Appunti sulle turbine ad azione Giulio Cazzoli versione 1.0 – Maggio 2014 Indice 1 Scelta del tipo di turbina 3 1.1 Azione o reazione ................................. 3 1.2 Turbina a salti di velocità o salti di pressione .................. 3 1.3 Scelta del numero di stadi ............................ 3 1.3.1 Condizione di massimo rendimento ................... 3 1.3.2 Limiti strutturali ............................. 3 1.3.3 Massima velocità del vapore ....................... 4 1.3.4 Numero di stadi .............................. 4 2 Lavoro e rendimento teorici di una turbina ad azione 4 2.1 Singola girante ad azione ............................. 4 2.1.1 Lavoro ottenuto da una girante ad azione ................ 5 2.2 Turbina pluristadio a salti di velocità ...................... 5 2.2.1 Caratteristiche costruttive ........................ 5 2.2.2 Lavoro specifico di uno stadio in relazione al primo stadio ....... 6 2.2.3 Lavoro specifico della turbina ...................... 7 2.2.4 Rendimento ................................ 8 2.3 Lavoro e rendimento teorici di una turbina a salti di pressione ........ 8 2.3.1 Caratteristiche costruttive ........................ 9 2.3.2 Lavoro specifico di uno stadio ...................... 9 2.3.3 Lavoro specifico della turbina ...................... 10 2.3.4 Rendimento ................................ 10 3 Dimensionamento dei triangoli di velocità per una macchina a salti di velocità 11 3.1 Distributore .................................... 11 3.1.1 Ingresso .................................. 11 3.1.2 Uscita ................................... 11 3.1.3 Velocità di rotazione della girante .................... 12 3.2 Stadio ad azione .................................. 13 3.2.1 Perdite energetiche ............................ 13 3.2.2 Girante .................................. 13 3.2.3 Raddrizzatore ............................... 15 1
4 Rendimento di una turbina a salti di velocità per via “termica” 154.1 Energia dissipata nel distributore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
La scelta tra una macchina a reazione od azione viene eseguita a priori in base alla potenzarichiesta. La complessità delle macchine a reazione le rendono interessanti per impianti adelevata potenza (decine/centinaia di mega watt, vedi centrale di Porto Tolle).
1.2 Turbina a salti di velocità o salti di pressione
Le turbine a salti pressione presentano maggiori rendimenti rispetto a quelle a salti di velocitàper effetto del recupero da frazionamento. Per contro sono più ingombranti e sono soggettea perdite per fughe di vapore attraverso le tenute tra statore e albero che diminuiscono ilrendimento complessivo della macchina e che devono essere limitate mediante opportunetenute.
Tra una macchina a salti di velocità e di pressione, si tende a preferire la soluzione asalti di velocità quando le prestazioni non sono tali da giustificare una scelta più complessae quindi costosa.
1.3 Scelta del numero di stadi
La scelta del numero di stadi dipende dalla architettura scelta, dal salto entalpico a dispo-sizione e da condizioni di sicurezza per il rotore.
1.3.1 Condizione di massimo rendimento
Nel caso di macchine ad azione, è possibile ottenere una relazione tra tra la velocità tangen-ziale (u) e la componente tangenziale in ingresso alla prima girante (cin cosαin). La relazione,ottenuta derivando l’espressione del rendimento interno della turbina in condizioni ideali,dipende dal numero e tipo di giranti ad azione, ed assume forma:
u
cin cosαin
∣∣∣∣ηmax
=1
2k
con k funzione del numero di salti e della architettura della turbina:
turbina ad azione semplice k = 1
turbina a n salti di velocità k = n
turbina a n salti di pressione k =√n
1.3.2 Limiti strutturali
La velocità periferica (tangenziale) di una girante è limitata dalla massima forza centrifugache la girante stessa può sopportare, per i materiali di uso corrente vale:
umax = 300 m/s
3
Appunti sulle turbine ad azione
1.3.3 Massima velocità del vapore
La velocità di ingresso alla prima girante c1, supposta uguale a quella di uscita dal diffusore,dipende esclusivamente, a meno delle perdite, dal salto entalpico a disposizione. Applicandol’equazione di conservazione dell’energia tra le sezioni in e us del diffusore:
c2in
2+ hin =
c2us
2+ hus
si ottiene, trascurando cin rispetto a cus, si ha:
cin = cus =√
2(hin − hus)
1.3.4 Numero di stadi
Definito il salto entalpico a disposizione, vista la piccola variazione dell’angolo di ingresso(αin = 15÷ 20), la scelta del tipo di macchina ricade sulla cifra k (architettura e numero distadi) che soddisfi il vincolo sulla massima velocità periferica.
Per una macchina a salti di velocità il numero di stadi varrà:
nv =cin cosαin
2 umax
mentre per una a salti di pressione:
np =
(cin cosαin
2 umax
)2
Si nota che per smaltire un dato salto entalpico una turbina a salti di pressione richieda unmaggior numero di stadi rispetto ad una turbina a salti di velocità.
2 Lavoro e rendimento teorici di una turbina ad azione
2.1 Singola girante ad azione
Per una generica girante (individuata dall’apice (i)) si definiscono le sezioni di ingressoed uscita con i pedici 1 e 2. Su ciascuna sezione (k) viene definito, sotto le ipotesi dellateoria monodimensionale, un triangolo di velocità formato dalla velocità assoluta (c(i)
k ), dallavelocità relativa (w(i)
k ) e dalla velocità di trascinamento (u(i)k ), secondo le usuali convenzioni.
Per la girante assumeremo:
1. azione, funzionante in condizioni ideali:
w(i)1 = w
(i)2
2. costruita con criterio simmetrico
β(i)2 = π − β(i)
1
3. flusso assiale:u
(i)1 = u
(i)2 = u(i)
4
Appunti sulle turbine ad azione
2.1.1 Lavoro ottenuto da una girante ad azione
Sotto queste ipotesi, il lavoro specifico ottenuto dalla girante, vale, in accordo con la formuladi Eulero:
l(i) = u(i)(c
(i)1 cosα
(i)1 − c
(i)2 cosα
(i)2
)Da una semplice analisi dei triangoli di velocità si ha:
c(i)2 cosα
(i)2 = w
(i)2 cos β
(i)2 + u(i)
= w(i)1 cos
(π − β(i)
1
)+ u(i)
= −w(i)1 cos β
(i)1 + u(i)
= −(c
(i)1 cosα
(i)1 − u
)+ u(i)
= 2u(i) − c(i)1 cosα
(i)1
Sostituendo nella equazione di Eulero, si ottiene la nota formula:
l(i) = 2u(i)(c
(i)1 cosα
(i)1 − u(i)
)Introducendo il parametro Θ(=)u/c
(1)1 cosα
(i)1 , il lavoro specifico può essere riscritto come:
l(i) = 2 cos2 α(i)1 Θ(i)
(1−Θ(i)
)2.2 Turbina pluristadio a salti di velocità
Una macchina a salti di velocità (turbina Curtis) è costituita da una successione di stadi.Ciascuno stadio è costituito da una girante seguita da un raddrizzatore:
• la girante è una macchina ad azione ed ha il compito di convertire parte della energiacinetica del vapore in lavoro;
• il raddrizzatore è un componente statico che devia la vena fluida in uscita dalla turbinaper portarla ad una direzione compatibile con la successiva girante.
