QLF07 - Matematica Divertente e Magica

n. 7

dicembre 2011

Matematica

divertente e magica

Ennio Peres

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Quaderni del Liceo Ferraris

numero 7 - dicembre 2011

Ennio Peres Matematica divertente e magica

Troppo spesso la matematica è ritenuta disciplina arida e astrusa: ma non è così! Per dirla come il famoso esperto di giochi matematici Martin Gardner:

“Ho sempre pensato che il modo migliore per rendere la matematica interessante è quella di presentarla come se fosse un gioco. A livelli superiori – specialmente quando la matematica è applicata a problemi concreti – può e deve essere terribilmente seria. Ma, nessuno studente può essere motivato a studiare, ad esempio, la teoria astratta dei gruppi dicendogli che la troverà bella, interessante, o addirittura utile se diventerà un fisico delle particelle elementari (…). Nessuno dice che un insegnante non debba far altro che divertire i propri studenti. Deve esserci un interscambio tra serietà e divertimento: quest’ultimo tiene desto l’interesse, mentre la serietà giustifica il divertimento. Alla fine, lo studente potrà perfino essere sorpreso dalla quantità di matematica non banale che ha appreso senza neppure volerlo”.

Il presente quaderno riporta alcuni significativi esempi di giochi matematici proposti dal famoso matematico e “giocologo” Ennio Peres in occasione dell’incontro culturale svoltosi presso il Liceo “G. Ferraris” di Taranto il 4 febbraio 2011 e dimostra che

“La matematica è un gioco e comunica totale magia.” (Anagramma di Mister Aster…alias Ennio Peres)

Ennio Peres, laureato in matematica, ex docente di matematica e di informatica, dalla fine degli anni ’70 svolge la professione di “giocologo”, con l’intento di diffondere tra la gente il piacere creativo di giocare con la mente. E’ autore di numerosi libri di argomento ludico, ideatore di giochi in scatola e radiotelevisivi e collabora con varie testate giornalistiche.

MATEMATICA DIVERTENTE E MAGICA

Autore: Ennio Peres

Introduzione

La matematica è ritenuta una materia arida e noiosa solo da

chi la considera unicamente come la disciplina che insegna a fare i

conti. In realtà, nel processo di risoluzione di un problema

matematico, lo svolgimento dei calcoli costituisce solo il momento

terminale (oggettivamente, monotono e ripetitivo); la fase più

importante, e assai più stimolante, è proprio quella relativa alla

ricerca del procedimento da seguire. Nella didattica della matematica,

il ricorso a delle proposte ludiche consente di affrontare in maniera

piacevole la soluzione di problemi di varia complessità e rappresenta,

quindi, uno strumento di motivazione allo studio molto più

coinvolgente di quell’arido e intricato guazzabuglio di passaggi

algebrici che tradizionalmente deprime e scoraggia la maggioranza

degli studenti di ogni ordine e grado. In particolare, può risultare

molto efficace l’esecuzione di qualche gioco di prestigio basato su un

ragionamento matematico. Se si esegue in classe un gioco di questo

tipo, senza spiegarne il trucco, ma invitando gli alunni a scoprirlo,

l’innata tendenza umana a svelare l’arcano, dovrebbe spingerli ad

Matematica divertente e magica – pag. 2

applicarsi con impegno in tale ricerca. In questa fase, tra l’altro,

dovrebbero essere indotti a collegare in maniera più concreta i

concetti astratti con l’esperienza pratica, dovendo necessariamente

interpretare in chiave matematica ogni singolo passo dell’esibizione

alla quale hanno assistito.

Qui di seguito sono riportati alcuni significativi esempi di

questo genere di giochi, proposti durante l’incontro culturale svoltosi

al Liceo “G. Ferraris” di Taranto venerdì 4 febbraio 2011.


1. IL MAGICO «9»

Modalità di esecuzione

1. Scrivete il numero 9 su un foglio (senza far vedere quale

numero avete scritto) e ponete poi il foglio in una busta chiusa.

2. Chiamate uno spettatore e chiedetegli di posizionare uno

stuzzicadenti su un tabellone della tombola, in un punto a sua scelta,

in modo da toccare tre soli numeri (ammettiamo che, come illustrato

in fig. 1, i numeri siano: 87, 88 e 89).

3. Invitatelo ad eseguire la somma delle cifre dei tre numeri

così e di ripetere eventualmente tale operazione sul risultato ottenuto,

finché non gli rimane una sola cifra (nel nostro caso:

8 + 7 + 8 + 8 + 8 + 9 = 48; 4 + 8 = 12; 1 + 2 = 3).

4. Chiedetegli di posizionare lo stuzzicadenti in un altro punto

del cartellone, in modo da toccare tre nuovi numeri (ammettiamo che,

come illustrato in fig. 2, i numeri siano: 27, 36 e 45).

figura 1 figura 2

5. Invitatelo ad eseguire, come prima, la somma delle cifre dei

numeri così scelti fino a ottenere una sola cifra (nel nostro caso:

2+7+3+6+4+5 = 27; 2+7 = 9).

6. Pregatelo di eseguire il prodotto tra il risultato così ottenuto

e quello ottenuto prima (nel nostro caso: 3×9= 27).


