Il lago, genius loci del territorio bresciano: occasione di educazione ambientale e di introduzione al pensiero scientifico - Anno 2014-2015
Seminario N°°°° 3
Quanto tempo rimane l'acqua in un lago ?
Classe IV del Liceo Calini
Liceo Leonardo da Vinci
Professori : Aldo Auditore
Marco Pietro Longhi
CONCLUSIONE DEL SEMINARIO N. 2
• Il serbatoio prismatico del seminario 2 fornisce un’immagine semplificata di un lago reale
• Lo svuotamento di questo serbatoio, può essere bene interpretato alla luce
dalla legge di conservazione della massa congiunta all’applicazione del teorema di Bernoulli
• Grazie al modello abbiamo calcolato il tempo di completo svuotamento TS
• Ma TS è veramente ciò che cercavamo ?
• Un lago non si svuota: l’acqua si ricambia
• Domanda del seminario 3: Quanto tempo ci mette l’acqua di un lago “inquinato” ad essere
ricambiata da altra acqua “pulita” ? (Tempo di ricambio, TR)
Ovvero, seppure formulata in modo diverso:
Quale è la probabilità che nel lago di Garda sia ancora presente l’acqua nella
quale potrebbe essersi bagnato Gabriele D’Annunzio ?
Gabriele D’Annunzio
(1863, Pescara; 1938, Gardone Riviera)
anni
s
q
VT L
R
6.26
839041096
4.58
1049 9
==
⋅==
SEMINARIO N. 3
SEMINARIO N. 3: Confronto tra svuotamento (1) e ricambio (2a, 2b)
Il ricambio è un processo
asintotico che dipende
dal grado di
mescolamento del lago…
SEMINARIO N. 3: un ingrediente fondamentale - la Concentrazione
• Concentrazione
Esempio 1: concentrazione di particelle rosse n su particelle totali N nella scatola C = n/N
Esempio 2: concentrazione di acqua inquinata in un lago
Massa complessiva Volume complessivo
del lago
C = m/M = (m/ρ)/(M/ρ) = V/VL
massa inquinante volume inquinante nel
lago
SEMINARIO N. 3: Misura della Concentrazione nella portata uscente dall’emissario
• Se il lago è perfettamente miscelato, la concentrazione dell’acqua uscente è uguale alla
concentrazione dell’acqua nel lago
• Possiamo misurare il Tempo di Ricambio dell’acqua del lago supponendo il lago interamente
occupato da inquinante al tempo 0 e misurando in quanto tempo la concentrazione di inquinante
nell’effluente va a zero quando il lago è alimentato da acqua pulita (vedi disegno sopra)
• Per riprodurre questo fenomeno simuliamo l’ingresso di acqua dolce in un lago inizialmente
occupato da acqua salata. In questo caso, al posto di misurare la concentrazione di inquinante
uscente, misuriamo il grado di salinità dell’acqua effluente misurandone la conducibilita elettrica.
• Ogni tipo di acqua ha una sua conducibilità che dipende dagli ioni presenti
SEMINARIO N. 3: la misura della Conducibilità Elettr ica
Siamo interessati a conoscere la concentrazione salina nell’acqua in uscita dal serbatoio. Per farlo
possiamo pensare di misurare il quantitativo di ioni disciolti, che determina la capacità della soluzione di
condurre una corrente elettrica.
Il sensore di conducibilità misura la capacità della soluzione di condurre una corrente elettrica: agli
elettrodi viene applicata una differenza di potenziale che genera una corrente dalla quale si calcola la
conducibilità.
Ad ogni variazione della concentrazione di ioni nella soluzione corrisponderà una variazione della
conducibilità. La conducibilità varia con la temperatura e quindi, usualmente, gli strumenti riportano il
valore normalizzato a 25 °C
Cos’è e come si misura la conducibilità elettrica di una soluzione acquosa?
batteria che
impone una
differenza di
potenziale
Amperometro
che misura la
corrente che
circola nel
circuito
liquido di cui si vuole misurare la conducibilità
SEMINARIO N. 3: la Conducibilità Elettrica
Che valori assume la conducibilità in situazioni tipiche ? (NB: 1 µSiemens = 10-6 S)
Acqua dolce (laghi, fiumi, acquiferi)
0 300 1000 40’0000 80’0000
Lago d’Iseo
0.1 g/lmar Nero
18 g/l
Acqua salata (laghi salati, mare)
mar Morto
300 g/l
media
del mare
34.7 g/l
Mediterraneo
38 g/l
Limite per
irrigazione
2 g/l
Salinità
[g/l]
Conducibilità
[µµµµS/cm]
SEMINARIO N. 3: la Conducibilità Elettrica
Che valori assume?
