Progetto Pilota 3per la valutazione del sistema dell’istruzione
La statistica in 45 pillole
a cura di Roberta Cielo
COSA VUOL DIRE FARE STATISTICA
Quando si fanno affermazioni del tipo:
• il profitto di questa classe è in media sufficiente;
• quest’anno sono di moda le vacanze di tipo agrituristico
si fanno affermazioni di tipo statistico.
STATISTICA
La statistica si occupa della raccolta, classificazione, analisi dei dati che esprimono aspetti di fenomeni collettivi scelti come oggetto di studio e che si manifestano negli elementi di un determinato insieme.
Scopo della statistica è quello di descrivere questi fenomeni o di individuare regolarità di comportamento in essi.
Indagine statistica
Raccolta dei dati
Spoglio e trascrizione dei dati
Elaborazione dei dati
Raccolta dei dati
• Natura dei dati: qualitativa, quantitativa
• Metodo di raccolta: censimento, campionamento
• Tecnica di raccolta: intervista, compilazione di questionario, ecc.
Spoglio e trascrizione dei dati
• Enumerazione dei dati
• Classificazione in gruppi
• Trascrizione in tabelle
Tabella semplice
Frequenza o frequenza assoluta (peso) di una modalità è il numero totale di volte che essa si presenta nelle unità rilevate
Voto (modalità)
Allievi (frequenza)
4 3
5 5
6 8
7 5
8 3
Tabella composta
Voti 1° quadr 2°quadr4 2 35 4 36 8 87 5 48 3 2
Situazione dei voti nel 1° e 2° quadrimestre
Tabella a doppia entrataClassiVoti
1^ A 1^B 1^C4 2 4 25 4 3 36 8 7 97 5 4 38 3 4 3
Frequenze
• Frequenza relativa di una particolare modalità è il rapporto fra la sua frequenza assoluta e il numero totale delle unità rilevate, se moltiplicata per 100 è detta frequenza relativa percentuale
Voti Allievi(frequenza)
Frequenzarelativa
Frequenzarelativa %
4 2 0.09 95 4 0.18 186 8 0.36 367 5 0.23 238 3 0.14 14
Totale 22 1 100
2 / 22 0.094 / 22 0.18….
Confronto tra distribuzioniVoti1^A
Allievi(frequenza)
Frequenzarelativa
Frequenzarelativa %
4 2 0.09 95 4 0.18 186 8 0.36 367 5 0.23 238 3 0.14 14
Totale 22 1 100
Voti1^B
Allievi(frequenza)
Frequenzarelativa
Frequenzarelativa %
4 4 0.15 155 5 0.19 196 9 0.33 337 5 0.18 188 4 0.15 15
Totale 27 1 100
Frequenze cumulate: la somma delle frequenze delle
modalità inferiori e uguali di una data modalità
Voti1^A
Allievi(frequenza)
Frequenzarelativa
Frequenzarelativa %
Frequenzecumulate
4 2 0.09 9 95 4 0.18 18 9+18=276 8 0.36 36 9+18+36=637 5 0.23 23 …. 868 3 0.14 14 100
Totale 22 1 100Voti1^B
Allievi(frequenza)
Frequenzarelativa
Frequenzarelativa %
Frequenzecumulate
4 4 0.15 15 155 5 0.19 19 346 9 0.33 33 677 5 0.18 18 858 4 0.15 15 100
Totale 27 1 100
Elaborazione dei dati
• Rappresentazione dei dati (grafici)perché con l’immagine si riesce a dare un quadro generale della situazione indagata riuscendo a dare informazioni facilmente, rapidamente comprensibili.
• Quali grafici?Istogrammi, diagrammi a torta, grafici cartesiani, cartogrammi, ecc.
5,5
6
6,5
7
7,5
Mat
em.
Ital
iano
Ingl
ese
Scie
nze
Istogramma 1^A1^B1^C
Diagramma a torta
24%
22%
26%
28%
Matem
Italiano
Inglese
Scienze
Diagramma cartesiano
66,16,26,36,46,56,66,76,86,9
1° 2° 3° 4°
Anno scolastico
Cartogramma
Indici Statistici
Per sintetizzare i dati ed evidenziare una certa caratteristica:
• Indici di tendenza centrale
• Indici di dispersione
La media
Non esiste una sola media buona per ogni occasione, ma esistono più medie e verrà scelta la più adatta a mettere in evidenza la situazione cercata.
