Date post: | 02-May-2015 |
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Esempio di estrazione delle componenti principali
• Cinque domande di un questionario (scala di Likert da 1 molto contrario a 5 molto d’accordo)
• 1559 studenti delle scuole medie hanno risposto al questionario
• SPSS calcola le statistiche univariate e la matrice delle correlazioni
Statistiche descrittive
4,15 1,077 15593,80 1,144 15592,46 1,445 15592,84 1,268 15592,77 ,927 1559
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
MediaDeviazione std.
Analisifattoriale
N
Le medie ci informano che le risposte non sono estreme, ma variano e si collocano abbastanza al centro dell’ambito delle risposte
Matrice di correlazionea
1,00 ,472 -,114 ,107 ,147,472 1,00 -,099 ,109 ,186-,114 -,099 1,00 -,567 -,013,107 ,109 -,567 1,00 ,031,147 ,186 -,013 ,031 1,00
,000 ,000 ,000 ,000,000 ,000 ,000 ,000,000 ,000 ,000 ,301,000 ,000 ,000 ,114,000 ,000 ,301 ,114
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegnow1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
w1 Imieigenitorison
obrav
igenitori,e neson
oorgoglioso
w2 Miamadre èaffettuos
aconme
w3 Vorrei
avere
un’altra
costituzionefisic
a
w4 Pensodi
avere unbelfisic
oanche
senza
vestiti
w5 Gli
insegnanti
apprezzano ilmioimpegn
o
Determinante = ,496a.
Alcune correlazioni sono elevate
Sono un buon inizio per un’analisi fattoriale
Definizione e calcolo delle comunanze
• Le comunanze sono, per ogni variabile osservata, la somma delle varianze comuni fra fattori e variabili osservate.
• La somma di queste varianze (standardizzate) vale 1, per ogni variabile
Comunalità
1,000 1,0001,000 1,0001,000 1,0001,000 1,0001,000 1,000
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
InizialeEstrazione
Metodo di estrazione: Analisi componenti principali.
Con un numero di fattori estratti uguale al numero delle variabili, le comunanze (somma dei quadrati delle
saturazioni) sono uguali all’unità
Estrazione delle comunanze
Matrice di componentia
,629 ,500 -,317 -,503 ,037,631 ,528 -,228 ,519 -,034
-,665 ,583 -,044 ,036 ,464,670 -,573 ,076 ,041 ,463,306 ,405 ,860 -,050 -,012
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
1 2 3 4 5Componente
Metodo estrazione: analisi componenti principali.5 componenti estrattia.
La terza frase ha una correlazione negativa con il
primo fattore
Matrice fattoriale (correlazioni fra variabili osservate e variabili latenti)
Matrice di componentia
,629 ,500 -,317 -,503 ,037,631 ,528 -,228 ,519 -,034
-,665 ,583 -,044 ,036 ,464,670 -,573 ,076 ,041 ,463,306 ,405 ,860 -,050 -,012
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
1 2 3 4 5Componente
Metodo estrazione: analisi componenti principali.5 componenti estrattia.
La somma dei quadrati delle saturazioni (1,780) è uguale
alla varianza del fattore o autovalore
Matrice fattoriale (correlazioni fra variabili osservate e variabili latenti)
Varianza totale spiegata
1,780 35,595 35,595 1,780 35,595 35,5951,361 27,222 62,817 1,361 27,222 62,817
,900 18,001 80,817 ,900 18,001 80,817,527 10,543 91,361 ,527 10,543 91,361,432 8,639 100,0 ,432 8,639 100,0
Componente12345
Totale% di
varianza
%cumul
ata Totale% di
varianza
%cumul
ata
Autovalori inizialiPesi dei fattori non
ruotati
Metodo di estrazione: Analisi componenti principali.