7. Chiedetegli, infine, di eseguire la somma delle cifre del

numero così ottenuto (nel nostro caso: 2+7 = 9).

8. Aprite la busta e mostrate che la vostra previsione si è

rivelata esatta.

Accorgimenti da seguire

Il gioco funziona sempre, se all’inizio scrivete sul foglio il

numero 9. Infatti, la somma delle cifre di un multiplo di 3 è, a sua

volta, un multiplo di 3 e moltiplicando tra loro due multipli di 3 si

ottiene sempre un multiplo di 9.

2. IL MAGICO «9»….e due


1. Scrivete il numero 9 su un foglio (senza far vedere quale

numero avete scritto) e ponete poi il foglio in una busta chiusa.

2. Fornite ai vostri spettatori le seguenti istruzioni collettive

(specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera

indipendente, senza consultarsi con gli altri):

a) pensate a un numero intero composto da due sole cifre

(ad esempio: 85);

b) eseguite la somma di queste due cifre (85 � 8+5 = 13);

c) sottraete il risultato così ottenuto dal numero scelto prima

(85−13 = 72);

d) se come risultato vi è venuto un numero composto da una

sola cifra fermatevi qui; altrimenti, eseguite la somma delle sue cifre

(72 � 7+2 =9).


3. A questo punto, chiedete che, al vostro via, ogni spettatore

dichiari ad alta voce, insieme agli altri, il risultato che ha ottenuto.

4. Date il via e, con un certo stupore, tutti gli spettatori diranno

in coro: «9»!

5. Aprite la busta contenente la vostra previsione e mettete in

evidenza che avevate previsto esattamente il risultato che sarebbe

stato ottenuto, nonostante aveste lasciato libero ogni spettatore di

scegliere il numero che preferiva.

Spiegazione del trucco

Un qualsiasi numero N di due cifre, composto da X decine e Y

unità, può essere scritto come: N = 10X+Y.

Eseguendo le due operazioni richieste, si ottiene, quindi:

N−(X+Y) = 10X+Y−X−Y = 9X.

Il risultato è, di conseguenza, sempre un multiplo di 9,

indipendentemente dal valore del numero di partenza. Per un noto

criterio di divisibilità, inoltre, la somma delle cifre di un multiplo di 9 è

sempre uguale a 9...

3. UN CALCOLO CON I PIEDI


1. Impartite ai vostri spettatori le seguenti istruzioni collettive

(specificando che ognuno di loro dovrà eseguirle in maniera

indipendente, senza consultarsi con gli altri):

a) scrivete il vostro numero di scarpe, senza prendere in

considerazione eventuali mezze misure (ad esempio: 42);


b) moltiplicate per 100 questo numero (42×100 = 4200);

c) sottraete dal numero così ottenuto il vostro anno di nascita

(ad esempio: 1975 e, quindi: 4200−1975 = 2225);

2. A questo punto chiedete a uno spettatore di comunicarvi il

risultato che ha ottenuto e, dopo pochi secondi, siete in grado di

indovinare il numero di scarpe che porta e l’età che ha compiuto (o

che compirà nell’anno in corso).

3. Potete replicare questa stessa performance, con altri

spettatori, una quantità di volte a vostro piacere...


Per riuscire in tale impresa, dovete sommare mentalmente il

valore dell’anno in corso al numero che vi viene, di volta in volta,

comunicato. Se tutti i calcoli sono stati eseguiti correttamente, ogni

risultato sarà costituito da quattro cifre: le prime due indicheranno il

numero di scarpe, mentre le altre due indicheranno l’età.

Nell’esempio precedente, supponendo che l’anno in corso sia il

2011, si ottiene:

2225+2011 = 4236 � 42 | 36 (scarpe = 42, età = 36).

Il trucco funziona sempre, purché il gioco non venga proposto

a una persona che ha più di 99 anni...


Se chiamiamo S il numero di scarpe dello spettatore, A il suo

anno di nascita e N il risultato che ci viene comunicato, la sequenza

di istruzioni fornita genera la seguente equazione:

N = S×100−A


Se, inoltre, chiamiamo C l’anno in corso e aggiungiamo questo

valore a quello di N, otteniamo:

R = N+C = S×100−A+C

o anche:

R = S×100+(C−A)

Considerando che l’età E di una persona è uguale alla

differenza tra l’anno in corso e quello di nascita, possiamo porre

E = C−A e, quindi, l’equazione precedente diventa:

R = S×100+E

Siccome sia S che E possono essere composti al massimo da

due cifre (se si evita di proporre il gioco a un centenario...), possiamo

porre S = “ab” ed E = “cd”. Di conseguenza, il valore R della somma

indicata nella relazione precedente, si ricava nel seguente modo,

impostando l’addizione in colonna:

ab00 +

cd =

abcd

Come appare evidente:

• il numero composto dalle prime due cifre di questo risultato

(“ab”) coincide con S (numero di scarpe dello spettatore);

• il numero composto dalle ultime due cifre di questo risultato

(“cd”) coincide con E (età dello spettatore).


