Fenomeni ondulatori

Onde: Perturbazioni dello stato di un corpo o di un campo che si propagano nello spazio

con trasporto di energia ma senza trasporto di materia.

Onde meccaniche:

•  si propagano all’interno di un mezzo, solido o fluido; •  la perturbazione corrisponde ad uno spostamento s di una

porzione di materia dalla posizione di equilibrio.

Onde elettromagnetiche: •  perturbazione del campo elettromagnetico (s = E o B); •  si propagano anche nel vuoto.

Onde: generalità

Le onde possono propagarsi •  lungo un asse (uni-dimensionali), •  su una superficie (bi-dimensionali) •  nello spazio (tri-dimensionali)

onda elettromagnetica

→E

B

x

→

→λ

Bo

Eo

v →

→

→

onda meccanica (suono)

onda meccanica lungo una fune

onda meccanica lungo una molla

Esempi di fenomeni ondulatori

onda meccanica (superficie gas-liquido)

vibrazione propagazione

esempio : onda lungo una corda

vibrazione propagazione esempio : onda di percussione in un solido

Onde trasversali e longitudinali

onde trasversali

onde longitudinali

Superfici d’onda

Punti dello spazio ove vi è - ad un certo istante – lo stesso stato di perturbazione del mezzo in cui l’onda si propaga.

Raggi di propagazione: in ogni punto dello spazio, rappresentano la direzione

perpendicolare alle superfici d’onda

Onde circolari Onde sferiche

Onde piane

raggio

raggio

Onde che presentano la stessa configurazione in intervalli spaziali e temporali successivi.

Onde periodiche

)2(sen)()2(sen)(ϕλπϕπ+⋅⋅=+⋅⋅=

xAxsTtAts

A = ampiezza T = periodo

Un’onda sinusoidale è un’onda periodica la cui descrizione è data da una semplice funzione trigonometrica

doppia periodicità: temporale e spaziale

λ= lunghezza d’onda φ = fase

Lunghezza d’onda [m] (λ)

Distanza spaziale fra due creste (o gole) successive.

Frequenza [Hz=s-1] (f)

Numero di ripetizioni della medesima configurazione nell’unità di tempo.

Ampiezza (A)

Massimo spostamento dalla posizione di equilibrio, è legata alla quantità di energia trasportata. L’unità di misura dipende dal tipo di onda in esame.

fT

λλ==v

Periodo [s] (T)

Intervallo di tempo fra due identiche configurazioni.

fT 1=

Velocità [m/s] (v)

Velocità di spostamento della superficie d’onda.

Velocità delle onde acustiche nell’aria: v=344 m/s

Parametri di un’onda periodica x=cost.

t=cost.

Esempio: Calcolare la frequenza corrispondente ad un’onda di periodo T=10 msec. Calcolare la corrispondente lunghezza d’onda sapendo che la velocità di propagazione è v=340 m/s

[ ]Hz 100. =fR

[ ]m 4,3. =λR

Un’onda “non sinusoidale” è chiamata complessa: essa può essere periodica, o no. Un’onda (o segnale) complessa può essere considerata come la somma (algebrica) di segnali sinusoidali ciascuno di data frequenza e intensità. Se l’onda complessa è periodica (con periodo T), esso si può scomporre in un certo numero di onde sinusoidali le cui frequenze sono multipli interi di una frequenza chiamata frequenza fondamentale. In questo caso le onde componenti prendono il nome di armoniche: la prima armonica è chiamata fondamentale e la sua frequenza è uguale a 1/T; la seconda armonica ha una frequenza 2/T, la terza armonica 3/T e così via.

Scomposizione di un’onda

Potenza P di una sorgente [W] È l’energia emessa da una sorgente (sonora) nell’unità di tempo.

Intensità di un’onda I [W/m2] Rappresenta l'energia trasportata dall’onda che nell'unità di tempo fluisce attraverso una superficie unitaria.

