indice Il termine L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori Elettroscopio. Segno delle cariche Elettrizzazione per induzione Elettrizzazione per contatto Elettrizzazione per strofinio Elettroforo di Volta Pozzo Beccaria-Faraday Il coulomb Conservazione della carica elettrica Campo Elettrico E Linee di campo Polarizzazione dei dielettrici Visualizzazione linee di forza Legge di Coulomb in un dielettrico Legge di Coulomb Flusso di un campo vettoriale Flusso di E. Teorema di Gauss E di una superficie piana uniformemente carica E di due superfici piane uniformemente cariche E di una sfera uniformemente carica Lavoro di E costante e uniforme Lavoro della forza elettrostatica Lavoro di E costante e radiale Conservatività di E. Energia potenziale U U di E costante e uniforme Potenziale elettrico V Superfici equipotenziali Linee di forza e superfici equipotenziali U di E costante e radiale Circuitazione di un campo vettoriale Circuitazione di E Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico Elettrostatica di Antonio Covello
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indice Il termine
L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori
Elettroscopio. Segno delle cariche
Elettrizzazione per induzione
Elettrizzazione per contatto
Elettrizzazione per strofinio
Elettroforo di Volta Pozzo Beccaria-Faraday
Il coulomb
Conservazione della carica elettrica
Campo Elettrico E
Linee di campo
Polarizzazione dei dielettrici
Visualizzazione linee di forza
Legge di Coulomb in un dielettrico
Legge di Coulomb
Flusso di un campo vettoriale
Flusso di E. Teorema di Gauss
E di una superficie piana uniformemente carica
E di due superfici piane uniformemente cariche
E di una sfera uniformemente carica
Lavoro di E costante e uniforme
Lavoro della forza elettrostatica
Lavoro di E costante e radiale
Conservatività di E. Energia potenziale U
U di E costante e uniforme
Potenziale elettrico V
Superfici equipotenziali
Linee di forza e superfici equipotenziali
U di E costante e radiale
Circuitazione di un campo vettoriale
Circuitazione di E
Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico
Elettrostatica di Antonio Covello
Si spiegano così lo scorrere delle acque, la caduta dei fulmini, e la meravigliosa forza d'attrazione dell’ambra e della calamita:
in nessuno di tutti questi oggetti vi è la forza attraente, ma poiché il vuoto non c’è, questi corpi si respingono in giro l'uno
con l'altro, e separandosi e congiungendosi, cambiano di posto, e vanno ciascuno nella propria sede. Dall’intrecciarsi di queste influenze reciproche si sono operati tutti quei prodigi, come
sembrerà a chi sappia indagare bene. Platone: Timeo XXXVII c
AMBRA = ÉLEKTRON
1-2 Il termine
L’ambra è una resina fossile (prodotta in diverse epoche geologiche da 130 a 8 milioni di anni fa da vari tipi di piante: pini, larici, abeti, sequoie)
STROFINANDOLA acquista la proprietà di
ATTRARRE piccoli corpi molto leggeri
2-2 Il termine
Ogni atomo è formato da un
dotato di carica positiva, e dagli
carichi negativamente, che gli “ruotano” attorno ELETTRONI
NUCLEO
-
- -
-
3-7 L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori
Normalmente in un atomo la carica
positiva del nucleo e quella negativa degli elettroni risultano esattamente
uguali e contrarie.
l’atomo tende ad essere elettricamente neutro
Ovvero:
4-7 L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori
Se un atomo acquista elettroni diventa
carico negativamente
- -
-
-
-
5-7 L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori
Se un atomo perde elettroni diventa
carico positivamente
- -
-
6-7 L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori
i corpi si distinguono in ISOLANTI
CONDUTTORI
gomma, plexigas, legno, vetro, porcellana, ecc.
argento, rame, oro, alluminio, ferro, il nostro corpo, ecc.
Tutte le cariche in posizioni “fisse”
Sono presenti cariche libere di muoversi lungo tutto il corpo
7-7 L’elettrizzazione. Isolanti e conduttori
Come si può scoprire se un corpo è elettrizzato?
1-7
Per sapere se un corpo è elettrizzato si ricorre allo
ELETTROSCOPIO Strumento messo a punto da Volta nella seconda metà del ‘700
Elettroscopio a pendolino (introdotto da Faraday)
Elettroscopi utilizzati da Volta
2-7 Come si può scoprire se un corpo è elettrizzato?
Induzione elettrostatica: ridistribuzione della carica, in un conduttore neutro,
causata dalla presenza di un corpo carico. Il conduttore rimane neutro
2-8
Nel sistema internazionale l’unità di misura della carica elettrica è il coulomb: C.
La carica più piccola osservata è la carica dell’elettrone la quale costituisce, quindi, la carica elementare: e = 1,6022•10-19 C.
