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““PPRRIINNCCIIPPII DDII SSTTAATTIISSTTIICCAA””

PPRROOFF.. GGIIOOVVAANNNNII DDII TTRRAAPPAANNII

Università Telematica Pegaso Principi di statistica

Attenzione! Questo materiale didattico è per uso personale dello studente ed è coperto da copyright. Ne è severamente

vietata la riproduzione o il riutilizzo anche parziale, ai sensi e per gli effetti della legge sul diritto d’autore

(L. 22.04.1941/n. 633)

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Indice

1 PREMESSA ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

2 INDICATORI SINTETICI DELLE VARIABILI STATISTICHE -------------------------------------------------- 4

2.1. GLI INDICI DI POSIZIONE ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 5

3 GLI INDICI DI DISPERSIONE ------------------------------------------------------------------------------------------- 14

3.1 IL CAMPO DI VARIAZIONE -------------------------------------------------------------------------------------------------------14 3.2 LA VARIANZA --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------14 3.3 LO SCARTO QUADRATICO MEDIO ----------------------------------------------------------------------------------------------15

4 STATISTICHE DI MOVIMENTO E DI STOCK ---------------------------------------------------------------------- 17

5 ESERCITAZIONE: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18




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1 Premessa

In questa lezione ci soffermeremo sull’esposizione di alcuni concetti fondamentali della

Statistica generale, che riteniamo siano la base per lo studio delle successive applicazioni al

fenomeno turistico. Nel corso della lezione saranno, pertanto, esposti i principali indicatori delle

variabili statistiche, presenteremo a tale scopo alcuni concetti circa gli indici di Dimensione e di

Dispersione.

Relativamente ai primi, gli indici di Dimensione saranno presentati la Media Aritmetica, la

Media Armonica la Media ponderate, la Moda, la Mediana e i Quartili.

Per quanto riguarda gli indici di Dispersione affronteremo il calcolo del campo di

variazione nonché della Varianza e dello Scarto Quadratico Medio.

Per concludere, daremo un breve accenno alle statistiche di movimento e di stock.




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2 Indicatori sintetici delle variabili statistiche

L’applicazione della statistica richiede il confronto tra due o più distribuzioni di frequenze,

ci riferiamo ad esempio alle performances di una struttura ricettiva rispetto ad un’altra o di una

località turistica rispetto ad un’altra. Per operare questi confronti è necessario utilizzare misure di

sintesi che per l’appunto consentono di portare a sintesi importanti aspetti delle variabili oggetto di

analisi. Il calcolo di questi indici di sintesi rientra nella Statistica descrittiva, che abbiamo definito

nella precedente lezione, e che analizza tre particolari aspetti di una distribuzione di frequenze:

a) la posizione, ovvero la misura della centralità;

b) la variabilità, ovvero la “mutevolezza” dei dati;

c) la forma, ovvero l’adattamento della distribuzione a dei modelli di

riferimento o configurazioni standard.

I Principali indici statistici

di posizione

di forma

di dispersione

MODA MEDIANA

MEDIA

SCARTO QUADRATICO MEDIO VARIANZA RANGE

ASIMMETRIA

CURTOSI

INDICI




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2.1. Gli indici di posizione

Gli indici di posizione forniscono l’espressione sintetica di un fenomeno quando questi è

rappresentato da un certo numero di osservazioni quantitative. In altre parole essi permettono di

sostituire un unico significativo valore ad una serie di dati statistici.

Gli indici di posizione sono numerosi e ciascuno può essere utilizzato per applicazioni

particolari. Qui daremo una breve descrizione dei principali:

Media aritmetica

Media geometrica

Media armonica

Medie ponderate

Media quadratica

Mediana

Moda

2.1.1 La Media Aritmetica

Concentriamoci sulla Media Aritmetica, questa è anche detta semplicemente Media ed

esprime una sintesi di una distribuzione statistica. Si definisce media aritmetica di più numeri quel

valore che, sostituito ai dati, lascia invariata la loro somma; in altre parole: si dice media

aritmetica di N numeri il numero che si ottiene dividendo la loro somma per N.

In relazione ad una Serie, la media sarà cosi calcolata:

n

x

XM i

i 1)(

1 2 Nx x xx

N




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Se, invece di una serie ci imbatteremo in una distribuzione di frequenze potremo calcolare la

Media ponderata che sarà così espressa:

1

1

*)(

ii

iii

n

nxXM

Al fine di garantire una maggiore chiarezza passeremo ad illustrare due semplici

applicazioni delle formule in precedenza presentate; pertanto nel caso di una serie sottoponiamo il

seguente Esempio:

Su un gruppo di 15 grandi imprese della provincia di Udine intervistate sui fabbisogni formativi in

modalità e-learning si è rilevato il n.ro di pc connessi in rete:

100, 95, 80, 94, 90, 100, 96, 88, 82, 65, 70, 85, 77, 95, 100

Calcolare il numero medio di pc per impresa.