Con un numero di fattori estratti uguale al numero delle variabili, la somma degli autovalori è uguale alla varianza
standardizzata delle variabili osservate (=N)
Matrice di componentia
,629 ,500 -,317 -,503 ,037,631 ,528 -,228 ,519 -,034
-,665 ,583 -,044 ,036 ,464,670 -,573 ,076 ,041 ,463,306 ,405 ,860 -,050 -,012
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
1 2 3 4 5Componente
Metodo estrazione: analisi componenti principali.5 componenti estrattia.
La somma dei prodotti delle saturazioni è uguale a zero
Che relazione c’è fra le componenti?
La matrice di saturazioni fattoriali ha queste caratteristiche:
• Le n variabili osservate sono scomposte in n componenti (inferite o latenti)
• La somma dei loro quadrati per riga è uguale a 1 (= comunanza)
• La somma dei loro quadrati per colonna è uguale all’autovalore (o varianza del fattore)
• La prima componente è più elevata (e importante della sua seguente - forma canonica.
• La somma dei prodotti della riga r per la riga s è uguale al coefficiente di correlazione fra la variabile r e la variabile s
• La somma dei prodotti di una colonna s per una colonna r è uguale a zero (i fattori sono indipendenti)
Matrice di componentia
,629 ,500 -,317 -,503 ,037,631 ,528 -,228 ,519 -,034
-,665 ,583 -,044 ,036 ,464,670 -,573 ,076 ,041 ,463,306 ,405 ,860 -,050 -,012
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
1 2 3 4 5Componente
Metodo estrazione: analisi componenti principali.5 componenti estrattia.
La somma dei prodotti delle saturazioni della riga r e della riga s è uguale al coefficiente di correlazione fra le variabili r
e s
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso0,629 0,500 -0,317 -0,503 0,037x x x x x
w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica-0,665 0,583 -0,044 0,036 0,464= = = = =-0,418 0,291 0,014 -0,018 0,017
somma -0,114
Questo valore è la correlazione della variabile w1 e w3
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5
Serie5
Serie4
Serie3
Serie2
Serie1
Grafico delle cinque comunanze, suddivise secondo la ripartizione in
cinque fattori (serie= fattore)
Grazie alla caratteristica degli autovalori (in forma canonica o ordine decrescente), si possono
conservare solo le prime componenti principali, (per
esempio, due) e trascurare le altre
Estrazione di un numero inferiori di fattori, per
esempio due
Varianza totale spiegata
1,780 35,595 35,595 1,780 35,595 35,5951,361 27,222 62,817 1,361 27,222 62,817
,900 18,001 80,817,527 10,543 91,361,432 8,639 100,0
Componente12345
Totale% di
varianza
%cumul
ata Totale% di
varianza
%cumul
ata
Autovalori inizialiPesi dei fattori non
ruotati
Metodo di estrazione: Analisi componenti principali.
Comunalità
1,000 ,6451,000 ,6781,000 ,7821,000 ,7781,000 ,258
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
InizialeEstrazione
Metodo di estrazione: Analisi componenti principali.
• Con due fattori estratti…
le comunanze sono inferiori a 1, poiché si trascura la varianza associata con i fattori di minore importanza
Matrice di componentia
,629 ,500,631 ,528
-,665 ,583,670 -,573,306 ,405
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
1 2Componente
Metodo estrazione: analisi componenti principali.2 componenti estrattia.
Con due fattori estratti, si conserva l’informazione rilevante sulle prime due
componenti
Con due fattori estratti, si possono rappresentare
graficamente le saturazioni sui primi due fattori
Vedere parte 2a
I due fattori non sono molto comprensibili. Però possono
essere modificati, per renderli interpretabili
I fattori possono essere trasformati ,
senza perdita di informazione
… In questa direzione, per rendere le
saturazioni fattoriali alte su un fattore e nulle
sugli altri
Ecco il risultato finale
La trasformazione imposta ai due fattori si chiama rotazione ortogonale
• I valori della trasformazione hanno raramente senso per l’interpretazione. Sono però stampati da SPSS
Matrice di trasformazionedei componenti
,725 ,689-,689 ,725
Componente12
1 2
Metodo estrazione: analisicomponenti principali. Metodo rotazione: Varimaxcon normalizzazione di Kaiser.