1-1 Il coulomb
In un sistema isolato la somma algebrica delle cariche elettriche rimane costante nel tempo
Importante principio dovuto a Franklin
1-1 La cariche elettriche si conservano
Charles-Augustin de Coulomb (1736 - 1806)
1-5 Coulomb e la bilancia a torsione
Inoltre: cariche di stesso segno si respingono: forza repulsiva (verso l’esterno), cariche di segno opposto si attraggono: forza attrattiva (verso l’interno).
Si osserva che l’interazione tra due cariche elettriche avviene lungo la retta che congiunge le due cariche puntiformi.
Legge di Coulomb 2-5
Nel vuoto, la forza elettrica tra due cariche puntiformi è: direttamente proporzionale al prodotto delle cariche (ovvero a ciascuna carica)
2+ -
+ 3-
- 0.5+
+ -
2- 2+
F F
F/2 F/2
4F 4F
2F 2F
3F 3F
Legge di Coulomb 3-5
Nel vuoto, la forza elettrica tra due cariche puntiformi è: direttamente proporzionale al prodotto delle cariche (ovvero a ciascuna carica)
e inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra le cariche
+ - R
F F
+ - 2R
F/4 F/4
F/9 + -
3R
F/9
Legge di Coulomb 3-5
L’effetto totale di una forza elettrica, generata da un sistema di cariche e agente su una carica elettrica q, è pari alla somma vettoriale delle singole forze che agirebbero su q se ogni singola carica agisse da sola.
Principio di sovrapposizione
+
2+
Legge di Coulomb
+q
4-5
Legge di Coulomb Come si unifica tutto ciò?
F
= 1
4!ε0
Q1Q2
r2
R
21
R21
Q1 Q2 R21
k0 =
14!ε0
ε0 = 8,854 ⋅10-12 C2
N ⋅m2
5-5
Il campo elettrico
E
= F
q
E =
Fq=
14!ε0
QR2
È il rapporto tra la forza che si sviluppa tra la carica generatrice e una carica esploratrice (piccola e positiva) posta nel punto P e il valore di quest’ultima carica.
1-1
Le linee del campo elettrico
Sono prese uscenti dalle cariche positive ed entranti in quelle negative (è una scelta convenzionale).
L’intensità del campo elettrico è diretta-mente proporzionale al numero di linee che attraversano una superficie unitaria. (Criterio di Faraday)
Il vettore è tangente alle linee di forza in ogni loro punto. E
Sono orientate come . E
Ad almeno uno dei due estremi c’è sem-pre una carica, possono essere di lunghez-za infinita (finita solo se sono fra due ca-riche).
Non si possono intersecare.
Più intenso Meno intenso
1-6
Rappresentazione schematica della dipendenza dal quadrato della distanza
Ad es., ad una distanza R, 4 linee di forza attraversano una superficie di area S, a 2R ne passa una per una superficie di estensione pari ad S, 4 attraverso una superficie 4 volte più estesa di S. (La superficie a distanza R è parallela a quelle posta a distanza 2R).
R 2R
r
2-6
Polarizzazione dei dielettrici
E = O
Polarizzazione:
ridistribuzione della carica, in un isolante neutro, causata dalla presenza di un corpo carico.
Il dielettrico rimane neutro
E≠O E=O
1-1
La legge di Coulomb in un dielettrico
F
= 1
4!ε0
Q1Q2
R2
R
21
R21
Q1 Q2 R21
k0 =
14!ε0
ε0 = 8,854 ⋅10-12 C2
N ⋅m2
Nella materia isolante si deve tener conto della polarizzazione del dielettrico il quale, fungendo da schermo, affievolisce l’effetto dell’interazione elettrica fra le cariche Q1 e Q2, pertanto va introdotta la costante dielettrica assoluta: ε = ε0
εr ; εr è detta costante dielettrica relativa ed è un numero puro maggiore di 1.
; ;
1-1
S
α v
ФS( v ) = v· S = v· S n = vScosα
S = S n
Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie
^
^ La superficie in grigio è pari a Scosα ed è la superficie che “va considerata” ai fini del flusso.
N. B.: il flusso è una grandezza fisica scalare. n: è un vettore di modulo 1 detto versore: dà solo direzione e verso. ^
1-2
Flusso del campo elettrostatico:
Legge di Gauss o prima equazione di Maxwell (nel vuoto ε0 , in un altro dielettrico ε=ε0εr )
Φs E( ) = E
⋅S
Φs E( ) =
Σqε0
Il flusso del campo elettrico uscente da una superficie chiusa S è pari alla som-ma algebrica (il simbolo Σ indica la somma) delle cariche contenute all’interno della su-perficie stessa diviso la costante dielettrica.
Questa equazione reca in sé sia il principio di conservazione della carica sia la condizione secondo cui le linee di forza debbono iniziare e terminare su cari-che elettriche.
Quando si dice superficie chiusa si deve intendere una superficie tridimensionale che divide lo spazio fra un dentro ed un fuori. Una superficie bidimensionale lo spazio lo divide, ad es., fra destra e sinistra.
La formula di Gauss è applicabile a qualsiasi campo vettoriale. Applicata al campo elettrico costituisce la prima e-quazione di Maxwell.
