Lezione 2 1
Impedenze ed Ammettenze 1/5
• V=Z I. Rappresentazione alternativa I=Y V• Z ed Y sono numeri complessi
Bipolo di impedenza
Z R j X= +↑
Resistenza Reattanza
1Y G j BZ
= = +
Conduttanza Suscettanza
↓
↑
↓
Lezione 2 2
Impedenze ed Ammettenze 2/5
• La resistenza e la reattanza di una impedenza si misurano in ohm
• La conduttanza e la suscettanza si misurano in siemens
• R, X, G, B dipendono dalla pulsazione dalla frequenza di lavoro
Lezione 2 3
Impedenze ed Ammettenze 3/5
• Relazioni fondamentali
2 2 2 2
1 1 ,Y G jBZ R
Rj
XG BX R X R X
== + = =+
= −+ +
→
2 2 2 2
1 1 ,Z R jXY G
Gj
BR XB G B G B
== + = =+
= −+ +
→
Errore gravissimo porre:
XB
RG 1,1
==
Lezione 2 4
Impedenze ed Ammettenze 4/5
• Casi particolari:
– Resistore R=R, X=0 , G=G , B=0
– Induttore R=0, X= L, G=0 , B=- 1/( L)
– Condensatore R=0, X=-1/( C) G=0 , B= Cω
ω ω
ω
Lezione 2 5
Impedenze ed Ammettenze 5/5
• Alcune definizioni:
– R=0 o G=0 (bipolo puramente reattivo)– X=0 o B=0 (bipolo puramente resistivo)– X>0 o B<0 (bipolo induttivo)– X<0 o B>0 (bipolo capacitivo)
Proprietà delle reti passive: 0 0R G≥ ≥
Lezione 2 7
Esempio 2/2• Rete in regime sinusoidale nel dominio dei
fasori 2ω =Impedenze:
Resistore di 1ohm
Condensatore di 1 farad
Resistore di 2 ohm
Induttore di 1 henry
Condensatore di 2 farad
1→ Ω1 1
2 1 2j
j→ = − Ω
×2→ Ω
1 12 2 4
jj
→ = − Ω×
2 1 2j j→ × = Ω
Fasore generatore:
cos(2t) 1→
Lezione 2 9
Descrizione metodo 1/2
• Rete di resistori: Reti nel dominio del tempo formati da generatori e resistori
• Rete di impedenza. Reti nel dominio dei fasori formati da generatori e bipoli di impedenza
Lezione 2 10
Descrizione metodo 2/2
• Tutti i metodi di calcolo sviluppati per le reti di resistori valgono per le reti di impedenza purchèsi sostituisca alla parola resistenza la parola impedenza ed alla parola conduttanza la parola ammettenza
Lezione 2 11
Serie e parallelo di impedenze
• Serie e parallelo di bipoli di impedenze
1 11||1 2 2
jj jj
= = ++
Lezione 2 16
( ) ( )( ) ( )0
2 || 1 1 1 11 2 || 1 1 3 3
j jV j j
j j j−
= ⋅ ⋅ = − ++ − −
( )( ) 1 11|| 2 ||12 6eZ j j j= − = −
RappresentazioneThevenin
⇒
Lezione 2 17
( )( ) 1 11|| 2 ||12 6eZ j j j= − = −
( ) ( )( ) ( )0
2 || 4 21 2 || 5 5
j j jA jj j j
−= ⋅ = − +
+ − −
Rappresentazione Norton
⇒
Lezione 2 18
Fasi del metodo
• Rappresentare la rete nel dominio deifasori
• Calcolare i fasori delle uscite con metodicircuitali
• Passare dai fasori alle grandezzesinusoidali istantanee
Lezione 2 21
Esempio 3/4• Fase 2: Calcolare V nel dominio dei fasori
– Usare partitore di tensione1 1|| 2 22 4
