FORMULAZIONE DIFFERENZIALE
Descrizione delle proprietà locali dei campi introducendo gli operatori differenziali
GRADIENTE DI UNO SCALARE
(x,y,z) campo scalare continua e derivabile
ds = dx i + dy j + dz kspostamento infinitesimo a partire da un punto P(x,y,z)
La variazione corrispondente della funzione dipende dal modulo e dalla direzione di ds
*dzz
dyy
dxx
zyxdzzdyydxxd ,,,,
Introducendo il vettore
kjizyx
grad
la (*) si può riscrivere
dsgraddgradd Sus
Derivata direzionale di (x,y,z)
nella direzione individuata dal versore uS:
cosu gradgrad
dsd
S
angolo tra uS e la direzione di grad
componente di grad nella direzione di uS
se Sgrad //umassimoèdsd
Sgrad use0dsd
Modulo di grad = valore assoluto massimo di
dsd
Direzione e verso di grad direzione e verso per la quale
massimoèdsd
costante 0
dsd
superficiealla grad costantezyx ,,
Formalmente il gradiente è un operatore differenziale che applicato ad uno scalare definisce un campo vettoriale
kjizyx
grad
Si definisce divergenza del vettore v la grandezza scalare
zv
y
v
xv
div zyx
v
Teorema della divergenza: trasformazione di un integrale di superficie in un integrale di volume
S superficie chiusa che racchiude il volume V
S V
dVdivdΣ vnv
kjiv ZYX vvv vettore
Divergenza di un vettore
dy
dxP’
P
i
x
y
z
Consideriamo un parallelepipedo elementare di spigoli dx,dy,dz
dx, flusso totale attraverso tali facce, dipende solo da vX (P) e vX (P’):
i, i versori delle normali alle facce perpendicolari all’asse x
-iP(x,y,z)
P’(x + dx,y ,z)1dz
2
dydzzyxvzydxxv xx ,,,,
Quindi x2x1x ddd
dzyd z)y,(x,vd xx1
dydz d S
dzyd z)y,dx,(xvd xx2
dxdydzx
vd X
X
In maniera analoga
il flusso totale attraverso le facce all’asse y è
il flusso totale attraverso le facce all’asse z è
Il flusso totale attraverso la superficie del parallelepipedo elementare è
dxdydzy
vd Y
Y
dxdydzz
vd Z
Z
dVdivdxdydzz
vy
v
xv
d zyx v
dVd
divv
Divergenza = operatore differenziale che, applicato ad un campo vettoriale, dà come risultato la densità di flusso uscente da dV
Si suddivide il volume V in tanti parallelepipedi elementari e si sommano tutti i flussi, ottenendo il flusso attraverso la sola superficie esterna, poiché i contributi d relativi alle facce interne si elidono
Flusso totale attraverso una superficie finita
dVdivdV S
Svnv
nP
v campo vettoriale
Rotazionale di un campo vettoriale: TEOREMA DI STOKES
P punto del campo
linea chiusa nell’intorno di P
sv d
circuitazione del campo v
S superficie che ha come contorno, passante per P
n versore della normale positiva ad S, orientato in modo che il verso di percorrenza su sia antiorario
Si definisce rotazionale di un vettore v il vettore
zyx vvvzyx
rot
kji
v
Teorema di Stokes
dSrotd S nvsv
x
y
z
Consideriamo un rettangolo infinitesimo all’asse z di lati dx, dy nell’intorno di P
P(x,y,z) punto del campo
n k
dxdy
P
Circuitazione di v lungo il rettangolino
Contributo lungo i due lati // all’asse y
dyzydx
xvzydx
xv yy
),,(),,(
22dxdy
x
vy
Contributo lungo i due lati // all’asse x
x
y
z
n k
dxdy
P
dxzdy
yxvzdy
yxv xx
),,(),,(
22dydx
yvx
Si ha quindi la circuitazione di v lungo il rettangolino
dxdyx
vy
dydx
yvx
dxdy
yv
x
v xy
zzdrot S v
Per un rettangolino all’asse x di lati dy, dz di superficie
dxdyddove z S
dydzd x S
xxdSrot v
la circuitazione di v lungo il rettangolino vale
Analogamente
Per un rettangolino all’asse y di lati dx, dz di superficie
dxdzd y Sla circuitazione di v lungo il rettangolino vale
yydrot Sv
Per un elemento di superficie dS comunque orientato rispetto agli assi x,y,z, si può dimostrare che
la circuitazione di v lungo il suo contorno è pari alla somma dei tre termini precedenti
Circuitazione di v lungo una linea finita Suddividiamo S appoggiata a in due parti, aventi 1 e 2 come contorno
21
S zzdrot v xx drot Sv yydrot S v
S drot nv
21
21 somma delle circuitazioni
I tratti interni non danno contributo alla somma, in quanto percorsi due volte in senso inverso,quindi
Suddividendo S in infinite areole infinitesime e applicando ad ogni coppia di areole contigue le considerazioni precedenti, si ha
S S
drotdN
1ii
Nnvsvlim
SS
i
N
1i i
i
N
N
1ii
Nlimlim
S S S SS
Sdrotd
i
i
0i
nvlim
nvlim S
Srot
i
i
0i
Quindi
Utilizzando l’operatore come un vettore
kjizyx
vv divz
vy
v
xv zyx
gradzyx
kji
v v
kji
rot
vvvzyx
zyx
0 A
2
2
2
2
2
2
2
zyx
Laplaciano2
0 0gradrot
0Arotdiv
graddiv
operatore scalare
zzyyxx
Applicato ad un vettore A
kjiA zyx AAA 2222
Ricordando la proprietà del triplo prodotto vettoriale
CBABCACBA
Per il prodotto triplo misto vale
CBACBA Per l’operatore si ha
BAABBA
AA 2divgrad
AAAA 2rotrot
FORMULAZIONE DIFFERENZIALE DELL’ELETTROSTATICA
V potenziale elettrostatico
E campo elettrostatico
VgradV E
kji
zV
yV
xV
0
INTQd
S
SnE
Teorema di Gauss in forma integrale
Teorema di Gauss in forma differenziale0
divE
SS V 0V
dVdVdivd EnE
La divergenza è proporzionale alle sorgenti di flusso (coulombiane)
E campo elettrostatico conservativo
0d sE
Teorema di Stokes
0drotd S S
nEsE
0rot E
S superficie chiusa arbitraria, che delimita una regione
Per il principio di conservazione della carica elettrica:a una fuoriuscita complessiva di carica attraverso la superficie chiusa S deve corrispondere una diminuzione della quantità di carica contenuta nella regione V delimitata da S
Conservazione della carica elettricaEquazione di continuità
n
S
J
dtdq I INT
USC
S
S VVUSC dV
tρ
dVdtd
dI nJ
VVdV
tρ
dVdiv J
Per il teorema della divergenza
Consideriamo le variazioni per unità di tempo
conservazione della carica in termini differenziali: equazione di continuità per la carica elettrica
Nel caso di cariche in moto stazionario la densità di carica non può variare nel tempo Quindi in regime stazionario
0 J
Poiché il volume V è arbitrario
J campo solenoidaleLe linee di campo di J, dette linee di corrente, devono essere chiuse, senza sorgenti o pozzi
t J