Ovviamente l’ultimo stadio è privo del raddrizzatore.Una turbina costituita dalla sola prima girante prende il nome di turbina de Laval.
2.2.1 Caratteristiche costruttive
Per ciascuno stadio (individuato dall’apice (i)), si definiscono le sezioni di ingresso ed uscitadalla girante con i pedici 1 e 2, le sezioni di ingresso ed uscita dal raddrizzatore con i pedici3 e 4. Su ciascuna sezione (k) viene definito un triangolo di velocità formato dalla velocitàassoluta (c(i)
k ), dalla velocità relativa (w(i)k ) e dalla velocità di trascinamento (u(i)
k ), secondole usuali convenzioni.
5
Appunti sulle turbine ad azione
Raddrizzatore A flusso assiale:
u(i)3 = u
(i)4 = u(i)
non converte entalpia in velocità e funziona in condizioni ideali:
c(i)3 = c
(i)4
è costruito con criterio simmetrico
α(i)4 = π − α(i)
3
Stadio Assumeremo ideale sia il passaggio tra girante e statore:
c(i)2 = c
(i)3 α
(i)2 = α
(i)3
che il passaggio tra due stadi successivi:
c(i)4 = c
(i+1)1 α
(i)4 = α
(i+1)1
Infine il flusso di vapore rimane sempre assiale:
u(i) = u(i+1) = u
2.2.2 Lavoro specifico di uno stadio in relazione al primo stadio
Il lavoro utile raccolto dal generico stadio ((i)):
l(i) = 2u(c
(i)1 cosα
(i)1 − u
)può essere espresso in funzione delle condizioni di ingresso dello stadio precedente ((i− 1)).Infatti:
c(i)1 cosα
(i)1 = c
(i−1)4 cosα
(i−1)4
= c(i−1)3 cos
(π − α(i−1)
3
)= c
(i−1)2 cos
(π − α(i−1)
2
)= −c(i−1)
2 cosα(i−1)2
= c(i−1)1 cosα
(i−1)1 − 2u
Sostituendo nella espressione del lavoro:
l(i) = 2u(c
(i)1 cosα
(i)1 − u
)= 2u
(c
(i−1)1 cosα
(i−1)1 − 2u− u
)Riordinando:
l(i) = 2u(c
(i−1)1 cosα
(i−1)1 − 3u
)= l(i−1) − 4u2
6
Appunti sulle turbine ad azione
Il lavoro specifico prodotto dall i-esima girante può essere scritto per via ricorsiva infunzione del lavoro prodotto dalla prima girante:
l(i) = l(1) − 4(i− 1)u2
oppure, ricordando il parametro Θ(1) = u/c(1)1 cosα
(1)1 e la definizione di l(1):
l(i) = l(1) − 4(i− 1)u2
= 2u(c
(1)1 cosα
(1)1 − u
)− 4(i− 1)u2
= 2(c
(1)1 cosα
(1)1
)u(1−Θ(1) − 2(i− 1)Θ(1)
)riordinando:
l(i) = 2(c
(1)1 cosα
(1)1
)2
Θ(1)[1−Θ(1) (2i− 1)
]2.2.3 Lavoro specifico della turbina
Considerando una macchina composta da n stadi, tutti perfetti, il lavoro specifico complessivosarà pari alla somma dei lavori specifici:
l =n∑i=1
l(i)
sostituendo e semplificando:
l =n∑i=1
(l(1) − 4(i− 1)u2
)= nl(1) − 4u2
n∑i=1
(i− 1)
= nl(1) − 4u2
n−1∑i=0
i
= nl(1) − 4u2n− 1
2n
riordinandol = nl(1) − 2n(n− 1)u2
ol = 2nu
(c
(1)1 cosα
(1)1 − nu
)e ricordando il parametro Θ(1):
l = 2(c
(1)1 cosα
(1)1
)2
nΘ(1)(1− nΘ(1)
)La condizione di fuga vale:
Θ(1)∣∣l=0
=1
n
7
Appunti sulle turbine ad azione
2.2.4 Rendimento
Il salto entalpico a disposizione (∆h) rappresenta la massima energia disponibile, pertantoil rendimento della turbina viene definito come:
η =l
∆h
Il salto entalpico a disposizione viene convertito in energia cinetica esclusivamente nel diffu-sore a monte della prima girante, assumendo una trasformazione ideale, trascurando il saltogeodetico e la velocità in ingresso al diffusore, dalla equazione di conservazione della energiain forma energetica si ha:
c(1)1 =
√2∆h⇒ ∆h =
(c
(1)1
)2
2
sostituendo:
η =2l(c
(1)1
)2 =4(c
(1)1 cosα
(1)1
)2
nΘ (1− nΘ)(c
(1)1
)2
riordinando:η = 4 cos2 α
(1)1 nΘ (1− nΘ)
Condizione di massimo rendimento Il valore di Θ che assicura il massimo rendimentosi ottiene differenziando ed eguagliando a zero:
∂η
∂Θ= 4 cos2 α
(1)1 n (1− 2nΘ) = 0
Pertanto il valore di Θ che assicura (in condizioni teoriche) il massimo rendimento vale:
Θ|ηmax=
u
c(1)1 cosα
(1)1
∣∣∣∣∣ηmax
=1
2n
Nel caso di turbina ideale alla condizione di massimo rendimento corrisponde sempre lostesso valore di rendimento, infatti sostituendo e risolvendo:
ηmax = cos2 α(1)1
2.3 Lavoro e rendimento teorici di una turbina a salti di pressione
Una macchina a salti di pressione (turbina Rateau) è una macchina ad azione (o piccologrado di reazione), composta da una successione di stadi. Ciascuno stadio è costituito dauna corona di pale statoriche (distributore) seguita da una girante:
• il distributore è un componente statico che provvede a trasformare l’energia di pressionein energia cinetica e devia la vena fluida per portarla ad una direzione compatibile conla successiva girante.
8
Appunti sulle turbine ad azione
• la girante è una macchina ad azione ed ha il compito di convertire l’energia cineticadel vapore in lavoro;
Nella turbina Rateau si assiste quindi ad una diminuzione della pressione passando dauno stadio al successivo, da cui il nome di turbina a salti di pressione, ovviamente una turbinaRateau composta da un solo stadio è una turbina de Laval.
