Probabilità ed eventi casuali

(Prof. Daniele Baldissin)

Problema 1: Lancio di un dado classico ideale

Risultati possibili: 1 2 3 4 5 6 Probabilità associate: 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Somma delle probabilità:

16

16

16

16

16

16

1

Probabilità di ottenere un numero pari con un lancio:

Pr(pari) 36

12

Pr(pari) 16

16

16

36

12

Ci sono 3 possibilità su 6, perciò:

Primo modo di ragionare

Secondo modo di ragionare

12

3

65

4

deve uscire o il 2 o il 4 o il 6, perciò:

Problema 2: Lancio di due dadi

I risultati possibili sono coppie di numeri interi compresi tra 1 a 6. Si possono ottenere, per esempio, con una tabella:

1 2 3 4 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Se ci interessa la somma dei punti ottenuti in ogni lancio, al posto delle coppie inseriamo le somme.

2 3

3

4

4

4

5

5

5

5

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

9

9

9

9

10

10

10

11

11 12

Problema 2: Lancio di due dadi

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

La successione delle probabilità associate si dice anche distribuzione di probabilità.

1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Risultati possibili:

Probabilità associate:

Somma delle probabilità:

21

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

361

Istogramma della distribuzione di probabilità

0

1/ 36

1/ 18

1/ 12

1/ 9

5/ 36

1/ 6

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Grafi ad alberoSi tratta di un grafico i cui rami rappresentano i possibili percorsi

fra loro incompatibili dove, in ciascun tratto, è riportata la rispettiva probabilità.

Vediamo un esempio pratico:

Un’urna contiene 10 palline verdi e 7 palline rosse. Si estraggono successivamente due palline, senza rimettere la prima nell’urna.Qual è la probabilità che siano:a) dello stesso colore;b) di colore diverso;c) almeno una rossa?

Ecco come tale situazione può essere rappresentata con un grafo ad albero (V=verde, R= rossa)

Ad esempio, considerato il ramo a sinistra (VV), nel primo tratto figura la probabilità 10/17 che la prima pallina estratta sia verde, nel secondo la probabilità 9/16 che la seconda pallina sia verde nell’ipotesi che la prima sia verde (delle 16 palline ancora nell’urna, solo 9 sono verdi).

Così, nel ramo RV, nel primo tratto figura la probabilità 7/17 che la prima pallina estratta sia rossa, nel secondo la probabilità 10/16 che la seconda estratta sia verde nell’ipotesi che la prima pallina sia rossa (tra le 16 palline rimaste vi sono tutte e 10 le palline verdi).

a) Per la regola della probabilità composta, la probabilità che entrambe le palline siano verdi, ossia che si verifichi l’evento VV, è 10/17 · 9/16 = 45/136.

Analogamente, la probabilità che entrambe le palline siano rosse, ossia che si verifichi l’evento RR, risulta 7/17 · 6/16 = 21/136.

Quindi, la probabilità dell’evento “le palline sono dello stesso colore”, ossia entrambe verdi o entrambe rosse, per la regola della probabilità totale, è 45/136+21/136 = 66/136 = 33/68.

b) Per calcolare la probabilità dell’evento “le palline sono di colore diverso”, anziché sommare la probabilità che la prima sia verde e la seconda rossa con quella che la prima sia rossa e la seconda verde, possiamo sfruttare quanto ottenuto in a) e applicare la regola della probabilità dell’evento contrario; infatti l’evento “le palline sono di colore diverso” è contrario di “le palline sono dello stesso colore”, e quindi la sua probabilità è 1-33/68 = 35/68.

c) La probabilità dell’evento “almeno una pallina è rossa” è la somma delle probabilità dei tre eventi VR, RV, RR. Più rapidamente si può calcolare la probabilità dell’evento contrario a VV (“le palline sono entrambe verdi”): 1-45/136 = 91/136.

Problema 4: Lancio di monete non truccateLancio di tre monete Schema ad albero

II moneta

I moneta

III moneta

CT12

12

T C CT12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

T C CTT C CT

Risultati: TTT TTC TCT TCC CTT CTC CCT CCCProbabilità: 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

Somma probabilità:

1

88 1

Pr(TTT) 1

8

1

21

21

2Pr(T)Pr(T)Pr(T)

Pr(almeno 2 T) 4

8

1

8

1

8

1

8

1

8Pr(TTT) Pr(TTC) Pr(TCT) Pr(CTT)

Problema 5: Estrazione da un’urna opaca

Estraendo a caso una biglia, qual è la probabilità che sia bianca?

Se in un'urna opaca si mettono 3 biglie nere e 3 bianche, la probabilità che estraendo una biglia a caso essa risulti bianca è evidentemente 3/6 ossia 1/2.

Ma, se si avesse la possibilità di distribuire a piacimento le 6 biglie in 2 urne, sarebbe possibile aumentare la probabilità di estrarre una biglia bianca?

Pr( bianca)2

5 1

5 1

5

Pr(prima bianca o seconda bianca) Pr(prima bianca)Pr(seconda bianca)

Problema 5: Estrazione da un’urna opaca

? ?

Soluzione

Scelta dell’urna

Estrazione biglia

Risultato: bianca nera bianca nera

12

12

1 0 25

35

Probabilità:

Pr bianca 1

21

1

22

5

7

10

1

2

1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

Problema 6: Il modello dell’alberoA1) L’albero delle possibilità (caso simmetrico)

1 1

inizio

su 2

1 1 1 1 su 4

1 1 1 11 1 1 1 su 8B1) L’albero delle probabilità (caso di equiprobabilità)

1/4 1/4 1/4 1/4

inizio

1/2 1/2 somma = 1

somma = 1

somma = 1

Problema 6: Il modello dell’albero

Operazioni sull’albero delle probabilità

p1 p2

p1' p2' p1' p2'

p1 p1' p1 p2' p2 p1' p

2 p2'

e e

+ o

Lungo i rami… si moltiplica “e” logica

In orizzontale… si addiziona “o” logica