lezione 1 1

lezione 1 2

Scopi del corso

• Lo studente saprà analizzare circuiti elettrici dinamici per determinare il loro comportamento nel dominio del tempo e per ricavare le proprietà essenziali nel dominio della frequenza, sia in regime sinusoidale, sia in regime generico

lezione 1 3

Contenuti del corso• Il corso si articolerà nelle Unità:

– Reti in regime sinusoidale

– Reti nel dominio del tempo

– Reti nel dominio delle frequenze

– Funzioni di Trasferimento

– Doppi bipoli

lezione 1 4

lezione 1 5

Cosa c’è nell’unità 1

• In questa sezione si affronteranno:

– Introduzione alle reti in regime sinusoidale

– Funzioni sinusoidali e Fasori

– Calcolo simbolico

– Potenze in regime sinusoidale

lezione 1 6

Reti in regime sinusoidale

lezione 1 7

Introduzione alle reti in regime sinusoidale

lezione 1 8

Campo di applicazione

( ) ( ) ( )t pv t v t v t= +

( ) ( ) ( )t pi t i t i t= +

↑

↓transitorio regime

↑

↓

lezione 1 9

Proprietà fondamentale• Se la rete è passiva con ingressi sinusoidali:

• Risulta un regime sinusoidale:

( )( ) cos ,me t E tω ϕ= +

( )( ) cosp m vv t V tω ϕ= + ( )( ) cosp m ii t I tω ϕ= +

lezione 1 10

Reti in regime sinusoidale

lezione 1 11

Funzioni sinusoidali e fasori

lezione 1 12

Forma “standard” 1/2

( ) cos( )mf t F tω ϕ= +

valor max pulsazione fase↑

funzione sinusoidale istante di osservazione

↓

↑

↓

↑

lezione 1 13

Forma “standard” 2/2

2m

eFF =

f2ωπ

= Frequenza (Hz)

Valore Efficace

0mF ≥π ϕ π− < ≤ +

lezione 1 14

Misura dei parametri

• Volmetro: misura valori efficaci tensioni

• Amperometro: misura valori efficacicorrenti

• Frequenzimetro: misura frequenze

lezione 1 15

Funzioni sinusoidali: Importanza

• La distribuzione di energia elettrica è in alternata– f= 50 Hz (in Europa), f= 60 Hz (negli Stati

Uniti)

• Ogni segnale può essere decomposto come somma di funzioni sinusoidali (Integrale di Fourier)

lezione 1 16

Proprietà 1/2

• L’insieme delle funzioni sinusoidali isofrequenziali è chiuso:

1 1 2 2( ) cos( ) cos( ) .....cos( )

m m

m

f t F t F tF t

ω ϕ ω ϕω ϕ

= + + + + == +

lezione 1 17

Proprietà 2/2

• La derivata di una funzione sinusoidale è sinusoidale ed isofrequenziale:

( )( ) sin( )

cos( ) cos( )2

m

m m g

df tg t F tdt

F t G t

ω ω ϕ

πω ω ϕ ω ϕ

= = − + =

= + + = +

mm FG ω=o

g 90+=ϕϕ

lezione 1 18

Esercizio 1/2

( ) cos(2 ) sin(2 ) cos(2 )m mf t t t F t ϕ= + = +?

?

m

mFϕϕ =

cos(2 ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( )m m m m m mF t F t F tϕ ϕ ϕ+ = −

⇓cos( ) 1sin( ) 1

m

m

FF

ϕϕ

= = −

lezione 1 19

Esercizio 2/2

cos( ) 1 22sin( ) 1 tan( ) 1 45 , 135

m mmo o

m

F FFF

ϕϕ ϕ ϕ

= = = → → = − = − = −

135oϕ = non è compatibile con cos( ) 1mF ϕ =

↑No!

lezione 1 20

Funzioni sinusoidali e fasori

lezione 1 21

Richiami numeri complessi 1/4

' " | | [cos( ) sin( )] | | j FF F j F F F j F F e ⟨= + = ⟨ + ⟨ =

parte reale parte immaginaria fase modulo

↑

rappres. cartesiana rappres. trigonometrica rappres. esponenziale

↓

ππ ≤⟨<− F 0|| ≥F

↓ ↓

↓ ↓

↑ ↑ ↑

lezione 1 22

Richiami numeri complessi 2/4' Re[ ], " Im[ ]F F F F= =

2 2 *| | ' "F F F FF= + =

* ' "F F jF= −

"tan( )'

FFF

⟨ =

lezione 1 23

Richiami numeri complessi 3/4

• Esempi: 3 2, 1F j G j= − = +

41.1211||

,61.31323||22

22

==+=

==+=

G

F

oo GF 4511arctan69,33

32arctan =

=⟨−=

−=⟨

↑quarto quadrante primo quadrante

↑

lezione 1 24

jGjF −=+= 1,23 **

Richiami numeri complessi 4/4

• Esempi

( )( ) jjjjjGF +=+−+=+−= 52233123

( )( )( )( ) 2

521

251

11123

123

*

*

jjjjjj

GGGF

jj

GF

−=−

=−+−−

==+−

=

3 2, 1F j G j= − = +

lezione 1 25

Utilizzazione numeri complessi1/2

• Rappresentazione di funzioni sinusoidalicon fasori:

( ) cos( ) jm mf t F t F e Fϕω ϕ= + ⇒ =

| | j FF F e ⟨ ↵=fase

↑modulo

| | mF F F ϕ= ⟨ =

fasore↑

lezione 1 26

Utilizzazione numeri complessi 2/2• Formula importante di inversione

( )( )

