Esercitazione 1 19 Aprile 2012

Probabilità e Variabili Casuali

Definizione 1 • Due eventi A e B sono mutuamente esclusivi ,o

incompatibili,o disgiunti se non possono verificarsi contemporaneamente .

Esempio 1

Si effettua il lancio di un dado Spazio Campione : S = {1,2,3,4,5,6}Evento A : “Si verifica un numero pari ” ; A={2,4,6}Evento B : “Si verifica un numero dispari ” ; B={1,3,5}A U B =S (Evento Certo)A ∩ B= Ø (Evento Impossibile)

Teorema 1 • Il numero di disposizione con ripetizione di n

oggetti presi k alla volta è dato da :

krkn nD )( ,

Esempio 2Si consideri lo spazio degli eventi : {a,b,c,d} .Il numero di disposizioni con ripetizione degli n=4 oggetti presi 2 alla volta è

1642 kn

Esempio 2

(a,a) (b,a) (c,a) (d,a)

(a,b) (b,b) (c,b) (d,b)

(a,c) (b,c) (c,c) (d,c)

(a,d) (b,d) (c,d) (d,d)

Disposizioni semplici (senza ripetizione )

)!(

!

1)...1)((

1)...1)(()1).....(2)(1(

)1).....(2)(1(,

kn

n

knkn

knknknnnn

knnnnD kn

Per l’esempio precedente n=4 , k=2Il numero di disposizioni senza ripetizioni è:

12!2

!43*42,4 D

Disposizioni senza ripetizione

(#,#) (b,a) (c,a) (d,a)

(a,b) (#,#) (c,b) (d,b)

(a,c) (b,c) (#,#) (d,c)

(a,d) (b,d) (c,d) (#,#)

Permutazioni• Le permutazioni di n oggetti sono le

disposizioni semplici (senza ripetizione)di n oggetti presi n alla volta (k=n).

Il numero di permutazioni di n oggetti è quindi n!.Esempio : E={a,b,c}Il numero di possibili permutazioni sarà quindi 3!=3*2*1=6Per esteso: (a,b,c);(a,c,b);(c,b,a);(c,a,b);(b,c,a);(b,a,c).

Combinazioni con ripetizione

• Consideriamo le disposizioni con ripetizione di n=4 presi k=2 alla volta.

• Lo spazio degli eventi è E={a,b,c,d}

(a,a) (b,a) (c,a) (d,a)

(a,b) (b,b) (c,b) (d,b)

(a,c) (b,c) (c,c) (d,c)

(a,d) (b,d) (c,d) (d,d)

Disposizioni con ripetizione

(a,a) (#,#) (#,#) (#,#)

(a,b) (b,b) (#,#) (#,#)

(a,c) (b,c) (c,c) (#,#)

(a,d) (b,d) (c,d) (d,d)

Combinazioni con ripetizione

Non interessa l’ordine!

Combinazioni con ripetizione • Quando l'ordine non è importante ma è possibile avere componenti

ripetute si parla di combinazioni con ripetizione. Il numero di combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k è uguale a quello delle combinazioni senza ripetizione di n+k-1 oggetti di classe k ed è quindi uguale a:

)!1(!

)!1(

)!1(!

)!1(

1

11)(,

nk

kn

kknk

kn

n

kn

k

knC r

kn

E={a,b,c,d} ; n=4 ; k=2

10)!35(!3

!5

3

5

14

124

10)!25(!2

!5

2

5

2

124

)(2,4

)(2,4

r

r

C

oppure

C

Combinazioni senza ripetizione• Si chiama combinazione semplice una presentazione di

elementi di un insieme nella quale non ha importanza l'ordine dei componenti e non si può ripetere lo stesso elemento più volte.

k

n

knk

n

kknn

P

DC

k

knkn )!(!

!

!)!(!

,,

Esempio :E={a,b,c,d} ;n=4;k=2

6)!24(!2

!4

2

42,4

C

Combinazioni senza ripetizioneper n=4 ,k=2E={a,b,c,d}

(#,#) (#,#) (#,#) (#,#)

(a,b) (#,#) (#,#) (#,#)

(a,c) (b,c) (#,#) (#,#)

(a,d) (b,d) (c,d) (#,#)

Esercizio 1

• Un’urna contiene 2 biglie bianche e 5 nere. Estraiamo una prima biglia: se è nera la rimettiamo dentro con altre due dello stesso colore, se è bianca non rimettiamo niente. Estraendo la seconda biglia, qual è la probabilità che sia nera?

