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“ Giocare con la matematica”

Alunni: Buccoliero Giuseppe; Cioce Martina; Fasano Umberto;

Sossi Arianna; Taddeo Vincent; classe 4 sez. B, indirizzo Scientifi-

co Internazionale, Liceo Ginnasio Statale Aristosseno, Taranto

Referente: Prof.ssa Elena Stante

“Il gioco più bello del mon-

do. Assorbe più degli scacchi,

scommette più del poker, e

dura più di Monopoli. E’ gra-

tuita. E può essere giocata

ovunque – Archimede lo ha

fatto in una vasca da bagno”

(Richard J. Trudeau)

( Richard J. Trudeau )

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Le origini della matematica sono più antiche di quella della scrittura: basti

pensare che gli egizi ne facevano largo uso per calcolare l’espansione delle

terre dopo l’inondazione del Nilo. Sin dall’antichità la matematica per le

sue caratteristiche si è sempre prestata ad essere insegnata attraverso un

insolito metodo: il gioco. Anche i pitagorici si sono dilettati quando fonda-

rono la scuola pitagorica basata sulla matematica: rappresentando i nu-

meri con forme geometriche e relazioni bizzarre

come i numeri amicali o i numeri palindromici.

Scelsero come simbolo la stella a cinque punte.

(ottenuta dall’intreccio di tre triangoli inscritti in

un pentagono).

Alcuni dei più antichi esempi di matematica a scopo ludico sono i labirinti.

Si passa dal leggendario labirinto di Dedalo a Cnosso, sino a quelli tardo-

rinascimentali presenti in Inghilterra davanti a palazzi e chiese. Questi biz-

zarri labirinti, citati anche in alcune opere di Shakespeare, divennero pre-

sto di moda a scopo di intrattenere. Il più popolare fu progettato nel 1690,

per il palazzo di Hampton Court di Guglielmo d’Orange.

Dal punto di vista matematico, un

labirinto è un esempio di proble-

ma topografico.

Se si dispone della pianta è possi-

bile risolvere facilmente un labi-

rinto annerendo tutti i percorsi chiusi lasciando solo la via da seguire. Il

problema sorge quando ci si trova in un labirinto senza disporre della

pianta, come accadde per la regina Eleonora d’Inghilterra. Come compor-

tarsi in questi casi?

SOLUZIONE:

Esiste un procedimento matematico-meccanico (algoritmo di Trémaux),

che può risolvere tutti i labirinti. Percorrendo il labirinto si tracci una linea

lungo un lato del percorso,ad esempio il destro. Arrivando ad un punto di

unione di percorsi se ne scelga uno qualsiasi. Se giungendo a un terminale

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chiuso si incontra un incrocio già

segnato lo si ripercorre marcando-

lo dalla parte opposta (si sconsi-

glia di non percorrere vie segnate

in precedenza).

E’ fondamentale non prendere

mai un percorso segnato su ambo

le estremità. Ripetendo lo stesso

procedimento per ciascun incro-

cio, sul percorso l’algoritmo permette di arrivare all’uscita o di tornare

all’entrata. Tuttavia vi sono metodi alternativi come quello dell’Algoritmo

Random. Esso consiste nell’attuare scelte casuali sul percorso, ed in caso

di vicoli ciechi, tornare indietro. Il metodo garantisce ugualmente l’uscita

del labirinto, seppur non sempre questo percorso sarà il più veloce. Oppu-

re ,se non si ha voglia di riflettere troppo con certi enigmi, si può ricorrere

all’uso di un gomitolo, come fece Teseo nel celebre labirinto.

Non ci si può certo dimenticare di citare il gioco gli scacchi che, grazie alla

loro complessità strutturale, si presta bene a essere associato al mondo

della matematica. Sin dalla sua storia è evidente tale legame.