( ) cos( ) Re[ ]

Re[ ]Re[ ' " cos sin ]

'cos "sinQuindi:

( ) Re[ ]cos Im[ ]sin

j tm

j t

f t F t FeFe

F jF t j tF t F t

f t F t F t

ω

ω

ω ϕ

ω ωω ω

ω ω

= + =

=

= + + =

= −

= −

lezione 1 27

Esempi 1/2

• Trasformazione funzioni sinusoidali - fasori

90( ) sin( ) cos( 90 ) 1oo jf t t t F e jω ω −= = − ⇒ = = −

135( ) 3cos( 45 ) 3cos( 135 ) 3oo jof t t t F eω ω −= − + = − ⇒ =

lezione 1 28

Esempi 2/2

• Trasformazione fasore- funzionesinusoidale

56 6 52 2 ( ) 2cos( )

6j j

F e e f t tπ π πω

− ↵= − = ⇒ = −

oppure:

6( ) Re[ 2 ] 2cos( )6

j j tf t e e tπ

ω πω= − = − +

| |F

F⟨

↑

lezione 1 29

Proprietà dei fasori 1/5• Linearità

– Esempio

1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ........ .....f t c f t c f t F c F c F= + + ⇒ = + +

( ) 2sin( ) cos( 30 ) cos( )of t t t tω ω ω= + + −

( ) 0302 1 0.134 1.5jF j e j= − + − = − −!

lezione 1 30

Proprietà dei fasori 2/5• Derivazione:

– Esempio

( ) ( )dg t f t G j Fdt

d jdt

ω

ω

= ⇒ =

⇒

( )3

3( ) 2sin(3 ) 4 cos(3 30 ) 3odf t t tdt

ω= − − =

( ) ( )3 302( ) 4 3 54 54 3 2 54 91.53ojF j j e j j−= − − = + − = +

!

lezione 1 31

Proprietà dei fasori 3/5

• Impossibilità definizione fasori:

( ) 2cos(3 ) 2sin( )f t t t= −

!

F non esiste! cos(3 ) sin( )t e t non isofrequenziali

lezione 1 32

Proprietà dei fasori 4/5• Calcolo veloce con fasori

– Esempio

( ) ( ) ( )( ) cos sin co ?, ?s mmf t t t FF tω ω ω ϕ ϕ= + = +

↓

41 2 2,4

j

mF j e Fπ πϕ

−= − = ⇒ = = −

F 1 j−↓ ↓

lezione 1 33

Proprietà dei fasori 5/5

• Calcolo veloce con fasori

– Esempio

( )10

10( ) sin 2 cos 24 m

df t t F tdt

π ϕ = + = +

310 4 4 3( 2) ( ) 1024 1024,

4j j

mF j j e e Fπ π πϕ= − = ⇒ = =

↓

lezione 1 34

Relazioni di fase 1/2

F1, F2 in fase

F1, F2 in opposizione

F1, F2 in quadratura

F1 in anticipo

F2 in ritardo

lezione 1 35

• Osservazione (F1 e F2 non in fase):

– Attenzione!:

Relazioni di fase 2/2

1 2 1 2| | | | | |F F F F F F= + ⇒ ≠ +

1 2e e eF F F≠ +

lezione 1 36

Reti in regime sinusoidale

lezione 1 37

Calcolo simbolico

lezione 1 38

Rete nel dominio del tempo

( ) ( )( ) ( )

0cos 2

cos 2m

m

v t V t V

i t I t I

ϕ

ϕ

= + →

= + →

A regime

• Idea fondamentale: introdurre i fasoricome incognite

lezione 1 39

Calcolo simbolico

lezione 1 40

• I versi sono relativi alle grandezzeistantanee v(t) ed i(t) rappresentate daifasori V ed I

Rete nel dominio dei fasori

lezione 1 41

Leggi di Kirchhoff 1/2

1 2 3

1 2 3

( ) ( ) ( ) 0

'0

i t i t i tlinearita

I I I

+ + =

↓+ + =

Dominio tempo Dominio fasori

• Legge di Kirchhoff sulle correnti

lezione 1 42

Leggi di Kirchhoff 2/2

• Legge di Kirchhoff sulle tensioni

1 2 3

1 2 3

( ) ( ) ( ) 0

linearita '0

v t v t v t

V V V

+ + =

↓+ + =

Dominio tempo Dominio fasori

lezione 1 43

Impedenza

• Concetto fondamentale

simbolo (convenzione utilizzatori)

equazione costitutiva:

V Z I=

⇐

⇑impedenza

⇓

lezione 1 44

Impedenza di un resistore 1/2

v(t)=R i(t) dominio tempo

V=R I dominio fasore

Z=R

lezione 1 45

Impedenza di un resistore 2/2

Oppure

• Simbologia usata nel dominio dei fasori

lezione 1 46

Impedenza di un induttore 1/2

( )

( )

( ) ( )dv t L i t V L j I Z Idt

V Z I Z j L

ω

ω

= → = =

= =

lezione 1 47

Impedenza di un induttore 2/2

oppure

• Simbologia usata nel dominio dei fasori

lezione 1 48

Impedenza di un condensatore1/2

−===

==→=

Cj

CjZIZV

IZICj

VtvdtdCti

ωω

ω

11

1)()(

lezione 1 49

Impedenza di un condensatore

oppure

• Simbologia usata nel dominio dei fasori

o