Matrice di trasformazionedei componenti
,725 ,689-,689 ,725
Componente12
1 2
Metodo estrazione: analisicomponenti principali. Metodo rotazione: Varimaxcon normalizzazione di Kaiser.
La matrice di trasformazione contiene i seni e coseni degli
angoli di rotazione
coseno
senoVetto
re unitario
Angolo di rotazione
Kaiser è l’autore che ha proposto la rotazione Varimax (variance
Maaximum)
Matrice di componentia
,629 ,500,631 ,528
-,665 ,583,670 -,573,306 ,405
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
1 2Componente
Metodo estrazione: analisi componenti principali.2 componenti estrattia.
Matrice di trasformazionedei componenti
,725 ,689-,689 ,725
Componente12
1 2
Metodo estrazione: analisicomponenti principali. Metodo rotazione: Varimaxcon normalizzazione di Kaiser.
1 2 1 2 1 2
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgoglioso0,63 0,50 1 0,73 0,69 0,11 0,80w2 Mia madre è affettuosa con me0,63 0,53 2 -0,69 0,73 0,09 0,82w3 Vorrei avere un’altra costituzione fisica-0,67 0,58 -0,88 -0,04w4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestiti0,67 -0,57 0,88 0,05w5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno0,31 0,40 -0,06 0,50
per esempio:
0,67 x 0,73 +0,58x(-0,69)= -0,880,31 x 0,69 +0,40 x0,73 = 0,50
riga 3a x colonna 1a= coeff riga 3a, colonna 1ariga 5 x colonna 2a = coeff riga 5a colonna 2a
Matrice fattoriale ruotata
Matrice di trasformazione
Componenti non ruotati
Si moltiplica la matrice non ruotata per la matrice di trasformazione
Matrice dei componenti ruotataa
,112 ,796,094 ,818
-,884 -,035,881 ,046
-,057 ,504
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
1 2Componente
Metodo estrazione: analisi componenti principali. Metodo rotazione: Varimax con normalizzazione di Kaiser.
La rotazione ha raggiunto i criteri di convergenza in 3 iterazioni.a.
• Accettazione del proprio corpo• Armonia coi familiare (o adulti)
Ecco il risultato finale i due fattori sono semplici e comprensibili
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5
Serie5
Serie4
Serie3
Serie2
Serie1
Grafico delle comunanze con i fattori ruotati (in azzurro le varianze dei fattori
abbandonati)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5
Serie5
Serie4
Serie3
Serie2
Serie1
Comunanze originali
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5
Serie5
Serie4
Serie3
Serie2
Serie1
Grafico delle cinque comunanze, suddivise secondo la ripartizione in
cinque fattori (serie= fattore)
Criterio per la rotazione ortogonale (Varimax, Kaiser,
1958)• Si cerca la soluzione semplice:
Una variabile dovrebbe 1. essere molto satura di un solo
fattore (r >|0,40|)
2. avere saturazioni nulle sugli altri fattori (r 0)
Rotazione obliqua
• Quando la rotazione degli assi non mantiene rigidi (ortogonali) gli assi di riferimento dei fattori, si ottengono le rotazioni oblique
• Gli assi non restano ortogonali, i fattori non sono indipendenti fra di loro, ma le saturazioni fattoriali sono più grandi e facilitano l’interpretazione dei fattori
Esempio
• Revisionando il questionario sulla depressione di Beck (BDI II), si scoprì che c’erano due aspetti che partecipavano del fenomeno: il versante cognitivo-affettivo e il versante comportamentale.