In questo caso la MEDIA sarà così’ calcolata:

M(X) = (100+95+80+94+90+100+96+88+82+65+70+85+77+95+ 100)/15 = 87,5

Nel caso di una distribuzione di frequenze presentiamo il seguente esempio:

Sia data la seguente tabella che riporta i risultati di un’indagine sulla presenza dei turisti, nel

mese di agosto, nelle località A e B:

Classi di età

(in anni compiuti)

Località

A

Località

B

0-14 15 10

15-29 20 25

30-39 25 30

40-49 10 15




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50-59 5 5

60 e oltre 5 5

Calcolando le medie aritmetiche, in quale delle due località si registra una maggiore

presenza di turismo “giovane”?

In questo esempio, il carattere età è espresso in anni compiuti, quindi il limite superiore

delle classi sarà rispettivamente 15; 30; 40; 50 e 60 mentre per comodità di calcolo assumiamo che

l’ultima classe abbia come limite superiore il valore 80. A questo punto passiamo a calcolare la

media relativamente alla località A, a tale scopo riproponiamo i dati espressi nella tabella

precedente in un’altra dove saranno esposti i parametri di calcolo rispetto alla sola località A.

Classi di età

(in anni compiuti)

Località A

(2)

ai

(3)

xi’

(4)

xi’ni

(5)=(4)*(2)

0-14 15 15 7,5 112,5

15-29 20 15 22,5 450,0

30-39 25 10 35 875,0

40-49 10 10 45 450,0

50-59 5 10 55 275,0

60-80 5 20 70 350,0

TOTALE 80 2.512,5

Procediamo alle operazioni di calcolo. Cominciamo dall’ampiezza delle classi, ed

osserviamo che l’ampiezza è diversa da classe a classe e sarà espressa nella colonna (3); nella

successiva colonna 4, che invece riguarderà il calcolo del valore centrale della classe, questo che

sarà calcolato utilizzando la semplice formula seguente:

2

inflimsupliminflim




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dove il denominatore “limite sup – limite inf” non è altro che proprio l’ampiezza della

classe ai.

Infine, utilizzando il valore centrale della località A che abbiamo appena calcolato,

individueremo il valore della media, utilizzando, al denominatore, il valore calcolato nella colonna

5; pertanto applicando la seguente formula

1

1

')(

ii

iii

f

fxXM

Avremo:

M(XA) = 2.512,5/80 = 31,41

Analogo procedimento sarà applicato alla località B e pertanto otterremo che

M(XB) = 2.512,5/80 = 33,19

In conclusione, rispondendo alla domanda posta dall’esercizio, possiamo affermare che

l’età media dei turisti della località B è superiore all’età media dei turisti della località A.

Una volta studiata la media riteniamo utile evidenziare alcune proprietà della media

aritmetica infatti diremo che:

a) la Media è sempre compresa tra il valore minimo e quello massimo della

serie o della distribuzione;

b) Dalla definizione consegue che la somma degli scarti di ogni elemento del

campione dalla media aritmetica è 0;

c) la media rappresenta il baricentro della distribuzione.

d) la Media gode della proprietà della linearità ovvero se si aggiunge o toglie

una costante alla variabile la rispettiva media sarà modificata dello stesso ammontare;

m

j j

j 1

(x x) f(x ) 0




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e) la Media è l’unico valore per cui la Somma degli scarti al quadrato è

minima;

Dobbiamo però fare attenzione, nell’utilizzo della media, al fatto che questa risente dei

valori estremi delle distribuzioni in quanto, rappresentando proprio il baricentro della

distribuzione, un valore fortemente divergente da tutti gli altri attrae il baricentro nella sua

direzione.

2.1.2 La Media Armonica

Si ottiene calcolando il reciproco della media aritmetica dei reciproci dei dati. Ricordiamo che il

reciproco di un numero x1 è 1/x1, per esempio il reciproco di 2 è 0,5 (= 1/2).

N

i=1∑n 1 xi

Questa media è naturalmente usata quando il fenomeno da indagare è misurato dai reciproci

dei dati statistici rilevati.

2.1.3 Le Medie Ponderate

Tutte le medie viste in precedenza sono medie semplici. Possono, però, trasformarsi in

medie ponderate quando i valori osservati sono utilizzati più volte nel calcolo dell’indice, a

seconda del peso cioè dell’importanza che viene loro attribuita.