124µµµµS/cm 306 µµµµS/cm 1800 µµµµS/cm570 µµµµS/cm 1264 µµµµS/cm
Residuo fisso a 180°C
Conducibilità a 20°C:
170 mg/l80.5 mg/l 400 mg/l 840 mg/l 1290 mg/l
Brescia
690µµµµS/cm
SEMINARIO N. 3: la probabilità
Supponiamo che il contenitore contenga N palline, blu e verdi. Quelle blu sono in numero di n.
La probabilità p di estrarre una pallina blu è data da n/N (ovvero la concentrazione !)
Es: N= 100; n =0; p= 0
N= 100; n =100; p= 1
N= 246; n =86; p= 86/246=0.35
La probabilità può variare tra 0 (evento impossibile) e 1 (evento certo).
Nel terzo caso significa che, mediamente, il 35% delle volte prenderò una pallina blu
Se prendo una manciata di M palline, mediamente
conterrà M x p palline blu
SEMINARIO N. 3: Come varierà il numero n di palle rosse nel tempo ? il modello matematico
tqN
)t(n)t(nn)t(p)t(n)tt(n out ∆
−=−=∆+
Supponiamo che il contenitore con le palline sia perfettamente miscelato. Sia N il numero complessivo di
palline. Cerchiamo di capire come varia nel tempo il numero di palle rosse, n, se escono q palline ogni
secondo Portata = numero di palline (bianche e rosse)
uscenti in un secondo
)N
tq)(t(n)tt(n
∆−=∆+ 1Si tratta di un modello “autoregressivo” poichè n(t+∆t)
è funzione di n(t)
numero di palline rosse
nel contenitore
Probabilità di estrarre
una pallina rossa
dal serbatoio
numero di palline
estratte in ∆∆∆∆t
SEMINARIO N. 3: Come varierà la concentrazione di inquinante nel tempo ? il modello matematico
RLLLL T
t)t(C
V
)t(V
V
tq)t(C
V
)t(V
V
)tt(V
tq)t(C)t(V)tt(V
∆−=∆−=∆+∆−=∆+
Ipotesi: lago perfettamente miscelato;
q [m3/s]: portata in uscita, costante nel tempo;
V(t) [m3]: volume di inquinante nel lago al tempo t
VL [m3]: volume del lago
Ancora un modello “autoregressivo” per la concentrazione.
Questo è il modello matematico di variazione
della concentrazione nel tempo, che applicheremo
partendo dal valore iniziale C(t=0) =1
)T
t)(t(C)tt(C
R
∆−=∆+ 1
Cerchiamo di capire come varia nel tempo la concentrazione di inquinante nel lago, C, se
da esso escono q metri cubi di acqua ogni secondo. Partiamo da un bilancio del volume di inquinante:
q
VT L
R =
(1)
Quantità di inquinante uscente in ∆∆∆∆t
SEMINARIO N. 3: Come varierà la concentrazione di inquinante nel tempo ? L’esperimento
• Riempiamo il serbatoio di acqua “inquinata”, ottenuta con una soluzione a
maggiore conducibilità rispetto all’acqua del rubinetto. Per fare questo
utilizzeremo dell’acqua resa salata con l’aggiunta di sale da cucina. Per
rendere più evidente la natura “inquinata” di quest’acqua, coloriamola con un
colorante alimentare. A questo punto misuriamone la conducibilità, S0.
• Mantenendo costante il volume nel serbatoio, facciamo entrare acqua
pulita (di rubinetto), di cui avremo provveduto a misurare la conducibilità, Sin.
• Contemporaneamente, misuriamo in funzione del tempo la conducibilità S
della portata uscente dal serbatoio. Il tempo è fornito dal timer che avremo
avviato all’inizio della prova.
•Arrestiamo la prova quando l’acqua nel serbatoio è diventata trasparente.
