FISICA APPLICATA 2

FENOMENI ONDULATORI - 1

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10/10/2017

FENOMENI ONDULATORI

Una classe di fenomeni fisici estremamente importanti e

caratterizzata dalla propagazione ondulatoria di una gran-

dezza fisica. Tra gli esempi piu semplici da presentare ab-

biamo le onde elastiche in una corda tesa (o in una sbarra

rigida) e le onde di compressione e rarefazione che costitui-

scono il suono.

In generale si definisce onda una qualsiasi perturbazione,

impulsiva o periodica, che si propaga in un mezzo con una

velocita ben definita.

L’onda ha origine da una sorgente, trasporta energia e puo

essere rilevata da un sensore.

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Esistono grandezze fisiche scalari e grandezze fisiche di tipo

vettoriale. In corrispondenza esistono onde scalari, quando

la grandezza fisica interessata dal fenomeno ondulatorio e

scalare e onde vettoriali, quando e in gioco una grandezza

vettoriale.

Per semplicita si presenteranno esempi di onde scalari, senza

con questo perdere in generalita, poiche un vettore e as-

segnato mediante la sue componenti [V = (Vx, Vy, Vz)] e,

quindi, quanto si dira per un’onda scalare risultera pure ap-

plicabile alle singole componenti di un’onda vettoriale.

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Una grandezza fisica scalare a da origine ad un fenomeno on-

dulatorio (si dice che si propaga come un’onda) quando varia

nello spazio ed evolve nel tempo nella seguente maniera: se

il profilo spaziale per a all’istante t = 0 e dato da

a(x,0) = f(x) , (1)

la sua evoluzione temporale sara data da

a(x, t) = f(x∓ c t) , (2)

dove c e la velocita di propagazione dell’onda. Per semplicita

si e considerata una situazione unidimensionale (1D, spazio

= asse x). Quando nella (2) si usa il segno −, l’onda si

propaga nella direzione positiva dell’asse x mentre con la

scelta del + l’onda viaggia nella direzione negativa.4

In ogni caso, indipendentemente dalla scelta del segno, la

propagazione ondulatoria quale viene assegnata dalla (2) e

caratterizzata dalla traslazione rigida a velocita costante c

del profilo geometrico dato dalla (1).

Risulta facile mostrare questo fatto se si sceglie per a un

andamento di tipo impulsivo, cioe abbastanza localizzato

nello spazio. Si consideri ad esempio la funzione f(x) data

da

f(x) =x

4 + x4[= a(x,0)] , (3)

la quale risulta apprezzabilmente diversa da zero nell’inter-

vallo [−10 ≤ x ≤ 10]. Il suo grafico e mostrato nella slide

successiva.5

6

La propagazione ondulatoria richiesta dalla (2) e applicata

all’esempio (3) da, se si sceglie il − e si prende c t = 30, la

seguente funzione

f(x− 30) =x− 30

4 + (x− 30)4[= a(x,

30

c)] , (4)

la quale non e altro che la funzione (3) traslata di 30 unita

nella direzione positiva dell’asse x.

Nella slide successiva viene mostrata la sovrapposizione degli

andamenti di a al tempo t = 0 ed al tempo t = 30c . Si puo

pensare a due istantanee di a scattate a istanti diversi (punto

di vista del fotografo).

7

8

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE

Le condizioni affinche per una grandezza fisica a si abbia

propagazione ondulatoria non fissano l’espressione per il pro-

filo spaziale f(x) della (1), ma semplicemente richiedono che

la completa dipendenza spazio-temporale sia data dalla (2),

dove il valore di c dipende dalla natura di a e dall’ambiente

fisico in cui a si propaga.

Pertanto, se a1(x, t) e a2(x, t) rappresentano due onde per a

in quanto obbediscono alla (2), allora anche la loro somma

as(x, t) = a1(x, t) + a2(x, t) (5)

rappresenta un’altra possibile modalita di propagazione on-

dulatoria per la grandezza fisica in gioco.

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ONDE SINUSOIDALI O ARMONICHE

Di fronte a questa indeterminatezza, che permette infinite

possibilita, risulta utile introdurre una classe di funzioni in

grado di descrivere tutti i possibili profili. Allo scopo ven-

gono introdotte le cosiddette onde sinusoidali dette anche

onde armoniche (o anche monocromatiche).

Un’onda sinusoidale propagantesi nel verso positivo dell’asse

x e data da

a(x, t) = a◦ cos[2π

λ(x− c t) + φ

](6)

dove a◦ e l’ampiezza dell’onda, λ rappresenta una lunghezza

caratteristica dell’onda armonica, detta lunghezza d’onda, e

infine φ indica la fase addizionale.

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L’argomento della funzione coseno (ossia la quantita tra le

parentesi quadre) rappresenta la fase totale (o complessiva).

La velocita di propagazione c e anche detta velocita di fase.

Possiamo effettuare un semplice studio delle proprieta della

funzione (6), che dipende dalla due variabili x e t, esaminan-

done la dipendenza dallo spazio x a t fisso (punto di vista

del fotografo) e, poi, esaminandone l’andamento temporale

a x fisso (punto di vista del naufrago).