2.3.1 Caratteristiche costruttive
Per ciascuno stadio (individuato dall’apice (i)), si definiscono le sezioni di ingresso ed uscitadalla girante con i pedici 1 e 2, le sezioni di ingresso ed uscita dal distributore con i pedici3 e 4. Su ciascuna sezione (k) viene definito un triangolo di velocità formato dalla velocitàassoluta (c(i)
k ), dalla velocità relativa (w(i)k ) e dalla velocità di trascinamento (u(i)
k ), secondole usuali convenzioni, come riportato in figura.
Distributore A flusso assiale:u
(i)3 = u
(i)4 = u(i)
converte parte del salto entalpico in velocità e funziona in condizioni ideali:
c(i)4 =
√2∆h(i) −
(c
(i)3
)2
Stadio Assumeremo ideale sia il passaggio tra girante e diffusore:
c(i)4 = c
(i)1 α
(i)1 = α
(i)4
che il passaggio tra due stadi successivi:
c(i)3 = c
(i−1)2 α
(i)3 = α
(i−1)2
Infine il flusso di vapore rimane sempre assiale:
u(i) = u(i+1) = u
2.3.2 Lavoro specifico di uno stadio
Per valutare le condizioni di lavoro di massimo rendimento di una turbina Rateau, bastaconsiderare che ogni singolo stadio può essere trattato come uno stadio De Laval. Quindi,per lo stadio i-esimo:
l(i) = 2u(i)(c
(i)1 cosα
(i)1 − u(i)
)e la condizione ottimale vale:
Θ((i))∣∣ηmax
=u
c(i)1 cosα
(i)1
∣∣∣∣∣ηmax
=1
2
9
Appunti sulle turbine ad azione
2.3.3 Lavoro specifico della turbina
Considerando una macchina composta da n stadi, il lavoro specifico complessivo sarà parialla somma dei lavori specifici:
l =n∑i=1
l(i)
Considerando tutti gli stadi perfetti, è lecito supporre che tutti gli stadi siano progettatiin maniera identica:
c(i)1 = c
(1)1 α
(i)1 = α
(1)1
quindi
l =n∑i=1
2u(c
(i)1 cosα
(i)1 − u
)=
n∑i=1
2u(c
(1)1 cosα
(1)1 − u
)= nl(1)
riscrivendo in funzione di Θ((1)):
l = n 2(c
(1)1 cosα
(1)1
)2
Θ((1))(1−Θ((1))
)2.3.4 Rendimento
Il salto entalpico a disposizione (∆h) rappresenta la massima energia disponibile, pertantoil rendimento della turbina viene definito come:
η =l
∆h=nl(1)
∆h=l(1)
∆hn
il salto entalpico viene convertito mediante gli n diffusori, se si assume che il salto entalpicototale venga equiripartito tra gli n stadi:
∆h(i) =∆h
n
allora il rendimento della turbina Rateau è pari al rendimento del primo stadio:
η =l(1)
∆h(1)
Condizione di massimo rendimento Se si trascura il recupero di energia (che carat-terizza le turbine Rateau), si suppone, quindi, che ciascuno stadio sia preceduto da unacamera di calma, la velocità in ingresso ad ogni stadio dipende solamente dal salto entalpicodisponibile:
c(i)1 =
√2∆h(i) =
√2
∆h
n=c
(t)1√n
dove con c(t)1 si è indicata la velocità in ingresso nel caso ci fosse un solo diffusore.
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Appunti sulle turbine ad azione
Sostituendo nella condizione di massimo rendimento del primo stadio (valida per tuttigli stadi) si ottiene:
u
c(1)1 cosα
(1)1
∣∣∣∣∣ηmax
=u
c(t)1√n
cosα(1)1
∣∣∣∣∣∣ηmax
=1
2
quindi, sotto le ipotesi fatteThi(1)ηmax
per queste turbine vale:
Θ((1))ηmax
=1
2√n
si riduce in ragione inversa della radice quadrata del numero degli stadi, quindi menovelocemente che nel caso delle turbine Curtis
3 Dimensionamento dei triangoli di velocità per una macchi-na a salti di velocità
Nel proseguo saranno sempre valide la seguenti ipotesi:
1. Tutti gli stadi sono assiali
2. Tutti gli stadi hanno la stessa velocità tangenziale
3. La velocità ingresso in uno stadio coincide in modulo, direzione e verso con la velocitàin uscita dallo stadio precedente
3.1 Distributore
In una macchina ad azione il distributore ha il compito di convertire interamente il saltoentalpico in energia cinetica e indirizzare il flusso verso la girante.
3.1.1 Ingresso
La velocità in ingresso al distributore viene, solitamente, trascurata in quanto notevolmenteinferiore a quella in uscita.
La direzione è solitamente scelta come equilibrio tra la minimizzazione delle perdite(minimizzando la deviazione) e la semplicità costruttiva. Per macchine di taglia non piccolae ad ammissione parziale è solitamente ortogonale alla girante, per macchine piccole puòessere tale da rendere il diffusore rettilineo.
3.1.2 Uscita
La scelta della direzione della velocità in uscita (αus) deve essere un equilibrio tra la necessitàdi far entrare il vapore nella successiva girante (αus ↑) e di massimizzare il lavoro raccolto(αus ↓). Di norma si sceglie:
αus = 15◦ ÷ 30◦
11
Appunti sulle turbine ad azione
Figura 1: Cifra di perdita per il distribu-tore
Noto il salto entalpico teorico a disposizione, si può stimare la velocità di uscita dal dis-tributore cus,teo applicando l’equazione di conservazione dell’energia tra le sezioni di ingresso(in) e uscita (us):
c2in
2+ hin =
c2us,teo
2+ hus,teo
da cui, trascurando cin rispetto a cus,teo, si ha:
cus,teo =√
2(hin − hus,teo)
Durante l’attraversamento del diffusore il flusso dissipa inevitabilmente energia a causadell’attrito con le pareti e, in seconda battuta, di fenomeni turbolenti. Questa dissipazione,oltre a rendere la trasformazione non isoentropica, si traduce in una riduzione della velocitàin uscita dal componente, pertanto:
cus = ϕdcus,teo
avendo introdotto il coefficiente di perdita ϕd, definito come rapporto tra la velocità reale equella teorica:
ϕd =cuscus,teo
Il valore di ϕd, se non sono presenti distacchi di vena nel distributore, è funzione dellavelocità, quindi del rapporto pin/pus, e dalla deviazione del flusso, quindi dell’angolo αus,mediamente assume valore ϕd = 0.94 ÷ 0.98 e può essere ottenuto mediante correlazionisemi-empiriche o da grafici come quello di figura 1.
3.1.3 Velocità di rotazione della girante
Nota la velocità di uscita dal diffusore si può scegliere la velocità di periferica (u) dellagirante in modo da massimizzare il rendimento. Nel caso teorico per una turbina ad azionea n giranti la velocità u che massimizza il rendimento vale:
uηmax =cus cosαus
2n
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Appunti sulle turbine ad azione
con n funzione del numero di salti.È noto che nel caso reale la condizione di massimo rendimento è leggermente inferiore alla
teorica appena calcolata, in prima approssimazione trascureremo questa differenza, quindila velocità periferica varrà:
u = uηmax
sarà poi necessario valutare quanto distanti dalla condizione di massimo rendimento questascelta porta.