•I dati misurati costituiscono la serie sperimentale C(t)
T=0s T = 19 s
T = 0 s
T = 1m 49s
T = 4m 40s
SEMINARIO N. 3: Come calcolare la concentrazione dalla conducibilità misurata, S ?
•La conducibilità del liquido in uscita varierà tra il valore iniziale S0 e il valore
Sin, raggiunto asintoticamente, dell’acqua in ingresso.
•Per riportarci alla concentrazione, dobbiamo normalizzare il valore S di
conducibilità, in modo da ottenere una quantità che all’inizio sia pari ad 1 e
asintoticamente nel tempo tenda a 0
T=0s T = 19 s
T = 0 s
T = 1m 49s
T = 4m 40s
SEMINARIO N. 3 Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Analizziamo i risultati dell’esperimento utilizzando il foglio di calcolo predisposto.
1) Inseriamo i dati iniziali della prova nelle caselle blu
2) Misuriamo il volume defluito dal serbatoio. Per fare questo basta misurare il volume accumulato
nella vasca di valle (Vout). Prendiamo anche nota della durata della prova (d). Utilizziamo questi dati
per completare le caselle gialle relative alla portata media e al tempo di riempimento del serbatoio
SEMINARIO N. 3: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
3) Scarichiamo la serie temporale della conducibilità misurata dalla sonda e copiamo la serie (tempo,
conducibilità) nelle colonne A e B. Quindi adimensionalizziamo la conducibilità misurata come mostrato
nel grafico precedente (colonna C)
4) Implementiamo il modello (1) inserendo le formule indicate nelle caselle D11 e E11
SEMINARIO N. 3: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Confrontiamo ora le misure sperimentali con i risultati del modello matematico (1) rappresentando in un
grafico le curve (tempo, concentrazione) misurate (colonna A e C) e quelle calcolate (colonna A ed E) in
funzione del tempo
SEMINARIO N. 3: Inserimento dei dati nel foglio elettronico
Lo stesso confronto si può fare confrontando i dati misurati con i corrispondenti dati teorici. Se il modello
predice perfettamente il processo, i punti così rappresentati si devono allineare lungo la bisettrice del primo
quadrante.
SEMINARIO N. 3: Rispondiamo ora alla domanda iniziale
Essa rappresenta la probabilità che una particella di acqua
Inizialmente presente nel serbatoio, sia ancora presente al suo
interno al tempo t
L’equazione evolutiva si può vedere come una applicazione
della legge di calcolo della probabilità composta. La
probabilità che al tempo t+∆t sia ancora presente l’inquinante
originario, è data dal prodotto tra la probabilità di essere
presente al tempo t - termine (1) a fianco- per la probabilità di
non uscire dal serbatoio nell’intervallo ∆t - termine (2) a fianco -
)T
t)(t(C)
V
tq)(t(C)tt(C
RL
∆−=∆−=∆+ 11
)t(P)t(C ≡
)T
t)(t(P)tt(P
R
∆−=∆+ 1
Quindi per avere la probabilità che nel lago di Garda siano presenti particelle d’acqua che erano
presenti nel 1938 devo iterare il modello, partendo da C(0) = 1, per (2014-1938)=76 anni (attenzione
ad usare unità di tempo coerenti per ∆t e TR).
(1) (2)
La concentrazione di inquinante C(t)
può vedersi come una probabilità
SEMINARIO N. 3: Rispondiamo alla domanda iniziale
t= 0 nel 1938; unità di tempo: anno; t= 76 nel 2014;)
T
t)(t(P)tt(P
R
∆−=∆+ 1
In definitiva, P(76) = 0.054; la probabilità è circa del 5%.
Nel lago di Garda sono ancora presenti 0.054 x 49.109 = 2.67.109 m3 di acqua nella quale avrebbe
potuto essersi bagnato Gabriele D’annunzio
626110 .q
VT;t;)(P L
R ===∆=
...
)T
t)((P)
T
t)((P)(P
)T
t)((P)(P
RR
R
210112
101
∆−=∆−=
∆−=
761076 )T
t)((P)(P
R
∆−=
prima iterazione
seconda iterazione
76-esima iterazione
SEMINARIO N. 3: quale è la probabilità che sia ancora presente acqua dell’epoca di Catullo ?
Gaius Valerius Catullus (Verona, 84 a.C. – Roma, 54 a.C.)
Busto di Catullo a
Sirmione