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Quindi studiamo l’andamento spaziale dell’onda armonica

ad un istante fissato. E il punto di vista del fotografo. Non

si perde in generalita ponendo t = 0. Dalla (6) si ottiene

una funzione della sola x, che possiamo scrivere come

a(x,0) = a◦ cos(

2πx

λ+ φ

). (7)

In base alle proprieta del coseno, le variazioni della grandezza

a sono comprese tra −a◦ e +a◦, l’andamento spaziale di a

e periodico e la minima distanza che separa profili identici

e la lunghezza d’onda λ. Pertanto λ specifica la periodicita

spaziale dell’onda. Il grafico generato dalla (6) risulta in-

variante per traslazioni avanti o indietro dell’asse x (o lungo

l’asse x) di un numero intero di lunghezze d’onda.12

13

Invece il punto di vista del naufrago corrisponde a studiare

al passare del tempo il comportamento dell’onda armonica

in un punto fisso dello spazio. Non si perde in generalita

ponendo x = 0. Utilizzando la parita della funzione coseno

[cos(−α) = cos(α)] si ottiene

a(0, t) = a◦ cos(2πc t

λ− φ) , (8)

per mezzo della quale si puo definire una grandezza T avente

le dimensioni di un tempo ([T ] = s) come

T =λ

c. (9)

Questa grandezza si chiama periodo dell’onda, puo essere

interpretata in base alla (9) come il tempo che l’onda sinu-

soidale impiega a spostarsi di una lunghezza d’onda.14

Grazie alla definizione (9), la (8) puo essere riscritta come

a(0, t) = a◦ cos(2πt

T− φ) , (10)

indicando per a una variazione temporale di tipo armonico

dove T corrisponde al tempo necessario affinche si svolga

un intero ciclo di oscillazione. La variazione temporale di a

e pertanto periodica di periodo T .

A questo proposito risulta utile ricordare che in cinematica

si definisce moto armonico il moto della proiezione su un

diametro di un punto che percorre una circonferenza di moto

circolare uniforme.

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Vi sono due grandezze collegate al periodo T : la frequenza

ν e la pulsazione ω. La frequenza ν indica il numero di

cicli che hanno luogo in un secondo ed e data da ν = 1/T .

[ν] = s−1 = Hz dove Hz e l’abbreviazione di Hertz. La

pulsazione ω e data da ω = 2 π ν = 2 π/T .

La relazione (9) usata per introdurre il periodo e di fon-

damentale importanza in tutti i tipi di onde e viene scritta

anche come

λ = c T =c

ν(11)

oppure come

c = λ ν . (12)

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LE ONDE NELLO SPAZIO

Finora si e considerata la situazione 1D di un’onda viag-

giante lungo l’asse x. In realta le onde si propagano nello

spazio tridimensionale e questo fatto permette l’introduzio-

ne di altre definizioni.

Si definisce fronte d’onda il luogo dei punti dello spazio in

cui l’onda ad un assegnato istante ha un determinato valo-

re della fase (totale). Al variare dei valori della fase si ha

una classe di superfici nello spazio, le quali viaggiano con la

velocita di fase c.

Definendo i raggi come le linee perpendicolari ai fronti d’on-

da si stabilisce un collegamento con l’ottica geometrica. I

raggi, punto per punto, danno la direzione di propagazione

dell’onda e, quindi, la direzione del vettore c.19

Nel caso di onde propagantisi nello spazio esistono due si-

tuazioni abbastanza semplici: quella delle onde piane, carat-

terizzate da fronti d’onda piani e quella delle onde sferiche,

caratterizzate da fronti d’onda che sono superfici sferiche di

raggio progressivamente crescente.

Nel caso delle onde piane i raggi risulteranno paralleli, men-

tre nel caso delle onde sferiche i raggi risulteranno divergenti

da un centro, dove presumibilmente si trova localizzata la

sorgente dell’onda.

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INTENSITA DELL’ONDA

Tutte le onde trasportano energia dalla sorgente verso l’e-

sterno. Si definisce intensita I di un’onda l’energia traspor-

tata dall’onda nell’unita di tempo attraverso una superficie

unitaria disposta perpendicolarmente al verso di propaga-

zione. I ha le dimensioni di potenza su superficie (ossia

[I] = W ·m−2) ed e proporzionale al quadrato dell’ampiezza.

Vale cioe

I ∝ a2◦ . (13)

Nel caso dei fronti d’onda piani (e anche quando si puo

trascurare la divergenza dei raggi) l’intensita I resta costante

poiche la stessa potenza attraversa sezioni sempre uguali.

Questo vale se i fenomeni dissipativi sono trascurabili.21

LEGGE 1/r2 PER L’INTENSITA

Invece, nel caso delle onde sferiche la potenza della sor-

gente nel suo allontanamento dal centro attraversa superfici

sferiche di area via via crescente. Sempre sotto l’ipotesi

che i fenomeni dissipativi siano trascurabili, l’intensita I(r)

dell’onda puo essere calcolata in base alla sua definizione

come

I(r) =Power

4 π r2, (14)

dove con Power si indica la potenza emessa dalla sorgente

(... localizzata).

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