Fantasia e Libertà: Dal mondo piatto alle ipersuperfici

Liceo “N. Machiavelli” Firenze23 Febbraio 2011

Antonella FataiLiceo Classico “F. Petrarca” Arezzo

GREMS UNISI

SISUS

Flatland, a Romance of Many Dimensions,(1882) di Edwin Abbott Abbott.

Flatlandia, è strutturata secondo regole matematiche una piramidebasata sulla complessità di configurazione degli individui: alla base c'èil Segmento-Donna, al gradino successivo ci sono i Triangoli Isosceli, quindi i Triangoli Equilateri, i Quadrati, i Poligoni regolari, e poi la nobiltà, il cui prestigio aumenta in misura proporzionale all'aumentodel numero dei lati, salendo nella scala sociale. Al verticedell'organizzazione sociale ci sono i Cerchi, Sommi Sacerdoti e organizzatori di tutte le Arti e le Scienze. Questi detengono il potere e impongono leggi durissime e irrevocabili che garantiscono a Flatland un governo oligarchico al riparo da ogni pericolo di rivoluzione; misure, queste, precauzionali e dittatoriali che mantengono la societàin una condizione di immobilismo politico. Ai margini della società vi sono le Figure Irregolari, caratterizzate da irrazionalità di forme e di comportamento.

Lo Spazio e la MatematicaParmi di scorgere ferma credenza, che nel filosofare sia necessarioappoggiarsi all’opinioni di qualche celebre autore, si che la mentenostra, quando non si maritasse col discorso d’un altro, ne dovesse in tutto rimanere sterile ed infeconda; e forse stima che la filosofia siaun libro e una fantasia d’un uomo, come l’Iliade e l’OrlandoFurioso, libri ne’ quali la meno importante cosa è che quello che vi èscritto sia vero. Signor Sarsi, la cosa non istà cosí. La filosofia è scrittain questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi èimpossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.

G. Galilei, La prosa, Sansoni, Firenze, 1978, pag. 261

Lo Spazio e la Matematica

La montagna Sainte-Victoire, 1905Paul Cézanne

Tecnica olio su telaDimensioni 63×83 cmUbicazione Kunsthaus, Zurigo

Le Cabanon de Jourdan 1906Oil on canvas 25 5/8 x 31 7/8 in (65 X 81 cm)Collection Riccardo Jucker, Milan

Lo Spazio e la Matematica

Def. XXXIII ed il postulato V del I° librodegli Elementi di Euclide:

IL V Postulato

Lobacevskij, Bolyai

Geometria iperbolica.(P5') Per un punto che giace al di fuori di una

retta si possono tracciare più rette che non incontrino la retta

data.

"Limite del cerchio III" (1959)

1854 Riemann Geometria ellittica

(P5") Tutte le rette passanti per un punto che giace al di fuori di una retta data

incontrano tale retta.

In pratica, la geometria costruita su una superficie sferica è sicuramente ellittica, mentre quella costruita su di un piano è inevitabilmente euclidea, e quella realizzata su di una superficie "a sella" è certamente iperbolica, come mostra lo schema seguente:

Andreas SpeiserL'universo di Dante non è uno spazio euclideo, bensì una varietà di Riemann! ("Klassiche stücke der Mathematik", 1925)

Un'indiscutibile conferma di questa straordinaria visione quadridimensionale dell'universo ci è offerta dallo stesso Dante quando, appena entrato nell'Empireo oltrepassando il Primo Mobile, l'ultima frontiera dell'universo materiale, afferma:

« Non altrimenti il trïunfo che ludesempre dintorno al punto che mi vinse,parendo inchiuso da quel ch'elli'nchiude,a poco a poco al mio veder si stinse » (Par. XXX, 10-13)

Lucio Lombardo Radice

Ciò che colpisce in Lobacevskij (e in Bolyai, che poco dopoLobacevskij raggiunse risultati equivalenti) è il fatto che, dal punto di vista matematico, la lettura delle loro opere non richiede conoscenze che vadano al di là di quelle "euclidee". E ciòche colpisce forse ancora di più è il fatto che alcuni dei principaliteoremi della nuova "geometria generale" siano antecedenti allasua fondazione: si trovino nell'opera, ad esempio, di GerolamoSaccheri, "euclideo" convinto, un secolo prima che non neiPrincipi della geometria di Lobacevskij o nel Tentamen di Bolyai, che non nelle opere cioè dei fondatori della nuovageometria. Il paragone che viene alla mente (e che da altri èstato già fatto) è piuttosto quello con la rivoluzione copernicana. Nella rivoluzione non-euclidea come in quella copernicana il fattonuovo non consiste tanto e soltanto nell'apporto di nuovomateriale, di nuove scoperte, quanto in un capovolgimento del "punto di vista".