Alternativamente si può scegliere di ridurre la velocità di primo tentativo dell’8÷ 10% inmaniera cautelativa.
3.2 Stadio ad azione
Ogni stadio di una turbina ad azione a salti di velocità è composto da due schiere palariposte in successione, la prima, mobile (girante), converte parte della energia cinetica inlavoro meccanico, la seconda, fissa (raddrizzatore), inverte la direzione del flusso per renderlacompatibile con la successiva girante. Ovviamente l’ultimo stadio non prevede la presenzadel raddrizzatore.
Entrambe le schiere palari sono componenti ad azione pura, durante l’attraversamentonon si ha conversione di entalpia in velocità, la pressione a monte e valle della schiera èla medesima e la velocità teorica con cui il vapore percorre il canale palare non subiscevariazioni di modulo.
3.2.1 Perdite energetiche
Le inevitabili dissipazioni, dovute sia all’attrito con le pale che ad altri fenomeni di naturafluidodinamica, vengono ricondotte ad una riduzione della velocità in uscita dalla schiera.
A tal fine si definisce il coefficiente di perdita ψg come rapporto tra la velocità reale equella teorica:
ψg =wuswus,teo
Il coefficiente di perdita dipende principalmente dalla entità della deviazione cui il vaporeè sottoposto, viene definito per mezzo di grafici o correlazioni semi-empiriche, quale quellaproposta da Vavra che ha forma (semplificata):
ψg = 0.99− 2.283 ε
104− 4, 97
180− εdove ε è l’angolo di deviazione, definito come differenza degli angoli di uscita ed ingressoespressi in gradi sessagesimali :
ε = βus − βinLa correlazione di Vavra è a rigore valida solo per le giranti, nel seguito la utilizzeremo
anche per le schiere raddrizzatrici
3.2.2 Girante
Con riferimento alla figura 2, per la generica girante si determinano i triangoli di velocitàsulle sezioni di ingresso ed uscita.
13
Appunti sulle turbine ad azione
βus
αus
cus
wus
inβ
inα
inc
inw
u
u
uscita teorico
Figura 2: Triangoli di velocità nellesezioni di ingresso ed uscita
Sezione di ingresso La velocità assoluta con cui il vapore entra nella girante è noto inmodulo, direzione e verso:
cin αin
essendo nota la velocità di trascinamento (u), mediante l’applicazione del teorema di Carnotè immediato calcolare il modulo della velocità relativa (win):
win =√c2in + u2 − 2ucin cosαin
inoltre, dalla uguaglianza delle componenti normali alla velocità di trascinamento, la di-rezione βin si calcola con:
βin = arcsin
(cin sinαin
win
)Sezione di uscita Per definizione di “macchina ad azione” durante l’attraversamento dellagirante non si ha trasformazione di entalpia in velocità, pertanto la velocità relativa teorica,velocità con cui il vapore percorre il canale palare, non subisce variazioni di modulo. Per tenerconto delle inevitabili dissipazioni, si introduce il coefficiente di perdita (ψg < 1), pertantosi avrà:
wus,teo = win =⇒ wus = ψgwus,teo = ψgwin
La scelta della deviazione da imprimere alla vena fluida è un equilibrio tra il lavororaccoglibile, le perdite generate e il costo di realizzazione. Una scelta conservativa è quelladi imprimere al vapore una deviazione simmetrica, pertanto l’angolo di uscita (βus) vale:
βus = 180− βin
Il modulo della velocità assoluta in uscita si ricava, analogamente a quanto visto per iltriangolo in ingresso,mediante il teorema di Carnot, avendo cura di controllare il valore degliangoli usati1:
cus =√w2us + u2 − 2uwus cos(180− βus)
1Il termine 180 − βus deriva dalla enunciazione del teorema di Carnot in cui è richiesto usare l’angolocompreso tra i due lati adiacenti e dalla definizione degli angoli caratteristici, sempre misurati a partire dalladirezione di u.
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Appunti sulle turbine ad azione
Sempre dalla uguaglianza delle componenti ortogonali alla velocità di trascinamento,l’angolo di uscita αus varrà2:
αus = 180− arcsin
(wus sin βus
cus
)3.2.3 Raddrizzatore
Il raddrizzatore è un palettamento fisso (quindi la velocità di attraversamento è la velocitàassoluta), interposto tra due giranti, il cui compito è deviare il vapore in modo da fargliassumere una direzione coerente con la rotazione della macchina.
La velocità assoluta con cui il vapore entra nella girante è nota in modulo, direzione everso:
cin αin
definita dalla uscita della girante immediatamente a monte.Essendo una schiera fissa non viene definita alcuna velocità relativa w.Anche nel raddrizzatore, per la definizione di macchina ad azione, non si ha conversione di
entalpia in velocità, si ha al più una perdita energetica dovuta all’attrito con le pareti e alladeviazione della vena, quindi la velocità in uscita sarà minore della teorica. Per quantificarela riduzione si introduce un coefficiente di perdita (ϕr), pertanto:
cus,teo = cin =⇒ cus = ϕrcus,teo = ϕrcin
Per l’angolo di uscita si possono effettuare due scelte progettuali distinte. Il raddrizzatorepuò essere realizzato in deviazione simmetrica, quindi:
αus = 180− αin
Oppure può venire progettato in modo tale che il flusso in ingresso alla successiva girante(αg,vallein ) abbia la stessa direzione dell’ingresso alla girante a monte (αg,montein ), quindi:
αg,vallein = αg,montein =⇒ αus = αg,montein
4 Rendimento di una turbina a salti di velocità per via“termica”
Considerando la macchina in maniera del tutto generica, si può definire il rendimento comerapporto tra il salto entalpico effettivamente utilizzato e il massimo disponibile:
ηis =∆h
∆hteo=
h0 − hscah0 − hsca,teo
Sotto l’ipotesi di macchina adiabatica, le perdite energetiche si tramutano in un aumento dientalpia:
hsca = hsca,teo +∑
p=perdite
∆hp
2In questo caso è necessario tenere conto della definizione dell’arcoseno per ottenere la corretta direzionedi cus
15
Appunti sulle turbine ad azione
Quindi il rendimento si può calcolare con:
ηis = 1−∑
p=perdite ∆hp
∆hteo
Le perdite energetiche conteggiate sono quelle dovute al diffusore, alle giranti, ai raddriz-zatori e la perdita energetica allo scarico.