4. L’INDOVINO VINCENTE


1. Procuratevi un insieme di dieci carte da gioco, composto da

un Jolly e da altre nove carte di valore dall’1 (asso) al 9.

2. Porgete le dieci carte a uno spettatore e chiedetegli di

disporle sul tavolo, in fila orizzontale, nel modo che ritiene più

opportuno.

3. Comunicategli che, a turno, ognuno di voi due dovrà togliere

una sola carta da una delle due estremità della fila; vincerà chi, alla

fine, sarà riuscito a conseguire il totale più alto, sommando i valori

delle cinque carte prese (il pareggio non è possibile, perché la

somma di tutti i valori in gioco, 45, è dispari).

4. Fate presente allo spettatore che, per bilanciare il vantaggio

concessogli nel lasciarlo libero di scegliere la disposizione delle carte,

la prima mossa la effettuerete voi.

5. Prima di dare inizio al gioco, annunciate che voi vincerete

sicuramente la sfida, pronosticando anche il punteggio che riuscirete

a conseguire.

Supponiamo, ad esempio, che lo spettatore abbia disposto le

carte nel seguente modo.

Dopo aver dato una rapida occhiata alla situazione, annunciate

che vincerete: 27 a 18; poi, iniziate a giocare, prendendo la prima

carta a sinistra (l’asso). Successivamente, le mosse si alterneranno

come di seguito indicato (dove: A = voi; B = spettatore):


Carte in tavola Punti

A

1

B

6

A

8+1 =

= 9

B

5+6 =

= 11

A

2+9 =

= 11

B

4+11 =

= 15

A

9+11 =

= 20

B

3+15 =

= 18

A

7+20 =

= 27

B 0+18 =

= 18


6. A questo punto, fate notare che, non solo avete vinto, ma

che avete anche centrato in pieno il risultato pronosticato!


All’inizio, dopo che lo spettatore ha disposto le dieci carte,

dovete calcolare mentalmente la somma dei valori delle carte di posto

pari e quella delle carte di posto dispari, valutando quale delle due è

più alta. Nell’esempio precedente, la somma più alta corrispondeva ai

valori delle carte di posto dispari, come qui di seguito evidenziato.

carte Somme

dispari

1+2+7+

+9+8=

= 27

pari

5+3+0+

+4+6 =

= 18

Come valore di previsione, dovete annunciare proprio quello

della somma così rilevata (nel nostro caso: 27).

Se la somma più alta è data dalle carte di posto dispari, dovete

iniziare a giocare prendendo la carta che si trova all’estremità sinistra

(di posto dispari); altrimenti, dovete prendere quella che si trova

all’estremità destra (di posto pari). Per questo motivo, nell’esempio

precedente (dove la somma di valore più alto corrispondeva alle

posizioni dispari), dovevate prendere la carta che si trovava

all’estremità sinistra.

Successivamente, dovete prelevare, ogni volta, la carta che si

trova nella posizione attigua a quella della carta che ha appena preso


l’avversario..


Dopo aver individuato in quale delle due posizioni (pari o

dispari) si trovano le carte che forniscono la somma più alta, il trucco

consiste nel riuscire a prendere tutte le carte che si trovano proprio in

quella posizione, forzando lo spettatore a prendere le altre.

Di conseguenza, se si prende all’inizio la carta che si trova

nella posizione prescelta (pari o dispari), alla mossa successiva lo

spettatore potrà prendere solo una carta che si trova nell’altra

posizione (dispari o pari), indipendentemente dall’estremità che

sceglie.

I due schemi seguenti (dove P = pari; D = dispari) dovrebbero

chiarire tale concetto.


P D P D P D P D P

1° caso: tolta la carta di posto dispari, è possibile prendere

solo una carta di posto pari

D P D P D P D P D

2° caso: tolta la carta di posto pari, è possibile prendere solo

una carta di posto dispari

Si può ripristinare una situazione analoga a questa se, ogni

volta, dopo che lo spettatore ha preso la sua carta (in posizione

obbligata), si prende la carta (l’unica) che si trova nella posizione di

somma maggiore, individuata all’inizio. Siccome, accanto a una

posizione di certo tipo (pari o dispari) ce n’è sempre ovviamente una

dell’altro tipo (dispari o pari), per compiere una simile mossa, in

maniera automatica, basta prendere ogni volta la carta che si trova

nella posizione attigua a quella della carta che ha appena preso

l’avversario.

5. IL CALCOLATORE LAMPO


1. Preparate otto cartoncini rettangolari, scrivendo su ognuno

di essi cinque cifre disposte in colonna, secondo lo schema seguente:

8

1

6

0

5

7

5

0

1

8

4

6

7

2

3

1

7

8

3

4

5

0

9

4

6

3

9

8

5

0

9

8

1

6

2

2

4

5

7

9


2. Consegnate i cartoncini ad uno spettatore; voltategli le

spalle e pregatelo di disporre sul tavolo una certa quantità di questi

cartoncini (anche tutti), uno accanto all’altro.