Il gioco, inventato da Sissa Nassir svariati secoli addietro per un desiderio

del re di Persia, consiste di una tavola quadrata composta di 64 caselle di

colori alternati bianco-neri, dove si trovano 32 pezzi, 16 per colore, con 6

tipologie (di personaggi) differenti. Ciò che rende magico questo gioco, è

l’affascinante numero di combinazioni di gioco possibili (compreso tra 1043

e 1050), poiché ogni personaggio può essere mosso secondo il suo proprio

principio.

Ad esempio, l’alfiere può

spostarsi solo in diagonale,

il pedone in avanti di una o

due caselle e così via. Tutto

ciò porta il numero delle

possibili partite ad una cifra

incredibilmente grande,

ovvero 1010^50.

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Curiosità

Quanto guadagnò Sissa Nassir per l’invenzione degli scacchi? Nulla, a parte

la pena di morte …

Infatti l’inventore persiano domandò al re un chicco di riso in ricompensa

per la prima casella, due per la seconda, 4 per la terza e così via … Ma poi-

ché le caselle erano 64, l’imperatore avrebbe dovuto ricompensarlo con

1,844 x 1019 chicchi di riso!!! Il numero dei chicchi di riso è dato dalla

somma dei primi 64 termini di una progressione geometrica di ragione 2.

Il sovrano sentitosi preso in giro, condannò Nassir a morte.

Il rapporto di questo celebre gioco con la matematica è evidente già dalla

scacchiera stessa: quando inseriamo un pezzo all’interno di uno dei suoi

spazi, esso viene definito da una coppia di coordinate, (facilmente omolo-

gabili)che possono corrispondere alle coordinate cartesiane della geome-

tria analitica.

Per di più, sono innumerevoli i giochi legati agli scacchi, risolvibili attraver-

so ragionamenti e procedimenti

matematici. Ne è un esempio il

celebre problema del “Percorso

del cavallo”.

L’enigma

In una scacchiera 8x8, quale per-

corso deve seguire la pedina del

cavallo per toccare tutte le celle

una sola volta?

Soluzione

Il numero esatto di possibili

percorsi “aperti” (in cui la ca-

sella iniziale non è adiacente a

quella finale), è ancora scono-

sciuto. Il caso di un percorso

Il grafo del cavallo mostra tutti i possibili cammini per un per-

corso del cavallo su una scacchiera standard 8x8. I numeri su

ogni nodo indicano il numero di possibili mosse che possono

essere fatte da quella posizione.

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“chiuso” è un esempio del più ampio “problema del cammino ha miltonia-

no” della teoria dei grafi, che definisce le proprietà necessarie di un grafo

(o di una scacchiera) affinché esso sia possibile.

Le partite stesse, inoltre, possono essere

regolate da calcoli matematici e algoritmi.

Tant’è vero che in numerosi esperimenti

sono state giocate da robot stessi, aventi

capacità di memorizzazione delle mosse più

avanzate degli esseri umani.

Già nel XIII secolo, tuttavia, il funzionario

ungherese dell’Impero asburgico Johann

Wolfgang Ritter von Kempelen aveva immaginato di poter giocare una

partita di scacchi contro un robot. Costruì, infatti, un automa chiamato “il

Turco”, in grado di battere i migliori scacchisti dell’epoca. Fu Edgar Allan

Poe a svelare, però, tale illusione: il Turco era in effetti manovrato all’in-

terno da una persona di statura piccola, disposta a stare in una posizione

scomoda per tanto tempo e naturalmente molto abile nel gioco degli

scacchi.

Anche l’antichissimo

gioco delle carte nelle

sue molteplici varianti

è soggetto alla mate-

matica. Cosa sono i

giochi di carte se non

pura probabilità in cui

oltre all’abilità umana è

importante la compo-

nente della fortuna?! Basti pensare ai trucchi di magia , ve ne sono alcuni

nei quali l’abilità del prestigiatore è cruciale altri invece che ” funzionano

da soli” . Molti trucchi di carte , prima noti come divinazione ,vedono alla

base principi matematici. Ne proponiamo uno molto originale che vi stupi-

rà ribattezzato come: il trucco del “ morto che parla”.