• Non aveva senso cercare una soluzione ortogonale, (non esiste un aspetto affettivo della depressione indipendente dall’aspetto comportamentale della depressione). La soluzione è stata trovata con due fattori obliqui.
Testo del Beck Depression Inventory II
Perché si chiama rotazione obliqua?
Ecco un esempio di sette variabili su i primi due fattori
La rotazione ortogonale non
produrrebbe una soluzione ottimale, le
variabili sono troppo simili
fra di loro
Le variabili sono sature di entrambi i fattori, ma i due fattori sono ora
obliqui, cioè correlati fra di
loro, ma si adattano meglio ai
punti dei fattori
La rotazione Promax produce i fattori correlati (qui r12= 0,66)
La rotazione Promax è quella più utile e consigliabile, perché si basa sulla
rotazione Varimax
Spss produce anche la correlazione fra i fattori obliqui
Matrice di correlazionedei fattori
1,000 ,205,205 1,000
Fattore12
1 2
Metodo estrazione: fattorizzazionedell'asse principale. Metodo rotazione: Promax connormalizzazione di Kaiser.
• Tuttavia, in questo caso la correlazione fra i due fattori è veramente trascurabile e la soluzione fattoriale non differisce molto da quella ortogonale
Esempio iniziale, con fattori iterati e rotazione promax
Matrice di struttura
,150 ,627,142 ,751
-,759 -,146,747 ,154,030 ,242
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
1 2Fattore
Metodo estrazione: fattorizzazione dell'asse principale. Metodo rotazione: Promax con normalizzazione di Kaiser.
Il metodo di estrazione dei fattori
Metodo di estrazione: Fattori iterati
• Il metodo delle componenti principali è matematicamente corretto, ma statisticamente improbabile.
• E’ opportuno usare un altro metodo, detto dei fattori principali o iterati.
Il metodo si basa su iterazioni:
• Al posto delle comunanze, si inserisce il coefficiente di correlazione multiplo di ogni variabile.
• Si calcolano gli autovalori e le saturazioni
• Si calcolano le comunanze• Si sostituiscono alle stime iniziali • Si ripete il ciclo, finche le saturazioni
osservate sono uguali a quelle ottenute con la soluzione precedente.
Esempio applicativo
• Le stesse cinque variabili dell’esempio iniziale, con due fattori estratte e ruotati
Varianza totale spiegata
1,780 35,595 35,595 1,298 25,965 25,965 1,139 22,783 22,7831,361 27,222 62,817 ,853 17,068 43,033 1,012 20,249 43,033
,900 18,001 80,817,527 10,543 91,361,432 8,639 100,0
Fattore12345
Totale% di
varianza
%cumul
ata Totale% di
varianza
%cumul
ata Totale% di
varianza
%cumul
ata
Autovalori inizialiPesi dei fattori non
ruotati Pesi dei fattori ruotati
Metodo di estrazione: Fattorizzazione dell'asse principale.
• Gli autovalori iniziali sono uguali alla soluzione delle componenti principali, ma quelli dei fattori sono più piccoli.
• Il metodo di estrazione tende a eliminare la varianza delle variabili solitarie.
Matrice fattorialea
,445 ,443,504 ,556
-,644 ,402,639 -,388,151 ,190
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
1 2Fattore
Metodo estrazione: fattorizzazione dell'asse principale.Tentativo di estrazione di 2 fattori. Sono richieste più di 25 iterazioni.(Convergenza=,002). L'estrazione è stata interrotta.
a.
Matrice fattoriale ruotataa
,092 ,621,072 ,748
-,756 -,063,744 ,072,007 ,243
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
1 2Fattore
Metodo estrazione: fattorizzazione dell'asse principale. Metodo rotazione: Varimax con normalizzazione di Kaiser.
La rotazione ha raggiunto i criteri di convergenza in 3 iterazioni.a.