3. Fate notare che in questo modo, si sono formati cinque

numeri, composti da tante cifre quanti sono i cartoncini utilizzati,

incolonnati uno sotto l’altro. Ad esempio, se sono stati disposti cinque

cartoncini nel seguente modo:

2

4

5

7

9

4

6

7

2

3

5

0

9

4

6

7

5

0

1

8

9

8

1

6

2

si sono formati nell’ordine i seguenti cinque numeri di sei cifre:

24.579 – 46.058 – 57.901 – 72.416 – 93.682.

4. Annunciate che siete in grado di eseguire la somma di

questi cinque numeri, a velocità istantanea.

5. Prendete un foglio di carta e una penna; voltatevi e, dopo

aver posto il foglio sul tavolo, alla base dei cartoncini, scrivete su di

esso la somma dei cinque numeri. Nell’esempio in esame, scriverete:

2

4

5

7

9

4

6

7

2

3

5

0

9

4

6

7

5

0

1

8

9

8

1

6

2

2 9 4 6 3 6

6. Fate verificare allo spettatore, ricorrendo eventualmente a

una calcolatrice, che il valore da voi trascritto è esatto (infatti:

24.579+46.058+57.901+72.416+93.682 = 294.636).



Invece di calcolare realmente la somma dei cinque numeri,

dovete effettuare le seguenti semplici operazioni:

a) scrivere un 2 nella posizione che precede quella occupata

dal primo cartoncino a sinistra;

b) sotto ciascuno dei cartoncini seguenti, tranne l’ultimo,

scrivere la somma tra il numero 2 e la cifra che, nel relativo

cartoncino, occupa il 4° posto dall’alto;

c) sotto l’ultimo cartoncino trascrivere inalterata la cifra che, in

esso, occupa il 4° posto dall’alto.

Il seguente schema (dove sono state evidenziate e colorate in

verde le cifre che, nei vari cartoncini, occupano il 4° posto dall’alto)

dovrebbe chiarire le operazioni da svolgere, nel caso in esame.

2

4

5

7

9

4

6

7

2

3

5

0

9

4

6

7

5

0

1

8

9

8

1

6

2

2 9 4 6 3 6

↑↑↑↑ ↑↑↑↑ ↑↑↑↑ ↑↑↑↑

7+2 2+2 4+2 1+2


Gli otto cartoncini sono stati preparati in modo tale che la

somma delle cinque cifre riportate su ognuno di essi sia sempre

uguale al valore della somma tra il numero fisso 20 e la cifra che si

trova al quarto posto dall’alto. Qui di seguito, è mostrata in dettaglio

tale corrispondenza.


8

1

6

0

5

7

5

0

1

8

4

6

7

2

3

1

7

8

3

4

5

0

9

4

6

3

9

8

5

0

9

8

1

6

2

2

4

5

7

9

20 21 22 23 24 25 26 27

La somma delle cifre appartenenti a una stessa colonna,

quindi, dà sempre come risultato un valore uguale alla cifra che

occupa il quarto posto dall’alto, con il riporto di 2.

Nell’esempio precedente, in definitiva, è stata eseguita la

seguente addizione:

2 6 +

2 1 +

2 4 +

2 2 +

2 7 =

2 9 4 6 3 6

Come si può facilmente notare, le cifre poste in quarta

posizione nei cartoncini sono tutte inferiori a 8; di conseguenza, una

loro eventuale somma con il numero fisso 2 non genera mai un

ulteriore riporto, indipendentemente dalla disposizione dei cartoncini.

Questo particolare non solo vi consente di eseguire molto

velocemente le operazioni richieste, senza preoccuparvi di controllare

le posizioni reciproche dei cartoncini, ma vi permette anche di

scrivere il risultato direttamente da sinistra verso destra, dando

l’impressione di essere riusciti a calcolarlo a mente, già qualche

attimo prima.


6. IL QUADRATO MAGICO


1. Disegnate su una lavagna (o su un

foglio grande), lo schema vuoto di una matrice

quadrata, di dimensioni 4x4.

2. Chiedete a uno spettatore di scegliere un numero intero,

maggiore di 30, e di scriverlo su un foglietto, senza farlo vedere agli

altri.

3. Guardate il numero scritto dallo spettatore, ripiegate il

foglietto e chiudetelo in una busta.

4. In ciascuna delle sedici caselle della matrice, scrivete un

diverso numero intero, a vostro completo arbitrio. Supponiamo, ad

esempio, che lo spettatore abbia scelto il numero 50 e che voi

abbiate riempito la matrice nel seguente modo.

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

5. Invitate gli altri spettatori a scegliere, di comune accordo,

uno qualsiasi dei sedici numeri contenuti nella matrice.

6. Evidenziate il numero che vi viene comunicato e cancellate

tutti quelli che si trovano lungo la sua stessa riga e la sua stessa


colonna. Nel caso in esame, se viene scelto, ad esempio il numero 6,

dovete generare una configurazione analoga alla seguente.

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

7. Continuate, invitando il pubblico a scegliere uno dei numeri

che non avete cancellato (nel caso in esame: 9, 11, 12, 13, 15, 16,

17, 19, 20).

8. Come prima, evidenziate il numero che vi viene comunicato

e cancellate tutti quelli che si trovano lungo la sua stessa riga e la sua

stessa colonna. Nel caso in esame, se viene scelto, ad esempio, il

numero 15, dovete generare una configurazione analoga alla

seguente.