Nel 1872 Felix Klein (1849-1925)

Professore ad Erlangen, nel discorso inaugurale, noto con il nome Programma di Erlangen, descriveva la geometria come lo studio delle proprietà delle figure aventi carattere invariante rispetto ad un particolare gruppo di trasformazioni. Di conseguenza ogni classificazione dei gruppi di trasformazioni diventava una codificazione delle diverse geometrie. Ad esempio la geometria Euclidea del piano è lo studio delle proprietà delle figure invarianti rispetto al gruppo di trasformazioni rigide del piano formato dalle traslazioni e dalle rotazioni.

Poincaré affermava che:

“…gli assiomi geometrici non sono né giudizi sintetici a priori, né fatti sperimentali. Sono convenzioni; la nostra scelta, tra tutte le convenzioni possibili, è guidata dai fatti sperimentali, ma resta libera e non è limitata dalla necessità di evitare ogni contraddizione. È così che i postulati possono restare rigorosamente veri, anche se le leggi sperimentali che hanno determinato la loro adozione non sono che approssimative.

Scriveva Mondrian

Il neoplasticismo ha le sue radici nel cubismo. Puòessere chiamato anche pittura astratto-reale perchèl'astratto (come le scienze matematiche ma senzaraggiungere come loro l'assoluto) può essereespresso da una realtà plastica nella pittura. Essa èuna composizione di piani rettangolari colorati cheesprime la realtà più profonda, cui pervieneattraverso l'espressione plastica dei rapporti e non attraverso l'apparenza naturale. .... La nuovaplastica pone i suoi problemi in equilibrio esteticoed esprime in tal modo la nuova armonia.

Salvador Dalí 1954"Corpus Hypercubus”

Si deve sempre a Poincaré la nascita ufficiale di quel settore della matematica che oggi si chiama Topologia con il volume Analysis Sitûs (Analisi della posizione), traduzione latina del nome greco, pubblicato nel 1895. Poincaré definiva la topologia come la scienza che fa conoscere le proprietà qualitative delle figure geometriche non solo nello spazio ordinario ma anche nello spazio a più di tre dimensioni.

Se a tutto questo si aggiunge la geometria dei sistemi complessi, la geometria dei frattali, la teoria del caos e tutte le immagini “matematiche” scoperte (o inventate) dai matematici negli ultimi trenta anni utilizzando la computer graphic, si comprende come la matematica abbia contribuito a fare cambiare più volte la nostra idea di spazio, dello spazio in cui viviamo e dell’idea stessa di spazio.

New York il progetto di Frank O. Gehry per il nuovo museo Guggenheim di Manhattan

New York il progetto di Frank O. Gehry per il nuovo museo Guggenheim di Bilbao

Il primo elemento è lo spazio

Il primo elemento è lo spazio delineato da Euclide, con le definizioni, gli assiomi, le proprietà degli oggetti che in questo spazio devono trovare posto. Spazio che sarà quello della perfezione, lo spazio platonico l’uomo come matrice e misura dell’universo, idea che attraversa i secoli. La matematica, la geometria che devono spiegare tutto, anche la forma degli esseri viventi: Le curve della natura, titolo di un famoso libro del Novecento di Cook che certo non si immaginava quanto potesse essere vero ritrovare in forme della natura, addirittura in quelle che sono all’origine della vita, alcune curve matematiche.

Il secondo elemento è la libertà

Il secondo elemento è la libertà; la matematica, la geometria sembrano essere il regno dell’aridità. Chi non si è mai occupato di matematica o non ha mai studiato con interesse la matematica a scuola, non riesce a capire la profonda emozione che essa può suscitare. Né costoro possono capire che la matematica sia un’attività altamente creativa. Né che sia il regno della libertà dove non solo si inventano (o si scoprono) nuovi oggetti, nuove teorie, nuovi campi di attività di ricerca, ma si inventano anche i problemi. Non avendo inoltre il matematico bisogno in molti casi di ingenti risorse finanziarie, si può affermare che la matematica sia il regno della libertà e della fantasia. E certo del rigore e del corretto ragionare.