1-3
Φs E( ) =
qε0
R
Il flusso del campo elettrico non dipende dalla superficie dentro cui è posizionata la carica.
2-3
Φs E( ) = 0
Se la carica è esterna ad una superficie, il flusso del campo elettrico uscente da essa è nullo: tante linee di forza entrano nella superficie, tante ne escono.
3-3
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
Campo elettrico di una superficie piana uniformemente carica
è la densità superficiale di carica
1-2
σ =
QΔS
E =
σ2ε
E =σ2ε
- - - - - - - - - - - - - - - -
Campo elettrico di una superficie piana uniformemente carica 2-2
E =
σ2ε
E =σ2ε
- - - - - - - - - - - - - - - + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
-
E = O E = O
- - - - - - - - - - - - - - - + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
-
Campo elettrico generato da due superficie piane uniformemente cariche e parallele
Il campo è uniforme e costante
Si annullano perché le linee di forza sono uguali ed opposte
Si annullano perché le linee di forza sono uguali
ed opposte
1-1
E =
σ2ε
E =σ2ε
E =
σε
R
R r
E =14πε
Qtot
R3⋅ r
L’unica variabile è la distanza dal centro della sfera: r
Campo elettrico generato da una sfera uniformemente carica
E
Dentro la sfera: r ≤ R E =
14!ε
Qtot
r2
All’esterno della sfera: r > R
1-1
W
da A a B( ) =F ⋅ ΔS = F ΔS cosαIl lavoro di una forza è definito:
Per il campo di forze elettrostatico:
Lavoro della forza elettrostatica
α A
B
E
Se il percorso da A a B fosse curvilineo, lo si potrebbe pensare suddiviso in tanti segmenti e poi sommare tutti i prodotti scalari fra i vari segmenti e il valore di E in quel tratto:
W
da A a B( ) = qEi ⋅ Δ
Si∑ = qEi ΔSi cosα i∑
ΔSi
A
B E
αi
q è una carica di prova che, salvo diversa indicazione, considereremo qui, e nel seguito, sempre positiva.
q
1-2
E
Il lavoro di E è: WΓ
E( ) = q
Ei ⋅ Δ
Si∑ = qEi ΔSi cosα i∑
Lavoro della forza elettrostatica
Il percorso lungo cui si calcola il lavoro può anche essere chiuso. Chiamiamo Γ la curva, scegliamo un verso di percorrenza e la consi-deriamo composta da tanti segmenti. Il lavoro del campo elettrico sarà dato dalla somma dei lavori da esso compiuti lungo i vari tratti con i quali il percorso è stato suddiviso:
Γ ΔSi
Nel caso del percorso rappresentato, il lavoro ha sempre lo stesso segno? Vi sono dei tratti in cui è positivo o negativo o nullo?
ΔSj
2-2
Lavoro di un campo elettrostatico costante e uniforme
WΓ( E ) = WAB + WBC + WCA = 0
Calcoliamo il lavoro di E per un campo costante ed uniforme lungo il percorso CHIUSO - Γ - rappresentato
Costante: non varia nel tempo (caratteristica temporale) le frecce rosse non cambiano nel tempo.
Uniforme: non dipende dalla posizione (caratteristica spaziale) le frecce rosse non dipendono dalla posizione.
E A
B
C
Γ α
WBC = qE BC cos90° = 0
WBC = qE CA cos180° = – qEAC
α è l’angolo formato fra il
vettore spostamento e il vettore E.
1-3
Γ
α
Γ Γ
Lavoro di un campo elettrostatico uniforme
Dovrebbe essere chiaro che il perimetro (il percorso) di una figura piana (anche cur-va) possa essere considerato costituito da almeno un lato di un numero opportuno di triangoli dalle opportune dimensioni.
2-3
α
Lavoro di un campo elettrostatico uniforme Allora, per ogni percorso chiuso:
WΓ ( E ) = 0
Γ Γ
Γ
3-3
Il valore nullo del lavoro, lungo ogni percorso chiuso, si potrebbe generalizzare per ogni genere di campo elettrostatico.
Dire che il lavoro del campo elettrostatico, nello spostamento di una carica di prova lungo un qualunque percorso chiuso, è nullo è analo-go a dire che il lavoro compiuto dal campo elettrostatico per sposta-re una carica di prova da un punto A ad un altro B non dipende dal percorso per andare da A a B, ma solo dalle posizioni A e B.
Energia potenziale del campo elettrostatico
WΓ = 0
WΓ = Wα (da A a B) + Wβ (da B ad A) = 0
Wα (da A a B) = – Wβ (da B ad A)
Wα (da A a B) = + Wβ (da A a B)
Infatti:
A
B α
β
Γ
Cambia il segno, ma anche il senso di percorrenza. Sono analoghe
1-3
Energia potenziale del campo elettrostatico
Il verificarsi di siffatta proprietà indica che il campo è conservativo. Ciò comporta la possibilità di definire una funzione, detta energia potenziale, la quale è una funzione scalare dello spazio (dipende so-lamente dalla posizione) e rappresenta la capacità di compiere lavo-ro legata alla posizione che la carica di prova occupa all’interno del campo elettrostatico.
