2015
Prof. Giuseppe Scippa
[EQUAZIONI DIFFERENZIALI]
Sintesi dei principali tipi dei equazioni differenziali.
Prof. Giuseppe Scippa Pag. 1
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ( pag. 2088)
Si chiama equazione differenziale un’equazione che ha per incognita la funzione y=f(x)
(nella variabile indipendente x) nella quale compare la variabile x stessa, la funzione y e almeno una
delle sue derivate: y’, y’’, y’’’…..) quindi è del tipo:
F(x; y; y’; y’’; …..y(n)
) = 0
La sua soluzione è una funzione y che verifica l’equazione differenziale, e viene detta
soluzione o integrale dell’equazione.
L’insieme di tutte le funzioni che sono integrali dell’equazione (cioè le soluzioni) viene
detto: integrale generale.
DEFINIZIONE: Equazione differenziale del primo ordine.
Una relazione tra la variabile indipendente x, una funzione incognita y = f(x) e la sua
derivata prima y’ , del tipo:
F(x; y; y’) = 0
si dice equazione differenziale del primo ordine.
DEFINIZIONE: Equazione differenziale del secondo ordine.
Una relazione tra la variabile indipendente x, una funzione incognita y = f(x) e la sua
derivata prima y’ , del tipo:
F(x; y; y’; y’’) = 0
Prende il nome di equazione differenziale del secondo ordine.
INTEGRALE DI UN’EQUAZIONE DIFFERENZIALE:
Una equazione del 1° ordine
y’ = y (1)
può essere soddisfatta se sostituiamo al posto di y una funzione che sia uguale alla sua derivata:
y = ex
→ y’ = ex
ma anche la funzione
y = c ex
è una soluzione, con c costante arbitraria.
Quindi tale soluzione sarà detta : soluzione generale o integrale generale della (1).
Mentre se sostituiamo a c un valore numerico si avrà una soluzione o integrale particolare
della (1).
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DEFINIZIONE: Integrale di una equazione differenziale.
Sia data un’equazione differenziale di ordine n
F(x; y; y’;……. 𝑦(𝑛)) = 0 (13)
Una funzione di equazione:
y = f(x)
si dice soluzione o integrale della (13) se, sostituendo la sua espressione e quelle delle sue derivate
nell’equazione differenziale data, questa si trasforma in una identità.
DEFINIZIONE: Integrale generale e integrale particolare di una equazione differenziale.
Si dice che un’equazione del tipo:
y = f(x; 𝑐1; 𝑐2;……𝑐𝑛)
esprime la soluzione generale o l’integrale generale dell’equazione differenziale (13) se, quali che
siano i particolari numeri reali che si sostituiscono ai parametri 𝑐1; 𝑐2;……𝑐𝑛 l’equazione che da
essa si ottiene è quella di una funzione soluzione della (13). Tale soluzione è detta integrale
particolare.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI del 1° ordine:
Sono del tipo:
y’ = f(x)
il cui integrale è semplicemente l’integrale indefinito di f(x):
y’ = f(x) ⟾ y = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
EQUAZIONI DIFFERENZIALI a variabili separabili: (pag. 2090)
Sono particolari equazioni differenziali nelle quali è possibile esprimere
y’ = 𝑑𝑦
𝑑𝑥
e separare nei due membri le due variabili e poi integrare separatamente.
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DEFINIZIONE: Equazione differenziale a variabili separabili.
Si dice che un’equazione differenziale del primo ordine è a variabili separabili se, posto
y’ = 𝑑𝑦
𝑑𝑥 essa si può scrivere nella forma:
q(y) dy = p(x) dx
essendo q(x) e p(x) funzioni continue in opportuni intervalli.
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI lineari del 1° ordine: (pag. 2093)
Si definiscono di primo ordine le equazioni differenziali che presentano solo la derivata
prima.
Si dicono lineari quelle equazioni differenziali che sono di primo grado rispetto alla
funzione incognita e alle sue derivate. Le equazioni differenziali lineari del primo ordine sono del
tipo:
y’ = a(x) y + b(x) (10)
con a(x) e b(x) funzioni continue in un opportuno intervallo.
Se b(x) = 0, l’equazione differenziale si dice omogenea e prende la forma:
y’ = a(x) y
Se b(x) = 0 l’integrale si può esprimere:
y’ = a(x) y ⟾ y = k eA(x)
con A(x) primitiva di a(x) : A(x) = ∫ 𝑎(𝑥)𝑑𝑥 e k ϵ R.
Se b(x) ≠ 0 si può applicare il metodo di Lagrange: (pag.2094)
y’ =a(x) y + b(x) ⟾ y = eA(x)
∫b(x) e-A(x)
dx
Con A(x) primitiva di a(x).
Esempio:
1) Equazione omogenea
y’=a(x) y
la soluzione generale è:
y=k eA(x)
con : A(x) = ∫ 𝑎(𝑥)𝑑𝑥 e k costante ≠ 0
2) Equazione non omogenea (pag.2094)
y’=a(x) y +b(x)
la cui soluzione generale è:
y = eA(x)
∫b(x) e-A(x)
dx
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Oppure esiste un metodo pratico che si può applicare quando il meno all’esponente di e
crea qualche problema all’integrazione.
y’ – a(x) y = b(x)
posto: A(x) =-∫ 𝑎(𝑥)𝑑𝑥
l’integrale generale diventa:
y = e-A(x)
∫b(x) eA(x)
dx
Esempio:
y’ + xy = x
y’ = -xy +x con: a(x) = -x e A(x) = ∫-x dx = -𝑥2
2⁄
y = eA(x)
∫b(x) e-A(x)
dx
y = 𝑒−𝑥2
2 ∫ 𝑥 𝑒𝑥2
2 𝑑𝑥
y = 𝑒−𝑥2
2 (𝑒𝑥2
2 + 𝑐) = 𝑒−𝑥2
2+
𝑥2
2 + 𝑐 𝑒−𝑥2
2 = 𝑒0 + 𝑐 𝑒−𝑥2
2 = 1 + c 𝑒−𝑥2
2
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI del secondo ordine (pag.2095)
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ESEMPI:
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EQUAZIONE COMPLETA (pag. 2097)
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ESEMPIO 2:
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ESEMPIO 3° caso:
il β è il numero che è davanti all’argomento del cos 𝑥. ( β =1 )
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SCHEMA RIASSUNTIVO:
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