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

9. Invitate di nuovo il pubblico a scegliere uno dei numeri che

non avete ancora cancellato (nel caso in esame: 9, 12, 17, 20).

10. Ancora una volta, evidenziate il numero che vi viene

comunicato e cancellate tutti quelli che si trovano lungo la sua stessa

riga e la sua stessa colonna. Nel caso in esame, se viene scelto, ad

esempio, il numero 12, dovete generare una configurazione analoga

alla seguente:


5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

11. Essendo rimasto un numero solo (nel caso in esame, 17),

evidenziatelo direttamente, in quanto la scelta sarebbe obbligata.

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

12. Eseguite la somma dei quattro numeri scelti (nel caso in

esame, 6+15+12+17 = 50), aprite la busta e mostrate al pubblico che,

prodigiosamente, il valore così ottenuto coincide con quello che

aveva scelto all’inizio lo spettatore (nel caso in esame, 50,

appunto...).


Dopo aver conosciuto il valore N scelto dallo spettatore dovete

eseguire le seguenti operazioni.

a) Calcolate (possibilmente a mente) il quoziente intero della

divisione: (N–30)/4.

b) Ponete il valore ottenuto nella prima casella in alto a sinistra

della matrice e riempite le altre caselle, in base alle seguenti

indicazioni.

b1) Se il resto della divisione che avete eseguito è uguale a

0, dovete scrivere i numeri nelle caselle, procedendo da sinistra verso


destra e dall’alto verso il basso, aumentando ogni volta di un’unità il

valore precedente (in maniera rigorosa, senza alcuna discontinuità).

Se, ad esempio, venisse scelto: N=34, il risultato della

divisione sarebbe: (34–30)/4 = 1, con il resto di 0; quindi, dovreste

riempire la matrice nel seguente modo.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

b2) Se il resto della divisione che avete eseguito è diverso

da 0, dovete scrivere i numeri in maniera analoga alla precedente,

badando a saltare, però, un’unità all’inizio della riga il cui numero di

posizione, a contare dal basso, è uguale al resto ottenuto.

Ad esempio, se venisse scelto: N=35, il risultato della divisione

sarebbe: (35–30)/4 = 1, con il resto di 1; quindi, dovreste saltare

un’unità all’inizio della 1a riga a contare dal basso, come indicato

nello schema seguente.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

�� 14 15 16 17

Se, invece, venisse scelto: N=36, il risultato della divisione





1 2 3 4

5 6 7 8

�� 10 11 12 13

14 15 16 17

Se, infine, venisse scelto: N=37, il risultato della divisione




1 2 3 4

�� 6 7 8 9

10 11 12 13

14 15 16 17

N.B.: Se qualche spettatore vi dovesse chiedere come mai

avete saltato un’unità nel riempire la matrice, potreste candidamente

rispondere che vi siete distratti, ma che cercherete di far riuscire il

gioco ugualmente...


È evidente che, perché il gioco

riesca sempre, bisogna riuscire a

riempire le caselle della matrice in

maniera tale che, ogni possibile insieme

di quattro numeri, scelti in modo da

averne uno solo in ogni riga e in ogni

colonna, generi sempre la stessa

somma.

x y z w

a a+x a+y a+z a+w

b b+x b+y b+z b+w

c c+x c+y c+z c+w

d d+x d+y d+z d+w


Per ottenere un simile risultato, è necessario inserire in ogni

casella della matrice un valore uguale alla somma di due costanti,

una relativa alla sua riga e l’altra alla sua colonna, come qui di fianco

indicato.

Con tale impostazione, ogni possibile insieme di quattro

numeri, scelti in modo da non averne più di uno in ogni riga e in ogni

colonna, genererà una somma uguale a quella di tutte le costanti

assegnate alle righe e alle colonne, come qui di seguito esplicitato.

x y z w

x y z w

a a+x a+y a+z a+w a a+x a+y a+z a+w

b b+x b+y b+z b+w b b+x b+y b+z b+w

c c+x c+y c+z c+w c c+x c+y c+z c+w

d d+x d+y d+z d+w d d+x d+y d+z d+w

S1 = a+x + b+y + c+z + d+w = S2 = c+x + a+y + d+z + b+w =

= a+b+c+d+x+y+z+w = a+b+c+d+x+y+z+w

Il trucco, quindi, consiste nel riuscire a costruire una matrice

del genere, facendo in modo che la somma delle costanti assegnate

alle righe e alle colonne sia uguale al numero N, scelto dallo

spettatore all’inizio.

In teoria, è possibile raggiungere un simile obiettivo, adottando

vari sistemi. Il metodo più semplice e veloce, però, consiste nel porre

un valore nella casella in alto a sinistra e riempire poi le altre caselle

con valori incrementati di un’unità alla volta.


In questo modo, si attribuiscono automaticamente le costanti:

0, 1, 2, 3 alle colonne e le costanti:

a, a+4, a+8, a+12 alle righe.