4.1 Energia dissipata nel distributore
Dalla equazione di generalizzata in forma meccanica, scritta per un osservatore fisso:
cdc + gdz + dh = dQe
considerando il sistema adiabatico, trascurando la variazione geodetica (se presente è minima,se la macchina è ad asse orizzontale è assente):
cdc + dh = 0
integrando tra la sezione di uscita e quella di ingresso
c2us,teo
2− c2
in
2= hin − hus,teo
La velocità di efflusso varrà (indicando con hTin l’entalpia totale all’ingresso):
cus,teo =√
2 (hTin − hus,teo)
In un diffusore reale parte della energia cinetica viene dissipata in attrito, ma avendoconsiderato il sistema adiabatico, questa resta nel sistema, aumentandone la temperatura,pertanto l’entalpia in uscita risulta maggiore di quella teorica (hus > hus,teo).
Alternativamente le perdite possono essere viste come un non completo utilizzo del saltoentalpico disponibile (hus > hus,teo) che porta ad una riduzione della velocità di efflusso,ancora definita con:
cus =√
2 (hTin − hus)
Se si indica con ∆hd la differenza:
∆hd = hus − hus,teo
questa rappresenta l’energia non utilizzata o le perdite subite dal fluido.Ricordando la definizione di coefficiente di perdita ϕd, è immediato scrivere la differenza
in funzione della velocità teorica di efflusso:
∆hd = hTin −c2us
2−(hTin −
c2us,teo
2
)=c2us,teo
2− c2
us
2=c2us,teo
2− (ϕdcus,teo)
2
2
=c2us,teo
2
(1− ϕ2
d
)16
Appunti sulle turbine ad azione
4.1.1 Efficienza del distributore
Si osservi come il coefficiente ϕd sia è direttamente legato alla efficienza del diffusore definitacome:
εd =hTin − hushTin − hus,teo
infatti, ricordando l’equazione di conservazione della energia in cui si trascura il terminecinetico all’ingresso, si ha:
εd =hus + c2us
2− hus
hus,teo +c2us,teo
2− hus,teo
=c2us
2
2
c2us,teo
=
(cuscus,teo
)2
= ϕ2d
Il valore dell’entalpia all’uscita del distributore, note le condizioni iniziali e l’efficienzadel distributore, vale:
hus = hTin − εd(hTin − hus,teo
)= εdhus,teo + (1− εd)hTin
4.2 Energia dissipata nella girante
Dalla equazione di generalizzata in forma meccanica, scritta per un osservatore mobile:
wdw + gdz − udu+ dh = dQe
considerando il sistema adiabatico, trascurando la variazione geodetica (se presente è minima,se la macchina è ad asse orizzontale è assente) e nel caso di macchina assiale:
wdw + dh = 0
integrando tra la sezione di uscita e quella di ingresso
w2us
2− w2
in
2= hin − hus
nel caso di macchina ideale la velocità relativa non subisce variazioni, quindi l’entalpia noncambia attraversando la girante. Nel caso di macchina reale si ha:
hin − hus =ψ2gw
2in
2− w2
in
2=w2in
2(ψ2
g − 1)
osservando che ψg ≤ 1, le dissipazioni energetiche “finiscono” in entalpia:
hus − hin =w2in
2(1− ψ2
g)
4.3 Energia dissipata nel raddrizzatore
Dalla equazione di generalizzata in forma meccanica, scritta per un osservatore fisso:
cdc + gdz + dh = dQe
17
Appunti sulle turbine ad azione
considerando il sistema adiabatico, trascurando la variazione geodetica (se presente è minima,se la macchina è ad asse orizzontale è assente) e nel caso di macchina assiale:
cdc + dh = 0
integrando tra la sezione di uscita e quella di ingresso
c2us
2− c2
in
2= hin − hus
nel caso di macchina ideale la velocità assoluta non subisce variazioni, quindi l’entalpia noncambia attraversando il raddrizzatore. Nel caso di macchina reale si ha:
hin − hus =ϕ2rc
2in
2− c2
in
2=c2in
2(ϕ2
r − 1)
osservando che ϕr ≤ 1, le dissipazioni energetiche “finiscono” in entalpia:
hus − hin =c2in
2(1− ϕ2
r)
4.4 Energia dissipata allo scarico
Il vapore allo scarico (anche in condizioni ideali) deve possedere una certa velocità per poterabbandonare la turbina. Supponendo di convertire interamente questa energia in entalpia(fermando la vena fluida), nel caso di sistema adiabatico, trascurando ancora una volta itermini geodetici si ha:
∆hs =c2sc
2
5 Lavoro utile e rendimento reali di una turbina Curtisa due salti di velocità
Una turbina Curtis è una macchina assiale ad azione, costituita da due ruote entrambeprogettate con criterio di deviazione simmetrica.
5.1 Lavoro utile
Il lavoro specifico utile l è pari alla somma dei lavori utili ottenuti da ciascuna girante:
li = li2 + li2
il lavoro utile della generica girante si ottiene dalla manipolazione della equazione di Eulero,sotto le usuali ipotesi:
wout,j = ψg,jwin,jβout,j = π − βin,j
=⇒ li,j = u (1 + ψg,j) (cin,j cosαin,j − u)
Pertanto si indicando con 1 le condizioni in ingresso alla prima girante e con 3 quelledella seconda si avrà:
li1 = u (1 + ψg1) (c1 cosα1 − u)li2 = u (1 + ψg2) (c3 cosα3 − u)
18
Appunti sulle turbine ad azione
Tra le due giranti è interposto un raddrizzatore, una “macchina” ad azione, quindi lavelocità di attraversamento non cambia a meno delle perdite:
c3 = ϕrc2
anche per il raddrizzatore si suppone la deviazione simmetrica:
α3 = π − α2
Il lavoro ottenuto dalla seconda girante è riconducibile alle condizioni di uscita dellaprima girante. Sostituendo le relazioni per il raddrizzatore:
li2 = u (1 + ψg2) [ϕrc2 cos (π − α2)− u] = u (1 + ψg2) (−ϕrc2 cosα2 − u)
Ricordando che per il generico triangolo di velocità vale sempre:
ci cosαi = wi cos βi + u
e che anche la prima girante è una macchina ad azione con deviazione simmetrica, sostituendoe semplificando:
Pertanto il lavoro utile di una Curtis con raddrizzatore a deviazione simmetrica si puòesprimere con:
li = u [Ac1 cosα1 − (A +B)u]
avendo raccolto i coefficienti di perdita nei simboli:
A = 1 + ψg1 + (1 + ψg2)ϕrψg1 B = (1 + ψg2) (1 + ϕr)
19
Appunti sulle turbine ad azione
5.2 Rendimento
L’espressione del rendimento interno della macchina vale, come noto:
ηi =li
c21/2ϕ
2d
Ricorrendo alla espressione del lavoro appena trovata:
ηi = 2ϕ2d
u
c21
[Ac1 cosα1 − (A + B)u] = 2ϕ2d cos2 α1
u
c1 cosα1
[A− (A + B)
u
c1 cosα1
]introducendo il parametro
Θ =u
c1 cosα1
si ottiene l’espressione del rendimento nella nota forma:
ηi = 2ϕ2d cos2 α1Θ [A− (A + B)Θ]
5.2.1 Condizione di massimo rendimento
Sotto l’ipotesi di costanza dei coefficienti di perdita, per ottenere il valore di Θ nella con-dizione di massimo rendimento, coincidente con quella di massimo lavoro utile, è sufficientederivare l’espressione del rendimento:
∂ηi∂Θ
= 2ϕ2r cos2 α1 [A− 2(A + B)Θ]
risolvendo l’uguaglianza a zero si ottiene:
Θηmax =u
c1 cosα1
∣∣∣∣ηmax
=A
2(A + B)
5.2.2 Ottimizzazione dei triangoli di velocità
La procedura di dimensionamento dei triangoli di velocità, note le condizioni in uscita dal dif-fusore (c1 e α1), inizia con l’assunzione della velocità di trascinamento in condizioni teorichedi massimo lavoro rendimento e passo a passo definisce moduli ed angoli di ciascuna velocitàe i coefficienti di perdita di ciascuno stadio.
