G

GVDNL

n = max

132

Alcune architetture di ADC

ADC Wilkinson. larchitettura pi antica (1950).

Un condensatore caricato alla tensione del segnale dingresso (potrebbe essere il condensatore di memoria del S&H o del Peak Detector) viene scaricato con corrente costante. Il tempo di scarica, misurato da un contatore con un clock ad alta frequenza, fornisce la conversione. La conversione richiede fino a 2N cicli.

Ha buone prestazioni. Richiede elettronica di qualit. ancora usato in spettroscopia nucleare.

Ch

Trigger

Vin

Co

un

ter

stop

start

clock

133

ADC ad integrazione dual slope.

Un integratore viene caricato con il segnale dingresso per un tempo fisso, quindi scaricato con corrente costante; il tempo di scarica proporzionale al segnale dingresso. La conversione richiede fino a 2Ncicli, pi il tempo di carica.

La tecnica dual slope fornisce una conversione indipendente dai componenti critici R e C

Adatto a segnali lenti. Buone prestazioni di linearit e risoluzione. Richiede elettronica analogica e componenti di alta qualit.

134

ADC ad inseguimento.

Un contatore Up/Down alimenta un DAC, la cui uscita viene confrontata con il segnale dingresso. Luscita del discriminatore controlla la direzione del contatore. La conversione data dal contatore, quando il DAC ha agganciato lingresso: richiede fino a 2N cicli.

In grado di inseguire segnali relativamente veloci. Ottime prestazioni di linearit(legate alla qualit del DAC, che facilmente integrabili con buone prestazioni di linearit).

Realizzazione semplice; poca elettronica analogica, ed elettronica digitale semplice.

135

ADC ad approssimazioni successiveLa logica di controllo alza un bit alla volta di un registro a N bits, a partire dal pipesante. Il contenuto del registro viene convertito in valore analogico da un DAC, e confrontato mediante un discriminatore con il valore dingresso. Il bit viene tenuto o rifiutato a seconda delluscita del discriminatore. La conversione richiede N cicli.

Velocit di campionamento 10 Ms/sRisoluzione 16-18 bit.Ottime prestazioni di linearit (legate alla qualit del DAC).

Realizzazione semplice; poca elettronica analogica, ed elettronica digitale moderatamente complessa.

E larchitettura attualmente pi diffusa.

136

Flash ADCE il convertitore pi veloce: 100 Ms/s e oltre.

Ha una limitata risoluzione: 8-10 bits(n. di comparatori = 2n-1)Linearit limitata dalla qualit del partitore resistivo.Molto costoso, non integrabile in piccole dimensioni, richiede molta energia, ma insostituibile in applicazioni ad alta velocit.

137

ADC (One bit ADC)Fornisce uno stream di bits (ampiezza fissa) a frequenza molto elevata (oversampling), in cui la densit di 1 proporzionale allampiezza del segnale dingresso. Un contatore con clock alla frequenza di oversamplig, resettato alla frequenza di sampling, fornisce la conversione.

Relativamente lento (1 Ms/s).

Risoluzione molto spinta (fino a 24 bit)

E molto economico (parte analogica ridottissima; parte digitale molto complessa, ma facilmente integrabile in VLSI).

Poco usato, per ora, in sistemi di acquisizione.

138

Riferimenti e bibliografia.1. P. Reahk. Detection and Signal Processing in High Energy Physics.

Rendiconti della Scuola Internazionale di Fisica Enrico Fermi LXXXIV corso (1981).

2. F. Sauli. Principles of Operation of Multiwire Proportional and Drift Chambers. Cern 77-09 (1977).3. H.A. Haus. Rappresentation of Noise in Linear Twoports. Proc. IRE, vol 48 (1960).4. P.W. Nicholson. Nuclear Electronics. J. Wiley.5. S. Ohkawa et al. Direct Synthesis of the Gaussian Filter for Nuclear Pulse Amplifier. NIM 138 (1976) 85-92 6. E. Gatti, P.F. Manfredi. Processing the Signal from Solid State Detector in Elementary-Particle Phisics. La rivista del

Nuovo Cimento, vol 9 serie 3 num 1 (1986).

7. H.W. Ott. Noise Reduction Techniques in Electronic Systems. J. Wiley.8. R.A. Boie, A.T. Hrisoho, P. Rehak. Signal Shaping and Tail Cancellation

NIM 192:365-374,1982

9. H. Spieler. Semiconductor