0 1 2 3

a a a+1 a+2 a+3

a+4 a+4 a+5 a+6 a+7

a+8 a+8 a+9 a+10 a+11

a+12 a+12 a+13 a+14 a+15

Sommando tutte le costanti di questa matrice, si ottiene:

S = 0+1+2+3+a+a+4+a+8+a+12 = 4a+30.

Quindi, una volta conosciuto il numero N scelto dallo

spettatore, si può ricavare il valore da inserire nella prima casella in

alto a sinistra, ponendo: N =4a+30 e ricavando: a = (N–30)/4.

Questo ragionamento è valido, però, solo se la divisione

effettuata dà come resto 0. In caso contrario, bisogna modificare

opportunamente i valori di alcune costanti, per compensare la

differenza mancante. Un modo piuttosto semplice per raggiungere

uno scopo del genere può essere quello qui di seguito indicato.

• Se il resto è uguale a 1 (ovvero, se N=4a+31), si incrementa

di un’unità la costante relativa all’ultima riga (in pratica, ciò si ottiene

saltando un’unità all’inizio della 1a riga a contare dal basso),

portandola ad assumere il valore a+13.


0 1 2 3

a a a+1 a+2 a+3

a+4 a+4 a+5 a+6 a+7

a+8 a+8 a+9 a+10 a+11

a+13 a+13 a+14 a+15 a+16

In questo modo, la somma di tutte le costanti della matrice

diventa:

S = 0+1+2+3+a+a+4+a+8+a+13 = 4a+31 = N

• Se il resto è uguale a 2 (ovvero, se N=4a+32), si

incrementano di un’unità le costanti relative all’ultima e alla penultima

riga (in pratica, ciò si ottiene saltando un’unità all’inizio della 2a riga a

contare dal basso) portandole ad assumere rispettivamente i valori

a+9 e a+13.

0 1 2 3

a a a+1 a+2 a+3

a+4 a+4 a+5 a+6 a+7

a+9 a+9 a+10 a+11 a+12

a+13 a+13 a+14 a+15 a+16



diventa:

S= 0+1+2+3+a+a+4+a+9+a+13 = 4a+32 = N.

• Se il resto è uguale a 3 (ovvero, se N=4a+33), si

incrementano di un’unità le costanti relative all’ultima, alla penultima e

alla terzultima riga (in pratica, ciò si ottiene saltando un’unità all’inizio

della 3a riga a contare dal basso), portandole ad assumere

rispettivamente i valori a+5, a+9 e a+13.

0 1 2 3

a a a+1 a+2 a+3

a+5 a+5 a+6 a+7 a+8

a+9 a+9 a+10 a+11 a+12

a+13 a+13 a+14 a+15 a+16


diventa: 0+1+2+3+a+a+5+a+9+a+13= 4a+33 = N.

N.B.: Se il numero N scelto dallo spettatore fosse minore di 30,

il risultato della differenza: N–30 sarebbe negativo. Il gioco potrebbe

essere eseguito ugualmente, ma sarebbe molto più scomodo da

gestire.


7. I TRE BICCHIERINI


1. Ponete sopra un tavolo tre bicchierini rovesciati, di uguali

dimensioni, ma di diverso colore, contrassegnando le loro posizioni

con i numeri: 1, 2 e 3 .

2. Dopo aver osservato la situazione iniziale, giratevi con le

spalle al tavolo e chiedete a uno spettatore di nascondere un tappo di

sughero (o un altro oggetto di analoghe dimensioni) sotto uno

qualsiasi dei tre bicchierini, a sua scelta, senza dirvi quale.

3. Chiedetegli di scambiare di posto gli altri due bicchierini (ad

esempio, se ha messo il tappo sotto il bicchierino 3 giallo, deve

scambiare di posto il 2 rosso e l’1 verde), ma di non comunicarvi le

relative posizioni.

4. Chiedete allo spettatore di continuare ad effettuare altri

scambi, invitandolo, però, questa volta, a comunicarvi ogni coppia di


posizioni relativa ai bicchierini coinvolti (ad esempio, uno scambio

analogo a quello indicato in fig. 2, deve comunicarvelo dicendo:

«Scambio l’1 con il 2»). A tale riguardo, è importante sottolineare che

deve indicare ogni bicchierino, tramite il numero della posizione in cui

si trova, prima di essere spostato. Ovviamente, nel corso di tutte

queste operazioni, il tappo deve rimanere sempre sotto lo stesso

bicchierino.

5. Quando lo spettatore ritiene di aver fatto un numero

sufficiente di scambi, vi voltate verso il tavolo e, senza troppi indugi,

sollevate il bicchierino che nasconde il tappo.

Per dimostrare che non avete indovinato per caso, potete

ripetere il gioco altre volte, riuscendo sempre ad individuare il

bicchierino giusto.


Prima di voltarvi, dovete scegliere mentalmente uno dei tre

bicchierini e ricordarne la posizione occupata. Successivamente,

dovrete riuscire a seguire il percorso che, a partire da questa

posizione, verrà compiuto dal vostro bicchierino (o da quello che avrà

preso il suo posto). A tale scopo, vi può essere utile assegnare al

pollice, all’indice, al medio della mano sinistra, rispettivamente, i

valori 1, 2 e 3, e indicare con la mano destra la posizione che il

bicchierino in questione, di volta in volta, si trova ad occupare.