Il metodo dei fattori iterati (o asse principale) evidenzia la scarsa covariazione della
variabile w5 con le altre variabili dell’analisi, e per questo è più realistico (saturazioni basse)
Comunalità
,231 ,394,240 ,564,325 ,576,325 ,559,039 ,059
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
InizialeEstrazione
Metodo di estrazione: Fattorizzazione dell'asse principale.
• Con due fattori estratti, cambiano molto le comunanze, soprattutto per la domanda 5
Varianza totale spiegata
1,780 35,595 35,595 1,298 25,965 25,965 1,139 22,783 22,7831,361 27,222 62,817 ,853 17,068 43,033 1,012 20,249 43,033
,900 18,001 80,817,527 10,543 91,361,432 8,639 100,0
Fattore12345
Totale% di
varianza
%cumul
ata Totale% di
varianza
%cumul
ata Totale% di
varianza
%cumul
ata
Autovalori inizialiPesi dei fattori non
ruotati Pesi dei fattori ruotati
Metodo di estrazione: Fattorizzazione dell'asse principale.
AvvisiImpossibile richiedere un numero di fattori pari aquello delle variabili con qualsiasi metodo diestrazione ad eccezione di PC. Il numero di fattoriverrà ridotto di uno.
• Con i Fattori iterati, non si possono ottenere tanti fattori quante sono le variabili osservate, poiché vi è una riduzione della covariazione (la matrice perde il suo rango). Ma dal punto di vista statistico è più realistico questo approccio. SPSS stampa un avviso per avvisare che l’estrazione chiederà un numero più basso di fattori
Comunalità
,231 ,394,240 ,564,325 ,576,325 ,559,039 ,059
w1 I miei genitori sono bravi genitori, e ne sono orgogliosow2 Mia madre è affettuosa con mew3 Vorrei avere un’altra costituzione fisicaw4 Penso di avere un bel fisico anche senza vestitiw5 Gli insegnanti apprezzano il mio impegno
InizialeEstrazione
Metodo di estrazione: Fattorizzazione dell'asse principale.
La comunanza della variabile 5 (solitaria) è sparita: non fa riferimento a nessun’altra variabile
• Il metodo dei Fattori principali è da consigliare, in sostituzione di quello delle componenti principali
• Le differenze sono tanto più elevate quanto più piccolo è il numero di variabili osservate. A al di là delle 35 variabili osservate, le differenze fra i metodi sono minime.
Il problema del numero di fattori da estrarre
Criteri validi:1. Scree test2. Analisi parallela
Lo scree-test
• È la rappresentazione grafica degli autovalori in forma canonica (i primi, più importanti, sono sulla sinistra del grafico)
• Secondo Cattell, gli autovalori connessi con i fattori reali e non casuali hanno un andamento caratteristico a caduta
• Quelli casuali degradano lentamente
Lo scree-test
• Si estraggono solo quei fattori che sono sulla linea di caduta, e si trascurano quelli che degradano lentamente
Validità dello scree-test
• È molto usato, è facile da utilizzare, ma non sempre è efficace e veritiero. A volte il pendìo non è individuabile con facilità
L’analisi parallela
• Consiste nel generare dei numeri causali, uno per ogni variabile osservata e per ogni partecipante.
• Si estraggono gli autovalori• Si ripete la simulazione molte volte• La media del primo, secondo …
ennesimo autovalore servono da confronto per gli autovalori della matrice reale
Esempio con cinque simulazioni
• Si estraggono i 14 autovalori da una matrice di 14 variabili osservate, e si riportano sul grafico, insieme a quelli corrispondenti di cinque simulazioni, ottenute sostituendo a ciascuna risposta R di un soggetto S un dato casuale (per esempio un punto zeta. Si estraggono i fattori e si tiene conto degli autovalori. Si ripete la simulazione cinque volte, ottenendo così cinque primi, cinque secondi , cinque terzi …autovalori, da confrontare con il primo, secondo, terzo… reale.