Per esempio la media aritmetica diventa

i=1∑n (xi * pi) / i=1∑

n pi

1 1 2 2 m m

1 2 m

x p + x p + ...+ x px =

p + p + ...+ p




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2.1.4 La Media Quadratica

La media quadratica è l’indice che in statistica ha maggiori possibilità d’utilizzo. E’ dato

dalla radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei valori.

2√[(x1

2 + x2

2 + . . . + xn

2) / n] =

= 2√[(i=1∑

n xi

2) / n]

In particolare la media quadratica ha in statistica diversi utilizzi legati al calcolo della

dispersione che vedremo più in avanti ed alla correzione degli errori.

2.1.5 Moda, mediana e Quartili

A questo punto passiamo allo studio di :

moda o norma

mediana

quantili

La moda o norma è il valore che si presenta più spesso, in altri termini il valore che in una

distribuzione di frequenze si trova ad avere la frequenza massima (assoluta o relativa)

Procediamo con un veloce esempio: Gli arrivi rilevati in un dato paese sono stati classificati

per categoria dell’albergo ed esposti nella successiva tabella:

Arrivi (in migliaia)

Categoria Freq. assolute Freq. relative

5 stelle e 5 stelle lusso 968 0,017

4 stelle 18.168 0,302

3 stelle 26.442 0,440

2 stelle 9.392 0,156




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1 stella 3.817 0,064

Residenze turistico-alberghiere 1.279 0,021

TOTALE 60.064 1

La modalità più frequente è quella riferita agli alberghi a “3 Stelle” che quindi è la moda

della distribuzione. Questo significa che la maggioranza degli arrivi nelle strutture alberghiere

durante si è registrato negli alberghi a “3 Stelle”.

Passando ora alla mediana, possiamo affermare che questa rappresenta il valore che, in una

successione ordinata, si trova esattamente nella posizione centrale della distribuzione cioè lascia

tanti elementi a sinistra quanti a destra, e nel caso di variabili discrete

a) se n é dispari avremo Me= x (n+1/2)

b) se n è invece pari avremo Me= (x (n/2) + x (n+1/2) )/2

Nel caso di variabili continue

La mediana sarà cosi calcolata:

i

i

hh

af

hN

XMe *)2(inflim)(1

Infine passiamo ai quantili (che posssono essere quartili, decili o percentili) questi sono

una generalizzazione della mediana, in quanto sono valori che dividono la distribuzione ordinata in

tante classe uguali e precisamente i quartili in quattro parti, i decili in dieci, i percentili in cento

parti uguali). Soffermiamoci sui quartili e in particolar modo sul Primo quartile di una

distribuzione di frequenze che sarà cosi calcolato:

i

i

hh

af

hN

XQ *)4(inflim)(11

dove

lim inf è il limite inferiore della classe mediana




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1h

ih è la cumulata fino alla classe immediatamente precedente la classe

mediana

if frequenza della classe mediana

ia ampiezza della classe mediana

Anche in questo caso per una maggior chiarezza procederemo con un esempio utilizzano

anche in questo caso la medesima tabella; ma in questo caso confronteremo i valori mediani

Classi di età (in anni

compiuti)

Località

A

Località

B

0-14 15 10

15-29 20 25

30-39 25 30

40-49 10 15

50-59 5 5

60 e oltre 5 5

Partiamo dalle considerazioni fatte in precedenza sul limite superiore della classe ed il

valore centrale, ma a differenza del precedente esempio in questo caso procederemo alla

costruzione della frequenze cumulate che sarà esposta nella colonna contraddistinta con il numero

(3).

Classi di età

(in anni

compiuti)

Località A

(2)

Ni

(3)

0-14 15 15

15-29 20 35

30-39 25 60

40-49 10 70

50-59 5 75

60-80 5 80

TOTALE 80

Per il calcolo della mediana utilizzeremo la formula




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i

i

h

h

af

hN

XMe *)2

(inflim)( 1

Per prima cosa determiniamo la posizione mediana cioè con riferimento alla località A

n/2 = 40.a posizione

per decidere in quale classe rientra l’xi che occupa la 40.a posizione ci riferiremo alle

frequenze cumulate esposte nella colonna 3; la classe mediana sarà quella riferita alla classe di età

compresa tra i 30 e i 39 anni, pertanto applicando la formula precedente otteremo:

10*)25

3540(30)(

AXMe

Che sarà uguale a 32,0

Procederemo in maniera analoga per la località B

In questo caso avremo:

10*)30

3545(30)(

BXMe = 33,3

quindi nella località A il 50% dei turisti ha meno di 32 anni, nella località B ha meno di

33,3




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3 Gli Indici di dispersione

Così come gli indici di posizione danno un’espressione sintetica del fenomeno osservato,

gli indici di dispersione danno una misura della sua variabilità, cioè della più o meno lontananza

dei dati statistici dal loro valore medio. Entrambi gli indici sono perciò essenziali per una migliore

conoscenza dell’evento da indagare.