Il valore nullo del lavoro, lungo ogni percorso chiuso, si potrebbe generalizzare per ogni genere di campo elettrostatico.
Dire che il lavoro del campo elettrostatico, nello spostamento di una carica di prova lungo un qualunque percorso chiuso, è nullo è analo-go a dire che il lavoro compiuto dal campo elettrostatico per sposta-re una carica di prova da un punto A ad un altro B non dipende dal percorso per andare da A a B, ma solo dalle posizioni A e B. Se il lavoro dipendesse dalla traiettoria, potremmo scegliere il percorso in cui il lavoro è minimo per andare da A a B e ritornare da B ad A percorrendo la traiettoria in cui il lavoro è massimo. Siccome il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica lungo il percorso da B ad A si trasforma in energia cinetica della q, vi sarebbe un guadagno di energia nel viaggio di ritorno rispetto a quello di andata: si potrebbe così ottenere una sorgente perpetua di energia!
2-3
Energia potenziale del campo elettrostatico
L’espressione analitica di U, ovviamente, dipende dal particolare campo elettrico con-siderato.
A
B α
W
da A a B( ) = UA − UB = − UB − UA( ) = −ΔUU è chiamata energia potenziale della carica q. L’unità di misura di U è il joule, J. Convenzionalmente si può attribuire a UB il valore zero. In tal mo-do, l’energia potenziale di q nel punto A ( UA ) rappresenterebbe il lavoro compiuto dalla forza del campo per portare la carica q da A al punto B scelto come livello di riferimento dell’energia potenziale.
Quanto detto vuol dire che il lavoro compiu-to da E, per spostare una carica q da A a B, è pari a:
È bene ribadire: l’energia potenziale è un’energia associata ad una carica di prova q immersa in un campo elettrico.
3-3
Prendendo come riferimento zero l’energia di una q posta sulla lastra negativa, si potrebbe dimostra-re che per un campo uniforme e costante l’espres-sione analitica di U è:
U(x) = qExq
in cui xq è la distanza di q dal piano negativo.
Energia potenziale di un campo elettrostatico costante e uniforme
- - -
- - -
- - -
- - -
- - -
+ + + + + + + + + + + + + + + +
-
Dovrebbe essere evidente che: U = qEd.
x
y
q
xq
È chiaro che q (positiva) si muoverà spontaneamente dal piano positivo verso quello negativo. Ciò indica che l’energia potenziale tende a diminuire. È proprio questa naturale tendenza a far sì che il campo possa compiere un lavoro.
Supponendo che i piani siano a distanza d, quanto vale l’energia potenziale di q quando si trova sulla piastra positiva?
1-2
- - - - - - - - - - - - - - - + + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+
-
Abbiamo appena detto che spontaneamente una q po-sitiva andrebbe verso la lastra negativa: UA > UB , per cui il lavoro compiuto dal campo elettrico sarebbe po-sitivo: l’energia potenziale tende a diminuire.
“ spontaneità = U diminuisce ”
Al contrario, siccome una carica q positiva non va spon-taneamente verso la lastra positiva, per portarcela occor-re vincere una resistenza: compiere un lavoro. Questo lavoro viene accumulato sotto forma di energia potenziale. Energia potenziale che sarà restituita come lavoro (o meglio, come energia cinetica) quando la carica sarà la-sciata in “balìa” del solo campo.
- - - - - - - - - - - - - - - + + +
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+
-
Per una q negativa avverrebbe il contrario: si dovrebbe compiere un lavoro dall’esterno per portarla dalla piastra positiva alla negativa facendone aumentare la sua energia potenziale e questa energia sarebbe restituita qualora la carica fosse lasciata libera di tornare sulla piastra positiva.
Energia potenziale di un campo elettrostatico costante e uniforme
2-2
Energia potenziale di un campo elettrostatico radiale
+
Si potrebbe dimostrare che per un campo radiale:
q QEssa significa che facendo crescere sempre più r (la q positiva che si allontana sempre di più da Q) U diventa pari alla costan-te (siccome il termine con r al denominatore diventa sempre più piccolo). Possiamo quindi dare alla costante valore zero prendendo come livello di riferimento l’energia potenziale (nul-la) all’infinito.
U = 1
4!εQqr
+ costante
U = 1
4!εQqr
L’energia potenziale di una q in un punto a distanza r dalla Q è pari al lavoro com-piuto dal campo quando porta q da quel punto all’infinito.
Quindi:
Analogamente: l’energia potenziale di una q in un punto a distanza r dalla Q è pari al lavoro che bisogna spendere per spostare q dall’infinito in quel punto.
In tutti i calcoli di trasferimento di energia sono presenti solo variazioni di energia potenziale. È comunque utile poter parlare di energia potenziale di una q in un punto P a distanza r da una Q, ovvero: si vuole dare una definizione “assoluta” di energia potenziale, per tale ragione si sceglie un riferimento arbitrario (il livello zero) rispetto al quale misurare l’energia potenziale.