La media Gli obiettivi che ci si prefigge nel calcolo di una
media sono sostanzialmente due:
1) sostituire a più dati rilevati un solo numero che dia però una efficace rappresentazione del fenomeno dato;
2) esprimere l’ordine di grandezza o tendenza centrale dell’insieme dei dati relativi a un fenomeno. Tale ordine di grandezza può a volte sfuggire perché i dati sono spesso differenti fra loro.
La Media
A questo punto bisogna dare dei criteri pratici per calcolare tale valor medio; i più importanti, quindi quelli più usati, sono i seguenti:
a) si può calcolare il valor medio come funzione matematica dei dati rilevati e in tal caso si parla di media analitica;
b) si possono ordinare i dati rilevati e ottenere la media in relazione alla posizione che occupa fra essi e in tal caso si parla di media di posizione.
La media aritmetica
64
24
4
6585
6,5,8,5:
...,...,, 21
21
M
valoriseguentiiDatin
xxxxxxM n
n
La media aritmetica semplice M di n valori è il rapporto fra la loro somma e il loro numero n:
La media aritmetica ponderataQuando ciascuna modalità si presenta con una certa frequenza o peso, è più vantaggioso calcolare la media aritmetica considerando le frequenze (assolute o relative): in tal caso si parla di media aritmetica ponderata perché ogni valore entra nella media con il suo peso, cioè la sua frequenza.
La media aritmetica ponderata M di n valori è:
n
nnn
nnnndoven
nxnxnxxxxM
...
...,...,,
21
221121
Calcolo della media ponderata
624
3857865534
M
Voto (modalità)
Allievi (frequenza)
4 3
5 5
6 8
7 5
8 3
Attenzione!Non sempre il calcolo della media aritmetica rappresenta in modo significativo l’insieme dei valori a cui si riferisce. Per esempio, assegnati i valori:
38
24
8
13211312113,2,1,1,3,1,2,1)
68
48
8
101099233210,10,9,9,2,3,3,2)
68
48
8
675567656,7,6,5,6,7,6,5)
Mc
Mb
Ma
È opportuno allora definire altri valori medi che non siano frutto di calcolo matematico, ma che siano individuati in base alla loro posizione nella sequenza dei valori osservati.Tali medie si dicono medie di posizione le più utilizzate sono:
•La moda
•La mediana
La MODA
Moda di un fenomeno è la modalità con frequenza più elevata.
Mo = 6
Voto (modalità)
Allievi (frequenza)
4 3
5 5
6 8
7 5
8 3
La MEDIANA
Mediana: è il valore divisorio in quanto bipartisce la successione dei dati in due gruppi ugualmente numerosi; è il valore che taglia in due parti uguali la distribuzione dei dati ordinati, cioè il termine preceduto e seguito dallo stesso numero di dati.
Mediana Me di n valori ordinati in modo non decrescente è:
12
e2
di semisomma la usa si e
12
e 2
mediani valoridue abbiamo
2
1ncentraleposizionelaoccupachetermineilèse
nn
nnpariènse
disparin
Esempio: dati i valori ordinati:
1, 2, 2, 3, 4, 5, 6 Me = 3
i valori sono 7 la mediana è il termine che occupa il 4° posto (7+1)/2=4
Avendo a disposizione la distribuzione di frequenza (Frequenze cumulate) la mediana corrisponde al valore con frequenza del 50%, cioè quel valore che ha il 50% dei casi prima e il 50% dopo. Dalla tabella Me = 6
Voti 1^ AAllievi
(frequenza)Frequenza
relativaFrequenza relativa %
Frequenza cumulata
4 2 0,09 9 95 4 0,18 18 276 8 0,36 36 647 5 0,23 23 868 3 0,14 14 100
Totale 22 1 100
Asimmetria - simmetria
I Quartili
Il concetto di mediana si può facilmente generalizzare ottenendo altri valori divisori fra i quali i più usati sono i quartili. Tali indici di posizione si fondano sempre sul concetto di divisione della distribuzione.
I Quartili dividono la serie ordinata in quattro parti contenendo ciascuna lo stesso numero di dati.
x1 Q1 Q2= Me Q3 Q4 = xn
Punteggio FrequenzaFrequ.
relativa %Frequ.