Giunti a termine del progetto sono quindi noti A e B, quindi è immediato verificare se:
Θ = Θηmax
o meglio seuη = Θηmaxc1 cosα1 = u
Se l’uguaglianza non è soddisfatta, si può procedere in maniera iterattiva:
1. si assume u = uη
2. si calcolano i triangoli di velocità (c1 e α1 rimangono invariati in quanto definiti daldiffusore)
20
Appunti sulle turbine ad azione
3. si calcola la nuova uη
si ripete sino a quando la variazione di velocità tangenziale non diventa accettabilmentepiccola, indice di raggiungimento della condizione di massimo rendimento.
Il risultato ovviamente si scosta dal caso ideale, in è sarebbe sufficiente minimizzare la c4
mediante uno scarico perfettamente assiale a causa delle perdite.Nel caso reale, si devono minimizzare gli effetti combinati di due tipologie di perdite:
energia cinetica associata alla c4, perdite per attrito attraverso i canali palari. La soluzioneè un compromesso che porta ad avere, in condizioni di massimo rendimento, uno scarico conc4 deviata dalla parte di u, anziché perfettamente assiale.
5.3 Rendimento per via “termica”
Il rendimento è esprimibile anche per via “termica” con:
ηis = 1−∑
p=d,g1,r,g2,s ∆hp
∆hteo
Dove le perdite che interessano una turbina Curtis a due salti di velocità valgono:
Diffusore : ∆hd = (1− ϕ2d)
c2us,teo2
= (1− ε) c2us,teo2
Prima girante : ∆hg1 = (1− ψ2g1)
w21
2
Raddrizzatore : ∆hr = (1− ϕ2r)c222
Seconda girante : ∆hg2 = (1− ψ2g2)
w23
2
Scarico : ∆hs =c242
6 Dimensionamento degli stadi ad azione
6.1 Diametro medio delle giranti
Per definizione di macchina assiale, il diametro medio (Dm) di ciascuno stadio (fisso o mobile)rimane costante tra tutti gli stadi.
La velocità periferica (u) è limitata, come noto, da considerazioni di natura strutturale,pertanto detta ntu la velocità di rotazione della turbina (in giri al minuto), dovrà essere:
2πntu60
=u
Dm/2
La necessità di accoppiare la turbina ad un generatore elettrico introduce un vincolo ditipo economico (oltre che di efficienza) al numero di giri.
Come noto, la velocità di rotazione all’albero di un generatore sincrono per la produzionedi corrente alternata (nal, espressa in numero di giri al minuto) dipende dalla frequenza
21
Appunti sulle turbine ad azione
della corrente prodotta (f , 50 Hz per la rete europea) e dal numero di coppie polari (p) checompongono il rotore della macchina elettrica, secondo la relazione:
nal =60 f
p
Visto che il costo del generatore cresce al cresce del numero di coppie polari, si preferisceutilizzare macchine a basso numero di coppie.
Per ridurre al minimo le perdite energetiche, si tende a preferire l’accoppiamento direttoturbina–generatore senza l’interposizione di riduttori o moltiplicatori di velocità:
ntu = nal
In questo caso, quindi, il diametro medio è immediatamente definito:
Dm =60
π
u
nal
Nel caso l’altezza o l’arco di ammissione risultino troppo piccoli, si può ricorrere allainterposizione di un moltiplicatore tra turbina e alternatore, in modo da poter utilizzare perla turbina una velocità di rotazione maggiore e dunque un diametro medio inferiore. Questascelta è lecita se la macchina è di piccola taglia, quindi caratterizzata da piccole potenze.
6.2 Dimensionamento del diffusore
In qualunque qualunque punto del diffusore vale la conservazione della massa:
mv = cost⇒ Si · ciνi
= cost
essendo Si la sezione di passaggio, ci la velocità di attraversamento e νi il volume specificoin corrispondenza dell i-esima sezione.
6.2.1 Sezioni di passaggio
La generica sezione del distributore si calcola dall’equazione di bilancio dell’energia appli-cata tra la sezione di ingresso e la sezione corrente e dalla applicazione del principio diconservazione della massa:
ci =√
2(h0 − hi)mv = Ai · ciνi
−→ Ai = mv ·νici
L’entalpia in ingresso al diffusore si ottiene direttamente dalle condizioni di progetto. Il valoridel volume specifico (νi) si ricava dalle tabelle o diagrammi, solitamente in funzione dellaentalpia e della pressione nella zona.
22
Appunti sulle turbine ad azione
Modello di conversione entalpia-velocità L’evoluzione dell’entalpia all’interno del con-dotto non è definita, sono note solamente le condizioni iniziali e finali.
Un metodo semplificato per rappresentare l’evoluzione del salto entalpico è
considerare la trasformazione tra ingresso ed uscita lineare
Le sezioni di cui si calcolerà l’area di passaggio vengono individuate sulla curva di espansionecon qualunque criterio.
Scelta delle sezioni Nel caso in cui le caratteristiche del fluido vengano ottenute medianteil un diagramma di Mollier, è comodo suddividere l’espansione in salti di pressione costantio comunque in base alle isobare incontrate (se si utilizzano le tabelle termodinamiche non infunzione della pressione, il “costo” operativo sarà leggermente superiore).
Lo schema logico risulta quindi:
(s0, h0)→ (s1, h1) lineare = 01pi
}su Diag. Mollier, pi ∩ 01→ hi, νi
mv
→ Ai
Conviene considerare la prima sezione immediatamente entro il diffusore, quindi riducen-do leggermente la pressione rispetto a quella di progetto, per evitare di ottenere una sezioneinfinita a causa della velocità nulla.
Visto che una sezione di estremo interesse e importanza è la sezione critica, è utile cal-colare il valore della pressione critica ed aggiungerlo, se necessario, alla lista delle pressioniconsiderate.