1-3
Energia potenziale di un campo elettrostatico radiale Per capire l’energia potenziale è bene tracciarne il grafico su un piano cartesiano di a-scissa r e ordinata U.
r U Se Q è negativa e q positiva, campo elettrico attrattivo, q tende ad avvicinarsi a Q spontaneamente: U diminuisce al diminuire di r. Dovrebbe essere chiaro perché la curva è sotto l’asse delle ascisse: siccome Q è negativa e q positiva, il loro prodotto è negativo pertanto U sarà negativa.
Ovviamente, se Q e q sono entrambe negative si ripropone il primo caso. Quando sono di segno opposto il secondo.
Supponiamo Q e q entrambe positive: campo elettrico repulsivo. Spontaneamente q tende ad allontanarsi da Q: U diminuisce al crescere di r.
+
U = 1
4!εQqr
r
U
U = 1
4!εQqr
–
2-3
Il potenziale elettrico L’energia potenziale è una grandezza fisica che collega dal punto di vista energetico il campo elettrico generato da una certa distribuzione di cariche con una carica di prova q. Quel che si vuole ora è una grandezza che caratterizzi il campo indipendentemente da q (come fu fatto con la forza di Coulomb e il campo elettrostatico cfr diap. 41). Viene definito potenziale elettrico o tensione (per la ragione di questo termine v. diap. 101) il rappor-to:
Ad es., considerando il campo generato da una carica puntiforme Q, facilmente si vede che V non dipende da q:
V = U
q=
14!ε
Qqr
q= 1
4!εQr
1-3
Il potenziale elettrico L’energia potenziale è una grandezza fisica che collega dal punto di vista energetico il campo elettrico generato da una certa distribuzione di cariche con una carica di prova q. Quel che si vuole ora è una grandezza che caratterizzi il campo indipendentemente da q (come fu fatto con la forza di Coulomb e il campo elettrostatico cfr diap. 41). Viene definito potenziale elettrico o tensione (per la ragione di questo termine v. diap. 101) il rappor-to:
Tra due punti A e B di un campo elettrico esiste una differenza di potenziale di un volt (ddp=1V) se la forza elet-trica del campo compie un lavoro di 1J per portare una carica di 1C da A a B.
Questa nuova funzione sarà legata al lavoro dalla seguente relazione:
Dire che in un punto A c’è un potenziale di 1V significa che per portare una carica di 1C dall’infinito fino a quel punto è stato compiuto un lavoro di 1J (scelta del livello zero del potenziale a distanza infinita).
La sua unità di misura è il volt: V
ovvero:
Da questa definizione è chiaro che pure per V valgono le stesse considerazioni fatte su U riguardo alla scelta del li-vello zero rispetto al quale misurare V. E dato che nei calcoli sono presenti solo variazioni di potenziale, si usa parlare di differenza di potenziale, simbolo: ddp.
2-3
Potenziale di un campo elettrostatico radiale
r
V
+ A
VA
B
VB
In un moto spontaneo di una q positiva la variazione di potenziale sarebbe negativa: VA > VB, VB – VA < 0. Le q positive si muovono da punti a potenziale maggiore verso punti a potenziale minore. Per una q negativa vale l’opposto.
V = 1
4!εQr
ddp
3-3
Superfici equipotenziali
Prendiamo come esempio una carica puntiforme Q, il suo potenziale sarà:
V = 1
4!εQr
Si vede facilmente che tutti i punti alla stessa distanza dalla carica hanno lo stesso po-tenziale. Questi punti rispettano una particolare simmetria e, nel nostro caso di cam-po radiale, sono tutte delle sfere centrate su Q.
Superfici equipotenziali: luogo dei punti dello spazio in cui il
potenziale è lo stesso.
1-4
Linee di forza e superfici equipotenziali
Dalle figure precedenti si nota che le linee di forza e le superfici equipotenziali sono perpendicolari. Questa è un’importante proprietà rispettata in generale e non solo nei i casi rappresentati.
4-4
W = −ΔU U Energia potenziale
Si misura in joule, J.
ΔV =
ΔUq
V potenziale
Si misura in volt: .
E = −
ΔVΔs
E campo elettrico
Si misura anche in volt al metro.
2-2
La circuitazione di un campo vettoriale è definita dal prodotto scalare:
CΓ( v ) = vi ⋅ Δγ i∑ = viΔγ icosα i∑
Circuitazione di un campo vettoriale
In cui Γ è un percorso chiuso e γi è uno dei generici tratti rettilinei mediante i quali si può pensare composto il percorso per poter calcolare il prodotto scalare.
Circuitazione di un campo vettoriale Per cogliere il significato fisico della circuitazione, applichiamone la definizione matematica ad un tubo di flusso in condizioni di stazionarietà (flusso laminare) di un fluido.
A B
C D
Ovvero:
v
Gli angoli che il vettore velocità v forma con i quattro tratti con cui suddividiamo il percorso sono: 0° con AB, 90° con BC, 180° con CD, 270° con DA. Ricordando i valori del coseno per questi angoli si ottiene, per la somma di tutti i prodotti scalari, un valore nullo:
Consideriamo un percorso ABCD rettangolare, ma teniamo presente che il risultato si può generalizzare per ogni tipo di percorso chiuso.