Variazione di intensità con la distanza dalla sorgente:

Sfera 1:

Sfera 2:

Caratteristiche energetiche di un’onda

tSEIΔ⋅

=

21

1 4 dPIπ

=

22

2 4 dPIπ

=

122

21

2 IddI =L’intensità è inversamente proporzionale al quadrato della

distanza dalla sorgente (legge del quadrato della distanza)

Esempio: L’intensità di un’onda a 10 cm dalla sorgente è pari a 100 W/m2. Calcolare l’intensità ad un metro di distanza dalla sorgente.

[ ]2 W/m1. =IR

punto di equilibrio molecola in moto

A x(t)

spostamenti delle particelle

compressioni e dilatazioni

fluidi : addensamenti e rarefazioni

onda di pressione che si propaga

vibrazione meccanica delle particelle di un mezzo materiale (gas, liquido, solido)

Onde acustiche

Onde acustiche

)2(sen λπ xpp o ⋅Δ=Δ

Materiale Velocità di propagazione

Aria 344 m/s

Acqua 1480 m/s

Tessuto corporeo 1570 m/s

Legno 3850 m/s

Alluminio 5100 m/s

Vetro 5600 m/s

NOTA: Nel passaggio tra due mezzi con diverse velocità di propagazione, la frequenza dell’onda si mantiene inalterata mentre varia la lunghezza d’onda.

Velocità di propagazione delle onde acustiche

SUONO

Onda sonora :

orecchio umano sensibilità 20 Hz < f < 2 ·104 Hz

infrasuoni ultrasuoni v = λ f

varia = 344 m s–1

vH2O = 1450 m s–1 17.2 m < λ < 1.72 cm 72.5 m < λ < 7.25 cm

SUONO

Caratteristiche di un suono :

altezza frequenza timbro composizione armonica

intensità energia ΔS · Δt

Orecchio esterno:

Il canale uditivo (l ~ 25 mm) funge da risonatore alla frequenza di circa 3000 Hz.

Orecchio medio:

Il sistema di ossicini (leva di Io tipo) trasmette le vibrazioni del timpano all’orecchio interno tramite la finestra ovale.

Orecchio interno:

E` un sistema idrodinamico complesso (coclea) contenente un fluido (perilinfa) e i recettori nervosi (cellule ciliate).

L’orecchio umano è sensibile a fluttuazioni di pressione fino a 10-5 Pa (10-10 atm) !!

Orecchio umano

L’orecchio umano è sensibile ad intensità sonore tra 10-12 W/m2 e 102 W/m2. Tuttavia, la sensazione uditiva non è proporzionale all’intensità sonora, ma approssimativamente al suo logaritmo.

Livello di intensità sonora IL [dB] E` definito come il logaritmo del rapporto fra l’intensità misurata ed una intensità di riferimento (I0):

dB][log100

10 IIIL=

Il decibel

Per convenzione internazionale:

I0 = 10-12 W/m2 (minima intensità percepibile dall’orecchio umano)

10-12 W/m2 a 102 W/m2 → tra 0 e 140 dB

Intensità sonora (W/m2)

Livello d’intensità

(dB)

Condizione ambientale Effetto sull’uomo

102 140 Soglia del dolore 1 120 Clacson potente, a un metro

Lesioni dell’orecchio nel caso di ascolto prolungato

10-1 110 Picchi d’intensità di una grande orchestra

10-2 100 Interno della metropolitana 10-3 90 Picchi di intensità di un pianoforte

Zona pericolosa per l'orecchio

10-4 80 Via a circolazione media 10-4,5 75 Voce forte, a un metro 10-5 70 Conversazione normale, a un metro 10-6 60 Ufficio commerciale

Zona di fatica

10-7 50 Salotto calmo 10-8 40 Biblioteca

Zona di riposo (giorno)

10-9 30 Camera da letto molto calma 10-10 20 Studio di radiodiffusione 10-12 0 Soglia di udibilità

Zona di riposo (notte)

Esempi di intensità sonora

Grafico dell’acuità uditiva in relazione a intensità e frequenza

Acuità uditiva: curve di udibilità

Vi sono diversi fenomeni legati alla propagazione di un’onda in presenza di ostacoli. Sono classificati come segue:

⇒ Riflessione

⇒ Rifrazione

⇒ Diffrazione

La fenomeno della diffusione non e` nient’altro che una combinazione di rifrazione e diffrazione.