Ad esempio, se state indicando la posizione 3 e vi viene

comunicato lo scambio 2�3, dovete passare a indicare la 2,

perché questa è la nuova posizione occupata dal bicchierino che

state seguendo; se, invece, vi viene comunicato lo scambio 1�2,

dovete continuare a indicare la 3, perché il bicchierino, non essendo


stato coinvolto nello scambio effettuato, è rimasto nella stessa

posizione.

Quando, al termine degli scambi, vi rigirate verso il tavolo,

dovete controllare se la posizione che state indicando corrisponde a

quella occupata dal vostro bicchierino. In caso affermativo, il

bicchierino che nasconde il tappo coincide proprio con il vostro;

altrimenti, non è né quello, né l’altro che si trova nella posizione da

voi indicata, ma il terzo.

Supponiamo, ad esempio che, dopo aver osservato la

situazione riportata in figura 1, avete scelto mentalmente la tazzina

gialla, in posizione iniziale 3, e che, alla fine degli scambi, state

indicando la posizione numero 1. Se, quando vi voltate, la situazione

sul tavolo coincide, il bicchierino che contiene il tappo è proprio quello

giallo, in quanto si trova nella stessa posizione da voi indicata.


Se, invece, la situazione non coincide, il bicchierino che

contiene il tappo non è, né quello giallo, né quello che si trova nella

posizione 1 (il rosso), ma è il terzo: ossia, quello verde.


Dopo aver effettuato le due operazioni iniziali (mettere il tappo

sotto un bicchierino e scambiare di posto gli altri due), il bicchierino

che nasconde il tappo è anche l’unico che rimane al suo posto.

Quindi, se alla fine la posizione da voi indicata coincide proprio con

quella occupata dal vostro bicchierino, vuol dire che questo (il cui

tragitto avete potuto seguire fin dall’inizio) non è stato coinvolto nel

primo scambio e che, di conseguenza, il tappo è stato nascosto

proprio sotto di lui. Altrimenti, se vi trovate a indicare un altro

bicchierino, vuol dire che il vostro è stato coinvolto nel primo scambio

e che, quindi, non può nascondere il tappo; inoltre, siccome il suo

posto è stato preso dal bicchierino che state indicando (il cui tragitto

avete seguito fin dall’inizio), neanche questo può contenere il tappo,

essendo stato anche lui coinvolto nel primo scambio. Di

conseguenza, il bicchierino da individuare, non può essere né quello

scelto da voi, né l’altro che occupa la posizione da voi indicata; ma,

per esclusione, deve essere il terzo.

Prima variante


Si può svolgere il gioco precedente in maniera ancora più

misteriosa, utilizzando tre bicchierini uguali, sia nella forma, che nel

colore. Infatti, osservando tre qualsiasi oggetti apparentemente

identici, è sempre possibile rilevare almeno un piccolo dettaglio (una

macchietta, una scrostatura, una venatura di colore, ecc.) che

consenta di distinguerne segretamente uno dagli altri due. Sotto

queste ipotesi, le modalità del gioco precedente, restano

praticamente immutate, se si usa l’ovvia accortezza di scegliere come

bicchierino di riferimento proprio quello che si sa riconoscere.

Seconda variante

1. Disponete su un tavolo tre piccoli oggetti, contrassegnando

come nel caso precedente, le loro posizioni con i numeri: 1, 2 e 3.

2. Dopo avere osservato la situazione iniziale, giratevi con

spalle al tavolo e chiedete ad uno spettatore di pensare a uno dei tre

oggetti, a sua scelta, senza dirvi quale.

3. Chiedetegli di scambiare di posto gli altri due oggetti, senza

comunicarvi le loro posizioni (ad esempio, se in relazione alla

situazione precedente, ha pensato alla moneta, deve scambiare di

posto il fermaglio e il temperalapis)

4. Chiedete allo spettatore di continuare ad effettuare altri

scambi, comunicandoveli, con le stesse modalità del gioco


precedente. Questa volta, però, può interrompere la sequenza di

scambi solo quando è ritornato alla configurazione iniziale.

5. Al termine degli scambi, siete in grado di individuare

immediatamente l’oggetto pensato dallo spettatore, senza bisogno di

voltarvi verso il tavolo.

Gli accorgimenti da seguire sono simili a quelli del gioco

precedente; in questo caso, però, al termine degli scambi effettuati,

dovete controllare se la posizione che state indicando corrisponde

con quella che occupava all’inizio l’oggetto da voi scelto. In caso

affermativo, l’oggetto pensato dallo spettatore coincide proprio con il

vostro; altrimenti, non è né quello, né l’altro che si trova nella

posizione da voi indicata, ma il terzo.

8. I NANETTI MISTERIOSI

Preparazione

Fotocopiate le tre figure rettangolari riprodotte qui sotto;

incollatele su un cartoncino rigido e ritagliatele lungo i bordi..

figura 1 figura 2

figura 3

Presentazione

1. Disponete su una superficie piana i tre cartoncini ottenuti in

base alle precedenti istruzioni e accostateli nel modo indicato in fig. 4.


2. Chiedete ai vostri spettatori di contare i nanetti che si

vedono nel disegno così composto. Tutti converranno che ce ne sono

15; né uno di più, né uno di meno...

figura. 4

3. Scambiate di posto i due cartoncini superiori (come indicato

in fig. 5) e pregate i vostri spettatori di contare nuovamente i nanetti.

Incredibilmente, questa volta saranno solo 14: uno di loro sarà

scomparso nel nulla...

figura 5


Come si può notare, nell’insieme dei tre cartoncini sono

raffigurate 28 porzioni di nanetti, di varia misura: 14 nell’insieme dei

due cartoncini superiori e 14 in quello inferiore.

Posizionando i cartoncini come indicato in fig. 4, si abbinano

solo 13 coppie di porzioni, mentre ne rimangono isolate due molto

grandi (una sopra e una sotto), che corrispondono praticamente a

due nanetti interi (precisamente il 6° e il 13° da sinistra). In questa

configurazione, quindi, i nanetti che si vedono sono: 13+1+1 = 15.


Se si inverte la posizione dei due cartoncini superiori (fig. 5),

ciascuna delle 14 porzioni inferiori, combacia perfettamente con una

delle 14 superiori. In questa configurazione, quindi, appaiono solo 14

nanetti.

È bene chiarire che non ha senso chiedersi quale nanetto

sparisca; infatti, tutti gli elementi iconografici presenti all’inizio si

ritrovano anche alla fine, anche se disposti in un altro modo.

Ovviamente, siccome negli spostamenti dei due cartoncini

nulla si crea e nulla si distrugge, i 15 nanetti che appaiono nella fig. 4

sono tutti mediamente un po’ più piccoli dei 14 che si vedono nella

fig. 5.

Nota – Il seguente, sorprendente gioco grafico (realizzato nel

1985 da Susanna Serafini, per la Clementoni) è una variante di un

ingegnoso rompicapo ideato nel 1896 dall’enigmista statunitense,

Sam Loyd. Il trucco su cui si basa, sfrutta un ragionamento

matematico piuttosto elementare; la sua individuazione, però, non è

affatto immediata.

La struttura di base

La costruzione grafica che consente l’effettuazione di questo

gioco può essere evidenziata dai due schemi seguenti, nei quali ogni

nanetto è rappresentato da un segmento verticale.

Come si può notare, il taglio orizzontale divide i segmenti in 28

parti, di varie misure: 14 disposte nell’insieme dei due rettangoli

superiori e 14 in quello inferiore.

Nella situazione indicata in fig. 6, si abbinano solo 13 coppie di

queste parti di segmenti, mentre ne rimangono isolate due molto


lunghe (FF sotto e OO sopra). In questa configurazione, quindi, i

segmenti interi che si vanno a ricomporre sono: 13+1+1 = 15.

figura 6

Se si inverte la posizione dei due cartoncini superiori (fig. 7),

ciascuna delle 14 parti superiori, combacia perfettamente con una

delle 14 inferiori. In questa configurazione, quindi, si formano solo 14

segmenti interi.

figura 7

Ovviamente, come si può facilmente verificare, i 15 segmenti

che appaiono nella fig. 6, sono tutti mediamente un po’ più piccoli dei

14 che si vedono nella fig. 7.

Sulla traccia dello schema di fig. 6, è possibile realizzare delle

versioni personali di questo gioco, sostituendo tutte le linee verticali

con delle immagini di forma adeguata, anche molto semplici (come

lapis, alberi, torri, ecc.).


Il concetto primario

Il gioco in questione è frutto di una sofisticata applicazione del

seguente, semplice paradosso geometrico.

– Tracciate su un foglietto un certo numero di linee rette

verticali, tutte alla stessa distanza l’una dall’altra e tutte della

medesima lunghezza.

– Dividete il foglietto con un taglio obliquo che lasci intatte la

prima e l’ultima linea (fig. 8).

figura 8

– Fate slittare la metà inferiore del foglietto verso sinistra, di

uno spazio uguale alla distanza tra una linea e l’altra (fig. 7).

– Contate quante linee compaiono ora: ne troverete una di

meno...

figura 9


In questo caso così schematico, non è difficile verificare che, in

realtà, non è scomparsa alcuna linea, ma che ognuna di quelle nuove

si è accresciuta di un piccolo tratto, rispetto alle precedenti.

Infatti il taglio obliquo genera 14 segmenti di varia misura: 7

nella metà superiore del foglietto e 7 in quella inferiore.

Nella situazione iniziale di fig. 4, si abbinano solo 6 coppie di

segmenti, mentre ne rimangono isolati due (AA sopra e HH sotto). In

questa configurazione, quindi, si contano: 6+1+ 1 = 8 linee verticali.

Se si fa slittare la metà inferiore del foglietto (fig. 5), ciascuno

dei 7 segmenti superiori combacia perfettamente con uno di quelli

inferiori. In questa configurazione, quindi, appaiono solo 7 linee

verticali.

Date post:	26-Jan-2016
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QLF07 - Matematica Divertente e Magica

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