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Cosa fare?

Occorre solo un mazzo di carte e un amico disponibile a giocare, la mate-

matica penserà al resto

Il trucco…

Da un mazzo qualsiasi di carte chiedere al vostro amico di prendere un

numero a scelta di carte compreso tra 1 e 10 e di nascondere il mazzetto

in tasca senza comunicare il numero. Il vostro amico dovrà ora guardare

dal mazzo la carta che dista tante carte quante ne ha prese e ricordarla,

questa sarà la carta da individuare. A questo punto invitatelo a citare il

nome di una persona famosa deceduta che vi guiderà nel riconoscere la

carta. Mettiamo il caso che scelga Albert Einstein. Con molta enfasi invita-

telo a disporre una alla volta le carte dalla cima del mazzo sul tavolo

,pronunciando per ogni carta una lettera del nome, e mostrateli come fare

scandendo l’intero nome di Albert Einstein, lettera per lettera e posando

per ogni lettera una carta sul banco. Dopo aver fatto questa dimostrazione

,riponete le carte messe da voi sul tavolo sulla cima del mazzo (l’ordine

delle carte risulterà invertito). Prima che il vostro amico proceda, ditegli di

disporre il mazzetto che aveva nascosto e di cui non conoscete il numero

alla cima del mazzo. Nonostante l’aggiunta incognita ( sottolineate che voi

non conoscevate né il nome del personaggio né l’aggiunta di carte) , la

carta che alla fine rimarrà in cima sarà quella da trovare.

E la matematica…

Il funzionamento del trucco si rivela con un po’ di analisi… Sia x il numero

di carte nella tasca del vostro amico e dunque è x anche la posizione della

carta prescelta dalla cima del mazzo ( da cui sono state tolte già x carte).

Sia y il numero di lettere del nome scelto . Nella vostra dimostrazione su

come disporre le carte scandendo il nome invertirete automaticamente

l’ordine delle carte portando la carta da individuare ad una distanza y-x.

Aggiungendo il mazzetto di x carte dunque la nuova distanza sarà : y-

x+x=y. Il trucco è già fatto , basterà che il giocatore scarti y carte pronun-

ciando il nome e come per incanto sarete in possesso di poteri magici.

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NOTARE : dalla differenza emerge che perché il trucco funzioni y deve es-

sere maggiore di x (y-x˃0 ; y˃x ) , il nome scelto deve avere dunque neces-

sariamente più di 10 lettere , pena il fallimento del gioco.

Oltre ai trucchi, numerosi giochi di carte,come già detto, hanno fonda-

menta matematiche. Uno di questo è il poker. Ogni mano è infatti sogget-

ta a diverse percentuali d’uscita come si può vedere dalla seguente tabel-

la.

Si nota che una delle giocate più rare da ricevere è il full con solo lo 0,14%

percento di probabilità.

Il full è un punto formato da cinque carte, ottenibile quando si hanno tre

carte di uno stesso valore e le altre rimanenti due di un altro valore uguale

. In altre parole il full si ottiene quando si ha in mano contemporaneamen-

te una coppia e un tris, di valori diversi. Bè, in realtà proprio grazie al-

l’aiuto della matematica le

probabilità di ricevere un

full diventano del 100%.

Molte tecniche di baro ve-

dono infatti alla base pro-

prio la matematica. Usate

la tecnica solo con gli amici

per mostrare la vostra abilità e mai in una partita reale !! Vediamo dun-

que:

In cosa consiste?

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Tramite questa tecnica riuscirete a servire un full ad ogni vostro amico ga-

rantendovi però di ottenere quello più alto. In questo modo ogni giocatore

scommetterà credendo di avere una buona mano ( cioè un full) ma voi i-

nesorabilmente vincerete con quello più alto. Basta preparare un mazzo

da poker di 32 carte per quattro giocatori .