Il terzo elemento su cui riflettere …

• Il terzo elemento su cui riflettere è come tutte queste idee vengono trasmesse e assimilate, magari non comprese a fondo e solo orecchiate dai diversi settori della società.

• Ha scritto l’architetto Alice Imperiale nel libro Nuove Bidimensionalità al capitolo Tecnologie digitali e nuove superfici: “gli architetti si appropriano liberamente di metodologie specifiche di altre discipline. Ciò può essere attribuito al fatto che ampi cambiamenti culturali si verificano più velocemente in altri contesti che in architettura” “l’architettura riflette i cambiamenti che avvengono nella cultura, e secondo molti, con un ritmo dolorosamente lento.”

• Gli architetti cercano costantemente di occupare un ruolo di avanguardia, pensano che le informazioni prese a prestito da altre discipline possano essere rapidamente assimilate all’interno delle progettazioni architettoniche. Tuttavia la traducibilità, il trasferimento da un linguaggio ad un altro, rimane un problema.

• Gli architetti guardano sempre più spesso ad altre discipline e ad altri processi industriali per ispirarsi, facendo un uso sempre maggiore nella progettazione del computer.

Il quarto elemento è il computer

Il quarto elemento è il computer, il computer grafico, la macchina logica e geometrica per eccellenza. L’idea geniale di un matematico, Alan Turing, portata a termine sotto lo stimolo di una guerra. Una macchina costruita dall’uomo, in cui è stata inserita una logica, costruita sempre dall’uomo, pensata dall’uomo. Uno strumento molto sofisticato, insostituibile, non solo in architettura. Uno strumento appunto.

Il quinto elemento il progresso, la parola progresso.

• Il quinto elemento il progresso, la parola progresso.Se consideriamo le geometrie non euclidee, le nuove dimensioni, la topologia, l’esplosione della geometria e della matematica nel Ventesimo secolo, si può parlare di progresso?

• Delle conoscenze senz’altro, ma non nel senso che i nuovi risultati cancellano i precedenti. I matematici usano volentieri un vecchi detto ricalibrato sulla matematica. “la Matematica è come il maiale, non si butta via nulla, prima o poi anche le cose che sembrano più astratte ed anche insensate possono venire utili”.

Il sesto elemento sono le parole.

• Il sesto elemento sono le parole. Una delle grandi capacità dell’umanità è di dare un nome alle cose (sto pensando che già in Platone…) molte volte nel nominare si usano parole già nell’uso corrente. In matematica in particolare negli ultimi anni questa abitudine ha creato dei problemi come è successo con parole come frattali, catastrofi, complessità iperspazio. Parole simboliche, metaforiche. Anche topologia e dimensionalità e serialità fanno parte del linguaggio comune o almeno degli architetti.

il ruolo dellaTopologia, così come lo vede un architetto

Lo topologia è lo studio del comportamento di unastruttura di superficie sottoposta a deformazione. La superficie registra i cambiamenti degli slittamenti spazio-temporali differenziali in una deformazione continua. Ciòcomporta ulteriori potenzialità per la deformazionearchitettonica. La deformazione continua di unasuperficie può condurre all'intersezioni di piani esterni e interni in un continuo mutamento morfologico, esattamente come nel nastro di Moebius. Gli architettiusano questa forma topologica nel progetto di casa, inserendo campi differenziali di spazio e tempo in unastruttura altrimenti statica.

La casa di Van Berkel ispirata al nastrodi Moebius (Moebius House)

OSSERVAZIONI FINALI

Ho cercato di raccontare alcuni momenti importanti chehanno portato ad un mutamento nella nostra concezione di percepire lo spazio, cercando di far cogliere oltre agli aspettitecnici e formali che pure sono essenziali nella matematica, l'aspetto culturale parlando dell'idea di spazio in relazione ad alcuni aspetti dell'architettura contemporanea. Vorrei solo ricordare due parole che hanno una grande importanza: fantasia e libertà. Sono forse queste le due parole magicheche hanno permesso all'architettura contemporanea di arricchire di molto il patrimonio progettuale. Fantasia e libertàche derivano dal confluire nel corso degli anni di tantielementi: la logica dei computer, le nuove geometrie, la topologia, la computer graphics.

OSSERVAZIONI FINALI

GRAZIE

Vi auguro tanta fantasia e tanta libertà

Antonella.fatai@istruzione.it