Andiamo ad analizzare gli indici di dispersione più significativi:

Campo di variazione

Varianza

Scarto quadratico medio

3.1 Il campo di variazione

È l’indice più semplice. Si ottiene come differenza tra il valore massimo e quello minimo

manifestati dal fenomeno in osservazione.

(xn - x1)

3.2 La Varianza

Quest’indice di dispersione ed il successivo (S.q.m.) sono quelli che hanno maggiori

applicazioni in statistica. La varianza è la media aritmetica dei quadrati degli scostamenti dei dati

rilevati dalla media aritmetica.

1

1

2 *))(()(

ii

iii

f

fXMxXVar




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3.3 Lo scarto quadratico medio

Lo scarto quadratico medio non è altro che la radice quadrata della varianza.

2√{[(x1 - M)2 + (x2 - M)2 + . + (xn - M)2] / n}

= 2√{[i=1∑n (xi - M)2] / n}

Per semplicità procediamo allora partendo sempre dalla tabella già utilizzata in precedenza

ad un esempio al fine di determinare in quale delle due località si registra maggiore variabilità.

Classi di età (in anni

compiuti)

Località

A

Località

B

0-14 15 10

15-29 20 25

30-39 25 30

40-49 10 15

50-59 5 5

60 e oltre 5 5

Come in precedenza consideriamo i valori centrali espressi nella colonna 3.

Classi di età

(in anni compiuti)

Località A

(2)

xi’

(3)

(xi’-M(X))2 * fi

(4)

0-14 15 7,5 8.572,6

15-29 20 22,5 1.586,4

30-39 25 35 322,9

40-49 10 45 1.847,9

50-59 5 55 2.783,3

60-80 5 70 7.447,4

TOTALE 80 22.560,5




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In questo esempio ci viene chiesto di calcolare le varianze, anche qui cominceremo dalla

località A; pertanto procederemo al calcolo degli scarti dalla media al quadrato moltiplicati per le

rispettive frequenze che sono calcolati nella colonna 4 utilizzando la formula della varianza:

1

1

2 *))(()(

ii

iii

f

fXMxXVar

Per cui

Var(XA) = 22.560,5/80 = 282,01

Analogamente per la località B otteniamo

Var(XB) = 20.800,3/90 = 231,12




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4 Statistiche di movimento e di stock

Ai fini della rilevazione si debbono distinguere le

Statistiche di movimento

Statistiche di stato o di stock

Le prime si configurano come descrizioni numeriche delle continue modifiche della

popolazione statistica in un determinato periodo in relazione ad un fenomeno mentre le Statistiche

di stato o di stock, di un determinato fenomeno che sono le descrizioni numeriche della

popolazione statistica ad una determinata data.

In altre parole queste statistiche si configurano come serie storiche riguardanti: fenomeni di

consistenza e fenomeni di flusso.

a) I fenomeni di consistenza la cui consistenza può essere rilevata in ogni istante

come appunto la ricettività alberghiera;

b) I fenomeni di flusso invece per essere rilevati hanno bisogno di un arco di tempo

come appunto la domanda turistica ci riferiamo in questo caso agli arrivi e alle

presenze di turisti.




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5 Esercitazione:

Prima domanda: differenza tra unità statistiche ed unità di rilevazione

Seconda domanda: quali sono i requisiti che definiscono la qualità

dell’informazione statistica

Terza domanda: cosa si intende per aggregato, per unità di rilevazione e per unità

statistica?

Quarta domanda: cosa si intende per fenomeno di stock e fenomeno di flusso

Quinta domanda: differenza tra statistica descrittiva ed inferenziale

Sesta domanda: se la statistica basa le sue metodologie sulla gestione di

informazioni (dati) quali sono i tre passaggi (operazioni) necessari per il loro

efficace e corretto utilizzo ?

Settima domanda: il trattato di Amsterdam individua alcuni importanti principi ai

quali deve rispondere l’informazione statistica. Quali ?

Ottava domanda: qual è il significato della classificazione per la statistica ? (si

faccia un esempio)

Nona domanda: cosa significa contare ? e misurare ?

Decima domanda: aiutandosi con degli esempi dire cosa sono le mutabili, le

variabili, i caratteri dicotomici, i caratteri “tempo/spazio”?

Undicesima domanda: qual è il significato della media?, della mediana?, del

quartile di ordine 1, del coefficiente di variazione?

Dodicesima domanda: proprietà e difetti della Media Aritmetica

Tredicesima domanda: differenza tra mutabile sconnessa e ordinabile ? fare qualche

esempio

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