Γ
2-4
Circuitazione di un campo vettoriale E se applichiamo la formula della circuitazione ad un fluido che presenta un moto vorticoso?
Γ
v del fluido Elemento di Γ
Gli angoli che il vettore velocità v forma con gli elementi rettilinei in cui il percorso viene sud-diviso sono sempre di 0°, pertanto gli addendi della somma di tutti i prodotti scalari avranno sempre lo stesso segno algebrico, quindi la circuitazione non sarà nulla.
Non diamo importanza al fatto che nella realtà la velocità dei venti di un ci-clone non sia costante in tutti i punti del percorso circolare, il nostro è solo un esempio. L’elemento importante è il valore della circuitazione che si ottiene in condizioni vorticose o, in generale, non stazionarie.
CΓ(v) ≠ 0
3-4
Circuitazione di un campo vettoriale
Il calcolo della circuitazione di un campo vettoriale ci permette di determinare se siamo in presenza di un flusso laminare o turbolento.
4-4
WΓ
E( ) = q
Ei ⋅ Δ
Si∑ = qEi ΔSi cosα i∑
Lavoro e circuitazione di un campo elettrostatico
CΓ
E( ) =
Ei ⋅ ΔSi∑ = Ei ΔSi cosα i∑
W e C si corrispondono a meno della carica di prova q: a meno di una costante. Quindi tutte le considerazione svolte su W valgono anche per la circuitazione. Ma se W ci dice qualcosa sulle proprietà energetiche di E in relazione ad una carica esploratrice q, C ci dice qualcosa relativo ad E stesso, in particolare che il campo elettrostatico è irrotazionale e conservativo.
Abbiamo visto che il lavoro di E vale:
E Γ ΔSi
ΔSj
CΓ( E )=0 per ogni percorso chiuso Γ implica la possibilità di definire una funzione scalare, detta potenziale, di cui abbiamo già parlato e che dà del campo una rappresentazione energetica.
CΓ( E )=0 per ogni Γ chiusa costituisce la terza equazione di Maxwell per il campo elettrostatico.
Applicando ad E la definizione di circuitazione troveremmo:
1-1
Equazioni di Maxwell per il campo elettrostatico Il flusso del campo elettrico, attraverso una superfi-cie chiusa Ω, è pari alla somma algebrica delle cari-che in essa contenute fratto la costante dielettrica del mezzo in cui si trovano le cariche.
Equivale alla conservazione della carica elettrica. Significa che esiste la singola ca-rica elettrica (positiva o negativa). Significa che le linee di forza del campo elettri-co possono anche essere delle semirette (con origine e senza fine).
Lungo un qualunque percorso chiuso Γ la circuitazione del campo elettrostatico è nulla.
È il modo matematico per esprimere la proprietà del campo elettrostatico di esse-re conservativo, ovvero: che il lavoro compiuto dal campo elettrostatico non di-pende dal percorso, ma dal punto iniziale e finale del percorso (o, in modo analo-go, che lungo un qualunque percorso chiuso il lavoro è nullo); e irrotazionale. Significa che per conoscere il campo elettrico dal punto di vista energetico può essere definita una funzione dipendente soltanto dalla posizione (il potenziale) e il lavoro compiuto su una carica può essere conosciuto tramite una funzione della sola posizione detta energia potenziale.
3)
ΦΩ(E) =
Σqε
1)
1-1
Conduttori carichi isolati (in assenza di campo esterno)
Il processo di elettrizzazione di un conduttore consiste in un movimento di cariche elettriche. Non appena il processo di carica termina, il conduttore raggiunge uno stato di equilibrio in cui le cariche elettri-che sono ferme rispetto ad esso, il conduttore si dice in
equilibrio elettrostatico tutte le cariche che costituiscono il sistema sono ferme
Vediamo cosa si verifica in un conduttore in equilibrio elettrostatico.
1-1
Conduttori carichi isolati (in assenza di campo esterno)
2. Le cariche sono tutte sulla superficie. Basta applicare la I equazione di Maxwell ad una qualunque superficie chiusa, S1 , interna al conduttore e a una qualunque superficie chiusa, S2 , in cui il conduttore è contenuto e considerare il punto 1: E=0 all’interno del conduttore. Più semplicemente, per la mobilità delle cari-che libere (tutte dello stesso segno), le interazioni coulombiane repulsive che si esercitano tra di esse portano queste cariche a distribuirsi sulla superficie del corpo conduttore.
3. Il campo elettrico è perpendicolare alla superficie del conduttore. Se E avesse una componente parallela alla superficie del conduttore le cariche sarebbero soggette a questa componente parallela che le terrebbe in movimento.