Sezione critica diffusore La forma del diffusore cambia a seconda si raggiunga o menoin un suo punto la condizione sonica. Come noto, tale condizione è definibile mediante ilrapporto critico tra le pressioni di uscita ed ingresso del diffusore:
rcr =
(poutpin
)cr
=
(2
k + 1
) kk−1
il valore del rapporto critico dipende dal rapporto k = cp/cv per un vapore varia con il gradodi surriscaldamento e si può assumere nell’intorno di rcr = 0.55, mentre per un gas perfettovale rcr = 0.528. Si definisce pressione critica la pressione in cui si raggiunge la sonicità, dalladefinizione di rapporto critico è immediato scrivere:
pcr = rcrpin
Se il rapporto tra le pressioni di valle e monte del distributore è inferiore al rapportocritico, o se la pressione di valle è inferiore alla pressione critica:
poutpin
< rcr o pout < pcr
allora in una sezione del condotto si raggiungono le condizioni critiche, quindi per acceler-are ulteriormente la vena in condizioni controllate, la forma del condotto sarà convergente-divergente.
23
Appunti sulle turbine ad azione
6.2.2 Forma e dimensione delle sezioni
Ciascuna sezione può essere quadrangolare o circolare, due sezioni consecutive, inoltre, pos-sono essere, ma non necessariamente, coassiali e concentriche. Sicuramente è necessario chela transizione tra una sezione e la successiva avvenga nella maniera più uniforme possibile,senza brusche variazioni o punti cuspidali. Le sezioni quadrangolare presentano in corrispon-denza degli spigoli delle zone sottoutilizzate, può convenire, quindi, realizzare una sezionecomunque arrotondata, compatibilmente con i costi di realizzazione.
La sezione di passaggio si può definire, genericamente, mediante il prodotto di due di-mensioni caratteristiche, una lungo il raggio delle ruote (altezza Hi) e una ortogonale allostesso (larghezza li):
Ai = k Hi li
Le forme “classiche” delle sezioni sono:
Sezione circolare La dimensione caratteristica è il diametro:
li = Hi = di =⇒ Ai =π
4d2i
Sezione quadrata La dimensione caratteristica è il lato:
li = Hi =⇒ Ai = l2i = H2i
Sezione rettangolare La dimensioni caratteristiche sono la larghezza (li) e l’altezza (Hi):
Ai = li Hi
in questo caso è necessario definire il rapporto tra le due grandezze caratteristiche.Alcune scelte possibili sono:
• tutte le sezioni hanno la stessa altezza, pari a quella della sezione di uscita: Hi =Hu = H0, quindi Ai = H0 li
• tutte le sezioni hanno lo stesso rapporto di forma della sezione di uscita Hi/li =Hu/lu, quindi Ai = Hu/lu l
2i
6.2.3 Altezza del diffusore e accoppiamento con la prima girante
Sezione frontale La sezione di uscita del diffusore (Au), ortogonale all’asse del diffusorestesso, per la conservazione della portata vale:
Au = mv ·νucu
dove νu e cu sono, rispettivamente il volume specifico e la velocità assoluta nella sezione diuscita.
Visto che l’asse del diffusore è inclinato di α1 rispetto alla direzione della velocità tan-genziale, la superficie frontale Af necessaria allo smaltimento della portata vale
Af =Au
sinα1
24
Appunti sulle turbine ad azione
Per permettere al vapore di entrare nella girante, caratterizzata da palette di altezza H0
poste a cavallo del diametro medio Dm, anche la sezione di uscita del diffusore avrà diametromedio Dm e, altezza Hu.
In prima istanza consideriamo la sezione frontale libera da nervature e di altezza parialla altezza della prima pala (Hu = H0), in tal modo la sezione assume la forma di coronacircolare.
Altezza del diffusore e della prima girante Noto il diametro medio Dm, l’altezza diriferimento delle pale (e del diffusore) si ottiene semplicemente con:
H0 =Af
σπDm
Per, ovvi, motivi fluidodinamici, l’altezza delle pale non può essere troppo piccola sia insenso assoluto che in relazione al diametro medio. In caso di necessità è possibile definireuna ammissione parziale per aumentarne il valore.
H0 =Af
σπDm
360
θd
Coefficiente di ingombro palare Per quanto riguarda la sezione, frontale, della girante,non è possibile ignorare la presenza delle pale. Definiremo il coefficiente di ingombro palareσ come rapporto tra la sezione lasciata libera dalle pale (At e l’area della corona circolarecorrispondente.
σ =At
πDmH0
Ammissione totale La soluzione concettualmente più semplice, prevede che la sezionedi uscita dal diffusore interessi tutta la sezione frontale della turbina (ammissione totale),quindi:
Af = At =⇒ Af = σπDmH0
Ammissione parziale Nel caso di giranti ad azione è possibile che il flusso di vapore noninteressi interamente la girante, in tal caso indicato con θd l’angolo (in sessagesimali) copertodal diffusore, l’area frontale varrà:
Af = σπDmH0θd
360
l’ammissione parziale deve coprire una estensione sufficientemente grande per non incorrerein elevate perdite per ventilazione, solitamente si cerca di avere almeno θd > 100◦.
6.2.4 Numero di ugelli
Per motivi di controllo o semplice resitenza strutturale può essere conveniente dividere ildiffusore in due o più parti.
25
Appunti sulle turbine ad azione
Il numero di ugelli si può fissare mediante considerazioni sulla forma e dimensione dellasezione di uscita, ad esempio se si vuole un condotto a sezioni circolari (di più semplicerealizzazione), dovrà essere:
Ad,u =π
4d2u =
π
4H2
0 =⇒ i∗d = Au/Ad,u
Oppure ricorrendo alla relazione empirica:
i∗d = (0.25÷ 0.33)θd
360Dm sinαout
con Dm diametro medio della girante affacciata al distributore, espresso in millimetri, θd arcodi ammissione in sessagesimi, αout inclinazione del flusso di vapore in uscita dal diffusore.
Scelto come numero di ugelli (id) l’intero più prossimo al valore calcolato (i∗d), supporremoche il flusso di vapore si spartisca uniformemente tra gli ugelli stessi, quindi ciascuno saràinteressato da una portata md:
md =mv
id
supporremo anche che le perdite in ciascun ugello siano tra loro uguali, quindi anche lesezioni di passaggio si ripartiranno uniformemente:
Ad,i =Aiid
Passo dei condotti Se ora si fissa la minima distanza ortogonale all’asse tra due condotti(s), misurata sull’arco mediano, il passo pd degli ugelli diffusori vale:
p = lf + sf =lu + s
sinα1
Arco di ammissione effettivo L’arco di ammissione effettivo quindi risulta:
θd =360
π· id · pDm
6.2.5 Lunghezza del tratto divergente
Nella parte divergente occorre prestare attenzione a non scegliere l’angolo di divergenza ϑtroppo elevato, così da scongiurare pericoli di distacchi di vena. Solitamente si fissa ϑ = 10◦.
La lunghezza del tratto divergente si calcola con semplici considerazioni geometriche. Sele sezioni di uscita ed ingresso sono concentriche e di uguale forma, indicando con cu e cg ledimensioni trasversali caratteristiche dell’uscita e della gola, rispettivamente, sarà
L =cu − cg
2 tan(ϑ/2)
nel caso di sezioni circolari le dimensioni caratteristiche saranno i diametri delle rispettivesezioni, per quelle quadrangolari le diagonali.
