Fisica per MedicinaLezione 19 - Onde

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

15 dicembre 2016

Onde

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Indice

Onde

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Onde

Figura: La grande onda di Kanagawa[wiki]

Le onde sono delle perturbazioniche si propagano nel tempo e nellospazio, trasportando energia equantità di moto.Esistono diversi tipi di onde, e.g.

I onde meccaniche in un mezzoelastico: perturbazioni deglielementi del mezzo attornoall’equilibrio;

I onde elettromagnetiche nelvuoto: campoelettromagnetico variabile.

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Tipi di onde

v ⃗

Onde trasversali(e.g. oscillazione diuna corda)

xy

Perturbazionex

y

Onde longitudinali(e.g. suono nell'aria)v ⃗

Due tipi di onde molto comuni sono le onde trasversali e le ondelongitudinali, che si differenziano per la diversa direzione dellaperturbazione rispetto alla direzione di propagazione.

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Propagazione dell’onda I

L’affermazione che un’onda si propaghi sia nel tempo che nello spazioimplica che sia funzione di entrambe le variabili:(

t ,~r)7→ f

(t ,~r)

(1)

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Propagazione dell’onda II

y(t,0) = f(t) y(t,x)

Δx

v ⃗

Data un’onda che si propaga con velocità ~v lungo x , se nel puntox = 0 ha una certa forma:

u(t ,0) = f (t) (2)

dopo un certo tempo ∆t = ∆xv nel punto x = ∆x avrà la stessa forma

che aveva precedentemente nel punto x = 0.

u(t ,∆x) = u(t −∆t ,0) = f(

t − ∆xv

)(3)

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Equazione delle onde

In generale l’equazione di un’onda unidimensionale soddisfal’equazione differenziale

∂2u∂t2 − v2 ∂

2u∂x2 = 0 (4)

che ammette soluzioni del tipo

u(t , x) = f(

t − xv

)+ g

(t +

xv

)(5)

che rappresentano due onde che si propagano con versi opposti.Per un’onda che si propaga in una direzione arbitraria vale

f (t ,~r) = f(

t − ~k ·~r), ove ~k ‖ ~v ,

∣∣∣~k ∣∣∣ =1v

(6)

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Forme d’onda

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01.00.50.00.51.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01.00.50.00.51.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01.00.50.00.51.0

Le onde periodiche possono avere forme molto diverse tra loro, ma glisi associa sempre il concetto di frequenza ν. La frequenza rappresentail numero di volte che l’onda si ripete nell’unità di tempo. http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/medicina/suono_onde/

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Onde sinusoidali

Un’onda sinusoidale, nel punto x = 0, ha forma

u(t ,0) = A sin (ωt) (7)

usando l’equazione (3) si ottiene

u(t , x) = u(t −∆t ,0) = A sin(ωt − ω

vx)

(8)

definendo il numero d’onda come

k =ω

v(9)

otteniamou(t , x) = A sin (ωt − kx) (10)

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Propagazione di un’onda sinusoidaleVediamo come si muovono le creste dell’onda. Osserviamo due puntidell’onda che hanno la stessa perturbazione

u(t , x) = u(t ′, x ′) (11)A sin (ωt − kx) = A sin (ωt ′ − kx ′) (12)

ωt − kx = ωt ′ − kx ′, (13)

quindi per ωt − kx = cost. possiamo osservare l’evoluzione dei puntidell’onda ad un certo valore di perturbazione.Se per un certo valore (t0, x0), si ha che u(t0, x0) è massima, possiamoandare a seguire l’evoluzione del massimo calcolando la derivata diquell’espressione

ddt

(ωt0 − kx0) =ddt

(cost.) (14)

ωdt0dt− k

dx0

dt= 0 (15)

vcreste =dx0

dt=ω

k(16)

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Rappresentazione grafica di onde sinusoidali

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(0,x) = A sin(-kx)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t [s]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(t,0) = A sin( t)

I due grafici, all’apparenza molto simili, hannosignificati molto diversi. Data un’onda del tipo

u(t , x) = A sin (ωt − kx) (17)

1. Il primo grafico rappresenta la posizionedi tutti i punti dell’onda congelati ad unistante t = 0 (e.g. una fotografia di unacorda che oscilla).

u(t , x) = A sin (−kx) (18)

2. Il secondo grafico rappresental’evoluzione temporale della posizionedel punto a x = 0.

u(t , x) = A sin (ωt) (19)

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Lunghezza d’onda

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(0,x) = A sin(-kx)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t [s]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(t,0) = A sin( t)

La lunghezza d’onda si calcola cercando leposizioni dei massimi delle onde, per il seno imassimi sono a

kx0 =π

2(20)

la posizione del massimo successivo è

kx1 = 2π +π

2(21)

La distanza tra i due è

λ = x1 − x0 =2πk

+π

2k− π

2k=

2πk

(22)

ove abbiamo definito λ = 2πk come la

lunghezza d’onda dell’onda.