Propagazione delle onde acustiche in presenza di ostacoli

Un’onda che incide su una superficie che separa due mezzi diversi viene parzialmente riflessa nel mezzo da cui proviene e parzialmente trasmessa (rifratta) nel nuovo mezzo.

Se la dimensione della superficie e` molto maggiore della lunghezza d’onda λ, la riflessione di un’onda puo` essere descritta con semplici leggi geometriche

Riflessione Rifrazione

Riflessione e rifrazione delle onde

Leggi di Snell e Descartes:

•  I raggi incidente (i), riflesso (r), rifratto (t) e la normale (n) alla superficie giacciono sullo stesso piano;

•  gli angoli di incidenza e di riflessione sono uguali:

•  gli angoli di incidenza e di trasmissione (o rifrazione sono legati alle velocita` di propagazione dell’onda v1 e v2 nei due mezzi:

'11 θθ =

1

2

1

2

1

2

vv

sinsin

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈θθ

θθ

Nota: se v1 < v2 esiste un angolo limite θc di incidenza oltre il quale l’onda viene interamente riflessa

r i

t

n

I fronti d’onda di un’onda piana quando passano attraverso una fenditura o incontrano uno spigolo vengono incurvati. L’onda dopo l’ostacolo non ha più un fronte piano;

⇒ l’onda si propaga nella zona d’ombra geometrica.

L’angolo di curvatura dipende dalla larghezza della fenditura e dalla lunghezza d’onda dell’onda incidente.

Se λ: lunghezza d’onda incidente d: larghezza fenditura

ediffrazion nessuna ,0

parziale ediffrazion ,900

direzioni le in tutte ediffrazion ,900

0

=⇒<<

<<⇒<

=⇒≥

ϑλ

ϑλ

ϑλ

dd

d

Grazie al fenomeno della diffrazione, le onde acustiche possono aggirare gli ostacoli.

Questo fenomeno e` tanto piu` efficiente quanto maggiore e` la lunghezza d’onda.

Diffrazione delle onde

zona d’ombra

zona d’ombra

Effetto Doppler

La frequenza percepita da un ascoltatore dipende dal moto relativo della sorgente e dell’ascoltatore.

oa f

ccf ⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ±=ʹ′

v

I) Sorgente in quiete, ascoltatore in movimento

va = velocità dell’ascoltatore fo = frequenza del suono emesso f’ = frequenza percepita

dall’ascoltatore

+ ⇒ ascoltatore che si avvicina - ⇒ ascoltatore che si allontana

Si ottiene:

II) Sorgente in movimento, ascoltatore in quiete

Effetto Doppler

vs = velocità della sorgente fo = frequenza del suono emesso f’ = frequenza percepita

dall’ascoltatore

os

fccf ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

±=ʹ′

v+ ⇒ sorgente che si allontana - ⇒ sorgente che si avvicina

Si ottiene:

Esempio: una sirena emette una suono di frequenza fo = 1000 Hz. Assumendo c = 344 m/s:

se l’ascoltatore si allontana dalla sirena con va = 15 m/s;

f’ = 956 Hz

se la sirena si allontana dall’ascoltatore con vs = 15 m/s

f’ = 958 Hz

E = E(x,t) → →

B = B(x,t) B →

→E

t

→E

B

x

→

→

Bo

Eo v →

→

→

y

x z

→ →

Bo

→

Eo

→

λ

T

v = = λf λT

Una carica elettrica in moto emette o assorbe onde elettromagnetiche

quando soggetta ad accelerazione

Onde elettromagnetiche

nel vuoto (unità S.I.) v ≡ c

c = 3· 108 m s–1 velocità della luce nel vuoto

massima velocità possibile in natura

Velocità della luce

ONDE RADIO

MICRO ONDE

INFRA- -ROSSO

VISIBILE

ULTRA- -VIOLETTO

RAGGI X

RAGGI GAMMA

102 1 10–2 10–4 10–6 10–8 10–10 10–12 10–14 (m)

f (Hz) 106 108 1010 1012 1014 1016 1018 1020 1022

(cm) (mm) (µm) (Å) (fermi) (nm) λ

λf = c λ

700 600 500 400 (nm)