26
Appunti sulle turbine ad azione
Figura 3: Schema del distributore della turbina
6.2.6 Dimensione assiale del diffusore
L’inclinazione della parte convergente non risulta critica per il flusso e si è soliti raccordarein maniera dolce la parte frontale di ingresso del distributore con la sezione di gola. Occorreinfine scegliere la lunghezza assiale del diffusore. Per esso si utilizza in genere un valore dicirca 0.7 volte il passo dei condotti:
ld = 0.7p
6.3 Forma e dimensione delle palette
Il dimensionamento dei palettamenti sia della girante che del raddrizzatore viene effettuatoin maniera semplificata sulla base della teoria monodimensionale.
6.3.1 Passo e numero di pale
Uno schema di base del palettamento è riportato in figura 4.La procedura semplificata prevede di fissare la lunghezza assiale del palettamento lg
(nel caso del raddrizzatore si assume la lunghezza pari a 1.5 volte la lunghezza dello stadioimmeditamente precedente), successivamente si assumono passo (p∗) e spessore frontale dellepale (s) come percentuale della lunghezza assiale:
p∗ = 0.75 lg s = 0.025 lg
rdlg
rv
fc
βin βin
βoutβout
c
u
s
Figura 4: Schema del palettamento della girante
27
Appunti sulle turbine ad azione
Noto il passo e il diametro è immediato calcolare il numero di pale:
n∗p =πDm
p
il numero di pale (np) verrà assunto pari all’intero immediatamente superiore al valorecalcolato, cui corrisponde un passo effettivo (p):
p =πDm
np
La larghezza frontale del condotto interpalare (cf ) sulla sezione di ingresso varrà:
cf = p− s
e la larghezza nella direzione del flusso (c)
c = cf sin βin
6.3.2 Canale palare
Il canale palare è individuato dai profili di ventre e del dorso di ciascuna pala. Il canalepalare dovrà:
• deviare la vena fluida con continuità senza bruschi cambi di direzione;
• accogliere il fluido sulla sezione di ingresso senza urti, quindi sulla sezione i profili diventre e dorso devono essere caratterizzati da una tangente inclinata di βin;
• per guidare il fluido e raccogliere il lavoro previsto, i profili di ventre e dorso devonoessere caratterizzati da una tangente inclinata di βus sulla sezione di uscita.
• tutte le sezioni di passaggio hanno la stessa superficie, essendo la macchina ad azionepura, in particolare la larghezza del condotto palare (c) si manterrà costante per tuttal’estensione.
Visto che la macchina è stata disegnata con gli angoli β complementari, la soluzione piùsemplice ed immediata è tracciare la parte ventrale con un arco di circonferenza centrato sullamezzeria della lunghezza assiale e con raggio (rv) ottenibile mediante semplici considerazionigeometriche:
rv =lg
2 cos βin
La linea dorsale sarà composta da due segmenti inclinati degli angoli β e raccordati da unarco di circonferenza di raggio:
ρd = ρv − c
28
Appunti sulle turbine ad azione
6.3.3 Limiti
È evidente che lo spessore assiale minimo che garantisca la larghezza c è:
lg = 2 c cos βin
usando questo valore si ottiene una forma a cuspide (rd = 0) che a sua volta mal guida ilfluido, quindi per lo spessore assiale si preferiscono valori nettamente superiori:
lg >> 2 c cos βin
Per la scelta del valore dello spessore frontale delle pale s si può osservare che il coefficientedi ingombro palare σ è stato definito come rapporto tra la superficie di effettivo efflusso,quindi non occupata dalle pale, e la superficie frontale della ruota:
σ =Af
πDmHin
la sezione di passaggio è data da:Af = cf Hin np
sostituendo e usando la definizione di passo e numero di pale precedentemente vista:
σ =cf Hin npπDmHin
=cfp
=cf
s+ cf
quindi:
s =
(1
σ− 1
)cf
6.3.4 Altezza delle pale
Per qualunque punto del condotto interpalare vale la conservazione della massa:
mv = cost⇒ Si · viνi
= cost
essendo Si la sezione di passaggio, vi la velocità di attraversamento (c nel caso di palettamentifissi, w per quelli mobili) e νi il volume specifico in corrispondenza dell i-esima sezione. Inogni punto del condotto la sezione Si avrà forma rettangolare e dimensioni ci (larghezza delcondotto) e Hi (altezza della palettatura).
Stadio teorico In condizioni teoriche, la sezione Si non subisce variazioni, essendo costantesia la velocità di attraversamento (non dovendo raccogliere lavoro per reazione, cioè medianteincremento della velocità relativa del flusso), che il volume specifico (non avvenendo variazionidi entalpia o pressione). Per uno stadio ad azione non c’è motivo di sagomare i condottiinterpalari con rapporto di forma variabile (a parità di sezione), quindi se la larghezza delcanale (c in figura 4) è costante, sarà costante anche la altezza del palettamento (H), perfacilitare l’imbocco del vapore si sceglie di maggiorare leggermente l’altezza della sezione diingresso rispetto al valore della stessa all’uscita dello stadio precedente.
29
Appunti sulle turbine ad azione
Stadio reale Se si considera lo stadio reale, il vapore “vede” un incremento di entalpia,dovuto alle dissipazioni che si traducono in un aumento di temperatura del fluido (nondissipato verso l’esterno avendo considerato il sistema adiabatico), questo porta ad unavariazione di volume specifico in ogni sezione del canale interpalare. La conservazione dellaportata in massa richiede, quindi, di variare la sezione di efflusso (gli effetti di calo dellavelocità e aumento del volume specifico non sono in rapporto costante).
Per semplicità costruttiva, si assume costante la larghezza del canale (c in figura 4),pertanto la variazione di sezione (di forma quadrilatera) viene demandata alla altezza delpalettamento (Hi non costante).
Il modello di perdite semplificato adottato non permette di conoscere l’andamento delleperdite durante l’attraversamento, ma solo l’effetto sulla sezione di uscita. Indicando con Hin
e Hout, l’altezza delle sezioni di passaggio rispettivamente in ingresso e in uscita, l’equazionedi conservazione della massa può essere riscritta come:
Hin · vinνin
=Hout · voutνout
Fissata la larghezza in ingresso ad un valore leggermente superiore a quella di uscita dellostadio precedente, per garantire un buon imbocco del flusso, l’altezza della sezione di uscitasi calcola immediatamente con:
Hout = Hinvinνin
νoutvout
Nel caso di palettamento mobile, per ridurre la complessità costruttiva, si preferisceconsiderare l’altezza costante, scegliendo un valore medio tra i valori di ingresso ed uscita.Nel caso di palettamento fisso si considera una variazione lineare di altezza tra ingresso eduscita.
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