Analizziamo la tecnica…

Disponete le carte per semi in ordine crescente con la carta più bassa ver-

so il dorso , quindi partendo dal 7 di cuori ad esempio ( la carta più bassa

nei mazzi da 32 è il 7 ) si arriva all’asso di cuore e si procede cosi per i re-

stanti 3 semi. Il mazzo preparato può essere anche alzato ; ciò non altere-

rà l’ordine ciclico alla base del trucco. Infatti basterà distribuire le carte

come in una normale mano per servire a tutti un magnifico full, garanten-

dovi quello più alto. Non è eccessivamente difficile realizzare la manomis-

sione, basterà sviare l’attenzione con un pretesto qualsiasi e sostituire il

mazzo con quello preparato come spiegato prima. La consueta alzata fu-

gherà poi ogni sospetto.

E i suoi retroscena!

Per comprendere (a pieno) il meccanismo matematico nella distribuzione

supponiamo che dopo l’alzata la prima carta in cima al mazzo sia il 9 di fio-

ri. La distribuzione sarebbe quindi quella qui di seguito schematizzata :

Come possiamo vedere , per magia del calcolo combinatorio, il vostro full ,

9

in questo come in tutti gli altri casi, sarà quello più alto. Se avete qualcuno

alle vostre spalle gli si rizzeranno i capelli per la vostra “ sfacciata fortuna”.

Oltre i giochi di carte,durante la nostra cre-

scita , tutti siamo stati segnati da alcuni gio-

chi che anche da grandi non riusciamo ad

abbandonare. Tra questi , il Monopoly oc-

cupa il primo posto, soprattutto se si consi-

dera la versione Disney. L’unico problema è

che le partite a Monopoly risultano essere sempre troppo lunghe e stan-

canti. Siamo qui proprio per darvi qualche consiglio…

SERVE SOLO UN PO DI … MATEMATICA

Il 7 è il numero chiave Il dado è, insieme alle carte, l’unico elemento casu-

ale del gioco. Tuttavia, anche il caso si può addomesticare. Con due dadi

da sei, la probabilità di combinazione maggiore è che esca un 7, a seguire i

numeri vicino al 7 . Statisticamente, quindi, le proprietà che, partendo dal

via, si situano su una serie di giri fatti a multipli di 7 sono quelle su cui vi è

la maggiore probabilità di capitare. Prigione esclusa, le prime tre nel lungo

periodo, sono: Ratatouille, Fairies e Bullseye.

Spettacolo & Momenti magici (Imprevisti & probabilità)

Non c’è solo la regola del 7 a determinare il risultato di cui sopra. Fanno la

loro parte anche le carte Spettacolo & Momenti magici ( nella versione

classica imprevisti e probabilità), l’altro elemento casuale del gioco. So-

prattutto perché obbligano il giocatore a muoversi su determinati spazi

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del tabellone. In particolare, le caselle Spettacolo sono disposte scientifi-

camente nei punti dove minore è la possibilità di finirci sopra.

La prigione è la casella più importanteLa prigione non è solo un ele-

mento necessario, ma è anche il cuore del gioco stesso. No, non solo

perché fa perdere tanti turni (o tanti soldi). Soprattutto perché è il

posto dove è più facile capitare, statisticamente, anche a causa del

fatto che il 6,25% delle probabilità e

degli imprevisti portano in prigione.

Questa eventualità aumenta l’impor-

tanza di comprare case tra la casella

prigione e quella «vai in prigione senza

passare dal via». Banalmente perché la

combo cauzione-passaggio? su un ter-

reno di proprietà altrui può essere letale per l’avversario. Un consi-

glio? Le caselle arancioni.

Per cominciare, i mezzi di trasporto(le stazioni)Arriviamo al fulcro del

gioco: le rendite. Il trucco, come al solito, sta nel centrare quale sia

l’investimento che dà ritorni maggiori nel breve periodo. A Monopoly

Disney, sono i mezzi di trasporto. Costano poco, sono quattro e sono

tra i luoghi in cui è più facile capitare. Una buona rendita per capitaliz-

zare e passare agli investimenti successivi.

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Arancioni e rossi, l'investimento perfettoI quartieri col miglior rap-

porto qualità prezzo sono

quello arancione e quello

rosso: prezzo medio, posi-

zione buona, centralità nel

tabellone; meglio di così …

Tre case, subito Domanda successiva è chiedersi quanto e cosa co-

struire. Una casetta alla

volta? Un hotel? Fare

tre case e farle subito è

la strategia migliore. An-

cora meglio, ovviamente,

se sono sui terreni aran-

cioni o rossi.

La questione «High School Musical » ( Piazza della Vittoria)

Qualunque sia la strategia, alla

fine vi troverete in due, pieni di

soldi e terreni, entrambi deter-

minati a rimanere soli. Sarà a

quel punto che torna in gioco

High School Musical . Vince chi ci

costruisce un hotel, perde chi ci

finisce (capita) sopra.

Bene ora che sapete tutto ciò che c’è da sapere, fate il vostro gioco ,anche

se una domanda sorge spontanea :”Qualcuno è mai riuscito a terminare

una partita di Monopoly?” Per conoscere la risposta a questo interrogati-

vo che ha tenuto sulle spine la gente per secoli , passa da VIA e ritira 200$.

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Di certo i più piccoli preferiranno i giochi

come le costruzioni piuttosto che il poker o

Monopoly. Ebbene anche loro , giocando

con i LEGO ad esempio non possono fare a

meno di giocare con la matematica e in

particolare con forme quali parallelepipedi,

cilindri, cubi e quant’altro. Ma cosa sono

effettivamente i LEGO? Essi sono semplicemente piccole costruzioni crea-

te da Kristiansen nel 1932 dapprima in legno. Nello specifico, sono prodot-

ti con dimensioni dalla tolleranza infinitesimale poiché quando vengono

incastrati devono avere la giusta coesione e mantenerla: la massima tolle-

ranza consentita è infatti 2 millesimi di millimetro. Per non pensare poi al

lavoro di programmazione dietro alla singola progettazione di un lego ; vi

sono infatti rigorose equazioni dietro alla creazione di ogni singolo pezzo.

Anche noi nel nostro piccolo ci siamo divertiti a “ giocare con piccoli pezzi

di LEGO tramite l’ausilio di Geogebra, n software di matematica dinamica

per tutti i livelli educativi, che riunisce geometria, algebra, foglio di calcolo,

grafici, statistica e analisi matematica in un singolo pacchetto, semplice e

intuitivo..

Pensavate che fosse semplice costruire i

pezzi che consentono alle macchine LEGO

Rotazione degli ingranaggi sul

loro centro. Numero di denti va-

riabile.

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di muoversi ; ebbene dalla figura potete comprendere che la matematica

aiuta la vostra macchinina a essere la migliore : maggiore è il numero dei

denti maggiore è la velocità

Dunque la prossima volta che vi trovate di fronte ad una scatola di lego

guarderete sotto un’altra luce questo “giochino per bambini” !

Altro esempio della matematica che gio-

cosamente ci accompagna sin dal-l’infan-

zia sono i cartoni animati. Questi buffi

personaggi digitali restano nella memoria

collettiva, e spesso vengono amati fino

all’età adulta. Tuttavia molte parti anatomiche, per suscitare emozione e

trasmettere attraverso la mimica delle emozioni devono essere opportu-

namente modellate. Per fare questo non è possibile rappresentare i car-

toni animati come semplici sovrapposizioni di solidi (sfere, cubi parallele-

pipedi ). Basti pensare alla mano del vecchietto ripara- giocattoli in Toy

Story 2.

Come fare quindi?

SOLUZIONE

Molti studi di animazione tra cui la Pixar

hanno ideato delle innovative tecniche,

rigorosamente basate sulla matematica

al fine di “smussare” gli spigoli dei corpi.

