FUNZIONE RECIPROCA E FUNZIONE INVERSA di una funzione trigonometrica elementare Classe 3^D – a.s. 2010/2011 – APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 10/12/10 A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia 1 Redatti e pubblicati in data 14/12/10 LA FUNZIONE RECIPROCA E LA FUNZIONE INVERSA Partendo dalle funzioni trigonometriche fondamentali tgx y x y senx y = = = , cos , , la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni: arctgx y x y arcsenx y tgx gx y x x y senx ecx y = = = = = = arccos 1 cot cos 1 sec 1 cos diamo la definizione geometrica (sulla circonferenza goniometrica) di cosecante, secante e cotangente di un angolo:
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A cura di prof.ssa MINA Maria Letizia 1 Redatti e pubblicati in data 14/12/10
LA FUNZIONE RECIPROCA E LA FUNZIONE INVERSA
Partendo dalle funzioni trigonometriche fondamentali tgxyxysenxy === ,cos, , la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni:
arctgxyxy
arcsenxy
tgxgxy
xxy
senxecxy
=
=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
arccos
1cot
cos1sec
1cos
diamo la definizione geometrica (sulla circonferenza goniometrica) di cosecante, secante e cotangente di un angolo:
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Prima di trattare le funzioni trigonometriche reciproche ed inverse delle funzioni trigonometriche fondamentali, diamo alcuni concetti essenziali:
F FUNZIONE INIETTIVA: una funzione CDf →: si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte ovvero se ad ogni elemento del codominio corrisponde al più un elemento distinto del dominio; in simboli
se una funzione reale di variabile reale è iniettiva, allora tracciando sul suo piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all’asse x, questa intersecherà il grafico della funzione al più una volta.
F FUNZIONE SURIETTIVA: una funzione CDf →: si dice suriettiva quando l’insieme delle immagini ( )Df coincide con il codominio ovvero quando ogni elemento y del codominio C è immagine di almeno un elemento x del dominio D; in simboli
( ) yxfDxCyssesuriettivaèCDf =∈∃∈∀→ /,:
F FUNZIONE BIIETTIVA: una funzione CDf →: si dice biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva; una funzione biiettiva è invertibile è la sua funzione inversa sarà DCf →− :1 .
Osserviamo ancora che:
F se nell’intorno di un punto c la funzione )(xfy = è positiva/negativa, allora il limite della funzione per cx→ mantiene lo stesso segno della funzione;
F se ,0)(lim =→
xfcx
allora ∞=→ )(
1limxfcx
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Funzione trigonometrica fondamentale Funzione reciproca Funzione inversa
( )[ ]1;1
;−=
+∞∞−=
=
CD
senxy
{ }( ] [ )+∞−∞−=
∈≠ℜ∈=
==
;11;,/
cos1
CZkkxxD
ecxsenx
y
π
[ ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=
=
2;2
1;1ππC
Darcsenxy
operando una restrizione della funzione seno all’intervallo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−2;2ππ , è garantita la biiettività della funzione seno dunque la
sua invertibilità; la funzione inversa del seno, cioè l’arcoseno, avrà come dominio il codominio della funzione seno e come codominio il dominio della funzione seno ristretta all’intervallo
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−2;2ππ ;
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se consideriamo solo la sinusoide fondamentale,
[ ][ ]1;12;0
−=
=
CD π
il grafico della funzione è
osserviamo che:
−
→
−
→
+
→
+
→
=
=
=
=
−
+
−
+
0lim
0lim
0lim
0lim
2
0
senx
senx
senx
senx
x
x
x
x
π
π
π
se consideriamo solo la sinusoide fondamentale,
{ }( ] [ )+∞−∞−=
≤≤∈≠ℜ∈=
;11;20,,/
CkZkkxxD π
il grafico della funzione è
osserviamo che:
−∞=
−∞=
+∞=
+∞=
−
+
−
+
→
→
→
→
senx
senx
senx
senx
x
x
x
x
1lim
1lim
1lim
1lim
2
0
π
π
π
il grafico della funzione arcoseno si può ottenere applicando al grafico della funzione seno, ristretta all’opportuno intervallo, la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ovvero
[ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−→−⎯⎯→⎯−→⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= 2
;2
1;1:1;12;2
: ππππ arcsenxsenxxyS
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123
12
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
π
π
sen
sen
la funzione seno è periodica di periodo π2=T
gli zeri della funzione seno sono i valori da escludere nel dominio della funzione cosecante;
123cos
23
1
12
cos
2
1
−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
ππ
ππ
ecsen
ecsen
la funzione seno e la funzione cosecante hanno in comune tutti e soli i punti che, nel grafico della funzione seno, hanno ordinata 1± ;
la funzione cosecante è periodica di periodo π2=T
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( )[ ]1;1
;cos
−=
+∞∞−=
=
CD
xy
se consideriamo solo la cosinusoide fondamentale,
[ ][ ]1;12;0
−=
=
CD π
( )
( ] [ )+∞−∞−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈+≠ℜ∈=
==
;11;
,2
12/
seccos1
C
ZkkxxD
xx
y
π
se consideriamo solo la sinusoide fondamentale,
( )
( ] [ )+∞−∞−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤
∈+≠ℜ∈=
;11;10
,,2
12/
Ck
ZkkxxD
π
[ ][ ]π;0
1;1arccos
=
−=
=
CD
xy
operando una restrizione della funzione coseno all’intervallo [ ]π;0 , è garantita la biiettività della funzione coseno dunque la sua invertibilità; la funzione inversa del coseno, cioè l’arcocoseno, avrà come dominio il codominio della funzione coseno e come codominio il dominio della funzione coseno ristretta all’intervallo [ ]π;0 ;
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il grafico della funzione è
il grafico della funzione è
gli zeri della funzione coseno sono i valori da escludere nel dominio della funzione secante;
la funzione coseno e la funzione secante hanno in comune tutti e soli i punti che, nel grafico della funzione coseno, hanno ordinata 1± ;
la funzione secante è periodica di periodo π2=T .
il grafico della funzione arcocoseno si può ottenere applicando al grafico della funzione coseno, ristretta all’opportuno intervallo, la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ovvero
[ ] [ ] [ ] [ ]ππ ;01;1:arccos1;1;0:cos →−⎯⎯→⎯−→=
xxxyS
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( )
( )+∞∞−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈+≠ℜ∈=
=
;
,2
12/
C
ZkkxxD
tgxyπ
{ }( )+∞∞−=
∈≠ℜ∈=
==
;,/
cot1
CZkkxxD
gxtgx
y
π
( )+∞∞−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
=
;2;2
C
D
arctgxyππ operando una restrizione della funzione tangente all’intervallo
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−2;2ππ , è garantita la biiettività della funzione tangente dunque la sua
invertibilità; la funzione inversa della tangente, cioè l’arcotangente, avrà come dominio il codominio della funzione tangente e come codominio il dominio della funzione tangente ristretta all’intervallo
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−2;2ππ ;
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se consideriamo solo la tangentoide fondamentale,
( )
( )+∞∞−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤−
∈+≠ℜ∈=
;01
,,2
12/
Ck
ZkkxxD
π
il grafico della funzione è
se consideriamo solo la tangentoide fondamentale,
( )+∞∞−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≤≤
∈≠ℜ∈=
;20
,,/
Ck
ZkkxxD
π
il grafico della funzione è
gli zeri della funzione tangente sono i valori da escludere nel dominio della funzione cotangente;
la funzione cotangente è periodica di periodo π=T
il grafico della funzione arcotangente si può ottenere applicando al grafico della funzione tangente, ristretta all’opportuno intervallo, la simmetria rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ovvero
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−→+∞∞−⎯⎯→⎯+∞∞−→⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= 2
;2
;:;2;2
: ππππ arctgxtgxxyS
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