Esempio con cinque simulazioni
00,250,5
0,751
1,251,5
1,752
2,252,5
2,753
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
veri
s1
s2
s3
s4
s5
Autovalori fuori scala nel grafico, perché sicuramente da
conservare
Ambito dell’incertezza
Autovalori reali più piccoli di quelli casuali, sicuramente
da scartare
Validità dell’analisi parallela
• Funziona molto bene, anche se non è entrata completamente nell’uso.
• Un software (Monte Carlo PCA di Marley Watkins) è disponibile gratuitamente in rete.
Grafico degli autovalori dei dati reali e simulati
Real and Randomly generated eigenvalues
3,77
2,66
2,16
1,87
1,391,471,29 1,28 1,14 1,10 1,04
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Real
Random
In questo grafico la linea fucsia indica la
media degli autovalori casuali
4,0
3,1
2,82,6
2,3 2,21,9 1,8
1,6 1,5 1,4 1,3 1,3 1,2 1,2 1,2
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Reali
Casuali
Secondo esempio Valori reale e medie degli autovalori
casuali
In questo grafico la linea fucsia indica la
media degli autovalori casuali
Output del programmino di Watkins
• Monte Carlo PCA for Parallel Analysis• Version .
• 08/11/2011 15.57.03• Number of variables: 5• Number of subjects: 1559• Number of replications: 100
• ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
• Eigenvalue # Random Eigenvalue Standard Dev• +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+++++++++++• 1 1,0723 ,0157• 2 1,0323 ,0147• 3 0,9984 ,0102 • 4 0,9681 ,0112• 5 0,9289 ,0176• +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+++++++++++• 08/12/2011 15.57.04
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I primi due autovalori
dell’esempio sono superiori ai due
autovalori dei dati casuali (1,78 e
1,36) ma il terzo è inferiore (0,90), Si
sceglie la soluzione a due
fattori (da estrarre e ruotare)
Il 95° percentile
• Il software di Witkins permette di trasformare il k-esimo autovalore tratto dai dati con il k-esimo autovalore dei dati simulati. L’autovalore dei dati reali dovrebbe essere superiore al 95% degli autovalori casuali per essere considerato rappresentativo di una dimensione latente da prendere in considerazione.
Istruzione del software
• Select the number of variables (3-300), subjects (100-2500), and replications (1-1000). The program then: (1) generates random normal numbers for the quantity of variables and subjects selected, (2) computes the correlation matrix, (3) performs Principal Components Analyses and calculates the eigenvalues for those variables, (4) repeats the process as many times as specified in the replications field, and (5) calculates the average and standard deviation of the eigenvalues across all replications.
• For stable results, replicate at least 50-100 times. Use these eigenvalues as the criteria for Horn's Parallel Analysis for the number of factors or components to retain for rotation.
SEGUE…
Horn, J. L. (1965). A rationale and test for the number of factors in factor analysis. Psychometrika, 30, 179-185.
Lautenschlager, G. J. (1989). A comparison of alternatives to conducting monte carlo analyses for determining parallel analysis criteria. Multivariate Behavioral Research, 24, 365-395.
Velicer, W. F., Eaton, C. A., & Fava, J. L. (2000). Construct explication through factor or component analysis: A review and evaluation of alternative procedures for determining the number of factors or components. In R. D. Goffin & E. Helmes (Eds.), Problems and solutions in human assessment: Honoring Douglas N. Jackson at seventy (pp. 41-71). Boston: Kluwer Academic Publishers.
Zwick, W. R., & Velicer, W. F. (1986). Comparison of five rules for determining the number of components to retain. Psychological Bulletin, 99, 432-442.
Riferimento bibliografico
Include this reference in publications which determined the number of factors to retain using this software:
Watkins, M. W. (2000). Monte Carlo PCA for Parallel Analysis [computer software]. State College, PA: Ed & Psych Associates.