Spettro delle onde elettromagnetiche

sostanza indice di rifrazione

sostanza indice di rifrazione

Aria (20 oC) 1,0003 Vetro crown 1,52

Acqua 1,33 Cloruro di sodio 1,53

Alcool etilico 1,36 Vetro flint 1,66

Quarzo fuso 1,46 Diamante 2,42

Luce: indice di rifrazione

vcn =

E` il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto c e la velocità della luce v nel mezzo in questione

λ=589 nm

Lunghezza d’onda (nm)

Indice di rifrazione

404,7 1,53189

435,9 1,52798

491,6 1,52283

546,1 1,51929

589,3 1,51714

656,3 1,51458

768,2 1,51160

Dispersione della luce

L’indice di rifrazione dipende dalla lunghezza d’onda della luce. Per esempio, per il vetro si ha:

Spettroscopio

Riflessione totale Se la luce passa da un mezzo più rifrangente ad un mezzo meno rifrangente (es. da acqua ad aria), l’angolo di rifrazione θr è maggiore dell’angolo di incidenza θi (legge di Snell):

Esiste un angolo di incidenza limite θlim al di sopra del quale il raggio incidente è interamente riflesso

θlim θi>θlim

θi<θlim

Esempio:

Nota: La riflessione totale è alla base del funzionamento delle fibre ottiche utilizzate per le endoscopie

acqua

Lenti sottili

Lente: corpo trasparente limitato da due superfici sferiche levigate

convergenti divergenti

Lente sottile: quando lo spessore massimo della lente è molto più piccolo dei raggi di curvatura delle due calotte sferiche

Asse ottico: retta passante per i centri di curvatura delle due calotte.

Centro ottico: centro della lente (si trova sull’asse ottico)

Fuoco: punto sull’asse ottico ove convergono raggi paralleli all’asse ottico (ce ne sono 2 !). La distanza f del fuoco dal centro ottico è chiamata distanza focale.

Per una lente sottile : f1 = f2= f

Lente biconvessa •  convergente •  fuoco “reale” •  f > 0 , ψ > 0

Potere diottrico

Il potere diottrico ψ di una lente è l’inverso della distanza focale

f1

=ψUnità di misura: diottria ( = m-1)

Es: se f=20 cm, ψ = + 5 diottrie

Lente biconcava •  divergente •  fuoco “virtuale” •  f < 0 , ψ < 0

Il potere diottrico di più lenti sottili a contatto tra loro è pari alla somma dei poteri diottrici di ciascuna lente

Equazione dei punti coniugati:

p = distanza dell’oggetto dalla lente

q = distanza dell’immagine dalla lente

f = distanza focale della lente

Formazione delle immagini

raggi paralleli all’asse ottico

raggi passanti per il centro

raggi passanti per il fuoco

raggi passanti per il centro rifrazione

Lente convergente

fqp111

=+

Lente divergente

L’occhio umano

Diametro ≈ 2 cm Diottro corneale: cornea, umor acqueo e umor vitreo Cristallino: raggio di curvatura variabile

accomodamento

Retina: coni e bastoncelli

Punto prossimo: circa 25 cm Punto remoto : all’infinito Intensità luminosa: può variare entro nove ordini di grandezza (109)

Anomalie visive

Miopia

Ipermetropia

correzione (lente divergente)

correzione (lente convergente)

Anomalie visive

Presbiopia: invecchiamento dei muscoli ciliari ⇒ ridotto potere di accomodamento

punto prossimo si allontana ⇒ lenti convergenti per vedere vicino

Astigmatismo: curvatura irregolare della corne

⇒ lenti cilindriche o sfero-cilindriche