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Periodo

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(0,x) = A sin(-kx)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t [s]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(t,0) = A sin( t)

Un discorso analogo può essere applicatocercando gli istanti dei massimi delle onde:

ωt0 =π

2, ωt1 = 2π +

π

2(23)

La differenza tra i due è

T = t1 − t0 =2πω

(24)

ove T è il periodo dell’onda. La frequenza ν èlegata al periodo dalla relazione

T =1ν

(25)

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Frequenza e lunghezza d’onda

Ricordando l’espressione trovata

v =ω

k(26)

Sostituendo le relazioni appena trovate:

λ =2πk, T =

2πω

(27)

si ottienev =

λ

T= λν (28)

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Onda stazionaria I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

Immaginiamo di avere due onde identiche chesi propagano in direzioni opposte in unospazio chiuso:

u(t , x) = A sin(ωt−kx) +A sin(ωt +kx) (29)

Usando le formule di prostaferesi

sin(a)+sin(b) = 2 cos(

a− b2

)·sin

(a + b

2

)(30)

si ottiene

u(t , x) = 2 cos(ωt − kx − ωt − kx

2

)· sin

(ωt − kx + ωt + kx

2

)(31)

= 2 cos (−kx) · sin (ωt) (32)= 2 cos (kx) · sin (ωt) (33)

ove abbiamo sfruttato la parità del coseno.

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Onda stazionaria II

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

u(t , x) = 2 cos (kx) · sin (ωt) (34)

La funzione è composta da un termine chedipende solamente dallo spazio, che descrivela forma spaziale, e da un termine chedipende solo dal tempo che descrive comequesta forma oscilli nel tempo.

I nodi (punti fissi) si trovano nei punti in cui la componente spaziale siannulla:

cos (kx) = 0 ⇒ kx =π

2+ nπ (35)

ricordando che k = 2πλ si ottiene

x =λ

4(1 + 2n) (36)

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Battimenti I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.00.50.00.51.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.00.50.00.51.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.02.01.51.00.50.00.51.01.52.0

http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/medicina/battimenti/

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Battimenti II

È anche possibile vedere l’effetto dei battimenti usando dei motivigrafici.

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Effetto Doppler I

v=⃗0

v ⃗

λ

λ'λ''

Immaginiamo di avere una sorgente cheemette un’onda che si propaga con velocità ~v .Se la sorgente stessa si sta avvicinando a noicon velocità ~vS la lunghezza d’onda percepitaλ′ corrisponde alla lunghezza d’onda reale λmeno la porzione di spazio percorsa duranteun periodo T

λ′ = λ− T · vS (37)

Ricordando che

v = λν ⇒ T =1ν

=λ

v(38)

otteniamo

λ′ = λ− λ

v· vS = λ ·

(1− vS

v

)(39)

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Effetto Doppler II

v=⃗0

v ⃗

λ

λ'λ''

La frequenza percepita è

ν′ =vλ′

=v

λ ·(1− vS

v

) (40)

= ν · vv − vS

(41)

ove abbiamo usato la velocità dipropagazione dell’onda v perché il mezzo dipropagazione non è in movimento.

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Effetto Doppler III

v=⃗0

v ⃗

λ

λ'λ''

Riassumendo

λ′ = λ ·(

1− vS

v

)(42)

ν′ = ν · vv − vS

(43)

la lunghezza d’onda percepita λ′ diminuiscese la sorgente si avvicina e la frequenza ν′

aumenta. Se la sorgente si allontana (ovverovS < 0) allora la lunghezza d’onda percepitaλ′′ aumenta e la frequenza ν′′ diminuisce.

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Energia di un’onda I

dx

ds

ds'

dx'

v ⃗

Prendiamo una stringa elastica su cui si propaga lungo x un’ondasinusoidale:

u(t , x) = A sin (ωt − kx) (44)

Osserviamo che u(t , x) soddisfa le condizioni dell’oscillatore armonico

d2

dt2 u(t , x) = −αu(t , x) (45)

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Energia di un’onda IIRicordiamo la pulsazione del moto armonico per un sistema elastico

ω =

√κ

m, κ : costante elastica (46)

Un elemento infinitesimo della stringa ds si comporta quindi come unoscillatore armonico, la sua energia totale quindi è

dE =12κA2 =

12ω2A2 dm =

12ω2A2ρdx (47)

ove abbiamo calcolato la massa come

dm = ρdx (48)

ove ρ è la densità lineare della stringa.In generale si può dimostrare che l’energia trasportata da un’ondaqualunque è proporzionale al quadrato dell’ampiezza

E ∝ A2 (49)

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Flusso di energia

Se prendiamo una porzione di spazio ∆x attraversata da un’onda,l’energia trasportata è

∆E =dEdx

∆x (50)

la quantità di energia che fluisce nel tempo ∆t che impiega apercorrere ∆x è

Φ =∆E∆t

=dEdx

∆x∆t

=dEdx

v (51)

ove v è la velocità di propagazione dell’onda.E.g. Nel caso dell’onda elastica si ha

Φ =dEdx

v =12

vω2A2ρ (52)

per aumentare quindi il flusso si può aumentare l’ampiezza dell’onda Aoppure la frequenza ω.

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Intensità di un’onda

L’intensità di un’onda tridimensionale è definita come il rapporto tral’energia trasportata nell’unità di tempo e l’unità di superficie S cheessa attraversa, ovvero il flusso dell’energia attraverso la superficie

I =Φ

S. (53)

L’unità di misura è

[I] =[E ]

[t ][S]=

Wm2 (54)

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