1 0.27 0.371 11 || 2 22 4
jj j
V jj
j j
+ +
= × = −
+ + +
Lezione 2 22
Esempio 4/4• Passare dai fasori alle grandezze istantanee
( ) ( )( ) ( )
2 2( ) Re Re 0.27 0.37
0.27 cos 2 0.37sin 2 0.458cos(2 53 ,88)
j t j t
o
v t V e j e
t t t
= = − = = + = −
53 ,880.450.27 0.37 8ojeV j −− == 2ω =
Lezione 2 24
• Il valore efficace non è la somma dei valori efficaci
• Il modulo della somma di due numeri complessi non è lasomma dei moduli
Attenzione
1 2 1 2| | | | | |F F F F F F= + ⇒ ≠ +
Lezione 2 25
Esempio 1/2
• VACe=30 V, VCBe=40 V . Calcolare VABe
Nota: Nel circuito il bipolo indicato con simbolo V indica è un volmetro. La corrente che lo percorre è nulla
2 2ABe CBe ACeV V V= +
Lezione 2 26
Esempio 2/2
• V= VAC+ VCB dove VAC e VCB sono in quadratura:
2 2 2 230 40 50ABe ACe CBeV V V V= + = + =
VVV CBeACe 704030 =+=+
Lezione 2 28
Esempi 2/2
• Parallelo di impedenze reattive
1 1 0 1 1 2 !j j
Yj j
= + =−
+ =−( )||Z j j⇒ = − =∞=
Lezione 2 29
Dipendenza dalle frequenze 1/2
• Parallelo di un resistore con un induttore
( )2
2 2
2
2 2
( ) 1|| 11 1 1
,1 1
jZ Z j j jj
R X
ω ω ωω ωω ω ω
ω ωω ω
= = × = = ++ + +
= =+ +
Lezione 2 30
Dipendenza dalle frequenze 2/2
• Alcuni valori:
– Se
– Se
1 / 0.5 , 0.5rad s R Xω= ⇒ = Ω = Ω1 , 1G S B S= = −
2 / 0.8 , 0.4rad s R Xω= ⇒ = Ω = Ω
1 , 0.5G S B S= = −
ωωω
ωω 1,1,
1,
1 22
2
−==+
=+
= BGXR
Lezione 2 31
Applicazione 1/5
• Calcolare v(t) a regime con il metodosimbolico
( ) ( )
( ) ( )
1
2
100cos 10001000
100sin 1000
e t t
e t tω
=
=
= −
Lezione 2 32
Applicazione 2/5
• Fase 1:
– Fasori associati ai generatori
( )( )
1 1
2 2
( ) 100cos 1000 100,
( ) 100sin 1000 100( ) 100
e t t E
e t t E j j
= ⇒ =
= − ⇒ = − − =
1000ω =
Lezione 2 33
Applicazione 3/5
• Fase 1:
– Impedenze associate ai bipoli3
6
10 10, 10 10 1000 10 10150 20
50 1000 10
mH j j
F jj
µ
−
−
Ω⇒ ⇒ × × =
⇒ =−× ×
Lezione 2 34
Applicazione 4/5
• Fase 2: rete nel dominio dei fasori
100 10010 20 10 2001 110 20 10
jj jV j
j j
+−= =
+−
Millman
1
2
100100
EE j==
Lezione 2 35
Applicazione 5/5
• Fase 3: passaggio dai fasori allegrandezze istantanee
( )1000( ) Re[ ] 200sin 1000 [ ]j tv t V e t V= = −
200V j=1000ω =
Lezione 2 37
Amplificatori operazionali
• Gli amplificatori operazionali hanno neldominio dei fasori le stesse relazioni costitutiveche si hanno nel dominio del tempo. Mantengonoquindi lo stesso simbolo
Dominio del tempo:( ) 0, ( ) 0( ) ( ) 0
i t i tv t v t− +
− +
= =− =
Dominio dei fasori: 0, 00
I IV V− +
− +
= =− =
Lezione 2 38
Trasformatori ideali