Una di queste è la suddivisione, che con-

siste nel smussare gli spigoli di un poli-

gono di partenza, prendendone i punti

medi, ponendoli equidistanti dai vertici

e ripetendo quest’operazione fin quan-

do i punti non saranno sufficienti a de-

scrivere una curva. Questo metodo fu

progettato da Catmull e Clark apposi-

tamente per la Pixar. Tuttavia la suddi-

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visione restituisce immagini “statiche”, perciò sarà necessario animare i

vertici della figura per avere un’immagine dinamica. Per la stessa ragione

bisogna eseguire alcune trasformazioni dello spazio, quali: rotazione, tra-

slazione, dilatazione e contrazione. Inoltre questa tecnica è valida anche

per le superfici spaziali. La suddivisione è stata impiegata per il corpo del

vecchietto precedentemente citato, per il vestito e le mani di Merida in

“Ribelle” e per gli alieni in “Toy Story”.

Un’altra tecnica per smussare le superfici è quella delle CURVE DI BRE-

ZIER, nate negli anni sessanta, dalla penna

dell’omonimo ingegnere della Renault. Le

curve di Bezier consentono, dati n punti nel

piano, di rappresentare una curva “fluida”

di grado n-1, che approssimi la spezzata

per tali punti, e che passi dal primo e

dall’ultimo punto della stessa. Tale meto-

do è stato impiegato nei boschi del film Ribelle, ma anche per i fiocchi del-

le tempeste di neve nel film Frozen. Tuttavia, queste sono solo una piccole

dimostrazioni, infatti gli animatori digitali usano strumenti come l’algebra,

il calcolo differenziale ed il calcolo integrale quotidianamente per creare

nuovi mostriciattoli o principesse da favola!!!

Ancora più forte

è la matematica

nei videogiochi.

Tralasciando la

stessa program-

mazione di na-

tura matemati-

ca, senza la qua-

le queste mera-

viglie tecnologi-

che non potreb-

bero esistere; le stesse dinamiche interne dei giochi sono intrise di matemati-

ca. Per fare un esempio, nel videogioco “Pokemon”, ogni azione del giocatore

è regolata da complesse funzioni in più variabili. Basti pensare che la cattura

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di un Pokemon (animaletti presenti nel gioco) tiene conto di una funzione in

cui le variabili cambiano a seconda di parametri come la rarità del Pokemon,

la sua forza, la forza del giocatore e molte altre situazioni. Questo meccani-

smo permette di rendere il gioco sempre imprevedibile e allo stesso tempo di

dare la possibilità al giocatore di cercare tattiche per aumentare la probabilità

di successo. Anche negli spara-tutto, concetto così difficile da associare alla

matematica, l’apparizione dei nemici (spawn) è regolata da calcoli di probabi-

lità per una corretta distribuzione dei nemici. Dunque, inconsapevolmente

tutti giochiamo con la matematica che, al pari dell’aria che respiriamo ha una

funzione vitale seppur,alle volte, resti invisibile.

Smentiamo, pertanto, il popolare mito secondo cui la matematica è noio-

sa e difficile. Basta guardarci attorno per scoprire che grazie a lei che pos-

siamo divertirci in infiniti modi, di cui vi abbiamo mostrato solo alcuni e-

sempi. Se l’approccio tradizionale alla matematica non vi sembra allettan-

te, pensatela come uno strumento per giocare, per scoprire nuovi trucchi

e stupire i vostri amici!

Bibliografia

“ Enigmi e giochi matematici “ ( M. Gardner );

“Matemagica e giochi matematici” ( C. Sintini) ;

Matematica con i lego in http://www.giocagiomassa.it/matematica-con-i-lego ;

“ Scacchi” in https://it.wikipedia.org/wiki/Scacchi ;

dispensa in https://www.geogebra.org/ ;

http://www.linkiesta.it/-monopoli;dispensa

http://aulascienze.scuola.zanichelli.it/animazioni