4. Il potenziale ha lo stesso valore all’interno e sulla superficie del conduttore. Siccome E = 0 all’interno del conduttore, allora è zero anche il lavoro compiuto su una carica q spostata fra due punti qualunque A e B del conduttore: WAB = q ( VA – VB ) = 0, ovvero VA = VB. Le superfici dei conduttori in equilibrio elettrico sono equipotenziali.
1. Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo. Altrimenti le cariche libere del conduttore sarebbero soggette ad una forza elettrica qE che le terrebbe in movimento. Ciò vale anche se il conduttore è cavo, fino a immaginare di scavare internamente il conduttore tanto da ridurlo ad un sottilissimo involucro corrispondente alla sua superficie esterna. L’elettrostatica non distingue un conduttore massiccio da un altro di stessa forma e dimensioni, ma internamente ca-vo. L’interno di questi conduttori è isolato elettricamente dall’esterno per qualunque campo elettrico esistente nello spazio esterno. Un in-volucro metallico chiuso è uno schermo elettrostatico, come la gabbia di Faraday.
1-7
ΔS
ΔQ
Campo elettrico sulla superficie di un conduttore in equilibrio elettrostatico. Teorema di Coulomb
Per il suo modulo si ricorre al Teorema di Coulomb: in condizioni di equilibrio elettrostatico, il campo elettrico in ogni punto della superficie del conduttore è pari a:
E =
σε
Abbiamo già visto che la sua direzione è perpendicolare alla superficie del conduttore, il verso entrante se la carica è negativa, uscente se positiva.
dove è la densità di carica superficiale. σ =
ΔQΔS
1-1
Vest =
14!ε
Qtot
r Vint =
14!ε
Qtot
R
E e V per un involucro sferico carico e di materiale conduttore
Eest =
14!ε
Qtot
r2Eint = 0
R
ER =
σε
V(r)
r
E(r)
r
N. B.: il raggio della sfera è fissato ed è pari a R anche la
carica presente sulla sfera è fissata ed è pari a Q.
Il parametro variabile è r ed indica la
distanza dalla sfera.
Come afferma il teorema di Coulomb.
1-1
Cosa accade a due conduttori precedentemente elettrizzati
ed in seguito posti a contatto?
1-10
Come nei vasi comunicanti un liquido raggiunge lo stesso livello: equili-brio idrostatico (stesso potenziale gravitazionale).
Allo stesso modo due sfere conduttrici raggiungono l’equilibrio elettro-statico (stesso potenziale elettrostatico VA = VB) se messe a contatto mediante un conduttore.
VA = VB A
B
È questa tendenza a raggiungere l’equilibrio, non appena si hanno le condizioni, che fa chiamare la ddp anche tensione.
2-10
V V
Consideriamo il caso di due sfere metalliche A e B di raggi R1 e R2 po-ste ad una distanza tale da poter escludere la reciproca influenza di campo elettrico.
R2
Portiamo le sfere ad uno stesso potenziale V attraverso il contatto con due puntali conduttori.
R1
3-10
1. quale delle due ospiterà una quantità di carica maggiore?
2. quale delle due sarà sede del campo elettrico più intenso?
1. che per una sfera di raggio R e con carica totale Q, il potenziale elet-trostatico, nel vuoto, vale:
V = 1
4!ε0
QR
Ci chiediamo: Quando le due sfere sono portate allo stesso potenziale:
3. quali saranno le densità superficiali di carica?
2. che l’area della superficie di una sfera di raggio R è: 4πR2.
3. che la densità superficiale di carica, σ, di un conduttore con carica
Q e superficie S è definita: .
Per rispondere occorre ricordare:
4-10
Per la sfera A, dopo il contatto:
Per la sfera B , dopo il contatto:
V = 1
4!ε0
Q1
R1
V = 1
4!ε0
Q2
R2
Quindi:
All’equilibrio elettrostatico il rapporto delle cariche presenti sulle due sfere è uguale al rapporto dei raggi.
Sfera maggiore carica maggiore
Per la carica
R1
R2
5-10
Sapendo che e
E1 =1
4!ε0
Q1
R12
All’equilibrio elettrostatico il rapporto dei campi elettrici
sulle superfici delle due sfere è uguale all’inverso del rapporto dei raggi.
E2 = 14!ε0
Q2
R22
si ha:
Sfera maggiore campo minore
Per il campo 7-10
La densità di carica superficiale è di-rettamente proporzionale al poten-ziale elettrico sulla superficie ed in-versamente proporzionale al raggio del conduttore. Nel caso di una sfe-ra, essendo R costante, significa che le cariche sono uniformemente di-stribuite.
Sfera più piccola Densità di carica maggiore
Per la densità di carica
All’equilibrio elettrostatico le densità di carica delle due sfere sono
inversamente proporzionali ai raggi delle sfere.
si arriva a dimostrare:
9-10
Supponiamo di avere un conduttore come in figura:
Quindi, per quanto detto, sull’estremo più curvo dobbiamo aspettarci una densità di carica maggiore e un campo elettrico più intenso.
R2
R1
è facile immaginare in esso due sfere con raggi diversi.