Cumulata
0 1 4,2% 4,2%
2 2 8,3% 12,5%
4 1 4,2% 16,7%
5 1 4,2% 20,8%
7 1 4,2% 25,0% = Q1
9 1 4,2% 29,2%
10 1 4,2% 33,3%
11 1 4,2% 37,5%
12 2 8,3% 45,8%
13 1 4,2% 50,0% =Q2
14 1 4,2% 54,2%
16 1 4,2% 58,3%
19 1 4,2% 62,5%
21 4 16,7% 79,2% =Q3
22 1 4,2% 83,3%
24 1 4,2% 87,5%
25 1 4,2% 91,7%
26 1 4,2% 95,8%
29 1 4,2% 100,0% =Q4
Primo quartile: si trova esattamente sul valore 7, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 25,0%Secondo quartile: si trova esattamente sul valore 13, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 50,0%. Coincide sempre con la medianaTerzo quartile: si trova all’incirca sul valore 21, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 79,2% (75,0%)Quarto quartile: si trova sempre sull’ultimo valore, in questo caso è 29, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 100%
La variabilitàIl calcolo della media ci permette di sintetizzare una quantità di dati, ma dall’altro riduce l’informazione racchiudendo tanti valori in un solo ‘dato’, rende simili situazioni che proprio simili non sono.
1 ̂prova 2 ̂prova 3 ̂prova 4 ̂prova 5 ̂prova MEDIA
Allievo 1 3 4 5 9 9 6
Allievo 2 6 6 6 6 6 6
Allievo 3 2 4 7 8 9 6
Per ridurre la perdita di informazioni, si ricorre allo studio della variabilità del fenomeno.
Variabilità è la tendenza di un fenomeno ad assumere modalità diverse fra loro.La variabilità può essere rappresentata graficamente mediante il diagramma di dispersione.
Diagramma di dispersione
23456789
0 1 2 3 4 5
Prove
Allievo 1
Allievo 2
Allievo 3
Indici statistici di variabilità
• Campo di variazione o range R
• Varianza
• Scarto quadratico medio
• ….Permettono di valutare le disuguaglianze dei dati
rilevati in relazione al loro scostamento o dispersione da una media.
Campo di variazione o range R di un insieme di valori osservati è la differenza fra il valore massimo e il valore minimo:
R= x max - x min
Attenzione tale indice presenta due grossi difetti:1) dipende esclusivamente dai valori massimo e minimo registrati, senza considerare i valori intermedi;2) su di esso influisce pesantemente la presenza anche di un solo valore anomalo.
1211313,2,1,1,3,1,2,1)
821010,10,9,9,2,3,3,2)
2576,7,6,5,6,7,6,5)
Rc
Rb
Ra
Altri indici di variabilità, più raffinati, si possono trovare utilizzando un altro criterio,cioè la variabilità rispetto a un centro che può essere la media.
La varianzaLa varianza è la media aritmetica degli scarti dalla media al quadrato, 2 (sigma quadrato).
8
5
22
692
652
642
632:allievo 1 Es.
... 222
212
n
MxMxMx n
1 ̂prova 2 ̂prova 3 ̂prova 4 ̂prova 5 ̂prova MEDIA Varianza
Allievo 1 3 4 5 9 9 6 8
Allievo 2 6 6 6 6 6 6 0
Allievo 3 2 4 7 8 9 6 8,5
Scarto quadratico medioLo scarto quadratico medio (sqm) o deviazione standard è la radice quadrata (positiva) della varianza.
n
MxMxMx n22
22
12 ...
1^ prova 2^ prova 3^ prova 4^ prova 5^ prova MEDIA Varianzasqm o
Deviazione standard
Allievo 1 3 4 5 9 9 6 8 2,83
Allievo 2 6 6 6 6 6 6 0 0,00
Allievo 3 2 4 7 8 9 6 8,5 2,92
NormalizzazioneLa normalizzazione è un’operazione statistica che permette di mettere a confronto distribuzioni diverse.
Avendo due prove il cui punteggio grezzo massimo raggiungibile dagli studenti è diverso, 30 nella prima prova e 45 nella seconda prova, non permette di confrontare i risultati ottenuti. Per superare questo inconveniente ricorro alla normalizzazione. Essa si basa su una proporzione:
(Punti studente) : (p.ti totali) = (P.ti studente normalizzati) : 100
AllieviPunti 1 ̂
provaPunti 1 ̂
provaP.ti 1 ̂p
normalizzatiP.ti 2 ̂p
normalizzati
A1 25 40 83,3 88,9
A2 15 43 50,0 95,6
A3 28 38 93,3 84,4
A4 19 33 63,3 73,3
A5 22 31 73,3 68,9
A6 30 20 100,0 44,4
A7 27 26 90,0 57,8
A8 18 45 60,0 100,0
Per A1 1^p 25 : 30 = x : 100 x = 25/30*100 = 83,3
2^p 40 : 45 = x : 100 x = 40/45*100 = 88,9
Normalizzazione
Come leggere i risultatiNella tabella sono riportati i dati relativi alla media, alla deviazione standard, al valore minimo e massimo, alla mediana e alla moda. Vediamo come leggere questi dati aiutandoci con le definizioni di tali valori statistici ed un esempio di risultati ottenuti da una scuola. I punteggi sono normalizzati a 100: la scala di riferimento ha come valore minimo 0 (le risposte a tutti i quesiti della prova sono errate) e come valore massimo 100 (le risposte a tutti i quesiti della prova sono corrette).