• Il problema può risolversi in diversi modi; un modo intuitivo consiste nel considerare il così detto “albero degli eventi”:

• Per cui, seguendo i rami dell’albero di nostro interesse, si ha:

Pr(2° palla è nera )=5/6*2/7+7/9*5/7=0.79• Alternativamente può usarsi la regola di Bayes:

Pr(N2)=Pr(N2/N1)*P(N1)+Pr(N2/B1)*P(B1)=

=5/6*2/7+7/9*5/7=0.79

Esercizio 1

Esercizio 2 • In una scatola A vi sono 16 pezzi difettosi e 4

buoni, in una scatola B vi sono 5 buoni e 8 difettosi. Supponiamo di lanciare un dado. Se esce 1 o 2 prendo un pezzo da A; se non escono 1 o 2 (cioè escono 3 o 4 o 5 o 6) prendo un pezzo da B. Qual è la probabilità di estrarre un pezzo difettoso?

Esercizio 3

Esercizio 4

Esercizio 5 • Un dado viene lanciato 2 volte. Sia A l’evento “al primo lancio esce

un numero minore o uguale a 2” e con B l’evento “al secondo lancio esce un numero uguale o superiore a 5”. Calcolare la probabilità dell’evento unione di A e B.

• Risposta. L’esercizio richiede che si calcoli la probabilità P(A U B) . Al fine del calcolo occorre stabilire se gli eventi A e B sono tra loro incompatibili ovvero se A∩B=Ø . Per fare ciò scriviamo da quali elementi sono composti i due eventi A e B.

A ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )11 1 2 1 3 1 4 15 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6

B ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6

A questo punto è possibile osservare che l’evento intersezione A∩B

A B ( , ), ( , ), ( , ), ( , )1 5 2 5 1 6 2 6

ovvero dagli elementi comuni sia ad A che a B. Così per il principio delle probabilità totali si ha che:

P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) . 12

36

12

36

4

36

Esercizio 6• Una persona ha due figli, di cui il maggiore è femmina. Nell’ipotesi

che la determinazione del sesso dei due figli equivalga a due eventi indipendenti, calcolare la probabilità che anche il secondo figlio sia di sesso femminile.

• Come si modifica il risultato precedente se si ipotizza invece che la probabilità di avere due figli di sesso femminile sia pari a 1/3?

Risposta. In questo caso si tratta di calcolare una probabilità condizionata utilizzando il principio delle probabilità composte. Se indichiamo con MF l’evento “il figlio maggiore è femmina”, con SF l’evento “il secondo figlio è femmina” e con EF l’evento “entrambi i figli sono femmine” occorre calcolare

P SF MFP SF MF

P MF

P EF

P MF

P SF P MF

P MF( | )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

1

2

1

21

2

1

2

Si noti che al numeratore la probabilità dell’intersezione viene scritta come prodotto delle probabilità dei due eventi a causa dell’indipendenza di questi.

Esercizio 6• Nel caso in cui la probabilità di avere due figli entrambi femmine sia

di 1/3 si ottiene:

3

2

2131

)(

)(

)(

)()|(

MFP

EFP

MFP

MFSFPMFSFP

Esercizio 7• Una scatola contiene 6 palline numerate da 1 a 6. Da questa scatola le

palline vengono estratte senza reimmissione. Calcolare la probabilità che la pallina contrassegnata con il numero 1 venga estratta entro i primi tre tentativi.

Risposta. In questo caso non reimmetendo la pallina estratta di volta in volta nell’urna gli eventi non sono tra loro indipendenti, occorre così far uso delle probabilità condizionate.

Se indichiamo con T1, T2, T3 rispettivamente la prima la seconda e la terza estrazione della pallina contrassegnata con il numero 1 e con

rispettivamente gli eventi: “la pallina contrassegnata con 1 non e’ uscita alla prima estrazione”, “la pallina contrassegnata con 1 non e’ uscita alla seconda estrazione”, “la pallina contrassegnata con 1 non e’ uscita alla terza estrazione” dobbiamo calcolare la seguente probabilità

T T Tc c c1 2 3, ,

2

1

4

1*5

4*6

5

6

1*5

5

6

1)2|3()1|2()1()1|2()1()1( cccccc TTPTTPTPTTPTPTP

Esercizio 8 • Si considerino 3 urne, numerate da 1 a 3; ogni urna contiene 5

palline. La generica urna i contiene i palline bianche e (5-i) palline nere, con i=1,2,3 (cioè, ad esempio, l’urna numero 2 contiene 2 palline bianche e 5-2=3 palline nere). Si estrae a caso un’urna, e da questa una pallina. Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia bianca. (26/5/98)

• Risposta. Indichiamo con B l’evento “estrazione di una pallina bianca” e con U1, U2, e U3 rispettivamente l’urna 1 la 2 e la 3. Allora per calcolare la probabilità di estratte una pallina bianca bisogna tenere conto del fatto che questa può essere stata estratta da una di queste urne che a loro volta hanno una loro probabilità di essere estratte (le urne sono equiprobabili).Allora

P B P U P BU P U P BU P U P BU( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) * * * 1 1 2 2 3 31

3

1

5

1

3

2

5

1

3

3

5

2

5

Si noti che questa espressione non è altro che il denominatore del teorema di Bayes.

Esercizio 10

Esercizio 10

Esercizio 11

Esercizio 11

(6)

Esercizio 11

Esercizio 11