Alcuni effetti di queste distribuzioni di cariche li abbiamo mostrati nelle esperienze col conduttore appuntito. In-fatti, una punta esalta quanto descritto in quanto può essere considerata una sfera con un raggio piccolissimo. Generalizziamo dicendo che un qualunque conduttore avrà una σ maggiore ed un E più intenso in quelle parti in cui la sua superficie presenta una curvatura più accentuata rispetto a quelle meno incurvate e che le zone della su-perficie incavate sono quelle con minor σ ed E.
2-5
Al variare della quantità di carica posta sul conduttore varia pure il potenziale, però il rapporto tra le due grandezze resta sempre costante ed è pari a C. Nel Sistema Internazionale la capacità elettrica si misura in farad, F.
La capacità, C, è una grandezza fisica scalare che indica la possibilità di un condutto-re di immagazzinare carica elettrica. È così definita:
Capacità elettrica
Un conduttore ha la capacità di un farad se assume un potenziale di un volt quando è caricato con una carica di un coulomb.
1-1
Vest =
14!ε
Qr
Vint =1
4!εQR
V(r)
Capacità di una sfera conduttrice (cariche distribuite - e uniformemente - solo sulla superficie)
C =Q
Vsfera
=Q
14!ε
QR
= 4!εR
R
1-2
Si osservi che quanto trovato per la capacità di una sfera (C = 4πεR) indica che essa sia una grandezza legata solo alle caratteristiche geo-metriche del corpo conduttore, visto che compare solo R. Inoltre, possiamo renderci conto di quanto sia enorme 1F dal fatto che la capacità della Terra (R = 6,37·106m) vale: ~10-3F e che una sfera per avere una C = 1F dovrebbe avere un raggio di nove milioni di km! Perciò si usano i sottomultipli: Microfarad: μF = 10-6F Nanofarad: nF = 10-9F Picofarad: pF = 10-12F.
Capacità elettrica 2-2
B
A è una sfera conduttrice carica isolata. Il suo potenziale è quindi fissato. A
Avvicinando ad A un conduttore neutro B, B subirà il fenomeno dell’induzione ed essendo la parte più vicina di B ad A di segno opposto alla carica di A, il potenziale di A ne sarà influenza-to subendo una diminuzione.
A B
Se volessimo riportare il potenziale di A al valore precedente occorrerebbe fornirgli altra carica: la presenza di B ha accresciuto la capacità elettrica di A. Collegando B a terra, non ci sarà nemmeno la carica positiva sull’estremo di B a limitare gli ef-fetti su A, quindi il potenziale di A cala ancora mentre la sua capacità immagazzinare carica au-menta:
A
Il più semplice sistema per accumulare cariche è costituito da due conduttori ed è det-to condensatore, i due conduttori che lo costituiscono sono chiamati armature del condensatore.
Quanto detto vale per conduttori di qualunque forma. Ciò che si deduce è che un sistema formato da due conduttori ha una capacità maggiore di o-gnuno dei due conduttori preso separatamente.
B B
Condensatore 1-1
C =
QV
= ε0εr
Sd
Capacità di un condensatore piano
La capacità di un condensatore è indipendente dalla carica sulle armature: carico o scarico, la sua capacità è fissata. La sua capacità dipende dalla geome-tria del sistema e se fra le armature viene interposto un dielettrico.
Consideriamo un condensatore piano, con questa disposizione, ciò che conta ai fini della capacità è la distanza, d, fra le armature, l’area delle superfici, S, e la presenza di un dielettrico, εr , interposto fra esse. Si dimostra che la sua capacità è:
d
Per aumentare la capacità di un condensatore piano si può far crescere l’area delle superfici e/o portarle più vicine e/o interporre un dielettrico.
1-2
Lavoro di carica di un condensatore
Caricare un condensatore, significa aggiungere su una armatura cariche tutte delle stesso segno: bisogna quindi vincere la repulsione coulombiana fra esse, ovvero spendere un lavoro.
Si può dimostrare che il lavoro per caricare un condensatore vale, con ovvio significato dei simboli:
Ma dove va a finire questo lavoro? Questa energia spesa?
La quale, ricorrendo alla definizione di capacità, , può anche scriversi:
1-1
Densità di energia del campo elettrico
Prima della carica Dopo la carica
Il lavoro è immagazzinato sotto forma di energia elettrica, basterebbe collegare le armature con un filo conduttore ed un flusso di cariche annullerebbe sia la ddp fra le armature che il campo elettrico, con la restituzione dell’ener-gia spesa per il processo di carica. Possiamo immaginare che l’energia spesa sia stata utilizzata per generare il campo elettrico, che esso l’abbia accu-mulata. Questa energia è impacchettata nel volume fra le armature in cui esiste il campo elettrico, per questo viene introdotta la densità di energia del campo elettrico, ovvero il lavoro di carica fratto il volume compreso fra le arma-ture del condensatore:
W
E =12εE2
Questo risultato è stato ottenuto per un condensatore piano, ma è valido in generale: in ogni spazio in cui è pre-sente un campo elettrico è presente un’energia la cui densità è data dalla precedente formula.