MediaDev.
standardMin. Max. Moda Mediana
scuola 59,3 16,9 20,0 98,2 73,3 61,3
Media (o punteggio medio)È la somma dei punteggi ottenuti dagli studenti diviso il numero totale degli stessi. Una media elevata indica la presenza nella scuola di elevate competenze, al contrario una media bassa indica la presenza di scarse competenze nella scuola. Nell'esempio la Media (o punteggio medio) è 59,3;ModaÈ il punteggio ottenuto più frequentemente dagli studenti, nell'esempio la scuola ha ottenuto come valore modale 73,3. Ovvero tra tutti i punteggi possibili tra 0 e 100, tale punteggio è quello ottenuto da più studenti.MedianaÈ il punteggio in corrispondenza del quale gli studenti vengono esattamente divisi in due parti uguali. Nell'esempio la mediana corrisponde a 61,3 e indica che il 50% degli studenti ha ottenuto un punteggio inferiore a 61,3% e che il restante 50% ha ottenuto un punteggio superiore al 61,3;
Minimo E' il punteggio più basso ottenuto dagli studenti. Nell'esempio il punteggio minimo è 20,0;MassimoE' il punteggio più alto ottenuto dagli studenti. Nell'esempio il punteggio massimo è 98,2;Deviazione standardÈ una misura della dispersione del punteggio intorno al punteggio medio. Un basso valore della deviazione standard indica che i punteggi sono concentrati intorno alla media e che le competenze degli studenti sono omogenee; al contrario una deviazione standard alta indica che le competenze degli studenti sono disomogenee. Nel nostro esempio, aggiungendo e sottraendo al punteggio medio (59,3) la deviazione standard (16,9) si ottiene un intervallo (42,4 - 76,2) in cui si trova il 68% degli studenti. Analogamente aggiungendo e sottraendo 2 volte la deviazione standard si ottiene un intervallo (25,5 - 93,1) in cui si trova il 95% degli studenti.
MediaDev.
standardMin. Max. Moda Mediana
scuola 59,3 16,9 20,0 98,2 73,3 61,3
Scuola Prova di ItalianoProva di
MatematicaProva di Scienze
mediadeviazione
standardmedia deviazione
standardmedia deviazione
standard
Scuola XX 53.3 12.056.1 14.3 60.3 12.8
Veneto 51.5 13.8 50.5 17.9 58.6 13.5Nord-Est 53.4 13.8 53.1 17.7 56.3 14.8
Come si può notare, i risultati ottenuti dagli studenti della Scuola XX sono decisamente migliori rispetto alle medie del Veneto e del Nord-Est, sia nei valori medi che nella omogeneità della preparazione.
… ancora sui quartiliDalla distribuzione dei punteggi si sono trovati i seguenti percentili notevoli (i 4 quartili):
x25 = 37 x50 = 51 x75 = 62 x90 = 74
51,5 27,9 16,2 4,4 -
% Stud. 1° Percentile 25% Punteggi <= 37
% Stud. 2° Percentile 25% Punteggi > 37 e
<= 51
% Stud. 3° Percentile 25% Punteggi > 51 e
<= 62
% Stud. 4° Percentile 25% Punteggi > 62
% Stud. Nel Top Punteggi
>= 74
Allora il 51,5% degli studenti ha ottenuto un punteggio inferiore al 25-esimo percentile (37) , il 27,9% un punteggio compreso tra il 25-esimo e il 50-esimo percentile (tra37-51) ...
Confronto con il campione nazionale
Nel confronto tra i dati della scuola e quelli del campione nazionale si dovrà tener conto dell’errore di campionamento.
Esempio: se la scuola ha M = 80 e la media del campione è Mc = 70 con un errore di 10, il dato della scuola non si discosta significativamente dal dato del camipone
80 70 10