• I trasformatori ideali hanno nel dominio deifasori le stesse relazioni costitutive che si hannonel dominio del tempo. Mantengono quindi lo stesso simbolo
Dominio del tempo:1 2
1 2
( ) ( )( ) ( )
v t k v tk i t i t
==−
Dominio dei fasori: 1 2
1 2
V kVkI I==−
21
11 21
Lezione 2 39
Esempio con amplificatore 1/5
• Calcolo di rete con amplificatoreoperazionale
Rete nel dominio del tempo
( ) 100cos(5 )e t t=
5ω =
uv ( ) ?t =d
00
v 0
ii−
+
===
A REGIME
Lezione 2 40
Esempio con amplificatore 2/5
• Fasori associati ai generatori
( )( ) 100cos 5 100e t t E= → =
• Impedenze in gioco5ω =
1 1,1 5 1 5, 2 5 2 10H j j H j jΩ→ → × = → × =
Lezione 2 42
Esempio con amplificatore 4/5
• Calcolo della rete nel dominio dei fasori:– Imporre con Millman l’annullarsi della tensione
differenziale1000 0 196.15 19.24
1 5 1 10u
d uVV V j
j j= ⇒ + = ⇒ = − −
+ +
5ω =
Lezione 2 43
Esempio con amplificatore 5/5
( ) ( )5( ) Re 196.15cos 5 19.24sin 5j tu uv t V e t t = = − +
• Passare dai fasori alle grandezzeistantanee
Lezione 2 44
Esempio con trasformatore 1/4
• Calcolo di rete con trasformatore ideale
Rete nel dominio del tempo. Calcolare i(t) a
regime
Lezione 2 45
Esempio con trasformatore 2/3
( )2ω =
( )cos 2 1t →11 0.52 1
F jj
→ = −⋅
1 1, 1 2 1 2H j jΩ→ → ⋅ =
1 11 2I I I IK
= ⇒ =
Rete nel dominio dei fasori
Circuito equivalente
Lezione 2 46
Esempio con trasformatore 3/4• Calcolo uscita mediante l’impedenza
totale ed un partitore di corrente
( ) ( )( )
1
0.512 2 0.104 0.0551 0.5 || 8 0.5 8
jI I j
j j j j−
= = = − −+ − − +
⇑corrente totale
⇑fattore di partizione
Lezione 2 47
Esempio con trasformatore 4/4
( ) [ ]( ) 0.118cos 2 151 .9oi t t A= −
0.118 151 .9oI I= ⟨ = −
Modulo e fase della uscita
Uscita istantanea
12 0.104 0.055I I j= = − −
Lezione 2 48
Presenza di generatori pilotati1/5
• Nel dominio dei fasori, le relazionicostitutive dei generatori pilotati siottengono a partire da quelle che si hannonel dominio del tempo e mantengono lo stesso simbolo.
• Esempio:
ˆˆ( ) 5 ( ) 5e t v t E V= ⇒ =
Lezione 2 49
Presenza di generatori pilotati2/5
• Calcolo di rete con generatore pilotato– Ingresso ed uscita: ( ) 10sin( ). ( ) ?a a t t v t= = =
dominio del tempo⇐
dominio dei fasori⇐
Lezione 2 50
Presenza di generatori pilotati3/5
• Calcolo dell’uscita V e del pilota V2 con Millman
2 2
2
2 2101 0.5 1 0.5
1 1 1 11 0.5 1 0.5
V VVjj jV V
j j j
− − −− −= =
+ +− − −
Lezione 2 51
Presenza di generatori pilotati4/5
( ) 5.06cos( ) 4.24sin( )v t t t= − +
• Calcolo dell’uscita V con la soluzione del sistema: 5.06 4.24V j= − −
• Uscita v(t) nel dominio del tempo: